Metode Branch And Bound Dalam Pengoptimalan Jumlah Truk Pengangkut Sampah (Studi Kasus: Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang)

(1)

METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENGOPTIMALAN

JUMLAH

TRUK PENGANGKUT SAMPAH

(Studi Kasus: Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang)

SKRIPSI

NADYA LORENZA

100803021

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENGOPTIMALAN

JUMLAH

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat

mencapai gelar Sarjana Sains

NADYA LORENZA

100803021

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

JUDUL : METODE BRANCH AND BOUND

DALAM PENGOPTIMALAN JUMLAH TRUK PENGANGKUT

SAMPAH (Studi Kasus: Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang)

KATEGORI : SKRIPSI

NAMA : NADYA LORENZA

NOMOR INDUK MAHASISWA : 100803021

PROGRAM STUDI : SARJANA (S1) MATEMATIKA

DEPARTEMEN : MATEMATIKA

FAKULTAS : MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di

Medan, Juli 2014

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Sawaluddin, M.IT. Dr. Esther S M Nababan, M.Sc

NIP NIP. 19610318 198711 2 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Prof. Dr. Tulus, M.Si.

(4)

PERNYATAAN

METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENGOPTIMALAN

JUMLAH TRUK PENGANGKUT SAMPAH

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya

Medan, Juli 2014

(5)

PENGHARGAAN

Segala pujian dan ucapan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas kasih-Nya, setiap pertolongan dan penyertaanNya yang dirasakan oleh penulis dalam keseluruhan hidup yang dipercayakanNya terkhusus dalam proses pengerjaan skripsi ini.

Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang turut mendukung dalam penulisan skripsi ini:

1. Ibu Dr. Esther S M Nababan, M.Sc. dan Bapak Drs. Sawaluddin, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing yang telah banyak memberikan bimbingan, nasehat, motivasi, dan kepercayaan yang diberikan kepada penulis dalam mengerjakan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Suyanto, M.Kom. dan Drs. Rosman Siregar, M.Si. sebagai Dosen Pembanding yang memberikan saran dan masukan dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. sebagai Ketua Departemen Matematika dan Ibu Drs. Mardiningsih, M.Si. selaku Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. sebagai Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Semua Dosen di Departemen Matematika FMIPA USU atas segala ilmu dan bimbingan yang diberikan kepada penulis selama perkuliahan, serta seluruh Staf Administrasi yang ada di Departemen Matematika FMIPA USU.

6. Bapak Alfiandi dan seluruh staf Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang yang telah memberikan bantuan kepada penulis dalam melakukan penelitian ini.

7. Rekan-rekan seperjuangan di Matematika 2010, Anna, Huide, Jeje, Mega, Nadine, Naomi, Yuri, Diky, Ningot, Nuel, Junko, Frans, Erick, Septian, Imel, dkk. Dan juga dukungan dari senior-senior dan adik-adik stambuk 2011, 2012, dan 2013.

8. Rekan seperjuangan kost Pembangunan 70, Anna Natalia, Meirini Lingga, Nova Simatupang, Vera Nova Silalahi, dan Evi Sitohang, atas dukungan, motivasi, dan gelak tawa yang selalu diberikan.

9. Adik-adik, Togi Andreas Simanjuntak dan Tommy Ferdinand Simanjuntak, keluarga besar Simanjuntak dan Manullang yang memberikan doa dan dukungan lepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

10. Teristimewa kepada kedua orang tua penulis Bapak Ir. Rikson Simanjuntak dan Ibu Roma Manullang atas doa, nasehat, bimbingan, dan dukungan moril dan materiil, yang menjadi sumber motivasi bagi penulis untuk tetap semangat dalam perkuliahan dan penulisan skripsi ini.

Mengingat keterbatasan dan kemampuan yang ada, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan, Untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca. Damai sejahtera dari Tuhan senantiasa menyertai kita.

(6)

(7)

METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENGOPTIMALAN

JUMLAH

ABSTRAK

Permasalahan pengoptimalan merupakan permasalahan yang sering dihadapi oleh setiap perusahaan, instansi, atau industri. Penelitian ini membahas aplikasi metode

branch and bound dalam pengoptimalan jumlah truk pengangkut sampah. Dinas

Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang tidak memiliki metode tertentu yang pasti dalam menentukan jumlah truk yang beroperasi. Oleh karena itu, perlu diteliti apakah jumlah truk yang beroperasi selama ini sudah optimal atau belum. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode branch and bound. Penelitian ini ditinjau berdasarkan jumlah bahan bakar yang digunakan, jumlah ritasi, jumlah truk, dan kuota berat sampah tiap truk. Hasil penelitian diperoleh bahwa jumlah masing-masing truk (truk arm roll, dump truck, truk kayu, truk kecamatan, truk dinas pasar, truk swasta dan LSM) adalah 21, 16, 4, 6, 7, dan 6 buah truk. Dengan penghematan biaya bahan bakar sebesar Rp160.000,00 per hari.

(8)

BRANCH AND BOUND METHOD IN OPTIMIZING THE

AMOUNT OF TRASH TRANSPORTATION TRUCK

(Study Case: Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang)

ABSTRACT

The problem of optimization frequently is a problem that happened in some companies, instances, or industries. This research works through the application of branch and bound method in optimizing the amount of trash transportation truck. Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang does not have a specific method to determine the amount of trash transportation truck that operates every day. Therefore, it would need to make a research about this case, the amount of trash transportation up till now has been optimum or not. The method that is used to solve this case is branch and bound method. The research is observed by the amount of the fuel of each truck, the amount of points, the amount oh the trucks, and the amount of haulage of each truck. The outcome of this research shows that the amount of each truck (arm roll truck, dump truck, wood truck, sub district truck, market service truck, private and LSM truck) is 21, 16, 4, 6, 7, and 6 trucks. And the cost-saving of fuel cost is Rp160.000,00 per day.

(9)

METODE BRANCH AND BOUND DALAM PENGOPTIMALAN

JUMLAH

ABSTRAK

Permasalahan pengoptimalan merupakan permasalahan yang sering dihadapi oleh setiap perusahaan, instansi, atau industri. Penelitian ini membahas aplikasi metode

branch and bound dalam pengoptimalan jumlah truk pengangkut sampah. Dinas

Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang tidak memiliki metode tertentu yang pasti dalam menentukan jumlah truk yang beroperasi. Oleh karena itu, perlu diteliti apakah jumlah truk yang beroperasi selama ini sudah optimal atau belum. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode branch and bound. Penelitian ini ditinjau berdasarkan jumlah bahan bakar yang digunakan, jumlah ritasi, jumlah truk, dan kuota berat sampah tiap truk. Hasil penelitian diperoleh bahwa jumlah masing-masing truk (truk arm roll, dump truck, truk kayu, truk kecamatan, truk dinas pasar, truk swasta dan LSM) adalah 21, 16, 4, 6, 7, dan 6 buah truk. Dengan penghematan biaya bahan bakar sebesar Rp160.000,00 per hari.

(10)

BRANCH AND BOUND METHOD IN OPTIMIZING THE

AMOUNT OF TRASH TRANSPORTATION TRUCK

(Study Case: Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang)

ABSTRACT

The problem of optimization frequently is a problem that happened in some companies, instances, or industries. This research works through the application of branch and bound method in optimizing the amount of trash transportation truck. Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang does not have a specific method to determine the amount of trash transportation truck that operates every day. Therefore, it would need to make a research about this case, the amount of trash transportation up till now has been optimum or not. The method that is used to solve this case is branch and bound method. The research is observed by the amount of the fuel of each truck, the amount of points, the amount oh the trucks, and the amount of haulage of each truck. The outcome of this research shows that the amount of each truck (arm roll truck, dump truck, wood truck, sub district truck, market service truck, private and LSM truck) is 21, 16, 4, 6, 7, and 6 trucks. And the cost-saving of fuel cost is Rp160.000,00 per day.

(11)

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam suatu instansi atau industri maupun perusahaan, adanya penentuan jumlah produksi yang tepat merupakan suatu hal yang sangat penting. Sistem penentuan jumlah mesin yang beroperasi yang tepat dapat meningkatkan efektivitas serta mengurangi biaya operasional atau biaya produksi suatu perusahaan atau industri. (Applegate dan Cook, 1991).

Menentukan jumlah mesin beroperasi yang tepat sangat sulit untuk dilakukan, baik secara teori maupun prakteknya di lapangan. Hal ini disebabkan oleh begitu banyaknya faktor yang harus diperhatikan. Secara umum, permasalahan penentuan jumlah mesin yang dihadapi oleh suatu instansi atau perusahaan adalah terbatasnya waktu untuk menyelesaikan proses produksi atau kegiatan, sementara instansi atau perusahaan memiliki keterbatasan dalam hal tenaga kerja, mesin, dan kapasitas produksi. Oleh karena itu, pengoptimalan jumlah mesin diperlukan untuk mengatasi keterbatasan yang dimiliki instansi atau perusahaan, sehingga dapat meminimumkan waktu penyelesaikan produksi atau kegiatan secara keseluruhan.

(12)

Branch and Bound diawali dengan menyelesaikan relaksasi program linier

dari suatu pemrograman linier. Jika semua nilai dari variabel keputusan solusi optimum sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimum. Jika tidak, maka akan dilakukan pencabangan (branching) dan penambahan batas (bounding). Sehingga suatu proses penyelesaian yang rumit dapat diuraikan menjadi beberapa bagian proses penyelesaian yang lebih sederhana dan lebih efisien. Untuk itulah penulis memilih judul, “Metode Branch and Bound dalam Pengoptimalan Penentuan Jumlah Truk Pengangkut Sampah (Studi Kasus Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang)”.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang sering muncul dalam penentuan jumlah truk yang beroperasi adalah waktu yang tidak ideal, banyaknya mesin atau truk yang beroperasi. Sehingga, pada penelitian ini, penulis akan mencari solusi optimal penentuan jumlah truk pengangkut sampah dengan menggunakan metode Branch and

Bound.

1.3 Batasan Masalah

Dalam tulisan ini penulis hanya membatasi permasalahannya pada pembahasan tentang masalah penjadwalan truk pengangkut sampah yang dibatasi oleh banyaknya jumlah truk, kapasitas sampah, banyak ritasi truk, dan bahan bakar yang digunakan setiap harinya. Metode yang digunakan adalah metode Branch

and Bound dalam persoalan integer programming. Setiap penghitungan yang

(13)

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan solusi optimal penentuan truk pengangkut sampah pada Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang dengan menggunakan metode Branch and Bound.

1.5 Kontribusi Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Melihat sejauh mana efektivitas metode Branch and Bound dalam masalah pengoptimalan, sehingga dapat diambil sebuah keputusan yang tepat.

2. Solusi yang diperoleh diharapkan dapat menjadi rujukan bagi Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang dalam pengambilan keputusan.mengenai permasalahan pengoptimalan.

3. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi

bacaan

untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang akan

melakukan penelitian serupa.

1.6 Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori maka penulis mengambil beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini, antara lain:

Baker (1974) mengatakan bahwa penjadwalan merupakan alokasi dari sumber daya terhadap waktu untuk menghasilkan sebuah kumpulan pekerjaan. Penjadwalan dibutuhkan untuk memproduksi order dengan pengalokasian sumber daya yang tepat, seperti mesin yang digunakan, jumlah operator yang bekerja, urutan pengerjaan part, dan kebutuhan material. Dengan pengaturan penjadwalan yang efektif dan efisien, perusahaan akan dapat memenuhi order tepat pada due

(14)

Dalam buku P. Siagian (2006) dijelaskan bahwa metode Branch and

Bound mula – mula dipakai oleh Land and Doig untuk menyelesaikan program

bilangan cacah. Ternyata cara ini tidak saja hanya dapat digunakan untuk program bilangan cacah, tetapi juga dapat digunakan untuk program bilangan Matematika yang lain.

Dalam jurnalnya, Angeline (2010) dijelaskan bahwa Metode Branch and

Bound sering digunakan untuk menyelesaikan suatu permasalahan program

integer karena hasil yang diperoleh dalam penyelesaian optimal lebih teliti dan lebih baik dari metode lain. Metode ini dikatakan lebih teliti dan lebih baik dari metode lain karena hasil optimal yang diperoleh biasanya lebih dari satu sehingga penulis dapat menentukan mana hasil yang paling optimal dari hasil-hasil yang telah diperoleh tersebut.

Dalam jurnalnya, Jeffrey Setiawan Sutanto, Ronny Hendrawan, Yosep Kurniawan (2010) dijelaskan bahwa Branch and Bound adalah suatu prosedur yang paling umum untuk mencari solusi optimal pada masalah optimasi kombinatorial seperti masalah penjadwalan. Di dalam algoritma Branch and

Bound, terdapat tiga buah bagian utama, yaitu : ekspresi batas bawah (Lower

Bound (LB)), strategi pencarian dan pencabangan (branching). Di dalam prosedur

ini, suatu masalah dipecah menjadi beberapa submasalah yang merepresentasikan pembagian kerja secara parsial. Algoritma Branch and Bound dipresentasikan untuk menyelesaikan masalah minimisasi waktu penyelesaian maksimum pada mesin paralel tidak berelasi dengan batasan kelayakan job preemption (interupsi yang dilakukan pada pekerjaan yang sedang diproses saat itu, untuk melakukan pekerjaan yang lain) tidak diperbolehkan. Suatu kostumisasi batas bawah (Lower

Bound), strategi pencarian dan pencabangan dikembangkan untuk algoritma

Branch and Bound ini. Faktor kelayakan mesin juga dimasukkan untuk

(15)

dalam waktu yang masih masuk akal. Untuk mengevaluasi performansi dari algoritma ini, sejumlah simpul diperiksa dengan suatu ukuran performansi. Performansi dari algoritma Branch and Bound meningkat seiring dengan meningkatnya faktor kelayakan.

Heri Susanto dan Bayu Saputra (2011) dalam jurnalnya menyebutkan bahwa berbagai algoritma dan metode telah diteliti dan dikembangkan oleh pakar untuk memecahkan permasalahan otomatisasi penjadwalan. Salah satu algoritma

yang dikembangkan adalah algoritma Branch and Bound. Melihat pada

kemampuan algoritma Branch and Bound dalam memecahkan permasalahan

penjadwalan dan kebutuhan akan pengaksesan jadwal yang mudah oleh

mahasiswa dan dosen, maka metode ini sangat efektif jika digunakan untuk

permasalahan pengambilan keputusan yang berhubungan dengan penjadwalan.

F. S. Hillier dan G. J. Lieberman (2005) dalam bukunya menguraikan tentang konsep utama metode Branch and Bound adalah dengan membagi dan menyelesaikan. Pembagian atau percabangan dilakukan dengan membagi keseluruhan penyelesaian layak dari suatu masalah optimasi menjadi beberapa submasalah yang lebih kecil. Penyelesaian atau pembatasan dilakukan dengan memberi batasan terhadap penyelesaian optimal pada suatu anak percabangan (node).

1.7 Metodologi Penelitian

(16)

1. Melakukan identifikasi permasalahan di instansi terkait.

2. Mengumpulkan dan menyusun studi literatur yang berkaitan dengan masalah yang telah diidentifikasi.

3. Merumuskan masalah, yaitu perlunya perancangan suatu sistem penjadwalan yang efisien.

4. Menentukan tujuan, yaitu memperoleh suatu sistem penjadwalan yang lebih baik untuk meminimumkan total waktu pengerjaan untuk menyelesaikan semua pekerjaan.

5. Mengidentifikasi variabel yang berkaitan

6. Membuat formulasi model matematis dari permasalahan, lalu dilakukan proses penghitungan dengan menggunakan metode Branch and Bound. 7. Membandingkan dan menganalisis solusi jadwal yang baru dengan jadwal

yang lama, dimana faktor pembanding adalah total waktu pengerjaan seluruh job.

(17)

Bab 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program Linier

Programasi Linier (Linear Pogramming) merupakan suatu model optimasi persamaan linier berkenaan dengan kendala-kendala linier yang dihadapinya. Model ini dikembangkan oleh George B. Dantzig, seorang matematisian Amerika Serikat, pada tahun 1947. Benih-benih model ini sesungguhnya sudah ditemukan jauh sebelumnya. Seorang matematisian Rusia bernama L.V. Kantotrovich memperkenalkan penerapan programasi linier dalam bidang produksi pada tahun 1939. Lebih dari seabad sebelumnya, pada tahun 1826, Fourier yang matematisian Perancis juga telah merumuskan masalah programasi linier. Akan tetapi, baru setelah Dantzig mengembangkan dan mempopulerkannya, model ini memperoleh perhatian yang berarti. Dantzig pulalah yang dikenal dunia sebagai “bapak programasi linier”. Masalah programasi linier berarti adalah masalah pencarian nilai-nilai optimum (maksimum atau minimum) sebuah fungsi linier pada suatu sistem atau sehimpun kendala linier. Fungsi linier yang hendak dicari nilai optimumnya, berbentuk sebuah persamaan, disebut fungsi tujuan. Sedangkan fungsi-fungsi linier yang harus terpenuhi dalam optimasi fungsi tujuan tadi, dapat berbentuk persamaan maupun pertidaksamaan, disebut dengan fungsi kendala. (Dumairy, 1999:343)

(18)

akan ditetapkan sebagai keputusan akhir dan siap untuk dilaksanakan. (P. Siagian, 1987).

Dalam kehidupan sehari-hari, linear programming merupakan bagian yang sangat penting dalam area matematika yang disebut teknik optimasi. Linear

programming umumnya diaplikasikan dalam permasalahan yang dapat

dimodelkan ke dalam suatu model matematika, misalnya dalam mencari keuntungan suatu usaha, pengoptimalan persediaan, juga dalam beberapa masalah industri maupun ekonomi. Adakalanya dalam situasi tertentu solusi yang diinginkan haruslah dalam bilangan bulat, misalnya pada perusahaan manufaktur, perusahaan tidak bisa memproduksi barang setengah, sepertiga, ataupun seperempat jadi. Masalah ini disebut dengan integer linear programming (ILP).

2.1.1 Bentuk Umum Model Programasi Linier

Sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya, masalah programasi linier tak lain adalah masalah optimasi bersyarat, yakni pencarian nilai maksimum (maksimisasi) atau pencarian nilai minimum (minimisasi) suatu fungsi tujuan berkenaan dengan keterbatasan-keterbatasan atau kendala yang harus dipenuhi. Masalah-masalah tersebut secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut (Dumairy, 1999):

a. Masalah Maksimasi Maksimumkan fungsi tujuan

Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

terhadap kendala-kendala

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn≤ b2

(19)

.

amix1 + am2x2 + ... + amnxn≤ bm

di mana:

xj≥ 0 j = 1, 2, ..., n

Ringkasnya, maksimumkan terhadap

xj≥ 0 i = 1, 2, ..., m

b. Masalah Minimasi Minimumkan fungsi tujuan

Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

terhadap kendala-kendala

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn≥ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn≥ b2

. . .

amix1 + am2x2 + ... + amnxn≥ bm

di mana:

xj≥ 0 j = 1, 2, ..., n

Ringkasnya, minimumkan terhadap

xj≥ 0 i = 1, 2, ..., m

x

c

j n j j z

∑

= = 1

b

x

a

j i n j ij ≤

∑

₌₁

x

c

j n j j z

∑

= = 1

b

x

a

j j n

(20)

2.1.2 Karakteristik Linear Programming

Karakteristik-karakteristik dalam linear programming yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik yaitu:

a. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan keputusan-keputusan yang akan dibuat.

b. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang berupa fungsi maksimum atau minimum.

c. Kendala

Kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian linear

programming yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam

(21)

2.2 Integer Linear Programming

Integer Linier Programming atau program bilangan cacah adalah suatu bentuk

dari program matematikal. Ia adalah suatu kasus khusus dari program linier di mana semua (atau beberapa) variabel dibatasi sebagai bilangan cacah. Kalau semua variabel dibatasi sebagai bilangan cacah, problemanya disebut sebagai problem program bilangan cacah murni dan kalau beberapa variabel tertentu dibatasi sebagai bilangan cacah sedang yang lain tidak, problemanya disebut problem program bilangan cacah campuran. Suatu bentuk khusus dari program bilangan cacah ialah suatu kasus di mana variabel dibatasi harus berharga nol atau satu. Kalau variabel dibatasi seperti ini, maka problemnya disebut problem program nol-satu (0-1) (P. Siagian, 1987).

2.2.1 Bentuk Umum Integer Linear Programming Maksimumkan:

Dengan kendala: i = 1, 2, ..., m

xj≥ 0 j = 1, 2, ..., n

xj merupakan bilangan cacah (untuk beberapa atau semua j = 1,2, ..., n).

Problema ini disebut sebagai integer linear programming (Stephen P. Bradley, Arnoldo C. Hax, Thomas L. Magnanti, 1977).

2.3 Metode Penyelesaian Masalah Integer Programming

Tampaknya cukup untuk mendapatkan solusi bulat dari masalah linear programming, dengan menggunakan metode simpleks biasa dan kemudian membulatkan nilai-nilai pecah solusi optimum. Bukan tugas mudah untuk membulatkan nilai-nilai pecah variabel basis yang menjamin tetap memenuhi semua kendala dan tidak menyimpang cukup jauh dari solusi bulat yang tepat. Akibatnya diperlukan prosedur yang sistematis untuk mendapatkan solusi bulat

∑

₌n j j j

x

c

1

b

x

a

j i n

j

ij ≤

(22)

optimum terhadap masalah itu. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah integer programming antara lain:

1. Metode Pendekatan Pembulatan 2. Metode Pendekatan Grafik 3. Metode Branch and Bound

2.3.1 Metode Pendekatan Pembulatan

Suatu pendekatan yang sederhana dalam menyelesaikan masalah integer

programming adalah dengan membulatkan nilai variabel keputusan yang telah

diperoleh pada penyelesaian linear programming. Pendekatan ini mudah dan praktis dalam usaha, waktu, dan biaya yang diperlukan untuk memperoleh solusi. Pendekatan pembulatan merupakan cara yang sering digunakan untuk masalah

integer programming apabila biaya perhitungan sangat tinggi atau untuk masalah

yang memiliki nilai-nilai solusi variabel keputusan relatif besar.

Namun demikian sebab utama kegagalan pendekatan ini adalah bahwa solusi yang diperoleh mungkin bukan solusi integer optimum yang sesungguhnya. Dengan kata lain, solusi pembulatab dapat lebih jelek dibandingkan solusi integer optimum yang sesungguhnya atau mungkin merupakan solusi tak layak.

Tiga masalah berikut disajikan untuk mengilustrasikan prosedur pembulatan: Masalah 1:

Maksimumkan Kendala

Masalah 2:

Minimumkan Kendala

(23)

Masalah 3:

Maksimumkan

Kendala 4

Perbandingan antara solusi dengan metode simpleks tanpa pembatasan bilangan bulat, pembulatan ke bilangan bulat terdekat dan solusi integer optimum yang sesungguhnya untuk ketiga masalah tersebut adalah:

Tabel 2.1 Perbandingan dengan menggunakan metode simpleks, pembulatan terdekat, dan solusi integer optimum sesungguhnya

Masalah pertama adalah masalah maksimasi, di mana solusi pembulatan menghasilkan keuntungan 680, hanya lebih kecil 20 dibanding yang dihasilkan solusi bulat optimum 700. Masalah kedua adalah masalah minimasi di mana solusi pembulatan adalah tak layak. Ini menunjukkan bahwa meskipun pendekatan adalah sederhana, namun kadang-kadang menyebabkan solusi tak

Masalah Solusi dengan Metode simpleks

Dengan pembulatan

terdekat

Solusi integer optimum sesungguhnya 1

2

(24)

layak. Untuk mencegah ketidaklayakan, nilai solusi simpleks dalam masalah minimasi harus dibulatkan ke atas. Sebaliknya, pada masalah maksimasi nilai solusi simpleks semestinya dibulatkan ke bawah. Contohnya, pada masalah kedua jika solusi simpleksnya dibulatkan ke atas akan diperoleh dan dan merupakan solusi layak. Juga pada masalah ketiga, jika solusi simpleksnya dibulatkan ke bawah akan diperoleh dan dan merupakan solusi layak.

Nilai fungsi tujuan melalui simpleks tanpa pembatasan bilangan bulat akan selalu lebih baik dibanding solusi integer optimum karena terletak pada titik pojok luar dari batas ruang solusi layak. Suatu metode yang serupa dengan pendekatan pembulatan adalah prosedur coba-coba (trial and error). Dengan menggunakan cara ini, pengambil keputusan mengamati solusi integer dan memilih solusi yang mengoptimumkan nilai fungsi tujuan. Cara ini sangat tidak efektif jika masalahnya melibatkan sejumlah besar kendala dan variabel. Terlebih lagi, memeriksa kelayakan setiap solusi yang dibulatkan akan banyak memakan waktu.

2.3.2 Metode Pendekatan Grafik

Masalah integer programming yang melibatkan dua variabel dapat diselesaikan dengan metode pendekatan grafik. Metode ini identik dengan metode grafik yang biasa digunakan dalam linear programming. Metode grafik relatif lebih mudah untuk menyelesaikan masalah integer programming dua variabel yaitu dengan menggambar grafik di atas kertas grafik kemudian menggambarkan sekumpulan titik-titik integer dalam ruang solusi layak. Masalah berikut akan diselesaikan dengan pendekatan grafik.

(25)

Model ini serupa dengan model linear programming biasa. Perbedaannya terletak pada kendala terakhir yang menginginkan solusi bernilai non negatif integer.

Solusi grafik untuk masalah ini ditunjukkan pada gambar di bawah. Ruang solusi layak adalah OABC. Solusi optimum masalah linear programming ditunjukkan pada titik B, dengan dan serta . Untuk mencari solusi intger optimum masalah ini, garis Z (slope = -9/10) digeser secara sejajar dari titik B menuju titik asal. Solusi integer optimum adalah titik integer pertama yang bersinggungan dengan garis Z. Titik itu adalah A, dengan

(26)

2.4 Branch and Bound

Branch and Bound pertama kali digunakan oleh A. Land dan G. Doig untuk

menyelesaikan persoalan program bilangan cacah murni dan campuran. Kemudian pada tahun 1965, E. Balas mengembangkan algoritma tambahan untuk menyelesaikan ILP dengan bilangan biner murni (pure binary) atau variabel nol-satu. Penghitungan algoritma tambahan ini sangat sederhana (umumnya, penambahan dan pengurangan) yang dapat menghasilkan solusi penecahan untuk problema ILP. Akan tetapi, algoritma tambahan ini gagal untuk menghasilkan keuntungan penghitungan yang diharapkan. Selain itu, algoritma tersebut yang pada awalnya tampak tidak berhubungan dengan metode branch and bound, telah ditunjukkan, tetapi bukan merupakan problema khusus algoritma umum dari Land dan Doig. (Hamdy A. Taha, 2007)

Metode branch and bound adalah suatu prosedur yang paling umum untuk mencari solusi optimal dari masalah PLI. Terdapat dua konsep dasar dalam algoritma branch and bound .

a. Branch

Branching (pencabangan) adalah proses membagi permasalahan menjadi

subproblemsubproblem yang mungkin mengarah ke solusi.

b. Bound

Bounding (pembatasan) adalah suatu proses untuk mencari atau

(27)

2.4.1 Prosedur Branch and Bound

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimasi dengan metode branch and bound:

1. Formulasi permasalahan dalam model matematika, tentukan fungsi tujuan dan kendala.

2. Ubah model matematika tersebut ke dalam bentuk standar.

3. Selesaikan model yang baru dengan menggunakan metode simpleks.

4. Jika hasil yang ditemukan sudah berupa bilangan bulat, maka solusi optimum sudah didapatkan. Akan tetapi, apabila hasil yang didapat belum berupa bilangan bulat, maka akan dilakukan pencabangan.

5. Lakukan metode simpleks untuk mengoperasikan linear programming dengan penambahan kendala yang baru dan tetapkan batas untuk setiap iterasi yang dilakukan.

(28)

Bab 3

PEMBAHASAN

3.1 Pengumpulan Data

3.1.1 Gambaran Umum Instansi

Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang merupakan suatu institusi pemerintahan yang bergerak di bidang kebersihan. Dinas Kebersihan dan Pertamanan inilah yang mengangkut seluruh sampah dan bertugas untuk menjaga kebersihan dan keasrian kota Padang. Mereka bekerja setiap hari dari pagi sampai malam hari. Dengan dibantu sejumlah truk pengangkut sampah, Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang mengangkut sampah yang telah dikumpulkan pada titik tertentu.

Setiap harinya, truk-truk yang ada di Dinas Pertamanan Kota Padang berangkat untuk mengangkut sampah. Dengan tiga orang yang bertugas mengangkut sampah dan seorang supir, setiap truk berangkat ke tempat pengangkutan sampah.

3.1.2 Data Truk Pengangkut Sampah, Bahan Bakar, Jumlah Ritasi, Kuota Berat Sampah

(29)

Tabel 3.1 Data Truk Pengangkut Sampah

NO. NAMA TRUK JUMLAH

1. ARM ROLL 23

2. DUM TRUCK 16

3. TRUK KAYU 4

4. TRUK KECAMATAN 6

5. TRUK DINAS PASAR 7

6. TRUK SWASTA DAN LPM 6

Tabel 3.2 Data Ritasi Tiap Truk

NO. TIPE TRUK JUMLAH RITASI

PER HARI

1. ARM ROLL 92

2. DUM TRUCK 25

3. TRUK KAYU 4

4. TRUK KECAMATAN 6

5. TRUK DINAS PASAR 28

6. TRUK SWASTA DAN LPM 12

TOTAL 167

(30)

3.2 Pengolahan Data

Pengolahan data dilakukan menentukan variabel yang kemudian akan dimodelkan dalam fungsi tujuan dan kendala, setelah itu diubah ke bentuk standar.

Dalam kasus ini, terdapat enam variabel, yaitu:

• Arm Roll (x1)

• Dump Truck (x2)

• Truk Kayu (x3)

• Truk Kecamatan (x4) • Truk Dinas Pasar (x5) • Truk Swasta dan LSM (x6)

Dan berdasarkan kasus tersebut, maka fungsi tujuannya adalah: Maksimumkan: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

Dan kendalanya adalah:

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

Bahan bakar: 15x1 + 10x2 + 10x3 + 10x4 + 15x5 + 10x6≤ 800 Kuota berat sampah: 14.436x1 + 31.795x2 + 4.630x3 + 2.497x4 + 14.443x5

+ 3.703x6 ≤ 616.021 Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

(31)

x6 ≤ 6

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

Fungsi tujuan dan kendala untuk kasus ini diubah dalam bentuk standar menjadi:

Fungsi tujuan : Maksimumkan: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Kendala:

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 + x7 = 167

Bahan bakar: 15x1 + 10x2 + 10x3 + 10x4 + 15x5 + 10x6 + x8 = 800 Kuota berat sampah: 14.436x1 + 31.795x2 + 4.630x3 + 2.497x4 + 14.443x5

+ 3.703x6 + x9 = 616.021 Jumlah truk: x1 + x10 = 23

x2 + x11 = 16

x3 + x12 = 4

x4 + x13 = 6

x5 + x14 = 7

x6 + x15 = 6

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6) dan bilangan bulat

(32)

[image:32.595.65.560.110.711.2]

Tabel 3.5 Iterasi 0

x1 x2 x3 x4 x5 x6

Tabel 3.6 Iterasi 1

[image:32.595.68.576.121.280.2]

x1 x2 x3 x4 x5 x6

[image:32.595.67.572.337.500.2]

(33)

[image:33.595.77.574.124.274.2]

[image:33.595.75.575.347.512.2]

x1 x2 x3 x4 x5 x6

[image:33.595.78.576.583.734.2]

(34)

[image:34.595.76.570.119.261.2]

x1 x2 x3 x4 x5 x6

[image:34.595.71.575.336.469.2]

(35)

[image:35.595.104.531.76.194.2]

Gambar 3.1 Hasil Penghitungan dengan POM-QM Dengan menggunakan software POM-QM didapat hasil:

x1 = 21,25

x2 = 16

x3 = 4

x4 = 6

x5 = 7

x6 = 6

Dari hasil tersebut, terdapat hasil yang belum berupa bilangan bulat, yaitu:

x1 = 21,25, sehingga dilakukan proses branching (pencabangan).

x1 = 21,25

Sehingga, muncul suatu model matematika baru yang memiliki kendala tambahan menjadi:

o Untuk x1≤ 21

Maksimumkan: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Dan kendalanya adalah:

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

x1≤ 21

(36)

+ 3.703x6 ≤ 616.021 Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

x5≤ 7

x6 ≤ 6

x1≤ 21

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

Dengan menggunakan software POM-QM, didapat hasil:

x1 = 21

x2 = 16

x3 = 4

x4 = 6

x5 = 7

[image:36.595.148.544.427.718.2]

x6 = 6

(37)

o Untuk x1≥ 22

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

+ 3.703x6 ≤ 616.021 Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

x5≤ 7

x6 ≤ 6

x1≥ 22

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

x1 = 22

x2 = 16

x3 = 4

x4 = 6

x5 = 6,25

(38)

[image:38.595.113.513.53.164.2]

Gambar 3.3 Hasil Penghitungan dengan POM-QM

Berikut adalah diagram node pencabangan berdasarkan proses penghitungan di atas.

o Untuk x5≤ 6

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

Bahan bakar: 15x1 + 10x2 + 10x3 + 10x4 + 15x5 + 10x6≤ 800

1

x1 = 21,25; x2 =16; x3 = 4; x4 = 6; x5 = 7; x6

= 6

2

x1≤ 21

3

x1≥ 22

4

x5≤ 6

5

(39)

Kuota berat sampah: 14.436x1 + 31.795x2 + 4.630x3 + 2.497x4 + 14.443x5 + 3.703x6 ≤ 616.021

Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

x5≤ 7

x6 ≤ 6

x1≥ 22

x5 ≤ 6

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

x1 = 22,25

x2 = 16

x3 = 4

x4 = 6

x5 = 6

[image:39.595.256.290.146.383.2]

x6 = 6

(40)

o Untuk x5 ≥ 7

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

+ 3.703x6 ≤ 616.021 Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

x5≤ 7

x6 ≤ 6

x1≥ 22

x5≥ 7

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

x1 = 22

x2 = 16

x3 = 4

x4 = 6

x5 = 7

(41)

[image:41.595.122.521.87.199.2]

Gambar 3.5 Hasil Penghitungan dengan POM-QM

o Untuk x1≤ 22

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

Bahan bakar: 15x1 + 10x2 + 10x3 + 10x4 + 15x5 + 10x6≤ 800

1

x1 = 21,25; x2 =16; x3 = 4; x4 =

6; x5 = 7; x6 = 6

2

x1≤ 21

3

x1≥ 22

4

x5 ≤ 6

5

x5 ≥ 7

6

x1≤ 22

7

x1≥ 23

8

x6≥ 4

9

(42)

Kuota berat sampah: 14.436x1 + 31.795x2 + 4.630x3 + 2.497x4 + 14.443x5 + 3.703x6 ≤ 616.021

Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

x5≤ 7

x6 ≤ 6

x1≥ 22

x5 ≤ 6

x1≤ 22

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

[image:42.595.256.291.144.400.2]

Dengan menggunakan software POM-QM, didapat hasil: Tidak ada solusi layak

(43)

o Untuk x1 ≥ 23

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

+ 3.703x6 ≤ 616.021 Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

x5≤ 7

x6 ≤ 6

x1≥ 22

x5 ≤ 6

x1 ≥ 23

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

(44)

o Untuk x6 ≤ 4

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

+ 3.703x6 ≤ 616.021 Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

x5≤ 7

x6 ≤ 6

x1≥ 22

x5≥ 7

x6 ≤ 4

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

(45)

o Untuk x6 ≥ 5

Ritasi: 4x1 + 2x2 + x3 + x4 + 4x5 + 2x6 ≤ 167

+ 3.703x6 ≤ 616.021 Jumlah truk: x1 ≤ 23

x2 ≤ 16

x3 ≤ 4

x4 ≤ 6

x5≤ 7

x6 ≤ 6

x1≥ 22

x6≥ 5

di mana xi≥ 0 (i=1, 2, ..., 6)

(46)

Sehingga, diagram node pencabangan menjadi:

1

x1 = 21,25; x2 =16; x3 = 4; x4 =

6; x5 = 7; x6 = 6

2

x1≤ 21

3

x1≥ 22

4

x5 ≤ 6

5

x5 ≥ 7

6

x1≤ 22

7

x1≥ 23

8

x6≥ 4

9

x6≥ 5

TIDAK ADA SOLUSI LAYAK

x1 =21, x2 = 16, x3 = 4, x4 = 6, x5 = 7,

(47)

Dari diagram di atas dapat diketahui, bahwa solusi atau penyelesaian dari kasus ini adalah pada node 2, dengan hasil:

x1 atau jumlah Arm Roll = 21

x2 atau jumlah Dump Truck = 16

x3 atau jumlah Truk Kayu = 4

x4 atau jumlah Truk Kecamatan = 6

x5 atau jumlah Truk Dinas Pasar = 7

x6 atau jumlah Truk Swasta dan LSM = 6

Jumlah yang didapat berbeda dengan kenyataan di lapangan selama ini. Perbedaannya terletak pada jumlah truk Arm Roll yang beroperasi. Sebelum dilakukan proses penghitungan, jumlah truk Arm Roll yang beroperasi adalah 23 truk. Setelah dilakukan proses penghitungan, ternyata jumlah truk Arm Roll yang beroperasi adalah 21 truk.

Letak efisiensinya terdapat pada penghematan biaya bahan bakar yang dapat membantu Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang untuk memperkecil biaya.

Jumlah bahan bakar awal = 15x1 + 10x2 + 10x3 + 10x4 + 15x5 + 10x6 = 15 (23) + 10 (16) + 10 (4) + 10(6) + 15 (7) + 10 (6)

= 345 + 160 + 40 + 60 + 105 + 60 = 770 liter per hari

(48)

Jumlah bahan bakar akhir = 15x1 + 10x2 + 10x3 + 10x4 + 15x5 + 10x6

= 15 (21) + 10 (16) + 10 (4) + 10(6) + 15 (7) + 10 (6)

= 315 + 160 + 40 + 60 + 105 + 60 = 740 liter

Total biaya bahan bakar akhir = 740 liter X Rp 5.500,00 = Rp 4.070.000,00 per hari

Selisih biaya = Rp 4.235.000,00 - Rp 4.070.000,00 = Rp 160.000,00 per hari

Dari proses penghitungan tersebut, diketahui bahwa Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang akan menghemat biaya bahan bakar sebesar Rp 160.000,00 per hari.

(49)

[image:49.595.130.493.117.313.2]

Gambar 3.10 Diagram Perbedaan Jumlah Truk Awal dan Setelah Penghitungan 0 5 10 15 20 25 Ju m lah tr_uk

1 2 3 4 5 6

Je nis truk

[image:49.595.126.495.378.650.2]

jumlah truk awal jumlah truk baru

Gambar 3.11 Diagram Perbedaan Biaya Bahan Bakar Awal dan Setelah Penghitungan 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000 1600000 1800000 2000000 Biaya bahan bak ar per hari

1 2 3 4 5 6 7

Jenis truk

(50)

[image:50.595.131.491.115.270.2]

Gambar 3.12 Diagram Efisiensi Biaya Bahan Bakar per Hari

Efisiensi Biaya Bahan Bakar per Hari

0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000

1 2 3

Biaya Bahan Bakar

Dengan menggunakan metode Branch and Bound, permasalahan ini dapat diselesaikan dengan cepat dan efisien. Prosesnya sistematis dan nilai yang didapatpun bernilai bulat, sehingga penghitungan dapat dengan mudah dilakukan. Metode Branch and Bound diharapkan dapat menyelesaikan suatu problem program integer dengan penyelesaian optimal yang lebih teliti dan lebih baik dari metode lain.

(51)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 KESIMPULAN

Berdarkan uraian pada bab-bab sebelumnya dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Jumlah truk yang beroperasi menggunakan metode branch and bound berbeda dengan jumlah truk yang beroperasi pada Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang. Dari hasil perhitungan ada beberapa truk yang tidak harus beroperasi, sehingga dapat mengurangi biaya operasional Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang.

2. Terjadi efisiensi biaya pada biaya bahan bakar sebesar Rp 160.000,00 per hari, sehingga Dinas Kebersihan dapat menghemat pengeluaran untuk biaya bahan bakar truk.

4.2 SARAN

(52)

DAFTAR PUSTAKA

Angeline et al (2010). Saintia Matematika. Penerapan Metode Branch and Bound dalam Menentukan Jumlah Produksi Optimum pada PT. XYZ. Medan. Applegate, D., W. Cook. 1991. ORSA Journal on Computing. A Computational

Study of Job Shop Scheduling Problem.

Baker, Kenneth R. 1974. Introduction to Sequencing and Scheduling. New York: Wiley

Dumairy. 1991. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE

Hasan, Andi. 2008. Jurnal IPB. Algoritma Optimasi dan Aplikasinya. Bandung. Jeffrey et al (2010). Jurnal ITB. Algoritma Branch and Bound untuk Masalah

Penjadwalan pada Mesin Paralel. Bandung.

Hillier, F.S., G.J.Lieberman. 2012. Introduction to Operations Research I. McGraw-Hill: University of Southern California Press.

Saputra, Bayu dan Heri Susanto. 2011. Jurnal STMIK GI MDP. Penerapan algoritma Branch and Bound dalam Aplikasi Time Table Scheduling. Palembang.

Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesia.

(53)

Lampiran 1 Foto Truk Pengangkut Sampah Dinas Kebersihan dan Pertamanan Kota Padang

Truk Arm Roll

(54)

Truk Dump Truck

(55)

Truk Kayu

(56)