Definisi Integral.

Definisi Integral

Integral adalah : proses pembalikan diferensial untuk mencari fungsi awal F(X), yang tingkat perubahan atau turunannya telah di ketahui.

Integral suatu fungsi f(x) dapat dinyatakan sebagai :

∫

f(x) dx = F(X)+C

∫

Dibaca : INTEGRAL fungsi X berkenaan dengan X . dimana :

Lambang ∫ adalah tanda INTEGRAL , f(X) adalah integran

1.

2.

3.

4.

Rumus- rumus pada integral tak tentu :



dx



x



c



adx



ax



c











x

c

dx

x

n _n1₁ n 1











x

c

dx

ax

n _na n 1

.

1 1

1 _{x c}

dx

xn  _n n 

 

 .

1 1

1 _{x c}

dx

xn  _n n 

  

1

.

1

1















ax

n

dx

_na

x

n

c

n

PENERAPAN EKONOMI

Surplus konsumen adalah suatu fungsi yang menunjukan hubungan Antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan berbagai harga Tertentu. Jika harga pasar produk tersebut adalah P_e , maka jumlah produk yang akan Dibeli oleh konsumen adalah Q_e. Tetapi berdasarkan kurva permintaan yang ada, Menurut para ahli ekonomi bahwa konsumen masih bersedia dan mampu Untuk membayar produk tersebut dengan harga yang lebih tinggi dari pada harga P_e Sampai pada titik B. Namun,dalam kenyataan nya tingkat harga yang terjadi di pasar hanyalah 0P_e dengan demikian surplus harga tersebut (P_e B) adalah kuntungan total Bagi Konsumen, dan ini di sebut sebagai SURPLUS KONSUMEN / KELEBIHAN KONSUMEN

P

B (O₁P_e)

KK

P_e E (QePe)

P=f(Q)

A(O,0)

Q_e Q

Secara geometri, kelebihan konsumen ini di tinjukan oleh luas daerah di bawah kurva permintaan dan di atas garis p_eE yang sejajar dengan sumbu horisontal Q ( daerah yang di arsir ). Besarnya kelebihan konsumen ini dapat di peroleh dengan cara mengintegralkan fungsi permintaan dengan menggunakan metode integral tertentu.

Jikafungsi permintaan berbentuk P=f(Q),maka kelebihan konsumennya adalah :

KK = _Oqe _{f (Q) Dq - [QePe]}

Dimana : KK = kelebihan konsumen Q_e = jumlah keseimbangan P_e = Harga keseimbangan

Jika fungsi permintaan berbentuk Q=f(P), maka surplus konsumen adalah :

KK = _Pe∫Qe _{f(P) Dp}

Dimana, KK = kelebihan konsumen

Contoh kasus :

Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukan oleh P= 25-Q2 _{dan harga}

keseimbangan adalah 9, carilah kelebihan konsumen dan gambarlah ? JAWABAN ;

Jika P=9 ,maka Q2 _{=25-9 Q}2 _{= 16 Q1 = +4 Q2 = -4}

Jadi keseimbangan atau market Equilibrium pasar terjadi pada E (4,9 ) Jika P=0, maka Q = 25

Q1 =+5 dan Q2= -5 Jadi titik potong untuk sumbu Q (5,0) Jika Q=0 maka, P=25 Jadi titik potong sumbu p adalah ( 0,25)

Karena fungsi permintaan P=f(Q), Maka : KK= _Oqe _{f(Q) dQ} –_{[ QePe] =}

0 4 (25-Q2) Dq - (9x4) Dq

= 25Q-1/3 Q3

04 – 36

=25(4)-1/3 (4)3

04 -36

P -

25 -

10

-0- - -

-4 5

Q (O,25)

E(4,9)

P=25-Q2

Surplus Produsen

Suatu fungsi penawaran menunjukan hubungan

antara

jumlah

produk

yang

di

tawarkan

oleh

produsen dengan berbagai harga tertentu. Jika

harga pasar produk tersebut adalah P

_e

maka jumlah

produk yg akan ditawarkan oleh produsen adalah

Q

_{e .}

Tetapi berdasarkan kurva penawaran yang ada,

maka produsen masih bersedia dan mampu untuk

menjual

produknya

dengan

harga

yang

lebih

rendah dari pada harga P

_e

yaitu sampai pada titik

B. Namun, dalam kenyataanya tingkat harga yang

terjadi di pasar hanyalah setinggi 0P

_e

Dengan

demikian,surplus

harga

tersebut

(P

_e

B)

adalah

P

P_e

P=f(Q)

E(Q_e1P_e) B(0,9)

Q_e Q

S

Secara Geometri, kelebihan produsen ini di tunjukan oleh luas daerah diatas kurva penawaran dan di bawah garis P_eE ( Daerah yang diarsir ). Besarnya kelebihan produsen ini dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi penawaran dengan menggunakan metode integral tertentu. jika fungsi penawaran berbentuk P=f(Q), maka kelebihan produsen adalah :

KP = (Q_e.P_e)- ₀∫Qe _f(Q)Dq

Dimana :

KP= Surplus produsen

Qe = Jumlah keseimbangan Pe = harga keseimbangan

Sedangkan, apabilah fungsi penawaran berbentuk Q=f(P), Kelebihan produsen adalah :

KP = Pe∫

B f(P) dP

Dimana :

KP = kelebihan Produsen

Contoh kasus

Jika fungsi penawaran suatu produk di tunjukan oleh P=Q2₊₃

Dan harga keseimbangan adalah 12, carilah surplus produsen dan gambar kanlah kurva nya?

Jawaban ;

Jika P=12, maka Q2_=12-3 Q2=akar 9

Q1=+3

Q2=-3 ( tidak memenuhi karna (-) )

Jadi, keseimbangan pasar terjadi pada E (3,12 ) Jika Q=0, maka P=3

Jadi titik potong sumbu P adalah (0,3) Karena fungsi penawaran P=f(Q), Maka

KP =(Q_e.P_e)-₀∫Qe

f

_{(Q)Dq=(3x12)-}0∫3 (Q2_+3)dQ

=36-[1/3Q3_+3Q] 03 = 36-[1/3(3) 3_+3(3)]

03 = 36-9+9

P

12

9

6

3

0

1 2 3

Q P=Q2₊₃ E (3,12)

(2,7)

(1,4) (0,3)

Contoh Kasus

Solusi

Mencari harga dipasar dengan cara :

Qd = Qs

30

–

2P =

–

6 +P

30 + 6 = P + 2P

36 = 3P

Pe =

12, dan Qe =

–

6 + 12

Qe = 6

Solusi

Fungsi

permintaan

Qd = 30

–

2P

2p = 30

–

Qd

P = 15

–

½ Qd

Lanjutannya …

Fungsi

penawaran

Qs =

–

6 + P

Qs + 6 = P

Solusi



Gambar

Surplus Produsen Surplus

konsumen

P = Qs + 6 atau Qs = – 6 + P

P = 15 – ½ Qd atau Qd = 30 – 2P

P

P`= 15 Pe = 12

P``= 6

Qe = 6

30 Q

[image:22.720.41.640.79.422.2]

1. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 48 – 0.03 P2_{. Hitunglah surplus konsumen}

jika tingkat harga pasar adalah 30.

2. Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10?

3. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran D : p= -½ x² - ½x

+ 33 dan S : p= 6 + x. Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi market equilibrium (ME) ? 4. Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut :

Qd = 75 – 3P2_{, gambarkan fungsi tersebut pada sebuah}

grafik Qd vs P serta carilah surplus konsumenya jika harga pasar Pe = 2

26

dx

x

1

d).

dx

x

c).

dx

x

1

b).

dx

5x

a).

:

ini

berikut

tak tentu

integral

-Integral

Tentukan

3 2 4 3

3 4





30











dx

5x

3.

dx

)

x

x

-(x

2.

dx

)

x

(x

1.

ini

berikut

tak tentu

Integral

Tentukan

2

5

6

33

c

x

2

5

c

x

)

2

1

5(

dx

x

5

dx

5x

3.

2

2













x

adalah

C

x

x

f

turunan

karena

C

x

dx

x

Jadi



2



2



,

(

)



2



2

5

4

5

2

)

(

,

5

2

)

5

4

(





2







2









x

dx

x

x

C

karena

turunan

f

x

x

x

C

adalah

x

2 3 3 2

3

)

(

,

3

x

dx



x



C

karena

turunan

f

x



x



C

adalah

x



3 4 4 3

4

)

(

,

4

x

dx



x



C

karena

turunan

f

x



x



C

adalah

x

Soal 1

Fungsi permintaan suatu barang

ditunjukkan oleh persamaan Q =

48

–

0.03 P

2

. Hitunglah surplus

konsumen

jika

tingkat

harga

Jawab

Q = 48

–

0,03 P

2

Jika Q = 0, P = 40 = Pˆ

Jika P = 0, Q = 48

P = 30, Q = Qe = 21

Soal 2

Seseorang produsen mempunyai fungsi

penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa

surplus produsen itu bila tingkat

keseimbangan di pasar adalah 10?

Jawab :

P = 0,50Q + 3

Q = -6 + 2P

P = 0

Q = -6

Q = 0

P = 3 = P^







 



.

49

0

91

140

)

0

(

3

)

0

(

25

,

0

)

14

(

3

)

14

(

25

,

0

140

3

25

,

0

140

)

3

50

,

0

(

)

10

)(

14

(

)

(

2 2 14 0 2 14 0 0







































Q

Q

dQ

Q

dQ

Q

f

P

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran

D : p= -½ x² - ½x + 33 dan S : p= 6 + x

Dapatkan besarnya surplus konsumen pada

saat terjadi market equilibrium (ME) ?

JAWAB :

ME terjadi pada saat D = S

Atau -½ x² - ½x + 33 = 6 + x

 -½ x² - 1½x + 27 = 0

 x² - 3x – 54

 (x+9) (x-6) = 0

 Jadi, kuantitas equilibrium x๐ = 6 unit dan price equilibrium

p๐= 6 + 6 = 12 satuan rupiah

P

33-SK

S

C

12 - B

SP

E

6-A

Soal 4

Diberikan fungsi permintaan

[image:46.720.19.707.101.532.2]

sebagai berikut : Qd = 75

–

3P

2

,

gambarkan fungsi tersebut pada

sebuah grafik Qd vs P serta carilah

Solusi

Qd = 75

–

3P

2

Qe = 75

–

3.(2

2

)

Qe = 75

–

3.4

Qe = 75

–

12

Qe = 63

Jadi (Pe, Qe) = (2, 63)

Fungsi Qd = 75

–

3P

2

merupakan kurva

parabola yang terbuka di bawah dengan titik

puncaknya (P, Qd) = (0,75).

Gambar

Qd 75 63

0 _{2 5} P

[image:48.720.7.711.97.531.2]

Solusi

Soal 5

Diberikan fungsi penawaran sebagai

berikut : P = 20 + 5Qs, gambarkan

fungsi tersebut pada sebuah grafik

P vs Q, serta carilah surplus

Solusi



Gambar

Pe =

40

P = 20

0

4

Qs

P _{Pe = 20 –}

5Qs

Solusi



Solusi

