FEBRINA
G54104059
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ABSTRACT
FEBRINA. Tempo Effect on Total Fertility Rate and Life Expectancy. Supervised by SISWADI and HADI SUMARNO.
Fertility and mortality are the prime components in demography which used for making social and health policies. Total fertility rate and life expectancy are generally used as indicator of fertility and mortality. Those indicators are calculated by using period measures than cohort measures because period measures need more easy data and can describe event that happen now.
In this manuscript we discuss that there is a tempo effect on fertility and mortality which influence period total fertility rate and life expectancy. The tempo effect is caused by changing mean age of childbearing or changing mean age at death. There is also a quantum effect on the fertility could be caused by changing in number of fertility. Mean while on the mortality the quantum is fixed because mortality is not a recurrent event.
ABSTRAK
FEBRINA. Efek Tempo pada Angka Kelahiran Total dan Angka Harapan Hidup. Dibimbing oleh SISWADI dan HADI SUMARNO.
Kelahiran dan kematian meupakan komponen utama dalam demografi yang digunakan untuk membuat kebijakan sosial dan kesehatan. Angka kelahiran total dan angka harapan hidup biasanya digunakan sebagai indikator kelahiran dan kematian. Indikator tersebut sering dihitung menggunakan ukuran periode daripada kohort karena ukuran periode membutuhkan data yang lebih mudah dan dapat menggambarkan kejadian sekarang.
Pada karya tulis ini dibahas adanya efek tempo pada kelahiran dan kematian yang mempengaruhi angka kelahiran total dan angka harapan hidup periode. Efek tempo ini disebabkan oleh adanya perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan atau perubahan rata-rata umur seseorang meninggal. Pada kasus kelahiran juga terdapat efek kuantum akibat perubahan jumlah kelahiran yang terjadi pada suatu periode, sedangkan pada kematian tidak ada efek kuantum karena kematian bukan kejadian yang berulang.
EFEK TEMPO PADA ANGKA KELAHIRAN TOTAL DAN
ANGKA HARAPAN HIDUP
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
FEBRINA
G54104059
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Efek Tempo pada Angka Kelahiran Total dan Angka Harapan Hidup
Nama : Febrina
NRP :
G54104059
Menyetujui:
Pembimbing
I,
Pembimbing
II,
Dr. Ir. Siswadi, M.Sc.
Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.
NIP. 130 938 651
NIP. 131 430 804
Mengetahui:
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Drh. Hasim, DEA
NIP. 131 578 806
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat, berkah serta nikmat sehat sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan tak henti-hentinya kepada umatnya hingga akhir zaman.
Berbagai permasalahan dan kendala muncul selama penulisan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Bpk. Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. selaku Pembimbing I dan Bpk. Hadi Sumarno, MS. selaku Pembimbing II (terima kasih telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai), serta Bpk. Ir. N K Kutha Ardana, M.Sc. selaku dosen penguji (terima kasih atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan).
2. Semua dosen Departemen Matematika (terimakasih atas segala ilmu, kesabaran dan motivasinya selama ini) , serta staf Departemen Matematika : Bu Susi, Bu Ade, Mas Deny, Mas Yono, Mas Bono, Bu Marisi (terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika).
3. Ibu dan Papa (terima kasih atas segala usaha, doa, restu serta curahan kasih sayang yang telah kalian berikan hingga sekarang), Dayat (terima kasih atas doa dan motivasinya), Nova dan Risa (terima kasih atas persaudaraannya).
4. Papa dan Mama di Bandung (terima kasih atas segala usaha, doa, restu, nasehat serta curahan kasih sayang yang telah kalian berikan hingga sekarang), Mami dan Om Boy (terima kasih atas segala nasehat dan kesempatan penulis bisa melanjutkan pendidikan ke PTN), Ucu, Om Dan, Mama dan Pak Etek di Setiabudi, Mama dan Nenek di kampung , Bang Opik, Rani, Fauziah, dan sanak saudara lainnya (terima kasih atas nasehat dan motivasinya).
5. Mukti (terima kasih atas persahabatannya), Liam (terima kasih atas persahabatan dan laptopnya), Sifa (terima kasih atas pertemanan selama ini dan laptopnya), Janah (terima kasih atas pertemanan selama ini dan komputernya), Eli (terima kasih atas pertemanan selama ini), Teh Ami (terima kasih atas semua bantuan dan informasinya).
6. Tia (terima kasih telah mau menjadi teman sekamarku, bantuan dan motivasi), Tities dan Putri (terima kasih atas komputernya dan pertemanan selama ini), Fitrie, Ety, Yeyen, dan Tuping (terima kasih telah menemani hari-hariku dan memberikan motivasi selama ini).
7. Teman-teman Matematika 41: Dian (Terima kasih sudah mau jadi pembahasku), Mora (terima kasih sudah membantu menerjemahkan), Eci, Mahar, Ika, Armi, Sita, Didi, Liay, Intan, Ayu, Uwie, Maryam, Endit, Ria, Darwisah, Frederick, Nidia, Roma, Ani, Rita, Yaya, Triyadi, Racil, Great, Jali, Cumi, Dika, Kuren, Iboy, Mazid, Udin, Fariz, Aji, Ro’fah, Eva, Chuby, Mahnuri, Rina, Peni, Deni, Idris, Amin, Hendri, Yos (kalian semua adalah kisah warna-warni selama empat tahun di Departemen Matematika).
8. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis adalah semoga penulisan karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembacanya. Amin.
Bogor, Mei 2008
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 7 Februari 1987 di Bukittinggi. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara, anak dari pasangan Muliar dan Nuraini yang bertempat tinggal di Gulai Bancah 146, Bukittinggi 26122, Sumatra Barat.
Pada tahun 2002, penulis melanjutkan pendidikan ke jenjang pendidikan sekolah menengah umum di SMU Negeri 1 Bukittinggi selama 2 tahun. Pada tahun 2004, penulis lulus dari tingkat SMU dan melanjutkan pendidikan ke tingkat perguruan tinggi di Institut Pertanian Bogor (IPB). Penulis masuk IPB melalui jalur USMI dan mengambill program studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor untuk tingkat Strata 1 (S1). Selama menjalani pendidikan di IPB, penulis memperoleh kesempatan untuk mendapatkan beasiswa PPA pada tahun 2006-2007. Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain anggota Divisi Keputrian Himpro GUMATIKA (2005/2006) dan mengikuti Pelatihan Penyegaran Materi (2007).
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... ix
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan... 1
1.3 Bahan dan Metode ... 1
II LANDASAN TEORI ... 1
III PENGUKURAN EFEK TEMPO PADA ANGKA KELAHIRAN TOTAL DAN ANGKA HARAPAN HIDUP 3.1 Efek Tempo pada Kelahiran dan Kematian... 4
3.2 Kelahiran ... 5
3.2.1 Efek Tempo Kelahiran... 5
3.2.2 Uji Formula Kelahiran yang Disesuaikan Tempo ... 7
3.3 Kematian ... 7
3.3.1 Penghitungan Angka Harapan Hidup ... 8
3.3.2 Pemindahan Efek Tempo Kematian ... 9
IV STUDI KASUS DI AMERIKA SERIKAT... 10
4.1 Penentuan Angka Kelahiran Total yang Disesuaikan Tempo (TFR ( )* t ) ... 10
4.2Penghitungan Angka Harapan Hidup yang Disesuaikan Tempo (eo*( )t ). ... 10
V KESIMPULAN ... 14
DAFTAR PUSTAKA ... 15
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Tiga ilustrasi efek tempo pada kelahiran ... 5 2 TFR , TFR yang disesuaikan tempo dan besarnya efek tempo menggunakan angka
kelahiran menurut umur dan urutan kelahiran AS ... 10 3 AHH periode, AHH yang disesuaikan tempo dan besarnya efek tempo menggunakan fungsi laju kematian AS ... 13
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Pembuktian Persamaan (26)... 17
2 Tabel nilai TFR(t) wanita AS berumur 15-44 menurut urutan kelahiran per tahun 1970-2000 ... 18
3 Tabel rata-rata umur wanita AS saat melahirkan menurut urutan kelahiran per tahun 1970-2000 ... 19
4 Tabel nilai angka kelahiran total yang disesuaikan (TFR (t) ) AS menurut urutan i* kelahiran per tahun 1970-2000... 20
5 Tabel nilai TFR(t), TFR (t)* dan efek tempo kelahiran AS tahun 1970-2000 ... 21
6 Tabel nilai μ( , )a t AS per umur per tahun 1901-1991 dan μ( , )a t Model II ... 22
7 Penghitungan angka harapan hidup dengan menggunakan software mathematica 5.2 ... 24
8 Tabel nilai AHH periode (e t0( )), AHH yang disesuaikan tempo ( * 0 ( ) e t ) dan efek tempo kematian AS tahun 1901-1991 ... 27
Pertanyaan mengenai peristiwa demografi merupakan pusat perhatian dalam analisis demografi sebagai landasan untuk membuat kebijakan sosial dan kesehatan. Berapa banyak anak yang dimiliki suatu keluarga? Berapa usia wanita saat melahirkan? Berapa lama kita hidup?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, telah dikembangkan metode untuk mengukur sebaran peristiwa tersebut. Perhatian utama biasanya pada dua komponen pokok pada sebaran ini, yaitu jumlah (komponen kuantum) dan waktu (komponen tempo). Sebagai contoh, angka kelahiran total merupakan ukuran kuantum dari kelahiran dan angka harapan hidup saat lahir merupakan ukuran tempo dari kematian.
Kuantum dan tempo dari peristiwa demografi, keduanya bisa diukur untuk kohort atau untuk periode. Ukuran kohort dari kuantum dan tempo merupakan hasil yang sebenarnya dialami oleh sekelompok orang yang lahir pada tahun yang sama, sedangkan periode menjelaskan kejadian yang dialami oleh sekelompok orang pada suatu waktu tertentu.
Dalam penghitungan kuantum dan tempo peristiwa demografi, biasanya digunakan ukuran periode karena indikator kohort mengukur perubahan yang telah berlalu dalam proses demografi. Sedangkan periode, membutuhkan data yang lebih mudah dan dapat menggambarkan kejadian sekarang.
Dalam kasus kelahiran, angka kelahiran total digunakan sebagai indikator dalam analisis demografi untuk membuat kebijakan kesehatan dan sosial. Sedangkan pada kasus
ialah angka harapan hidup.
Jika terjadi perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan dan rata-rata umur seseorang mati pada data kohort, maka angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang diperoleh melalui data periode tidak sesuai dengan kejadian yang sebenarnya. Kejadian ini biasanya disebut efek tempo.
1.2 Tujuan
Penulisan ini bertujuan untuk memberi gambaran tentang metode penghitungan efek tempo pada angka kelahiran total dan angka harapan hidup, kemudian menentukan besarnya efek tempo yang terjadi.
1.3 Bahan dan Metode
Data yang digunakan adalah data angka kelahiran total dan rata-rata umur melahirkan menurut urutan kelahiran Amerika Serikat tahun 1970-2000
(WWW.cdc.gov/nchs/datawh/statab/unpubd/n atality/natab2000.htm) dan data angka kematian Amerika Serikat tahun 1901-1991 (WWW.demog.berkeley.ed./~bmd/states.html)
Untuk mendapatkan besarnya efek tempo yang terdapat pada angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang pertama kali dilakukan ialah menghitung angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang diamati untuk data periode. Kemudian digunakan turunan formula yang diperoleh untuk menghitung angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo sehingga dapat ditentukan besarnya efek tempo yang terjadi.
II. LANDASAN TEORI
Definisi 1. Populasi [Population]
Populasi adalah jumlah orang yang mendiami suatu daerah pada waktu tertentu.
(Shresta, 2006)
Definisi 2. Kelahiran Hidup [Life Birth] Kelahiran hidup adalah peristiwa keluarnya bayi dari rahim ibunya, tanpa memperdulikan lama kehamilan, dan setelah itu bayi bernafas atau menunjukkan tanda-tanda kehidupan yang lain seperti detak jantung, denyut nadi atau gerakan nyata yang
disengaja, baik bila tali pusat dipotong atau masih melekat dengan plasenta.
(Lucas, 1984)
Definisi 3. Kematian [Mortality]
Kematian adalah hilangnya semua tanda-tanda kehidupan secara permanen yang dapat terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 4. Kohort [Cohort]
(biasanya satu tahun) dari suatu peristiwa tertentu.
(Utomo, 1985)
Definisi 5. Kohort Kelahiran [Birth Cohort] Kohort kelahiran adalah sekelompok orang yang lahir pada suatu waktu yang sama.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 6. Ukuran Periode [Period Measure]
Ukuran periode adalah suatu ukuran mengenai peristiwa yang terjadi pada sebagian penduduk atau keseluruhan selama satu waktu tertentu. Misalnya angka kematian seluruh penduduk Indonesia dalam tahun 1990.
(Utomo, 1985)
Definisi 7. Angka Kelahiran Menurut Umur [Age Spesific Fertility Rate]
Angka kelahiran menurut umur adalah jumlah kelahiran menurut kelompok umur tertentu dari wanita dibagi jumlah penduduk wanita dalam kelompok umur yang sama.
(Lembaga Demografi FE UI, 1980)
Definisi 8. Angka Kelahiran Total [Total Fertility Rate]
Angka kelahiran total adalah rata-rata jumlah anak yang dilahirkan oleh seorang wanita, dihitung berdasarkan data periode.
(Bongaarts dan Feeney, 1998)
Definisi 9. Angka Kelahiran Paripurna [Completed Fertility Rate]
Angka kelahiran paripurna adalah rata-rata jumlah anak yang dilahirkan seorang wanita yang telah melewati masa reproduktifnya, dihitung berdasarkan data kohort.
(Bongaarts dan Feeney, 1998)
Definisi 10. Bertahan Hidup [Survival] Bertahan hidup adalah suatu kondisi di mana seseorang individu atau suatu kelompok tetap hidup setelah interval waktu yang ditentukan.
(Shresta, 2006)
Definisi 11. Tabel Hayat [Life Table]
Tabel hayat adalah tabel yang menggambarkan peluang seseorang bertahan hidup dari lahir hingga umur tertentu.
(Brown, 1997)
Definisi 12. Angka Kematian Menurut Umur [Age Spesific Death Rate]
Angka kematian menurut umur adalah jumlah kematian menurut kelompok umur
tertentu dibagi jumlah penduduk dalam kelompok umur yang sama.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 13. Angka Harapan Hidup [Life Expectancy]
Angka harapan hidup waktu lahir didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang sejak lahir dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya.
(Utomo, 1985)
Definisi 14. Kuantum [Quantum]
Kuantum merupakan suatu ukuran tentang intensitas dari suatu peristiwa demografi. Misalnya jumlah kelahiran per 1000 penduduk atau jumlah kematian per 1000 penduduk.
(Bongaarts dan Feeney, 2005)
Definisi 15. Tempo
Tempo merupakan suatu ukuran rata-rata umur saat terjadinya peristiwa demografi, seperti kelahiran atau kematian. Misalnya angka harapan hidup sebagai ukuran tempo kematian.
(Bongaarts dan Feeney, 2005)
Definisi 16. Efek Tempo [Tempo Effects] Efek tempo didefinisikan sebagai suatu kenaikan atau penurunan besaran peristiwa demografi yang diamati karena adanya perubahan rata-rata umur dari peristiwa yang diamati tersebut.
(Bongaarts dan Feeney, 2005)
Definisi 17. Diagram Lexis
Diagram Lexis merupakan diagram yang memiliki karakteristik berikut:
• Garis horizontal menunjukkan titik yang menentukan waktu (t
).
• Garis vertikal menunjukkan titik yang menentukan umur (
a
).
• Setiap individu bergerak ke bawah dan ke kanan sepanjang garis dengan sudut 45odi mana setiap satu unit waktu yang dilewati, umur mereka meningkat dengan sejumlah unit yang sama.
(Brown, 1997)
Definisi 18. Notasi dan Rumus Kelahiran
• a
adalah umur.
• t
adalah tahun.
• f a t( , ) adalah angka kelahiran saat umur
• TFR(t)
adalah rata-rata jumlah anak yang
dilahirkan pada data periode tahun t.TFR( )t = ∫ f a t da( , )
• CFR( )t adalah rata-rata jumlah anak yang dilahirkan seorang wanita dari suatu kohort kelahiran tahun t.
CFR( )t =∫f a t( , +a da)
(Rodriguez, 2006) Kematian
Satu variabel
•
x
adalah umur.•
l
0= Radix, jumlah penduduk berumur tepat nol tahun.• lx n+ adalah banyaknya orang yang bertahan hidup dari lahir hingga umur
x+n.
•
ndx adalah banyaknya orang yang meninggal antara umurx
dan x+n.ndx=lx−lx n+
• npx adalah peluang bertahan hidup dari umur
x
hingga x+n.x n n x
x
p =l +
l
• nqx adalah peluang seseorang berumur
x
meninggal sebelum mencapai x+n.
n x n x x d q = l
• nLx adalah banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur x dan x+n oleh penduduk berumur x.
x n n x s
x
L ds
+
=
∫
l• mx adalah angka kematian umur
x
. x x x d m L =• Tx adalah total waktu yang dijalani penduduk berumur x sampai akhir hayatnya.
x y s
y x x
T L ds
∞ ∞ =
=
∑
=∫
lx x
L T
∞ =
• ex adalah angka harapan hidup umur
x
. x x x T e = lUntuk n=1, notasi selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut:
x
, , dan L x x x
d p q .
Dua variabel
• a
adalah umur.
• t
adalah tahun.
• l( , )a t adalah banyaknya orang yang bertahan hidup hingga tepat berumur a
pada tahun t.
• nd a t( , ) adalah banyaknya orang yang meninggal antara umur a dan a+n pada tahun t.
( , ) ( , ) ( , ) nd a t =la t −la+n t
• np a t( , ) adalah peluang bertahan hidup dari umur a pada tahun t hingga a+n.
• nq a t( , ) adalah peluang seseorang berumur tepat a tahun pada tahun t
meninggal sebelum mencapai a+n. ( , )
( , )
( , ) n n
d a t q a t
a t
=
l
• m a t( , ) adalah angka kematian umur a
tahun t. ( , ) ( , )
( , )
d a t m a t
L a t
=
• nL a t( , ) adalah tahun hidup yang dijalani antara umur a dan a+n oleh penduduk berumur a pada tahun t.
( , ) ( , ) a n n
a
L a t s t ds
+
=
∫
l• T a t( , ) adalah total waktu yang dijalani penduduk berumur a pada tahun t
sampai akhir hayatnya.
0
( , ) n ( , ) ( , ) y a
T a t L y t s t ds
∞ ∞
=
=
∑
=∫
l• e a t( , ) adalah angka harapan hidup umur
a pada tahun t. ( , ) ( , )
( , )
T a t e a t
a t
=
l
Untuk n=1, notasi selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut:
( , )
d a t , q a t( , ), dan L a t( , ).
(Brown, 1997)
Definisi 19. Laju Kematian Sesaat [The Force of Mortality]
Diketahui dx=lx−lx+1 dan x x
x
d q =
l dari
definisi sebelumnya untuk n=1, sehingga dapat ditulis:
1
x x x x x
*
x x t x x x t
q l Δ =t Δd =l −l +Δ
atau
* x
x x t x q t +Δ − = Δ l l l
dimana *
x
q menotasikan angka kematian
yang berlaku yang didasarkan pada aktivitas kematian dalam interval kecil dari x ke
x+ Δt. Jika kemudian kita limitkan persamaan di atas dengan Δ →t 0, kita mempunyai suatu ukuran yang dinamakan laju kematian sesaat (dinotasikan μx), yaitu
0
lim x x t x t x t μ +Δ Δ → − = Δ l l l didefinisikan bahwa 0
lim x t x x
t t D
+Δ Δ → − = Δ l l l
(turunan dari lx), sehingga diperoleh
x x
x
D
μ =− l
l
= −Dlnlx.
(Brown, 1997)
Definisi 20. Erfi (z)
Didefinisikan fungsi galat Erf (x) adalah
2
0
2 x t
Erf (x) e dt
π
−
=
∫
sehingga Erfi (z) adalah fungsi galat imajiner dengan rumus :
Erfi(z)=Erf(iz)/i
(Mathematica, 2005)
III. PENGUKURAN EFEK TEMPO PADA ANGKA KELAHIRAN TOTAL
DAN ANGKA HARAPAN HIDUP
3.1 Efek Tempo pada Kelahiran dan Kematian
Berikut diberikan suatu kasus sederhana untuk menggambarkan bagaimana efek tempo pada kelahiran dan kematian terjadi.
Pada kasus kelahiran, gambaran efek tempo yang terjadi dapat dilihat pada situasi yang mewakili kasus tersebut dengan baik, di mana:
1. Hanya kelahiran pertama yang terjadi. 2. Setiap wanita pada kohort kelahiran
memiliki anak pertama tepat pada umur yang sama.
3. Setiap kelahiran terjadi pada interval waktu yang sama selama satu tahun. 4. Setiap kohort mempunyai jumlah wanita
yang sama.
Situasi ini diperlihatkan pada Gambar 1A, di mana kelahiran (digambarkan dengan lingkaran hitam) terjadi pada interval 0.2 tahun dan kohort 1, 2, ..., 6 semuanya melahirkan pada umur yang sama (
x
).Misalkan sekarang rata-rata umur wanita saat melahirkan meningkat 0.2 tahun (dari
x
menjadi
x
+0.2) selama tahun tersebut (diilustrasikan pada Gambar 1B). Peningkatan ini mengakibatkan kelahiran yang terjadi sebelumnya pada umurx
menurun. Besar penundaan ini meningkat selama tahun t, di mana kohort 1 lebih kecil dan kohort 5 lebih besar penundaannya. Penundaan inimenggeser waktu kelahiran untuk kohort 5 dari tahun t ke tahun t+1 sehingga jumlah kelahiran tahun t pada umur
x
menurun sebesar 20 persen. Sebaliknya, jika rata-rata umur wanita saat melahirkan menurun 0.2 tahun selama tahun tersebut maka jumlah kelahiran tahunt
meningkat 20 persen (diilustrasikan pada Gambar 1C) akibat kelahiran kohort 6 bergeser ke tahun t.Perubahan jumlah kelahiran yang terjadi akibat perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan ini berbeda dengan peristiwa berubahnya jumlah kelahiran dengan rata-rata umur wanita saat melahirkan dipertahankan tetap. Perubahan ini biasanya dinamakan efek kuantum, yaitu perubahan intensitas kelahiran yang terjadi pada suatu periode dimana rata-rata umur saat melahirkan tetap. Sehingga pada kasus kelahiran, angka kelahiran total dipengaruhi efek tempo dan efek kuantum.
t t+1 t t+1 tahun tahun
x x
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
umur umur
A. Kelahiran tetap B. Kelahiran menurun
t t+1 tahun
x
1 2 3 4 5 6
umur
C. Kelahiran meningkat
Gambar 1 Tiga ilustrasi efek tempo pada kelahiran 3.2 Kelahiran
Angka kelahiran total (TFR) merupakan banyaknya kelahiran setelah tahun tertentu dengan menggunakan data berbagai kohort sehingga sering disebut sebagai kohort sintetis.
Efek tempo pada TFR disebabkan oleh perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan tanpa perubahan besarnya ukuran kohort akhir. Hal ini terjadi karena wanita menunda atau mempercepat waktu melahirkan. TFR menurun saat wanita menunda waktu melahirkan dan meningkat saat wanita mempercepat waktu kelahirannya.
3.2.1 Efek Tempo Kelahiran
Berikut diturunkan formula untuk menentukan nilai TFR yang disesuaikan
tempo, fokus hanya untuk kelahiran urutan pertama. Untuk memudahkan penurunan formula tersebut, subskrip untuk urutan kelahiran dihilangkan. Formula yang diperoleh nanti, digunakan secara terpisah untuk setiap urutan kelahiran untuk memperoleh TFRi, kemudian dijumlahkan untuk memperoleh TFR yang disesuaikan tempo untuk semua urutan kelahiran.
( , ) ( , ) dan ( , ) ( , )
p c c p
f a t = f a t−a f a T = f a T+a
(1) untuk umur a dan waktu t dan T
sembarang. Angka kelahiran total untuk tahun
t adalah
TFR( )t = ∫ f a t dap( , ) (2) Dan angka kelahiran paripurna untuk kohort kelahiran tahun T adalah
CFR( )T = ∫f a T dac( , ) (3) Untuk memudahkan menemukan persamaan untuk angka kelahiran total yang disesuaikan, berikut diberikan beberapa kasus:
Kasus 1. Tidak ada efek tempo dan efek kuantum
Misalkan tidak terjadi efek tempo, maka ( , )
p
f a t konstan untuk t pada semua a (atau ekuivalen bahwa f a Tc( , ) untuk T pada semua a), yaitu angka kelahiran menurut umur konstan. Pada kasus ini, angka kelahiran semata-mata merupakan fungsi umur:
( ) ( )
p c
f a = f a dan TFR=CFR untuk setiap periode dan kohort.
Selanjutnya dinotasikan TFR* atau
*
CFR untuk menandai ukuran kelahiran pada kasus tanpa efek tempo.
Kasus 2. Ada efek tempo dengan waktu tetap dan tidak ada efek kuantum
Misalkan terjadi efek tempo dengan angka perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan konstan. Berawal dari tanpa adanya efek tempo, asumsikan CFR tidak berubah, tetapi mulai pada tahun 0 kelahiran ditunda, sehingga umur melahirkan meningkat. Penundaan kelahiran terjadi pada wanita dalam masa reproduksi untuk semua umur, sehingga bentuk fp( )a tidak berubah namun terjadi penurunan akibat penundaan (atau naik jika kelahiran dimajukan sebagai pengganti penundaan).
Misalkan angka kelahiran menurut umur pada kasus ini dinotasikan oleh gp( , )a t , dengan asumsi bentuk gp( , 0)a sama dengan
( , 0) p
f a . Sehingga gp( , )a t juga mempunyai bentuk yang sama dengan gp( , 0)a , tetapi telah terjadi pergeseran ke atas pada axis umur oleh rt tahun (jika r>0) atau turun pada axis umur oleh rt tahun (jika r<0), yaitu
( , ) ( , 0)
p p
g a t =g a−rt (4)
di mana r adalah angka perubahan rata-rata umur melahirkan untuk data periode. Dari persamaan (2) dan (4) diperoleh
TFR( )t =∫gp( , )a t da=∫gp(a rt− ,0)da (5) dan dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
CFR( )T =
∫
g a T dac( , ) =∫
gp( ,a T+a da) ( ( ), 0)p
g a r T a da
=
∫
− + (6) Untuk T =0, persamaan (6) menjadiCFR(0)=∫gp(a ra− ,0)da=∫gp( (1a −r),0)da 1 ( (1 ),0)(1 ) x
1 p
g a r r da
r
=∫ − − −
1 ( ,0) x
1 p
g a da
r
= ∫ −
TFR (0) 1−r
= (7)
Pada kasus 2 ini telah diasumsikan bentuk pola umur periode kelahiran sama seperti halnya pada kasus 1, maka
( , ) ( , )(1 )
p p
g a t = f a+d t −r (8) di mana d adalah total jumlah tahun dengan
p
g telah bergeser terhadap fp pada saat t. Dengan kata lain, pada kasus 2 jadwal sebenarnya saat t dari angka kelahiran menurut umur telah berpindah sepanjang axis umur sebesar d dan dikalikan dengan
(1−r).
Kasus 3 Ada efek tempo dengan waktu berubah dan tidak ada efek kuantum
Kasus 2 sebelumnya hanyalah langkah menemukan konsep untuk mendapatkan hasil yang lebih umum. Pada kasus sekarang merupakan perluasan dari kasus sebelumnya, yaitu angka perubahan rata-rata umur periode melahirkan (r) berubah sesuai waktu, dinotasikan r t( ). Pada kasus ini r t( ) yang diinginkan adalah konstan untuk t pada tahun kelender yang diberikan.
Untuk memperoleh TFR tanpa adanya efek tempo untuk kasus 3, difokuskan untuk kejadian satu tahun. Kemudian dikonstruksi untuk setiap tahun dari wanita paling muda melahirkan sampai akhir masa reproduksinya. Persamaan (9) digunakan untuk bagian konstruksi ini, yaitu
( , ) ( , )(1 ( ))
p p
g a t = f a+d t −r t (9) dan pengintegralan persamaan (10) untuk semua umur, diperoleh
*
Kasus 4 Ada efek tempo dengan waktu berubah dan efek kuantum Pada kasus ini, TFR berbeda setiap waktu dengan asumsi yang sama untuk r t( ) pada kasus 3, TFR( )t konstan pada tiap tahun kalender yang diberikan.
Turunan yang sama seperti kasus 3, diperoleh
*
TFR( )t =TFR ( )(1t −r t( )) (11) dan
* TFR( )
TFR ( )
1 ( )
t t
r t
=
− (12)
Persamaan (12) digunakan untuk memindahkan efek tempo dari TFR( )t yang diperoleh untuk urutan kelahiran yang berbeda.
Persamaan 12 adalah TFR tanpa adanya efek tempo untuk suatu urut kelahiran, yaitu
* TFR ( )i
TFR ( )
1 ( ) i i t t r t =
− (13)
Sehingga penjumlahan persamaan (13) untuk semua urutan kelahiran memberikan *
TFR yang disesuaikan tempo:
* *
TFR ( ) TFR ( ) i
t =
∑
t (14) 3.2.2 Uji Formula Kelahiran yang Disesuaikan TempoUntuk menguji angka kelahiran total yang disesuaikan tempo, diperlukan perbandingan antara angka kelahiran paripurna dari suatu kohort yang sesungguhnya dengan rata-rata dari angka kelahiran total yang disesuaikan tempo.
Misalkan *
TFR menotasikan rata-rata angka kelahiran total yang disesuaikan tempo. Berikut diperlihatkan bahwa
*
CFR=TFR (15) Bukti:
Misalkan f a t( , ) angka kelahiran menurut umur pada saat t dan umur a. Angka kelahiran total adalah
TFR( )t =
∫
f a t da( , ) (16) Distribusi kelahiran oleh umur pada saat t, dinotasikan dengan d a t( , ):( , ) ( , )
TFR( )
f a t d a t
t
= (17)
sehingga
( , ) 1 dan ( , ) TFR( ) ( , )
d a t da= f a t = t d a t
∫
.Angka kelahiran paripurna untuk kohort kelahiran tahun t0 adalah
0 0
CFR( )t =
∫
f a t( , +a da)0 0
TFR(t a d a t) ( , a da)
=
∫
+ + (18)dengan memasukkan persamaan (10) ke dalam persamaan (18), diperoleh
*
0 0 0 0
CFR( )t =
∫
TFR (t +a) 1⎣⎡ −r tp( +a)⎤⎦d t( +a da)*
0 0
TFR (t a v a t da) ( , )
=
∫
+ (19)di mana v a t( , )0 = −⎣⎡1 r tp(0+a)⎤⎦d t(0+a). Rata-rata dari TFR ( )* t diberikan oleh
*
0 0
0
0
TFR ( ) ( , ) TFR( )
( , )
t a v a t da t
v a t da
+ =
∫
∫
*
0 0
TFR (t a w a t da) ( , )
=
∫
+ (20)di mana w a t( , )0 =v a t( , ) /0
∫
v a t da( , )0 .Dari persamaan (19) dan (20) diperoleh bahwa
0 0 0
CFR( )t =TFR( )t
∫
v a t da( , ) (21) Karena diasumsikan bahwa bentuk jadwal konstan, maka∫
v a t da( , )0 =1 dan0 0
( , ) ( , )
w a t =v a t . Oleh karena itu,
*
CFR=TFR .
3.3 Kematian
Angka harapan hidup pada suatu umur tertentu didefinisikan sebagai rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di lingkungan masyarakatnya. Biasanya angka harapan hidup pada periode tertentu adalah angka kematian menurut umur yang dihitung menggunakan metode tabel hayat.
Akibat adanya efek tempo pada kasus kematian, yaitu berubahnya rata-rata umur periode saat mati, mengakibatkan angka harapan hidup periode yang dihitung biasanya berubah. Namun, beberapa metode untuk menghitung angka harapan hidup yang menggambarkan kenyataan yang sebenarnya telah dikembangkan. Di antaranya angka harapan hidup kohort, The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL), dan Average Weighted Cohort Life Expectancy (ACLE). Semua indikator tersebut telah dikaji dalam tulisan Sulistiani (2007).
3.3.1 Penghitungan Angka Harapan Hidup Pada penghitungan tabel hayat, distribusi waktu hidup untuk suatu periode dapat dijelaskan melalui tiga cara berbeda. Fungsi bertahan hidup
( , ), 0a t a≥
l (22a)
menggambarkan proporsi orang yang bertahan hidup hingga tepat berumur a pada tahun t, dimana (0, )l t =1 dan ( , )lω t =0 untuk ω umur tertinggi yang dicapai. Fungsi kerapatan kematian
( , )
( ), a t
d a t
a −∂ = ∂ l (22b)
yaitu sebaran kematian menurut umur. Fungsi laju kematian sesaat
( , ) ( , ) / ( , )
( , ) ( , )
d a t a t a
a t
a t a t
μ = =−∂l ∂
l l
(22c) menggambarkan risiko kematian untuk setiap umur. Fungsi ini secara formal ekuivalen satu sama lain, sehingga dapat diperoleh
0
( , ) ( , ) exp[ ( , ) ] a
a
a t d x t dx x t dx
ω
μ
=
∫
= −∫
l
(22d) Misalkan ( , )S a t menotasikan proporsi orang yang lahir pada saat t−a bertahan hidup sampai umur a saat tahun t, d a t( , ) menotasikan kerapatan kematian untuk kohort kelahiran t−a pada umur a, dan ( , )μ a t
menotasikan laju kematian sesaat untuk kohort kelahiran tersebut. Fungsi ( , )S a t dan
( , )
d a t berbeda dengan fungsi bertahan hidup dan fungsi kerapatan pada kohort sintetis yang diperoleh dari tabel hayat untuk suatu data periode biasanya dan penghitungannya memerlukan data kematian masa lampau.
Angka harapan hidup dapat dihitung dengan beberapa persamaan berikut (dinotasikan M1-M3):
1 0
0 0
( , )
exp{ ( , ) }
a
M S a t da
x t a x dx
μ ∞ ∞ = = − − +
∫
∫
∫
(23a) 1M merupakan indikator kematian untuk menghitung angka harapan hidup yang biasanya disebut The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL), yaitu gabungan dari bermacam-macam kejadian kohort dalam suatu model sewaktu atau ukuran kematian yang menunjuk kepada satu periode dalam asumsi suatu penduduk mempunyai angka
kelahiran konstan, tetapi kematian bervariasi pada setiap umur dan waktu (Guillot, 2003).
0 2
0
( , )
( , )
ad a t da M
d a t da
∞ ∞ =
∫
∫
(23b) 3 0 0exp[ ( , ) ] a
M μ x t dx da
∞
=
∫
−∫
(23c)3
M adalah angka harapan hidup yang dihitung biasanya, yaitu M t3( )=e t0( ). Selanjutnya M2 disebut sebagai angka
harapan hidup yang distandarisasi.
Berikut akan diperlihatkan hubungan antara
1
M dan M2:
Misalkan
( , ) ( , )
( , ) dan ( , )
( , ) s
s s
d a t a t
d a t a t
a μ a t
−∂
= =
∂
l
l (24)
Fungsi pada persamaan (24) diinterpretasikan sebagai distribusi umur kematian yang diberikan oleh l( , )a t , dimana l(0, )t =1 untuk setiap t, jika diasumsikan l( , )a t
fungsi tak ternaikkan dari a(∂l( , ) /a t ∂ ≤a 0). Sekarang diasumsikan pada suatu interval waktu tertentu, ada fungsi p t( ) sehingga
( , )a t p t( ) s( , )a t
μ = μ dan
( , ) ( ) s( , )
d a t = p t d a t (25) Selanjutnya asumsi ini dinamakan asumsi kesebandingan, di mana jika fungsi p t( ) dipenuhi maka jadwal umur μ( , )a t dan
( , )
d a t mempunyai bentuk yang sama
(dengan jumlah boleh berbeda) dengan jadwal umur μs( , )a t dan d a ts( , ). Akibat rata-rata umur saat mati meningkat atau menurun,
( , )a t
μ dan d a t( , ) bergeser pada umur yang lebih tinggi atau lebih rendah dari μs( , )a t dan d a ts( , ). Nilai μ( , )a t dan d a t( , ) menurun atau meningkat relatif terhadap
( , ) s a t
μ dan d a ts( , ) oleh faktor kesebandingan p t( ).
Jika asumsi kesebandingan tersebut terpenuhi, maka
1( )
( ) 1 M t
p t
t ∂ = −
∂ (26)
1
1
( )
( , ) 1 ( , )
( )
( , ) 1 ( , ) s
s
M t
d a t d a t
t M t
a t a t
t μ μ ∂ ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∂ ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ (27a-b)
Sehingga dari persamaan (23a) dan (24a), diperoleh 0 1 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) s s
ad a t da
M t a t da
d a t da
∞ ∞
∞
=
∫
=∫
∫
l (28)
dan dari persamaan (23b) dan (25b),
0 2 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) s s
ap t d a t da M t
p t d a t da
∞
∞
=
∫
∫
(29)
Jika faktor kesebandingan ( )p t pada persamaan (29) dikanselasi, maka
1( ) 2( ) M t =M t .
3.3.2 Pemindahan Efek Tempo Kematian Efek tempo menurunkan (meningkatkan) ( , )
d a t dan ( , )μ a t ketika rata-rata umur mati yang disesuaikan naik (turun). Persamaan (23a-b) menunjukkan efek tempo diduga oleh
faktor 1( )
1 M t
t
∂ −
∂ ketika asumsi
kesebandingan terpenuhi. Akibat
1( ) 2( )
M t =M t , efek tempo juga diduga oleh faktor 1 M t2( )
t
∂ −
∂ .
Pengintegralan fungsi kerapatan kematian ( , )
d a t untuk semua umur dalam ukuran periode kematian disebut angka kematian total (Total Mortality Rate (TMR)). Ukuran ini sama dengan angka kelahiran total pada kasus kelahiran. Sehingga
0
TMR(t)= d a t da( , ) ∞
∫
(30) Substitusi dari persamaan (27a) memberikan0
TMR(t)= p t d a t da( ) s( , ) p t( ) ∞
=
∫
(31)Berikut akan dicari angka harapan hidup yang disesuaikan tempo.
Misalkan didefinisikan
* *
1 1
( , ) ( , )
( , ) dan d ( , )
( ) ( )
1 1
a t d a t
a t a t
M t M t
t t μ μ = = ∂ ∂ − − ∂ ∂ (32a-b) sebagai kerapatan kematian dan laju kematian sesaat yang disesuaikan tempo. Dari persamaan (27a-b) diperoleh
*
( , )a t s( , )a t
μ =μ dan d a t*( , )=d a ts( , ), ketika asumsi kesebandingan terpenuhi.
Untuk memperoleh angka harapan hidup yang disesuaikan tempo, digunakan persamaan (23c) dengan mengganti ( , )μ a t
dengan *
( , )a t
μ , sehingga
[
]
4 1
0 0
( ) exp ( , ) / (1 ( ) / ) a
M t μ x t M t t dx da
∞ ⎧⎪ ⎫⎪ = ⎨ − − ∂ ∂ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
∫
∫
(33) di mana M t4( ) menotasikan angka harapan hidup saat lahir tanpa efek tempo. Dengan menggunakan persamaan (31) diperoleh4
0 0
( , ) ( ) exp
TMR( ) a
x t
M t dx da
t μ ∞ ⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎫⎪ = ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭
∫
∫
(34)Dari persamaan (27b)
4
0 0
( ) exp ( , ) a
s
M t μ a t dx da
∞ ⎧⎪ ⎫⎪ = ⎨− ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
∫
∫
0( , )a t da
∞
=
∫
l=M t1( ) (35)
Jadi, pemindahan efek tempo dari M t3( )
dihasilkan pula oleh M t1( ) atau M t2( ).
Sehingga angka harapan hidup yang tidak terdistorsi oleh tempo dapat diduga dengan
1( )
IV. STUDI KASUS DI AMERIKA SERIKAT
Amerika Serikat merupakan salah satu negara yang memiliki data tentang kependudukan yang lengkap. Sehingga data tersebut dapat digunakan untuk menghitung angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo.
4.1 Penentuan Angka Kelahiran Total yang Disesuaikan Tempo (TFR ( )* t )
Angka kelahiran total menurut urutan kelahiran pada tahun t ( *
i
TFR ( )t ) diperoleh dari data angka kelahiran wanita dari kelompok umur 15-44 tahun menurut urutan kelahiran, di mana umur 15-44 tahun adalah masa saat reproduksi seseorang wanita.
Dari data nilai TFR( )t wanita AS berumur 15-44 dan rata-rata umur wanita saat
melahirkan menurut urutan kelahiran per tahun untuk tahun 1970-2000 (Lampiran 2 dan 3), dapat dihitung ( )r ti , yaitu angka perubahan rata-rata umur melahirkan dari setiap urutan kelahiran. Sehingga, dapat diperoleh *
i
TFR ( )t di AS menggunakan persamaan (13) (Lampiran 4).
Dengan menjumlahkan angka kelahiran total tiap tahun berdasarkan persamaan (14), diperoleh angka kelahiran total sesuai tempo. Dengan membandingkan dengan angka kelahiran total biasanya dapat diperoleh besarnya efek tempo kelahiran. Hasilnya disajikan pada Gambar 2.
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
Tahun
N
ila
i T
F
R
T FR T FR yang disesuaikan
Gambar 2 TFR , TFR yang disesuaikan tempo dan besarnya efek tempo menggunakan angka kelahiran menurut umur dan urutan kelahiran AS.
Gambar 2 menunjukkan bahwa pada tahun yang diberikan t, hampir semua nilai TFR yang disesuaikan tempo lebih besar daripada TFR yang tidak disesuaikan tempo. Hal ini diakibatkan peningkatan umur saat melahirkan sehingga menekan TFR yang tidak disesuaikan. Sedangkan pada tahun 1998 nilai TFR yang disesuaikan dengan yang tidak disesuaikan tempo sama. Hal ini terjadi karena umur saat melahirkan sebenarnya tidak berubah secara keseluruhan.
Dari nilai TFR tidak disesuaikan, rata-rata jumlah anak yang dimiliki tiap wanita di AS mengalami penurunan dengan rata-rata 2 anak tiap wanita. Namun dari nilai TFR yang
disesuaikan rata-rata jumlah anak yang dimiliki tiap wanita lebih besar dari 2 yaitu 2.28. Selain itu,, penurunan nilai TFR yang disesuaikan lebih landai dibandingkan TFR yang tidak disesuaikan dan perubahan trennya juga berbeda. Hal ini disebabkan adanya efek kuantum yang terjadi pada kelahiran selain efek tempo.
4.2 Penghitungan Angka Harapan Hidup yang Disesuaikan Tempo (eo*( )t ).
AS per umur per tahun yang dinotasikan dengan μ( , )a t antara tahun 1901 sampai 1991 (Lampiran 6).
Fungsi laju kematian sesaat yang paling sesuai dengan data AS adalah model eksponensial, yaitu
2
( , )a t exp( a a t)
μ = α β+ +γ +ε . Sehingga diperoleh fungsi laju kematian sesaat yang paling sesuai dengan data AS adalah :
2
( , )a t exp( 5.3377 0.0016a 0.0006a
μ = − − + −
0.0164 )t dengan koefisien determinasi
2
0.880
R = .
Hasil ini diperoleh sebelumnya dalam tulisan Sulistiani (2007) yang dinamakan model II.
Fungsi laju kematian sesaat tersebut akan digunakan untuk menghitung angka harapan hidup biasanya (angka harapan hidup periode) dan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo dengan menggunakan persamaan (33) untuk menentukan besarnya efek tempo yang terjadi.
• Penentuan angka harapan hidup periode [e t0( )] Dari persamaan (23c) diperoleh
0
0 0
( ) exp[ ( , ) ] a
e t x t dx da
ω
μ
=
∫
−∫
2
0 0
exp[ exp( ) ]
a
x x t dx da
ω
α β γ ε
=
∫
−∫
+ + +2
0 0
exp[ exp( ) exp( ) ]
a
t x x dx da
ω α ε β γ =
∫
− +∫
+ 2 0 2exp( ) ( [ ] [ ])
4 2 2
exp[ exp( ) ]
2 a Erfi Erfi t da ω β π β β γ γ γ γ α ε γ + − + =
∫
− +2 0 2
exp( ) ( [ ] [ ])
4 2 2
exp[ ]
2
a
t Erfi Erfi
da ω β β β γ α ε π γ γ γ γ + − + − + =
∫
−• Penentuan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo [eo*( )t ] Dari persamaan (33) dengan M t1( )=M t2( ) diperoleh
* 0
0 0
( , )
( ) exp[ ]
( ) 1
a
x t
e t dx da
CAL t t ω μ = ∂ − ∂
∫
∫
di mana 0 ( ) ( , )CAL t S a t da
ω =
∫
untuk S a t( , )
menotasikan proporsi orang yang lahir pada saat
t−a bertahan hidup sampai umura saat tahun t, sehingga
0 0
( ) exp[ ( , ) ] a
CAL t x t a x dx
ω
μ
=
∫
−∫
− +2
0 0
exp[ exp( ( )) ]
a
a a t a x dx da
ω
α β γ ε
=
∫
−∫
+ + + − +2
0 0
exp[ exp( ( )) exp(( ) ) ]
a
t a x x dx da
ω
α ε β ε γ
2
0
( ) 2
exp( ( [ ] [ ])
4 2 2
exp[ exp( ( )) ]
2
a
Erfi Erfi
t a da
ω β ε π β ε β ε γ γ γ γ α ε γ + + + + − − + =
∫
− + − 2 0( ) 2
exp( ) ( [ ] [ ])
4 2 2
exp[ ]
2
a
a t Erfi Erfi
da ω β ε β ε β ε γ α ε ε π γ γ γ γ + + + + − − + − + =
∫
− 2 0( ) 2
exp( ) ( [ ] [ ])
4 2 2
exp[ ]
2 ( )
a
a t Erfi Erfi
da CAL t t t ω β ε β ε β ε γ α ε ε π γ γ γ γ + + + + − − + − + ∂ − ∂ = ∂ ∂
∫
2 2 0( ) 2
exp( ) ( [ ] [ ])
4 2 2
( )
exp[ ]
1
4 2
2
( [ ] [ 2 ]
2
a
a Erfi Erfi
a t
da
Erfi Erfi a
ω β ε β ε β ε γ α ε π γ γ γ β ε α ε ε γ γ γ β ε ε π β ε γ γ ⎛ + + + + ⎞ − − − + ⎜ ⎟ + ⎜ − − + − ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ − + + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
∫
2 * 0 0 0 exp( )( ) exp[ ( ) ]
( ) 1
a
x x t
e t dx da
CAL t t ω α β+ +γ +ε = ∂ − ∂
∫
∫
2 2 0 2 0 2exp( ) ( [ ] [ ])
4 2 2
( ) 2
exp( ) ( [ ] [ ])
4 2 2
( )
exp[ ]
4 2
( [ ] [ 2 ]
2 1
2
a
t Erfi Erfi
da a
a Erfi Erfi
a t
Erfi Erfi a
ω ω β β β γ α ε π γ γ γ β ε β ε β ε γ α ε π γ γ γ β ε α ε ε γ γ β ε ε π β ε γ γ γ + − + − + = ⎛ − − + − + + + + ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ − − + − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ − + + + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ −
∫
∫
Rumus angka harapan hidup di atas kemudian dievaluasi untuk ω=110 dengan
t∈[0, 10, 20, 30, …, 90] menggunakan pengintegralan numerik dalam Mathematica
40 50 60 70 80 90 100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Tahun
Ni
la
i AH
H
AHH Periode AHH yang disesuaikan
Gambar 3 AHH periode, AHH yang disesuaikan tempo dan besarnya efek tempo menggunakan fungsi laju kematian AS.
Gambar 3 menunjukkan angka harapan hidup biasanya (periode) lebih besar dari angka harapan hidup yang disesuaikan tempo. Hal ini menunjukkan bahwa dari tahun ke tahun rata-rata umur saat meninggal warga AS mengalami kenaikan sehingga efek tempo yang terjadi adalah positif.
Besarnya efek tempo pada angka harapan hidup AS dari tahun 1901-1991 diperkirakan
V. KESIMPULAN
Angka kelahiran total (TFR( )t ) dan angka harapan hidup (e t0( )
) biasanya (ukuran
periode) memberikan hasil yang tidak sesuai dengan kenyataan karena terjadinya efek tempo. Dengan demikian diperlukan suatu formula untuk menggeser efek tempo yang terjadi pada angka tersebut. Angka kelahiran total yang disesuaikan tempo dapat diperoleh dengan persamaan:
* * TFR ( )i
TFR ( ) TFR ( )
1 ( ) i
i
t
t t
r t
= =
−
∑
∑
di mana i adalah urutan kelahiran dan t
adalah tahun. Sedangkan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo diberikan oleh persamaan :
* 0
0 0
( , ) ( ) exp
1 ( ) a
x t
e t dx da
r t
ω ⎧⎪ ⎡μ ⎤ ⎫⎪
= ⎨ ⎢ − ⎥ ⎬
⎪ ⎣ ⎦ ⎪
⎩ ⎭
∫
∫
di mana r t( ) CAL
t ∂ =
∂ , ω adalah umur
tertinggi yang dicapai dan μ( , )x t adalah fungsi laju kematian sesaat.
Data angka kelahiran Amerika tahun 1970-2000 digunakan sebagai ilustrasi untuk menjelaskan efek tempo pada angka kelahiran
total. Angka kelahiran total Amerika Serikat pada tahun tersebut mengalami penurunan dengan rata-rata dua.
Dengan menggunakan formula TFR yang disesuaikan, diperoleh angka kelahiran total yang sebenarnya lebih dari 2 yaitu 2.28. Angka kelahiran total yang disesuaikan pada tahun tersebut mengalami kenaikan dan penurunan yang lebih landai dibandingkan dengan angka kelahiran total yang tidak disesuaikan. Hal ini disebabkan adanya efek kuantum selain efek tempo yang terjadi pada kelahiran.
DAFTAR PUSTAKA
Ardana NKK. 2004. Panduan Penggunaan Mathematica (Ed ke-1). Bogor: Departemen Matematika, FMIPA IPB.
Bennett N, S Horiuchi. 1981. “Estimating the Completeness of Death Registration in a Closed Population”, Population Index 47: 207–221.
Bongaarts J, G Feeney. 1998. “On the Quantum and Tempo of Fertility”,
Population and Development Review
24(2):271-291.
Bongaarts J, G Feeney. 2003. “Estimating Mean Lifetime,” Proceedings of the National Academy of Sciences. 100(23): 13127-13133.
Bongaarts J, G Feeney. 2005. “The Quantum and Tempo of Life-Cycle Events”, Policy Research Division Working Paper, New York City: Population Council, 207. http://www.popcouncil.org/.
Brown RL. 1997. Introduction to The Mathematics of Demography ( rd
3 ed). Connecticut: Actex Publications.
Guillot M. 2003. “The Cross-Sectional Average Length of Life (CAL): A Crosssectional Mortality Measure that Reflects The Experience of Cohorts”,
Population Studies 57(1): 41–54.
[Lembaga Demografi FE UI]. 1980. Buku Pegangan Bidang Kependudukan. Jakarta: Lembaga Demografi FE UI . Lucas D et al. 1984. Pengantar
Kependudukan. Sumanto WB, R Saladi,
penerjemah. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
Mathematica 5.2. Copyright 1988-2005
Wolfram Research, Inc. United States of America.
Preston S.H, AJ Coale. 1982. “Age Structure, Growth, Attrition, and Accession: A New Synthesis”,
Population Index 48: 217–259.
Rodriguez G. 2005. “Demographic
Translation and Tempo Effects: An Accelerated Failure Time Perspective,”
Demographic Research 14: 85-110. Shresta LB. 2005. Life Expectancy in The
United States. Order Code RL32792. [7 Des 2006].
Sulistiani A. 2007. Pengukuran Angka Harapan Hidup [Skripsi]. Bogor: Departemen Matematika, FMIPA IPB.
Utomo B. 1985. Mortalitas: Pengertian dan Contoh Kasus di Indonesia. Jakarta: Proyek Penelitian Morbiditas dan Mortalitas UI.
Wirosuhardjo K et al. 1985. Kamus Istilah Demografi. Jakarta: Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa.
WWW.cdc.gov/nchs/datawh/statab/unpubd/na tality/natab2000.htm [12 Februari 2008].
Lampiran 1. Pembuktian Persamaan (26) Diketahui : Asumsi kesebandingan terpenuhi.
Akan dibuktikan : p t( ) 1 M t1( )
t ∂ = −
∂
Bukti:
Bennet dan Horiuchi (1981) dan Preston dan Coale (1982) menunjukkan bahwa ( , )a t s( , )a t r a t( , )
μ =μ − , (1) dimana
( , ) / ( , )
( , )
a t t
r a t
a t
−∂ ∂
= l
l (2)
adalah angka pertumbuhan menurut umur untuk umur a saat tahun t, untuk populasi yang memiliki distribusi umur saat t adalah l( , )a t . Sehingga persamaan (1) menjadi
( , ) / ( , ) / ( , )
( , ) ( , )
a t a a t t
a t
a t a t
μ = −⎡⎢∂ ∂ +∂ ∂ ⎤⎥
⎣ ⎦
l l
l l (3)
Dari ekspresi μ( , )a t yang diberikan pada persamaan (25) pada teks dan persamaan (1), diperoleh
[
]
( , ) 1 ( ) s( , )
r a t = −p t μ a t (4)
Substitusi persamaan (2) dan (24) ke dalam (4), menghasilkan
[
]
( , ) ( , )
1 ( )
( , ) ( , )
a t a t
p t
a t a t
∂l = − −∂l
l l (5)
Dari definisi (23a) tentang M1, kemudian
[
]
1
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) 1 ( )
M a t
a t da da
t t t
a t
p t da
a
∞ ∞
∞
∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂
−∂ = −
∂
∫
∫
∫
l l
l (6)
Untuk
0
( , ) 1
a t da a
∞−∂
= ∂
∫
l , maka terbukti p t( ) 1 M t1( )t ∂ = −
∂ .
Lampiran 2. Tabel Nilai TFR( )t Wanita AS Berumur 15-44 Menurut Urutan Kelahiran per Tahun 1970-2000
Urutan kelahiran hidup t
1 2 3 4 5 6 dan 7 8+
Lampiran 3. Tabel Rata-rata Umur Wanita AS Saat Melahirkan Menurut Urutan Kelahiran per Tahun 1970-2000
Urutan kelahiran hidup t
1 2 3 4 5 6 dan 7 8+
0 21.4 24.1 26.6 28.7 30.4 32.2 35.3
1 21.4 24.2 26.6 28.7 30.4 32.3 35.4
2 21.4 24.4 26.7 28.8 30.6 32.5 35.7
3 21.5 24.5 26.8 28.9 30.6 32.6 35.9
4 21.7 24.6 26.8 28.9 30.6 32.7 35.9
5 21.8 24.7 26.9 28.9 30.8 32.8 36.0
6 22.0 24.9 27.0 28.9 30.7 32.8 36.1
7 22.2 25.0 27.1 29.0 30.8 32.8 36.1
8 22.4 25.1 27.2 28.9 30.7 32.8 36.0
9 22.6 25.3 27.2 29.0 30.7 32.8 36.0
10 22.7 25.4 27.3 29.0 30.6 32.7 36.0
11 22.9 25.5 27.4 29.0 30.6 32.6 35.8
12 23.1 25.7 27.5 29.1 30.6 32.6 35.8
13 23.3 25.9 27.6 29.1 30.6 32.5 35.7
14 23.5 26.1 27.8 29.2 30.6 32.5 35.6
15 23.7 26.3 27.9 29.3 30.6 32.5 35.7
16 23.8 26.4 28.0 29.3 30.6 32.4 35.6
17 24.0 26.6 28.1 29.4 30.6 32.4 35.5
18 24.1 26.7 28.2 29.4 30.6 32.3 35.3
19 24.2 26.8 28.3 29.4 30.5 32.2 35.2
20 24.2 26.9 28.3 29.4 30.6 32.1 35.1
21 24.2 27.0 28.4 29.5 30.5 32.1 35.2
22 24.4 27.1 28.5 29.5 30.6 32.1 35.1
23 24.4 27.2 28.7 29.7 30.7 32.1 35.1
24 24.4 27.4 28.9 29.9 30.9 32.4 35.3
25 24.5 27.5 29.1 30.1 31.2 32.6 35.4
26 24.6 27.6 29.1 30.2 31.2 32.6 35.5
27 24.7 27.6 29.1 30.2 31.3 32.7 35.6
28 24.7 27.6 29.1 30.2 31.3 32.8 35.6
29 24.8 27.7 29.1 30.3 31.3 32.8 35.7
Lampiran 4. Tabel Nilai Angka Kelahiran Total yang Disesuaikan (TFR ( )i* t ) AS Menurut Urutan Kelahiran per Tahun 1970-2000
Urutan kelahiran hidup t
1 2 3 4 5 6 dan 7 8+
Lampiran 5. Tabel Nilai TFR( )t , TFR ( )* t dan Efek Tempo Kelahiran AS Tahun 1970-2000
Tahun TFR TFR yang
disesuaikan Efek tempo
0(1970) 2.64 2.66 0.02
1(1971) 2.45 2.54 0.09
2(1972) 2.19 2.46 0.26
3(1973) 2.06 2.29 0.23
4(1974) 2.04 2.33 0.29
5(1975) 1.98 2.19 0.21
6(1976) 1.95 2.34 0.39
7(1977) 2.00 2.34 0.33
8(1978) 1.96 2.26 0.30
9(1979) 2.01 2.40 0.39
10(1980) 2.05 2.25 0.20
11(1981) 2.02 2.34 0.32
12(1982) 2.02 2.44 0.43
13(1983) 1.97 2.37 0.40
14(1984) 1.97 2.42 0.46
15(1985) 1.99 2.41 0.42
16(1986) 1.96 2.16 0.19
17(1987) 1.97 2.38 0.41
18(1988) 2.02 2.22 0.20
19(1989) 2.08 2.28 0.20
20(1990) 2.13 2.21 0.08
21(1991) 2.08 2.20 0.12
22(1992) 2.05 2.38 0.32
23(1993) 2.01 2.20 0.19
24(1994) 1.97 2.27 0.30
25(1995) 1.94 2.23 0.29
26(1996) 1.92 2.09 0.17
27(1997) 1.91 2.01 0.10
28(1998) 1.93 1.93 0.00
29(1999) 1.94 2.11 0.17
Lampiran 6. Tabel Nilai μ( , )a t AS per Umur per Tahun 1901-1991 dan μ( , )a t Model II
t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II
Lanjutan
t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II t a AS Model II
Lampiran 7. Penghitungan Angka Harapan Hidup dengan Menggunakan Software Mathematica 5.2
Dimisalkan α =A, , β =b γ= , ,c ε=d u adalah laju kematian sesaat , l adalah peluang bertahan hidup dan Ep adalah angka harapan hidup, perhitungan angka harapan hidup periode dan sesuai tempo dalam Mathematica 5.2 dirumuskan sebagai berikut.
• Angka harapan hidup periode
Lampiran 8. Tabel Nilai AHH Periode (e t0( )), AHH yang Disesuaikan Tempo (eo*( )t ) dan Efek Tempo Kematian AS Tahun 1901-1991
Tahun AHH Periode AHH yang disesuaikan Efek Tempo
0(1901) 54.8072 49.6524 5.1548
10(1911) 57.5468 52.4174 5.1294
20(1921) 60.2311 55.157 5.0741
30(1931) 62.8555 57.863 4.9925
40(1941) 65.4168 60.5284 4.8884
50(1951) 67.9129 63.1437 4.7692
60(1961) 70.343 65.7152 4.6278
70(1971) 72.7068 68.2284 4.4784
80(1981) 75.0051 70.6846 4.3205
FEBRINA
G54104059
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ABSTRACT
FEBRINA.Tempo Effect on Total Fertility Rate and Life Expectancy. Supervised by SISWADI andHADI SUMARNO.
Fertility and mortality are the prime components in demography which used for making social and health policies. Total fertility rate and life expectancy are generally used as indicator of fertility and mortality. Those indicators are calculated by using period measures than cohort measures because period measures need more easy data and can describe event that happen now.
In this manuscript we discuss that there is a tempo effect on fertility and mortality which influence period total fertility rate and life expectancy. The tempo effect is caused by changing mean age of childbearing or changing mean age at death. There is also a quantum effect on the fertility could be caused by changing in number of fertility. Mean while on the mortality the quantum is fixed because mortality is not a recurrent event.
ABSTRAK
FEBRINA.Efek Tempo pada Angka Kelahiran Total dan Angka Harapan Hidup. Dibimbing oleh SISWADI dan HADI SUMARNO.
Kelahiran dan kematian meupakan komponen utama dalam demografi yang digunakan untuk membuat kebijakan sosial dan kesehatan. Angka kelahiran total dan angka harapan hidup biasanya digunakan sebagai indikator kelahiran dan kematian. Indikator tersebut sering dihitung menggunakan ukuran periode daripada kohort karena ukuran periode membutuhkan data yang lebih mudah dan dapat menggambarkan kejadian sekarang.
Pada karya tulis ini dibahas adanya efek tempo pada kelahiran dan kematian yang mempengaruhi angka kelahiran total dan angka harapan hidup periode. Efek tempo ini disebabkan oleh adanya perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan atau perubahan rata-rata umur seseorang meninggal. Pada kasus kelahiran juga terdapat efek kuantum akibat perubahan jumlah kelahiran yang terjadi pada suatu periode, sedangkan pada kematian tidak ada efek kuantum karena kematian bukan kejadian yang berulang.
Pertanyaan mengenai peristiwa demografi merupakan pusat perhatian dalam analisis demografi sebagai landasan untuk membuat kebijakan sosial dan kesehatan. Berapa banyak anak yang dimiliki suatu keluarga? Berapa usia wanita saat melahirkan? Berapa lama kita hidup?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, telah dikembangkan metode untuk mengukur sebaran peristiwa tersebut. Perhatian utama biasanya pada dua komponen pokok pada sebaran ini, yaitu jumlah (komponen kuantum) dan waktu (komponen tempo). Sebagai contoh, angka kelahiran total merupakan ukuran kuantum dari kelahiran dan angka harapan hidup saat lahir merupakan ukuran tempo dari kematian.
Kuantum dan tempo dari peristiwa demografi, keduanya bisa diukur untuk kohort atau untuk periode. Ukuran kohort dari kuantum dan tempo merupakan hasil yang sebenarnya dialami oleh sekelompok orang yang lahir pada tahun yang sama, sedangkan periode menjelaskan kejadian yang dialami oleh sekelompok orang pada suatu waktu tertentu.
Dalam penghitungan kuantum dan tempo peristiwa demografi, biasanya digunakan ukuran periode karena indikator kohort mengukur perubahan yang telah berlalu dalam proses demografi. Sedangkan periode, membutuhkan data yang lebih mudah dan dapat menggambarkan kejadian sekarang.
Dalam kasus kelahiran, angka kelahiran total digunakan sebagai indikator dalam analisis demografi untuk membuat kebijakan kesehatan dan sosial. Sedangkan pada kasus
ialah angka harapan hidup.
Jika terjadi perubahan rata-rata umur wanita saat melahirkan dan rata-rata umur seseorang mati pada data kohort, maka angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang diperoleh melalui data periode tidak sesuai dengan kejadian yang sebenarnya. Kejadian ini biasanya disebut efek tempo.
1.2 Tujuan
Penulisan ini bertujuan untuk memberi gambaran tentang metode penghitungan efek tempo pada angka kelahiran total dan angka harapan hidup, kemudian menentukan besarnya efek tempo yang terjadi.
1.3 Bahan dan Metode
Data yang digunakan adalah data angka kelahiran total dan rata-rata umur melahirkan menurut urutan kelahiran Amerika Serikat tahun 1970-2000
(WWW.cdc.gov/nchs/datawh/statab/unpubd/n atality/natab2000.htm) dan data angka kematian Amerika Serikat tahun 1901-1991 (WWW.demog.berkeley.ed./~bmd/states.html)
Untuk mendapatkan besarnya efek tempo yang terdapat pada angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang pertama kali dilakukan ialah menghitung angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang diamati untuk data periode. Kemudian digunakan turunan formula yang diperoleh untuk menghitung angka kelahiran total dan angka harapan hidup yang disesuaikan tempo sehingga dapat ditentukan besarnya efek tempo yang terjadi.
II. LANDASAN TEORI
Definisi 1. Populasi [Population]
Populasi adalah jumlah orang yang mendiami suatu daerah pada waktu tertentu.
(Shresta, 2006)
Definisi 2. Kelahiran Hidup [Life Birth] Kelahiran hidup adalah peristiwa keluarnya bayi dari rahim ibunya, tanpa memperdulikan lama kehamilan, dan setelah itu bayi bernafas atau menunjukkan tanda-tanda kehidupan yang lain seperti detak jantung, denyut nadi atau gerakan nyata yang
disengaja, baik bila tali pusat dipotong atau masih melekat dengan plasenta.
(Lucas, 1984)
Definisi 3. Kematian [Mortality]
Kematian adalah hilangnya semua tanda-tanda kehidupan secara permanen yang dapat terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup.
(Wirosuhardjo, 1980)
Definisi 4. Kohort [Cohort]
Pertanyaan mengenai peristiwa demografi merupakan pusat perhatian dalam analisis demografi sebagai landasan untuk membuat kebijakan sosial dan kesehatan. Berapa banyak anak yang dimiliki suatu keluarga? Berapa usia wanita saat melahirkan? Berapa lama kita hidup?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, telah dikembangkan metode untuk mengukur sebaran peristiwa tersebut. Perhatian utama biasanya pada dua komponen pokok pada sebaran ini, yaitu jumlah (komponen kuantum) dan waktu (komponen tempo). Sebagai contoh, angka kelahiran total merupakan ukuran kuantum dari kelahiran dan angka harapan hidup saat lahir merupakan ukuran tempo dari kematian.
Kuantum dan tempo dari peristiwa demografi, keduanya bisa diukur untuk kohort atau untuk periode. Ukuran kohort dari kuantum dan tempo merupakan hasil yang sebenarnya dialami oleh sekelompok orang yang lahir pada tahun yang sama, sedangkan periode menjelaskan kejadian yang dialami oleh sekelompok orang pada suatu waktu tertentu.
Dalam penghitungan kuantum dan tempo peristiwa demografi, biasanya digunakan ukuran periode karena indikator kohort
