Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk Quasi-Stabil

CECEP A.H.F. SANTOSA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

©Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008

Hak Cipta dilindungi undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

QUASI-STABIL

CECEP A.H.F. SANTOSA

Tesis

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Modifikasi Metode Rele untuk Penduduk Quasi-Stabil adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir thesis ini.

Bogor, Februari 2008

Cecep A.H.F. Santosa

CECEP A.H.F. SANTOSA. Modification of Rele’s Method for Quasi-Stable

Population Model. Under the supervision from HADI SUMARNO and N.K. KUTHA

ARDANA.

Due to the difficulty to find a vital statistic in the most countries, especially in

underdeveloped countries, this study was developed to find a relationship between

fertility measure derived from census data such as

Child-Woman Ratio

(

CWR

) and

combination of vital statistic and census data (direct measure) such as

Gross

Reproduction Rate

(

GRR

). In 1967, Rele developed indirect measure of fertility

method to find

GRR

from

CWR

and expected life at birth using stable population

model.

The main objective of this paper is to modify of Rele method using

quasi-stable population model and compare the result of estimation

GRR

of each models.

This paper determine the ultimate age distribution of stable and quasi-stable

population models. Next,

CWR

from number of age distribution and model relation

between

GRR

and

CWR

was computed, this result is called original model.

Furthermore, the original model was developed to find the relation between

GRR

and

CWR

and compare to the original model.

From the comparison between the models and the actual data, the quasi-stable

population model is better than the stable population model.

CECEP A.H.F. SANTOSA. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk

Quasi-Stabil. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N.K. KUTHA ARDANA.

Didasari oleh kesulitan untuk memperoleh data

vital statistic

untuk penduduk

di hampir semua negara terutama di negara-negara berkembang, penelitian ini

dikembangkan untuk mencari hubungan antara ukuran fertilitas yang diturunkan dari

data sensus seperti

Child-Woman Ratio

(

CWR

) dan ukuran fertilitas yang

dikembangkan dari kombinasi

vital statistic

dan data sensus (ukuran langsung) seperti

Gross Reproduction Rate

(

GRR

). Pada tahun 1967, Rele mengembangkan suatu

metode tidak langsung untuk mencari nilai

GRR

dari

CWR

dan angka harapan hidup

saat lahir (

e

00

) dengan menggunakan model populasi stabil. Intinya metode Rele

merupakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai

GRR

dari nilai

CWR

dan nilai

e

00

. Dasar yang digunakan untuk menghitung

CWR

dalam metode Rele

adalah menghitung sebaran jumlah penduduk menurut umur berdasarkan model

penduduk stabil. Sebaran jumlah penduduk tersebut diperoleh dengan mencari tingkat

pertumbuhan penduduk (

r

) untuk model penduduk stabil, menentukan

GRR

dan nilai

e

00

, dan nilai

L

i

(penduduk tengah tahun umur

i

) berdasarkan pada nilai

e

00

. Dari

sebaran jumlah penduduk yang telah dibentuk, kemudian dihitung nilai

CWR

.

Langkah terakhir adalah melakukan analisis hubungan antara

GRR

dan

CWR

Tujuan utama dari thesis ini adalah memodifikasi metode Rele dengan

menggunakan model penduduk quasi-stabil dan membandingkan hasil dugaan

GRR

untuk masing-masing model. Pada model penduduk stabil, fertilitas dan mortalitas

diasumsikan konstan, sedangkan pada model penduduk quasi-stabil diasumsikan

fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki seperti

diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari

naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan

penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Untuk membedakan kedua laju

tersebut maka dipakai notasi

r

p

untuk laju pertumbuhan penduduk dan

r

b

untuk laju

kelahiran bayi, sehingga untuk model pertumbuhan quasi-stabil persamaan

nr

e

t

B

n

t

B

(

+

)

=

(

)

pada model penduduk stabil akan berubah menjadi

b

nr

e

t

B

n

t

B

(

+

)

=

(

)

. Laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu

t

dinotasikan

r

p

(

t

), sehingga total penduduk pada tahun

t

+

n

adalah:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

+

∫

+n

t

t p

ds s r t

P n t

P( ) ( )exp ( )

Ringkasnya, pada penduduk stabil

r

b

=

r

p

(

t

)

=

r

sedangkan pada penduduk

quasi-stabil

r

p

(

t

)

>

r

b

untuk semua

t

jika laju kematian sesaat

(

μ

_x

)

turun dan

r

p

(

t

)

<

r

b

untuk semua

t

jika laju kematian sesaat

(

μ

_x

)

naik.

pengembangan.

Dalam kondisi penduduk stabil, hubungan antara

Child Woman Ratio

(

CWR

)

dengan

Gross Reproduction Rate

(

GRR

) adalah :

T r

e

G

K

X

=

* Δ

dengan

X

=

CWR

,

G

=

GRR

,

K

*

=K S

w

(T

) merupakan konstanta,

r

menyatakan laju

pertumbuhan penduduk stabil dan

GRR

akan linier terhadap CWR jika

ΔT

mendekati nol.

Dengan menerapkan model di atas pada penduduk quasi-stabil, dengan laju

kematian sesaat menurun secara linier sebagai berikut:

kt

a

t

a

_x

x

(

+

)

=

μ

(

)

−

μ

dan faktor perbaikan mortalitas yang dipilih

k

= 0.0002, maka diperoleh hubungan

antara

GRR

dengan

CWR

untuk masing-masing

e

00

. Hasil dari pendugaan nilai

GRR

tersebut kemudian dibandingkan dengan data yang tersedia, ternyata dugaan

GRR

dengan menggunakan model penduduk quasi-stabil lebih baik dibandingkan dengan

dugaan ketika menggunakan model penduduk stabil.

Model

GRR

dengan menggunakan satu peubah, yaitu

CWR

untuk

masing-masing

e

00

yang telah diperoleh sebelumnya, kemudian dikembangkan sehingga

untuk menduga

GRR

cukup hanya dengan satu persamaan saja. Model

GRR

hasil

modifikasi tersebut ternyata tidak berbeda dengan model awal yang diperoleh, hal

tersebut dilihat dari nilai

proportional error

dan

R

2

terkoreksi untuk masing-masing

model. Sehingga model yang digunakan untuk menduga

GRR

cukup dengan satu

persamaan, yaitu:

0 0 0

0 0.0255 00643

. 0 55

. 5 217 .

0 CWR e CWRe

GRR= + − −

Untuk Indonesia, berdasarkan fakta bahwa pertumbuhan penduduk setiap

periode selalu mengalami perubahan, maka jelas bahwa Indonesia tidak tepat jika

didekati dengan model penduduk stabil, model yang paling mendekati keadaan di

Indonesia adalah model quasi-stabil dengan nilai faktor perbaikan mortalitas

k

dapat

diduga dengan persamaan

k

= -0.163 + 0.000083

t

, dimana

t

adalah tahun.

NIM : G551050041

Disetujui

Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua

Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota

Diketahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

Dekan Sekolah Pasca Sarjana

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala

karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam

penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2007 ini adalah Modifikasi Metode

Rele untuk Penduduk Quasi-Stabil.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.

dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing serta Ibu Dr. Ir.

Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di

samping itu, ungkapan terima kasih penulis sampaikan juga kepada rekan-rekan

mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu

persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah

SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir penulis sampaikan terima kasih

kepada Ayah, Ibu, Istri, serta seluruh keluarga, atas do’a dan kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Februari 2008

Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 5 Januari 1981 dari ayah

Drs. Maman Sholehuddin S.A. dan Ibu Yeyet Rohayati. Penulis merupakan putra

kedua dari dua bersaudara.

Tahun 2000 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Subang Jawa Barat dan pada

tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui Undangan Seleksi Masuk IPB.

Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada program studi dan

pada perguruan tinggi yang sama diperoleh pada tahun 2005.

Penulis adalah staf pengajar di Universitas Islam Negeri Syarif

Hidayatullah Jakarta sejak Agustus 2006. Mata Kuliah yang diajarkan adalah

Halaman

DAFTAR TABEL ... ix

DAFTAR GAMBAR ... x

DAFTAR LAMPIRAN ... xi

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 3

ALUR PENELITIAN ... 4

MODEL MATEMATIKA KEPENDUDUKAN 3.1 Ukuran Fertilitas ... 5

3.2 Model Pertumbuhan Penduduk ... 7

3.2.1 Model Penduduk Stabil ... 7

3.2.2 Pendugaan GRR dengan Metode Rele ... 11

3.2.3 Modifikasi Metode Rele dengan Menggunakan Penduduk Quasi- Stabil ... 12

3.2.4 Laju Kelahiran Intrinsik Penduduk Quasi-Stabil ... 13

PEMBAHASAN ... 4.1 Tingkat Pertumbuhan Penduduk ... 15

4.2 Pembentukan Populasi Penduduk ... 15

4.3 Hubungan GRR dan CWR ... 17

4.4 Analisis Regresi ... 19

4.5 Kasus di Indonesia ... 29

KESIMPULAN DAN SARAN ... 33

DAFTAR PUSTAKA ... 35

Halaman

1. Rata-rata tingkat kelahiran menurut sebaran umur wanita (Rele 1967) ... 16

2. Nilai proportional error nilai dugaan terhadap nilai aktual untuk masing- masing model penduduk ... 23

Halaman

1. Alur Penelitian ... 4

2. Alur Penelitan Metode Rele ... 11

3. Hubungan antara Child Woman Ratio (CWR) dan Gross Reproduction Rate GRR berdasarkan angka harapan hidup (e00) untuk penduduk stabil ... 20

4. Hubungan antara Child Woman Ratio (CWR) dan Gross Reproduction Rate GRR berdasarkan angka harapan hidup (e00) untuk penduduk quasi-stabil 20 5. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk e00=60 ... 21

6. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi stabil ... 22

7. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk e00=70 ... 22

8. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil untuk e00=70 ... 23

9. Tebaran GRR=f(CWR, e00) untuk model penduduk stabil ... 25

10. Tebaran GRR=f(CWR, e00) untuk model penduduk quasi-stabil ... 25

11. Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk model regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00 ... 27

12. Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing-masing model penduduk untuk model regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00 ... 28

13. Tingkat kelahiran kasar penduduk Indonesia ... 29

14. Tingkat kematian kasar penduduk Indonesia ... 30

15. Tingkat pertumbuhan penduduk Indonesia ... 30

Halaman

1. Pembentukan jumlah penduduk menurut sebaran umur stabil dan quasi-

stabil (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 37

2. Sebaran jumlah penduduk menurut umur model penduduk stabil berdasar- kan tingkat GRR dan angka harapan hidup ... 41

3. Proses perhitungan U dan V ... 47

4. Proses perhitungan Child-Woman Ratio (CWR) (mengguna- kan software Mathematica 5.0) ... 49

5. Nilai Child-Woman Ratio (CWR) untuk penduduk stabil ... 51

6. Nilai Child-Woman Ratio (CWR) untuk penduduk quasi-stabil ... 52

7. Koefisien regresi untuk pendugaan Gross Reproduction Rate (GRR) dan Child Woman Ratio (CWR) ... 53

8. Analisis Regresi (menggunakan softwareMinitab 14) ... 54

9. Perhitungan perbandingan nilai GRR terhadap nilai aktual (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 62

10. Perhitungan perbandingan nilai GRR terhadap nilai aktual (menggunakan software Mathematica 5.0) ... 63

11. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk berdasarkan angka harapan hidup e00= 60 ... 64

12. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk berdasarkan angka harapan hidup e00= 70 ... 65

13. Nilai dugaan GRR, aktual, dan galat untuk masing-masing model penduduk untuk bentuk regresi GRR = a+b CWR+ c e00 + d CWR e00 ... 66

14. Nilai Crude Birth Rate (CBR) negara Indonesia (PBB 2008)... 67

15.Nilai Crude Death Rate (CDR) negara Indonesia (PBB 2008) ... 68

16. Tingkat pertumbuhan penduduk Indonesia (PBB 2008) ... 69

17. Data Age-Specific Mortality Rate (ASMR) negara Indonesia (diolah dari data PBB 2008) ... 70

18. Proses Proses Perhitungan Nilai faktor perbaikan mortalitas k (mengguna- kan Software Mathematica 5.0) ... 71

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Hampir di semua negara berkembang sekarang ini, analisis kelahiran

merupakan permasalahan kependudukan utama yang dihadapi. Hal ini disebabkan

oleh keterbatasan data dasar yang diperoleh mengenai jumlah kelahiran. Padahal,

pada saat yang sama, urgensi untuk menentukan pendugaan yang tepat mengenai

tingkat kelahiran, atau ukuran pusat dari kelahiran merupakan sesuatu yang sangat

penting di negara-negara berkembang seperti halnya di negara maju dalam rangka

membantu perencanaan wilayah dan pengembangan ekonomi (Rele 1967).

Negara-negara berkembang dengan angka fertilitas yang relatif tinggi dan

jumlah penduduk yang besar, seringkali mengalami kesulitan dalam

melaksanakan registrasi kelahiran penduduk secara lengkap sehingga tidak

mempunyai vital statistic yang dapat dijadikan acuan yang terpercaya. Vital

statistic adalah data atau informasi yang dimiliki suatu negara tentang dinamika

penduduknya. Tiga komponen utama vital statistic adalah fertilitas, mortalitas,

dan migrasi atau perpindahan penduduk. Di samping tiga hal di atas, vital statistic

juga dilengkapi dengan informasi atau catatan mengenai kejadian-kejadian

demografi yang lainnya seperti usia perkawinan, jumlah perkawinan, dan data

keluarga, maupun jumlah tenaga kerja. Di antara negara-negara berkembang yang

ada, Indonesia termasuk dalam negara yang tidak mempunyai vital statistic yang

lengkap.

Bogue dan Palmore (1964) mengemukakan bahwa prinsip ukuran fertilitas

dapat dikelompokkan dalam dua macam, yaitu ukuran yang diperoleh dari

kombinasi vital statistic dan data sensus (dinamakan direct measure) dan ukuran

yang diturunkan hanya dari data sensus (dinamakan indirect measure). Ukuran

fertilitas yang diturunkan dari kombinasi vital statistic dan data sensus (direct

measure) antara lain:

a. Crude Birth Rate (CBR) = jumlah kelahiran dalam satu tahun per

b. General Fertility Rate (GFR) = jumlah kelahiran dalam setahun

per 1000 wanita yang dapat melahirkan anak (15 – 40 tahun) pada

tengah tahun.

c. Age Specific Fertility Rates (ASFR) = jumlah kelahiran per tahun

terhadap 1000 wanita pada umur tertentu.

d. Total Fertility Rate (TFR) = penjumlahan dari Age Specific

Fertility Rates untuk semua umur antara 15 sampai 49 tahun.

e. Gross Reproduction Rate (GRR) = penjumlahan dari ASFR, jika

hanya memperhatikan bayi wanita.

Saat ini, para ahli demografi telah mengembangkan beberapa ukuran

fertilitas yang berbeda, dengan kelebihan dan kekurangan masing-masing.

Diantara ukuran tidak langsung adalah metode Rele untuk menghitung GRR,

metode Palmore untuk menghitung TFR dan ASFR, metode Own-Children

Method dan metode Last life birth. Pada umumnya ukuran tidak langsung

diperoleh melalui sensus penduduk atau survei yang dilakukan sepuluh tahun

sekali. Namun data yang diperoleh dari sensus sangat terbatas, hanya memberikan

informasi jumlah penduduk yang hidup pada saat sensus diadakan. Sensus tidak

mencatat jumlah bayi lahir hidup yang kemudian meninggal pada waktu sensus

belum diadakan. Sehingga gambaran tentang fertilitas diperoleh secara tidak

langsung melalui distribusi penduduk menurut umur yang tersedia dari data

sensus.

Maksud dari penelitian ini adalah melakukan modifikasi metode pengukuran

fertilitas tidak langsung yang dikembangkan oleh Rele dengan menggunakan basis

data yang lebih sesuai untuk kondisi negara berkembang.

1.2 Tujuan

Tujuan utama dari penelitian ini adalah melakukan modifikasi metode

Rele menggunakan model penduduk quasi-stabil. Secara spesifik, tujuan

penelitian adalah :

1. Menentukan tingkat pertumbuhan penduduk (r) untuk penduduk stabil

2. Menyusun sebaran jumlah penduduk dengan model penduduk

3. Mencari bentuk hubungan antara Child-Woman Ratio (CWR) dengan

Gross Reproduction Rate (GRR) menggunakan model penduduk

quasi-stabil.

4. Membandingkan metode pengukuran GRR berdasarkan model penduduk

BAB II

ALUR PENELITIAN

Pada penelitian ini akan ditentukan pendugaan bagi Gross Reproduction

Rate (GRR) dengan menggunakan asumsi penduduk stabil dan quasi-stabil, yaitu

dengan menguji hubungan yang terjadi antara Gross Reproduction Rate (GRR)

dan Child-Woman Ratio (CWR).

Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan Gross Reproduction

Rate untuk masing-masing model penduduk (stabil dan quasi-stabil) adalah

sebagai berikut:

1. Membangkitkan data hipotetik berdasarkan model penduduk stabil dan

quasi-stabil untuk berbagai nilai harapan hidup saat lahir (e00) dan GRR.

2. Menghitung nilai Child-Woman Ratio (CWR) berdasarkan data yang

diperoleh dari langkah 1.

3. Mencari bentuk hubungan GRR dan CWR untuk model penduduk stabil

dan quasi-stabil.

4. Analisis bentuk hubungan GRR dan CWR untuk model penduduk stabil

dan quasi-stabil.

5. Membandingkan dugaan GRR untuk model penduduk stabil dan

quasi-stabil terhadap nilai aktual GRR yang tersedia.

Langkah-langkah tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1 Alur penelitian.

r, GRR, e00, Li Penduduk stabil Child-Woman Ratio

Mencari bentuk hubungan

GRR danCWR Penduduk

quasi-stabil

Membandingkan dugaan model penduduk

BAB III

MODEL MATEMATIKA KEPENDUDUKAN

3.1 Ukuran Fertilitas

Fertilitas merupakan performan reproduksi aktual dari seorang wanita atau

sekelompok individu yang pada umumnya dikenakan pada seorang wanita atau

sekelompok wanita.

Berikut beberapa ukuran fertilitas yang dikenalkan oleh Brown (1997)

diantaranya adalah Crude Birth Rate (CBR) atau angka kelahiran kasar,

merupakan ukuran kelahiran yang sering digunakan. CBR dapat dihitung dengan

cara:

) (

) (

t P

t B

CBR=

dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan P(t) merupakan

jumlah penduduk pada waktu t.

Pada CBR ini jumlah kelahiran tidak dikaitkan secara langsung dengan

penduduk wanita, melainkan dikaitkan dengan jumlah penduduk secara

keseluruhan. Untuk itu, diperlukan ukuran fertilitas yang lebih spesifik yaitu

General Fertility Rate (GFR) yang merupakan rasio jumlah kelahiran hidup

terhadap jumlah wanita umur reproduksi. Umur reproduksi adalah umur dimana

wanita masih dapat hamil dan melahirkan bayi.

) (

) (

t P

t B

GFR= _w

dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan Pw(t) merupakan

jumlah penduduk wanita umur reproduksi pada waktu t.

Rasio Anak-Wanita (Child-Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas

yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore 1978), CWR ini dinyatakan

dengan rasio jumlah anak umur selang

[ ]

c,d tahun terhadap wanita umur

reproduksi selang

[ ]

h,k tahun dinyatakan dalam rumus:

[ ]

[ ]hwk

d c P P CWR

, ,

dengan P_{[ ]c,d} merupakan jumlah penduduk selang umur

[ ]

c,d tahun dan P_{[ ]h}w,_k

merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi

[ ]

h,k tahun.

Ukuran fertilitas selanjutnya adalah Age-Spesific Fertility Rate (ASFR)

merupakan ukuran fertilitas pada wanita umur tertentu. Fakta empiris

menunjukkan bahwa jumlah kelahiran selama jangka waktu tertentu bervariasi

menurut umur ibu.

( )

( )

t P

t B

ASFR _w

x x x =

dengan B_x

( )

t merupakan jumlah kelahiran hidup dari wanita usia x pada waktu t

dan Pw

( )

t

x merupakan jumlah penduduk wanita umur x pada waktu t, atau dapat juga ditulis:

( )

( )

t P

t B

f _w

x x t

x = dengan t x

f adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t.

Sebagai total dari ukuran fertilitas ASFR di atas, maka Total Fertility Rate

(TFR) dapat dinyatakan sebagai:

∑

=

= k

h x

t x f

TFR

dengan h dan k merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita reproduksi.

Jika ukuran-ukuran fertilitas di atas tidak membedakan jenis kelamin bayi

maka ukuran reproduksi hanya memperhatikan bayi wanita yang secara langsung

bertalian dengan pergantian generasi. Dalam hal ini dikenal dua ukuran

reproduksi, yaitu Gross Reproduction Rate (GRR) dan Net Reproduction Rate

(NRR). Gross Reproduction Rate (GRR) ini menyatakan tingkat reproduksi kasar

yang tidak memperhatikan unsur kematian. GRR didefinisikan:

∑

=

= k

h x

t w x f

GRR ,

dengan f_xw,t merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi wanita (w)

pada waktu t.

Sedangkan Net Reproduction Rate (NRR) merupakan ukuran reproduksi

yang memperhitungkan unsur kematian, yaitu laju kematian sesaat

( )

μ_x sehingga

reproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat peluang wanita

meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya. Dengan demikian NRR

dapat dinyatakan sebagai:

( )

x S GRR

NRR= w

( )

x S f NRR w k h x t w x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

= ,

dengan

( )

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

=

∫

x y

w

dy x

S

0

exp μ merupakan peluang bayi wanita hidup sampai

umur x.

3.2 Model Pertumbuhan Penduduk 3.2.1 Model Penduduk Stabil (Brown 1997)

Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt

merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu sangat pendek yaitu t ke t + dt,

maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:

∫

= 1

0

) (t dt B

B (1)

Misalkan B(t) menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t+n)

merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n maka jumlah bayi

pada waktu t+n dapat dituliskan :

b nr e t B n t

B( + )= ( ) (2)

Dimana rb adalah laju kelahiran bayi, rb ≠0, dan n > 0 adalah waktu.

Bukti: t t B r t B t t

B( +Δ )= ()+ _b ()Δ

b b nr nr b b n t t n t t b n t t n t t b e t B n t B t B n t B e t B n t B t r n t r s B t r s dB s B dt r ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ln( ) ( ) ( | ) ( ln | ) ( ) ( 1 = + + = − + = − + = = + + + +

∫

∫

■

Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun

dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi rb.

Jika rb adalah laju kelahiran bayi per tahun maka laju pertumbuhan

penduduk rp pada penduduk stabil adalah sama dengan laju kelahiran bayi.

Bukti:

Misalkan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t, dan B(t)

merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan (2) maka

jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah:

x rb e t B x t

B( − )= () − (3)

dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x (bayi umur nol) sampai umur x

pada waktu t adalah B(t−x)S(x), dengan S(x) adalah peluang bayi hidup sampai

umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu t ke t + dt adalah jumlah

bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan peluang bayi hidup sampai umur

x, dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:

dx x S x t B dx t

F_x( ) = ( − ) ( ) (4)

Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah

∫

∞ = 0 ) ( )

(t F t dx

dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah:

∫

∞ − + = + 0 ) ( ) ( )

(t n B t ne S x dx

P rbx ₍₆₎

S(x) pada persamaan (5) sama dengan S(x) pada persamaan (6) dan dari

persamaan (2) _B(t+_n)=_B(t)erbn _{, maka diperoleh}

∫

∞ − = + 0 ) ( ) ( )

(t n B t e e S x dx

P rbn rbx

n r x r n r b b b e t P dx x S e t B e ) ( ) ( ) ( 0 = = ∞

∫

− (7)

Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk rp

merupakan laju kelahiran bayi rb itu sendiri, dan dari persamaan (2) dan (7)

terbukti bahwa P(t) dapat dinyatakan sebagai B(t)

Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan penduduk

intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam model penduduk

stabil persamaan (2) dapat dituliskan sebagai:

nr e t B n t

B( + )= () (8)

Jumlah penduduk pada suatu selang umur berubah sepanjang waktu, tetapi

proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.

Bukti:

Dari persamaan (4) dimana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x

sampai x + dx pada waktu t adalah Fx(t) dx, dan total penduduk pada waktu t

adalah P(t), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x + dx pada waktu t

adalah:

∫

∞ − − = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx x S e t B dx x S e t B t P dx t F rx rx

Karena B(t) bukan fungsi x, maka persamaan (9) menjadi:

∫

∞ −

− =

0

) (

) ( )

( ) (

dx x S e

x S e t

P dx t F

rx rx

x ₍₁₀₎

Persamaan (10) di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang

umur tertentu bukanlah merupakan fungsi dari t, sehingga terbukti proporsi

penduduk pada selang tersebut tidak berubah.

Jika B(0) adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t = 0, maka jumlah

penduduk umur 0, 1, 2, ..., x pada waktu t = 0 dapat dituliskan dalam tabel

berikut:

Umur Waktu t = 0

Bayi B(0)

0 B(0)S(0)

1 B(0) e-rS(1)

2 B(0) e-2r S(2)

M M

x B(0) e-xr S(x)

Tabel di atas menunjukkan bahwa jumlah penduduk untuk waktu t = 0

dipengaruhi oleh laju pertumbuhan penduduk r, jumlah kelahiran B(0), dan

mortalitas yaitu S(x).

Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model penduduk

stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari persamaan 3 dan 4

diperoleh jumlah penduduk (wanita, jika diasumsikan sebagai populasi wanita)

yang hidup pada umur x saat waktu t:

Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang dituliskan sebagai

, sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan sebagai:

Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat waktu t

(11)

dengan membagi B(t) diperoleh:

(12)

Jika dan adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif, sehingga

untuk x < α atau x > β, maka persamaan (12) dapat dituliskan sebagai

berikut:

(13)

3.2.2 Pendugaan GRR dengan Metode Rele

Metode Rele merupakan suatu metode yang digunakan untuk menduga nilai

Gross Reproduction Rate (GRR) dari nilai Child-Woman Ratio (CWR) dan nilai

harapan hidup saat lahir (e00). Dasar yang digunakan untuk menghitung CWR

dalam metode Rele adalah menghitung sebaran jumlah penduduk menurut umur

berdasarkan model penduduk stabil. Sebaran jumlah penduduk tersebut diperoleh

dengan mencari tingkat pertumbuhan penduduk (r) untuk model penduduk stabil,

menentukan Gross Reproduction Rate (GRR) dan nilai harapan hidup saat lahir

(e00), dan nilai Li (penduduk tengah tahun umur i) berdasarkan pada nilai e00.

Dari sebaran jumlah penduduk yang telah dibentuk, kemudian dihitung nilai

Child-Woman Ratio. Langkah terakhir adalah melakukan analisis hubungan

antara GRR dan CWR. Metode Rele tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2 Alur Metode Rele

r, GRR, e00, Li Penduduk stabil Child-Woman Ratio

Mencari bentuk hubungan GRR dan

3.2.3 Modifikasi Metode Rele dengan Menggunakan Penduduk Quasi-Stabil Seperti telah dijelaskan sebelumnya, model yang digunakan dalam metode

Rele adalah model penduduk stabil. Dalam penelitian ini akan dilakukan

modifikasi dengan menggunakan penduduk quasi-stabil. Pada model penduduk

stabil, fertilitas dan mortalitas diasumsikan konstan, sedangkan pada model

penduduk quasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan sedangkan mortalitas

berubah. Mortalitas selalu diperbaiki seperti diindikasikan oleh laju kematian

sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari naiknya kelahiran dan

turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk lebih besar

daripada laju kelahiran bayi. Untuk membedakan kedua laju tersebut maka

dipakai notasi rp untuk laju pertumbuhan penduduk dan rb untuk laju kelahiran

bayi, sehingga untuk model pertumbuhan quasi-stabil persamaan

nr e t B n t

B( + )= () pada model penduduk stabil akan berubah menjadi

b nr e t B n t

B( + )= () . Laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t

dinotasikan rp(t), sehingga total penduduk pada tahun t+n adalah:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

+

∫

+n t

t p

ds s r t

P n t

P( ) ()exp ( ) (14)

Ringkasnya, pada penduduk stabil rb =rp(t)=r sedangkan pada penduduk

quasi-stabil rp(t)>rb untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ_x)turun dan

b

p _{t r}

r ( )< untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ_x)naik.

Misalkan )μ_x(a dan )μ_x(a+t menyatakan laju kematian sesaat dari

seseorang pada usia x, yang lahir pada waktu a dan a+t dan misalkan:

kt a t

a _x

x( + )=μ ( )−

μ untuk semua μ, k > 0 (15)

Untuk penduduk quasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter yaitu laju

pertumbuhan bayi rb, mortalitas awal μ_x(a), dan faktor perbaikan mortalitas k,

k > 0. Dengan ketiga parameter tersebut maka jumlah penduduk pada waktu t

dx du x t e t B dx x S x t B t P x u x r x t b

∫

∫

∫

∞ − ∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − = 0 0 0 ) ( exp ) ( ) ( ) ( ) ( μ

∫

∫

∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − = 0 0 ) ( exp )

(t e a t x a du dx

B

x u x

rb μ

∫

∫

∞ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − = 0 0 )] ( ) ( [ exp )

(t e a k t x a du dx

B

x u x

rb μ

∫

∫

∞ − − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 ) ( 0 ) ( exp )

(t e a du e dx

B k t x ax

x u x rb μ

∫

∞ − − − = 0 ) ( ) ( )

(t e S x e dx

B rbx _a k t x ax (16)

3.2.4 Laju Kelahiran Intrinsik Model Penduduk Quasi-Stabil

Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t,

maka diperoleh:

∫

∫

∞ − − − ∞ − − − ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 ) ( 0 ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( )

( e dx

dt d x S e t B dx e x S e t B dt d t P dt

d k t x a x

a x r x a x t k a x

rb b

∫

∫

∫

∞ − − ∞ − − − ∞ − − − + = + = 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx e x S xe t kB t P r dx e x S xe t kB dx e x S e t B r x a x t k a x r b x a x t k a x r x a x t k x r b b b b (17) ) (t

rp diperoleh dengan membagi persamaan (17) dengan persamaan (16):

) ( ) ( ) ( t P t P dt d t

rp =

∫

∫

∞ − − − ∞ − − + = 0 ) ( 0 ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dx e x S e t B dx e x S xe t kB t P r t r x a x t k a x r x a x t k a x r b p b b

Dengan x(t)adalah umur rata-rata yang diperoleh dari penduduk quasi-stabil pada

waktu t. Persamaan (18) menunjukkan perbedaan antara penduduk stabil dengan

penduduk quasi-stabil pada pertumbuhan penduduknya, dimana pada

pertumbuhan penduduk quasi-stabil mengandung k, k > 0 yaitu faktor perbaikan

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Tingkat Pertumbuhan Penduduk

Sebagai titik awal dari analisis ini, nilai dari tingkat pertumbuhan penduduk

stabil (r) diturunkan dari persamaan (13) sebagai berikut:

Persamaan tersebut merupakan persamaan kontinu. Dengan α = 15 dan β = 44,

S(x)=Li/l0, , maka secara diskrit bisa dituliskan:

∑ .

1 ) ( 05

. 2

1

0 ) 5 . 2

( =

∑

_∗

∈

+

− _{ASFR i}

l L e

Z i

i i r

; , , , … ,

Nilai Li merupakan penduduk tengah tahun yang diperoleh dari life table

Coale dan Demeny (1983) berdasarkan pada nilai harapan hidup saat lahir (e00)

yang dipilih. Nilai l0 adalah radix penduduk dengan nilai l0 = 100 000 dan

ASFR(i) merupakan ASFR pada umur i diperoleh dari nilai GRR yang ditetapkan.

Dengan demikian maka nilai r dapat diperoleh. Dalam hal ini diasumsikan rasio

jenis kelamin bayi (sex-ratio at birth) sama dengan 1.05 dimana terdiri dari 105

laki-laki dan 100 wanita.

4.2 Pembentukan Populasi Penduduk

Jumlah sebaran populasi menurut umur berdasarkan pada model penduduk

stabil dan quasi-stabil dibentuk berdasarkan enam tingkat fertilitas berbeda

(GRR), dan enam tingkat mortalitas yang berbeda (e00). Tingkat GRR yang

dijadikan pembentuk model adalah 4.0, 3.0, 2.5, 2.0, 1.5, dan 1 dengan angka

harapan hidup saat lahir (e00) yang dipilih adalah 20, 30, 40, 50, 60, dan 70 tahun.

Sedangkan tingkat proporsi GRR yang digunakan adalah 1:7:7:6:4:1, untuk

sebaran umur produktif dari umur 15 sampai 44. Rasio tersebut diturunkan dari 52

negara dengan tingkat fertilitas yang berbeda (Rele 1967), yang diperoleh dari

Rasio 1:7:7:6:4:1, diturunkan dari rata-rata tingkat fertilitas untuk 52

[image:30.612.123.512.155.356.2]

negara, walaupun tidak tepat proporsional.

Tabel 1. Rata-rata Tingkat Kelahiran menurut Sebaran Umur Wanita (Rele 1967)

Umur Wanita

Rata-rata Tingkat Kelahiran Rataan Deviasi dari 52 negara 52 Negara

Rasio

Negara dengan tingkat fertilitas

tinggi

Negara dengan tingkat fertilitas

rendah Total,

15-44

100.0 rasio 100 rasio 100 rasio

15-19 6.3 1.6 9.3 2.2 5.1 1.3 ±2.7

20-24 25.3 6.3 25.1 6.0 25.4 6.4 ±3.5

25-29 27.6 6.9 25.5 6.1 28.5 7.1 ±2.1

30-34 21.1 5.3 19.6 4.7 21.7 5.4 ±2.1

35-39 13.4 3.4 13.7 3.3 13.2 3.3 ±2.1

40-44 6.3 1.6 6.9 1.6 6.0 1.5 ±2.2

Sebaran umur jumlah penduduk stabil berdasarkan integral berikut:

∫

∞ − =

0

) ( ) ( )

(t B t e S x dx

P rx

Jika P(0) adalah jumlah penduduk pada waktu t = 0, maka jumlah penduduk umur

0,1,2,…x adalah:

Secara diskrit bisa dituliskan sebagai berikut:

∑ .

maka jumlah penduduk dari umur i sampai i+5 diperoleh dengan mengalikan Li

dengan e –r(i+2.5).

Sedangkan jumlah penduduk quasi-stabil berdasarkan kelompok umur i

sampai i+5 dapat diperoleh dari integral berikut (persamaan 16):

∫

∞

− − −

=

0

) (

) ( )

( )

(t B t e S x e dx

P kt x ax

a rx

Dengan cara yang sama, maka dapat ditentukan jumlah penduduk quasi-stabil

berdasarkan kelompok umur i sampai i+5 diperoleh dengan mengalikan Li dengan

Dengan demikian diperoleh sebaran penduduk stabil dan quasi-stabil menurut

umur yang diperlukan untuk menentukan Child-Woman Ratio (CWR). Proses

perhitungan jumlah sebaran penduduk stabil dan quasi-stabil dapat dilihat pada

Lampiran 1 dan hasil perhitungannya pada Lampiran 2.

4.3 Hubungan GRR dan CWR

Pendugaan Gross Reproduction Rate (GRR) ini dilakukan dengan

menentukan hubungan antara peubah takbebas GRR dengan peubah bebas CWR.

Berikut ini notasi yang digunakan:

X : CWR

r : laju pertumbuhan penduduk

Sw(x) : peluang hidup penduduk wanita (w) sampai umur x

Sl(x) : peluang hidup laki-laki (l) sampai umur x

c, d : batas bawah dan batas atas dari selang umur bayi yang digunakan

sebagai pembilang pada CWR

h, k : batas bawah dan batas atas dari selang umur wanita reproduktif yang

digunakan sebagai penyebut pada CWR

CWR seperti telah dinyatakan pada BAB III, merupakan perbandingan

jumlah sebaran penduduk selang umur

[ ]

c,d tahun (bayi wanita dan bayi

laki-laki) terhadap jumlah sebaran penduduk wanita selang umur

[ ]

h,k tahun,

sehingga rasio CWR (X) dapat dituliskan sebagai:

( )

( )

( )

∫

∫

∫

− − − ₊ = _k h w rx d c d c w rx l rx dx x S e dx x S e dx x S e X 05 . 1

( )

∫

∫

∫

− − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = _k h w ru d c d c w l rv dx x S e dx x S dx x S

e 1.05 ( ) ( )

dengan:

( )

( )

∫

∫

− − ₌ k h w k h w rx ru dx x S dx x S e

e dan

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∫

+ + = − − − d c d c w l d c d c w rx l rx rv dx x S dx x S dx x S e dx x S e e 05 . 1 ) ( 05 . 1 sehingga

( )

( )

∫

∫

= _k h w k h w dx x S dx x xS

U dan

( )

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∫

+ + = _d c d c w l d c d c w l dx x S dx x S dx x xS x xS V 05 . 1 05 . 1

(bukti terdapat di Lampiran 3).

U adalah rata-rata umur wanita reproduktif yaitu berada pada selang umur

[ ]

h,k , dan V adalah rata-rata umur bayi yaitu berada pada selang umur

[ ]

c,d . Jika T adalah rata-rata panjang generasi (mean length of generation) maka,

U−V =T+ΔT

Untuk memperoleh T yang sama dengan U-V maka ∆T ini berkaitan dengan

selang umur bayi dan wanita reproduktif yang digunakan pada CWR.

Dengan U−V =T+ΔT maka persamaan (19) menjadi:

( )

( )

(

)

( )

(T T)

r k h w d c w l e dx x S dx x S x S

X +Δ

∫

∫

+ = 05 . 1

= K R₀ erΔT (20)

dengan:

∫

∫

+ = _k h w d c w l dx x S dx x S x S K ) ( )) ( ) ( ( 05 . 1

Nilai r T

e Δ akan mendekati satu, karena r ≠ 0 (penduduk stabil), sedangkan ∆t→ 0.

Nilai NRR (R0) dapat dinyatakan sebagai berikut:

R₀ =GSw

( )

T (21)

Dengan persamaan (20) maka

_X =_K* _GerΔT ₍₂₂₎

dimana K* =K Sw

( )

T konstan untuk sembarang mortalitas. Dari persamaan (22)

hubungan CWR (X) dan GRR (G) mendekati linier untuk tingkat mortalitas (e00)

yang sudah ditentukan.

Analisis di atas menyatakan bahwa hubungan GRR dan CWR akan linier

bila ∆T mendekati nol.

Sedangkan nilai CWR diperoleh dengan membagi jumlah penduduk

laki-laki dan wanita pada umur 0-4 tahun terhadap penduduk wanita umur 15-49

tahun, yang dirumuskan sebagai berikut:

[ ]

[ ]hwk

d c P P CWR

, ,

=

(proses dan hasil perhitungan CWR untuk masing-masing model penduduk

terdapat pada Lampiran 4, 5, dan 6).

4.4 Analisis Regresi

Setelah diperoleh nilai CWR (Lampiran 5 dan 6), kemudian dilakukan

analisis regresi. Berdasarkan hasil selang umur untuk CWR tersebut yaitu selang

umur wanita reproduksi 15-49 tahun untuk bayi 0-4 tahun maka berikut ini akan

dibuat analisis persamaan regresi linier yaitu analisis yang menelaah hubungan

antara peubah takbebas dengan satu atau lebih peubah bebas, terutama pola

hubungan yang modelnya belum diketahui (Drapper & Smith 1998). Dalam hal

ini akan dicoba untuk data GRR sebagai peubah takbebas dan data selang umur

CWR(0-4)/(15-49) sebagai peubah bebas. Analisis regresi yang akan dilakukan;

pertama analisis regresi untuk masing-masing angka harapan hidup saat lahir

[image:34.612.158.478.123.310.2]

m m G G s ( C G menambah menambah a Berik

Gambar 3 H R P

Berd

GRR untuk

stabil. Nilai

(Lampiran 7

Dem

CWR dapat d

Gambar 4 H R P Gross R e pr odu cti on Rat e Gross R e pro duc tio n Rat e peubah adanya intera

kut analisis r

Hubungan an Rate (GRR) Penduduk St

dasarkan Ga

masing-ma

hubungan

7).

mikian juga u

dilihat pada

Hubungan an Rate (GRR) Penduduk Q 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 Gross   R e pr odu cti on   Rat e 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 Gross   R e pro duc tio n   Rat e ke persama

aksi antar pe

regresi untuk

ntara Child berdasarkan tabil.

ambar 3 di a

sing angka

linier yang

untuk mode

Gambar 4 b

ntara Child berdasarka Quasi-Stabil.

0.2

Child W

0.2 0

Child W

aan regresi,

eubah dan

k masing-ma

Woman Rati n Angka Ha

atas, terdapa

harapan hid

diperoleh u

el penduduk

berikut:

Woman Rat an Angka Ha

0.4

Woman Ratio: C

0.4 0.6

oman Ratio: C

keempat an

n CWR.

asing nilai

io (CWR) da arapan Hidup

at hubungan

dup saat lah

untuk masing

quasi-stabi

tio (CWR) da arapan Hidup

0.6

C(0‐4)/W(15‐4

0.8

C(0‐4)/W(15‐49

nalisis regre

:

an Gross Rep

p saat lahir

linier antara

hir ( pad

g-masing

l, hubungan

an Gross Rep

up saat lahir

0.8 1 9) 1 1.2 9) esi dengan production ( untuk

a CWR dan

da populasi

terlampir

n GRR dan

eproduction ( untuk 1

Hasil dari regresi untuk hubungan nilai GRR dan CWR pada model

penduduk stabil dan quasi-stabil berdasarkan nilai dapat dilihat pada Lampiran

7 dan 8.

Berikut akan dibandingkan nilai GRR aktual (Rele 1967) dengan nilai

dugaan berdasarkan model penduduk stabil dan quasi-stabil (Lampiran 11 dan

12). Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR aktual untuk nilai

= 60 ditampilkan pada gambar berikut: (proses perhitungan dapat dilihat pada

[image:35.612.144.490.253.460.2]

Lampiran 9).

Gambar 5 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR Aktual

untuk e₀= 60.

Nilai dugaan GRR untuk model penduduk quasi-stabil e₀= 60 secara

umum lebih baik dibandingkan dengan nilai dugaan menggunakan model

penduduk stabil (Gambar 5). Untuk lebih jelas, berikut ditampilkan nilai mutlak

untuk selisih antara dugaan dengan data aktual seperti pada pada Gambar 6

berikut: 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Gr

o

ss

 

R

e

pr

odu

cti

on

 

Rat

e

dugaan Q‐S

dugaan stabil

[image:36.612.151.489.78.274.2]

Gambar 6 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil untuk e00=60.

Berdasarkan Gambar 6, selisih antara dugaan dengan nilai aktual sebanyak

13 dari 14 negara model penduduk quasi-stabil mempunyai galat yang lebih kecil

dibandingkan dengan galat untuk model penduduk stabil, kecuali untuk negara

Perancis.

Sedangkan nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan rataan GRR aktual

untuk nilai = 70 ditampilkan pada gambar berikut: (proses perhitungan dapat

dilihat pada Lampiran 9).

Gambar 7 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan Rataan GRR Aktual masing-masing model penduduk untuk e₀= 70.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Selis ih   [A ktu a l ‐ du gaan]

error Q‐S

error Stabil

0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ca na d a 51 Ca na d a 56 Ca na d a 61 US 50 US 60 Is rae l Japan6 0 Czech De n m a rk 4 5 De n m a rk 5 0 Finland6 0 Hunga ry Nether land Nor w ay4 6 Nor w ay5 0 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Swi tz 50 Engl and Scotl a n d NewZ eala n d Gross   Rep rod uct ion   Ra te

[image:36.612.107.501.462.644.2]

[image:37.612.139.501.76.280.2]

Gambar 8 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual

masing-masing model untuk e00=70.

Untuk nilai = 70, nilai dugaan untuk model penduduk quasi-stabil

secara umum lebih baik dibandingkan dengan model penduduk stabil, namun ada

beberapa negara yaitu Swedia dan Inggris yang mempunyai nilai dugaan

penduduk stabil lebih baik dibandingkan untuk penduduk quasi-stabil (Gambar 7

dan 8).

Untuk lebih jelas, dihitung nilai proportional error sebagai berikut:

Proportional error = ∑ | |

∑ , (i)=dugaan, g(i)=aktual , i = 1,2,...n

Nilai proportional error dinilai baik jika < 10% (Bloom 1982).

Tabel 2 Nilai proportional error nilai dugaan terhadap nilai aktual untuk masing-masing model penduduk

Quasi-stabil stabil

Proportional error =60 5.85% 26.07%

Proportional error =70 4.42% 23.14%

Tabel 2 di atas menunjukkan bahwa dugaan dengan menggunakan model

penduduk quasi-stabil lebih baik jika dibandingkan dengan dugaan berdasarkan

model penduduk stabil. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 C a nada5 1 C a nada5 6 C a nada6 1 US 50 US 60 Isr a e l Japan6 0 Czech De n m ar k 4 5 De n m ar k 5 0 Finland6 0 Hunga ry Nether land Nor w a y 4 6 Nor w a y 5 0 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Swi tz 50 Engl and Scotl a n d NewZ eala n d Selisih   [A k tu a l ‐ du gaan]

error Q‐S

Namun persamaan regresi di atas bisa dikatakan tidak praktis karena untuk

setiap nilai yang berbeda mempunyai persamaan regresi yang berbeda dan

tidak berlaku umum untuk setiap , walaupun diperoleh R2 yang sangat besar

(Lampiran 8).

Oleh karena itu akan dicari suatu persamaan regresi yang berlaku umum

untuk setiap nilai . Dengan GRR sebagai peubah takbebas dan CWR sebagai

peubah bebas maka hubungan linier diantara keduanya dapat dinyatakan sebagai:

X = K* G er ∆t (persamaan 22)

Dengan X = CWR, K* suatu konstanta, G= GRR, dan ∆t , maka dapat

dituliskan:

CWR = K*GRR

GRR = b CWR , b =1/K*

karena untuk nilai CWR = 0, masih dimungkinkan nilai GRR ≠ 0, maka dapat

dituliskan hubungan sebagai berikut:

GRR=a+bCWR (23)

Untuk penduduk stabil nilai a = 0.290 dan b = 4.490 (Lampiran 8), sehingga

persamaan (23) menjadi:

CWR

GRR=0.290+4.490

(24)

Sedangkan untuk penduduk quasi-stabil nilai a = 0.205 dan b = 3.840 (Lampiran

8), sehingga persamaan (23) menjadi:

CWR

GRR=0.205+3.840 (25)

Tabel 3 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR tanpa memperhatikan nilai e00

  Koefisien regresi  Proportional Error  R2 Terkoreksi 

  Stabil   Quasi‐

stabil  

Stabil   Quasi‐ stabil  

Stabil   Quasi‐ stabil   GRR = a + b CWR  a =  0.290

b =  4.490  

a  =  0.205

m i u b p p Tabel memperhatik

itu dicoba de

Gamb Gambar 1 Berd untuk mode bidang dala pebuah tak persamaan 2 3 menunjuk

kan nilai e00

engan menam

bar 9 Tebara

10 Tebaran

dasarkan pad

el penduduk

am tiga dim

bebas GRR

23 berubah m

G

kkan bahwa b

0

menghasilk

mbahkan nil

an GRR = f(C

GRR = f(CW

da Gambar 9

k stabil dan

mensi, yang

dengan peu

menjadi:

bC a

GRR= +

bentuk hubu

kan nilai prop

lai peubah e0

CWR, ) un

WR, ) untu

9 dan 10, t

n model pe

menandakan ubah bebas 0 0 e c CWR+ ungan antara oportional er

00 ke bentuk

ntuk model p

uk model pen

tebaran GRR

enduduk qu

n terdapat h

CWR dan

a GRR dan C

rror yang be

persamaan r

penduduk st

nduduk quas

R, e00, dan C

asi-stabil, m

hubungan lin

. Dengan

CWR tanpa

esar. Untuk

regresi.

abil.

si-stabil.

CWR baik

membentuk

nier antara

n demikian

Dari hasi pendugaan persamaan regresi diperoleh nilai sebagai koefisien

a, b dan c untuk penduduk stabil yaitu a = 0.934, b = 5.020, dan c = -0.0198

(Lampiran 8) sehingga persamaan (26) menjadi:

GRR=0.934+5.020CWR−0.0198e₀0 (27)

Sementara itu, untuk penduduk quasi-stabil diperoleh nilai koefisien a, b

dan c yaitu a = 0.839, b = 4.300, dan c = -0.0198 (Lampiran 8), sehingga

persamaan (26) menjadi:

GRR=0.839+4.300CWR−0.0198e₀0 (28)

Tabel 4 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR + c e00.

  Koefisien regresi  Proportional 

Error  

R2  Terkoreksi 

  Stabil   Quasi‐stabil  Stabil   Quasi‐ stabil  

Stabil   Quasi‐ stabil   GRR = a + b CWR + ce0

0 

a =  0.934 b =  5.020  c  = ‐0.0198  

a =  0.839 b =  4.300  c  = ‐0.0198 

16.45%  14.71%  97.5%  97.7% 

Dengan penambahan peubah e00 ternyata nilai R2 terkoreksi lebih baik

dibandingkan dengan tanpa penambahan peubah e00, namun nilai dari

proportional error masih besar yaitu di atas 10 % baik untuk penduduk stabil

maupun quasi-stabil.

Untuk itu, akan dicoba dengan menambahkan adanya interaksi antara

peubah CWR dan e00, sehingga persamaan (26) menjadi:

GRR=a+bCWR+ce₀0 +dCWRe₀0 (29)

Dengan cara yang sama diperoleh nilai koefisien a, b, c dan d untuk penduduk

stabil, yaitu a = 0.304, b = 6.570, c = -0.00630, dan d = -0.0314 (Lampiran 8),

sehingga persamaan (29) menjadi:

GRR=0.304+6.570CWR−0.00630e₀0−0.0314CWRe₀0 (30)

Untuk penduduk quasi-stabil nilai koefisien a, b, c dan d yaitu a = 0.217,

b = 5.550, c = -0.00643, dan d = -0.0255 (Lampiran 8), sehingga persamaan (29)

menjadi:

0

0 0

0 0.0255 00643

. 0 550

. 5 217 .

0 CWR e CWRe

[image:41.612.105.508.470.674.2]

Tabel 5 Nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk bentuk regresi GRR = a + b CWR + c e00 + d CWR e00

  Koefisien regresi  Proportional Error  R2   Terkoreksi    Stabil   Quasi‐stabil  Stabil   Quasi‐

stabil  

Stabil   Quasi‐ stabil  

GRR = a + b CWR + ce0 0         _+ d CWR e

0

0   a =  0.304

b =  6.570  c  = ‐0.0063  d =  ‐0.0314  

a =  0.217 b =  5.550  c  = ‐0.00643  d =  ‐0.02550 

19.58%  8.54%  98.6%  98.7% 

Penambahan interaksi peubah CWR dan e00 selain menaikkan R2

terkoreksi, juga memperkecil nilai proportional error untuk model penduduk

quasi-stabil menjadi 8.54% (Tabel 5). Berdasarkan hal itu, maka model ini dipakai

sebagai model terakhir untuk menduga nilai Gross Reproduction Rate.

Berikut akan dibandingkan nilai GRR aktual (Rele 1967) dengan nilai

dugaan berdasarkan model penduduk stabil dan quasi-stabil (Lampiran 13). Hasil dari regresi ditampilkan pada Gambar 11 dan 12 berikut: (proses perhitungan

dapat dilihat pada Lampiran 10).

Gambar 11 Nilai dugaan GRR dan perbandingan dengan GRR aktual masing- masing model penduduk untuk model regresi GRR = a + b CWR +

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Canada4 1 Canada5 1 Canada5 6 Canada6 1 Panama

US40 US50 US60 Chile Isr

a

e

l

Japan

Europe _Belg

iu m Cz ec h Denmar k35 Denmar k40 Denmar k45 Denmar k50 F in land4 0 F in land5 0 F in land6 0 Fra n ce Fra n ce Hungary Net h er land No rw a y 46 No rw a y 50 Por tuga l5 0 S w eden35 S w eden40 S w eden45 S w eden50 S w eden60 Sw itz4 1 Sw itz5 0

England _Scotland

New Z ealand Gross   R e prod u cti on   Ra te

c e00 + d CWR e00

Gambar 12 Perbandingan selisih nilai dugaan GRR dengan GRR aktual untuk model penduduk stabil dan quasi-stabil.

Kedua gambar terakhir (Gambar 11 dan 12) menunjukkan bahwa dugaan

model penduduk quasi-stabil lebih baik dibandingkan dengan dugaan model

stabil, terutama untuk negara-negara yang belum mencapai stabil, seperti Panama

dan Chile. Untuk beberapa negara yang telah mencapai stabil seperti Amerika

Serikat, Perancis, Swedia, Swiss, Inggris, dan Skotlandia, dugaan model

penduduk stabil lebih baik dibandingkan dengan dugaan model penduduk

quasi-stabil.

[image:42.612.118.507.94.333.2]

Tabel 6 Perbandingan nilai koefisien regresi, proportional error, R2 terkoreksi untuk semua bentuk hubungan GRR = f(CWR,e00).

  Koefisien regresi  Proportional Error   R2  Terkoreksi    Stabil  Quasi‐stabil  Stabil  Quasi‐stabil  Stabil  Quasi‐stabil 

GRR=a + b CWR, e0 0

=60  a = ‐0.028 b = 4.580  

a = 0.220

b = 3.930  26.07%  5.85%  99.9%  99.9%  GRR=a + b CWR, e0

0

=70  a = ‐0.033 b = 4.390 

a = ‐0.128

b = 3.770  23.14%  4.42%  99.9%  99.9%  GRR = a + b CWR  a =  0.290

b =  4.490 

a  =  0.205

b  =  3.840  47.46%  23.03%  86.8%  86.9%  GRR = a + b CWR +  c e0

0  

a =  0.934 b =  5.020  c  = ‐0.0198 

a =  0.839 b =  4.300  c  = ‐0.0198 

16.45%  14.71%  97.5%  97.7%  0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 C a nada4 1 C a nada5 1 C a nada5 6 C a nada6 1 Panama US 40 US 50 US 60 Chile Isr a e l Ja p a n Europe _Belgi u m Czech Denm a rk 3 5 Denm a rk 4 0 Denm a rk 4 5 Denm a rk 5 0 Finland4 0 Finland5 0 Finland6 0 Fr ance Fr ance Hu n ga ry Nether land Nor w a y 4 6 Nor w a y 5 0 Por tugal5 0 Sw eden35 Sw eden40 Sw eden45 Sw eden50 Sw eden60 Sw it z41 Sw it z50 Engl and Scotl a n d NewZ eala nd Selisih   [aktual ‐ dug a a n]

GRR = a + b CWR +   ce0 0 ₊    

      d CWR e0

0   a =  0.304

b =  6.570  c  = ‐0.0063  d =  ‐0.0314 

a =  0.217 b =  5.550  c  = ‐0.00643  d =  ‐0.02550 

[image:43.612.137.503.80.125.2]

19.58%  8.54%  98.6%  98.7% 

Tabel 6 di atas menunjukkan bahwa berdasarkan nilai proportional error

dan R2 terkoreksi, model regresi GRR untuk model penduduk quasi-stabil dengan

adanya interaksi antara peubah GRR dan e00 (persamaan 31) tidak berbeda dengan

model awal untuk masing-masing harapan hidup (Lampiran 7). Jadi dengan

menggunakan persamaan 31 dapat dicari GRR untuk sebarang nilai e00 dan CWR

yang diketahui.

4.5 Kasus di Indonesia

Tingkat kelahiran kasar di Indonesia berdasarkan data dari Perserikatan

Bangsa-Bangsa (2008) menandakan adanya penurunan tingkat kelahiran mulai

tahun 1955-1960 sampai dengan 2000-2005. Sedangkan pada tahun 1950-1955

sampai tahun 1955-1960 terjadi kenaikan tingkat kelahiran (Lampiran 14), seperti

pada Gambar 13 berikut:

Gambar 13 Tingkat kelahiran kasar penduduk Indonesia (PBB 2008) 0

5 10 15 20 25 30 35 40 4