SISTEM DINAMIK MODEL PENGURANGAN BIOMASSA HUTAN
AKIBAT PENUMPUKAN INDUSTRIALISASI
VIVI RAMDHANI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Sistem Dinamik Model Pengurangan Biomassa Hutan Akibat Penumpukan Industrialisasi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
RINGKASAN
VIVI RAMDHANI. Sistem Dinamik Model Pengurangan Biomassa Hutan Akibat Penumpukan Industrialisasi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ENDAR H NUGRAHANI.
Hutan merupakan paru-paru bumi yang mengatur keseimbangan ekologi dan berperan dalam siklus oksigen (O2) serta karbondioksida (CO2). Hutan memberikan
banyak manfaat dalam menunjang kehidupan manusia. Daya dukung hutan terhadap kehidupan ditentukan oleh kesadaran manusia dalam pemanfaatannya. Eksploitasi yang tidak terkendali menyebabkan berkurangnya biomassa hutan. Pada penelitian ini, diajukan suatu model matematika tak linear yang kemudian dianalisis untuk mempelajari pengurangan biomassa hutan. Model tersebut mempertimbangkan dampak penumpukan industrialisasi pada biomasa hutan.
Sebuah model matematika diformulasikan untuk menganalisis pengurangan biomassa hutan. Ada empat variabel yang dipertimbangkan, yaitu kepadatan biomassa hutan , populasi penduduk , tekanan populasi penduduk � , dan kepadatan industrialisasi . Dalam penelitian ini, diperoleh empat titik tetap tak negatif, yaitu , , , dan . Untuk tiga titik tetap pertama, yaitu , , dan dianalisis dengan melakukan pelinearan pada sistem. Kemudian ditentukan nilai eigen dari matriks Jacobi pada ketiga titik tetap tersebut. Untuk titik tetap yang keempat, yaitu dianalisis dengan menggunakan teori kestabilan Liapunov. Analisis model menunjukkan bahwa berdasarkan kondisi tertentu, titik tetap , , dan adalah titik tetap saddle point tak stabil. Sedangkan titik tetap bersifat stabil asimtotik global.
Simulasi numerik menggambarkan bahwa tingkat keseimbangan kepadatan biomassa hutan mengalami penurunan seiring terjadinya peningkatan keseimbangan populasi penduduk, tekanan populasi, dan kepadatan industrialisasi. Tingkat keseimbangan biomassa hutan tersebut nilainya lebih kecil dari daya dukung lingkungan terhadap biomassa hutan itu sendiri. Selain itu, apabila laju penumpukan industrialisasi meningkat, maka terjadi penurunan terhadap kepadatan biomassa hutan.Untuk seluruh simulasi, dapat disimpulkan bahwa apabila kondisi kestabilan terpenuhi, maka dinamika sistem yang terjadi selalu mencapai tingkat keseimbangannya.
SUMMARY
VIVI RAMDHANI. Dynamical System of Model the Depletion of Forest Biomass Due to Crowding by Industrialization. Supervised by JAHARUDDIN and ENDAR H NUGRAHANI.
Forests are lungs of the earth which regulate ecological stability and it is important in cycles of oxygen (O2) and carbon dioxide (CO2). Forests give many
benefits for supporting human life. The sustainability of forests for life of human are determined by consciousness of society in using them. Uncontrolled exploitations have effects for depletion of forest biomass. In this research, we present a nonlinear mathematical model, which has been analyzed to study the depletion of forest biomass. Moreover, this research also considers the implication of crowding by industrialization on forest biomass.
A mathematical model is formulated to investigate the depletion of forest biomass. There are four variabels to consider, namely, the density of forest biomass , population of human , population pressure � , and density of industrialization . In this research, we get four nonnegative equilibria, namely, , , , and . The equilibria , , and are analyzed by linierizing the system. Then, we determine the eigenvalues of the Jacobian matrix for those equilibria. The equilibrium is analyzed by use stability theory of Liapunov. The analysis of the model showed that under certain condition, , , and are unstable saddle point. Whereas the equilibrium is globaly asymtotically stable. The numerical simulations show that the equilibrium level of forest biomass density decrease as the equilibrium level of the human population, population pressure, and density of industrialization increase. It is lower than its original carrying capacity. Moreover, if the rate of crowding by industrialization increases, then the forest biomass density decreases. In all simulations, we conclude that if conditions of stability theorems are satisfied, then dynamics of the system always attain their corresponding equilibrium level.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SISTEM DINAMIK MODEL PENGURANGAN BIOMASSA HUTAN
AKIBAT PENUMPUKAN INDUSTRIALISASI
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2015
Judul Tesis : Sistem Dinamik Model Pengurangan Biomassa Hutan Akibat Penumpukan Industrialisasi
Nama : Vivi Ramdhani
NIM : G551130211
Disetujui oleh Komisi Pembimbing
Dr Jaharuddin, MS Ketua
Dr Ir Endar H Nugrahani, MS Anggota
Diketahui oleh
Ketua Program Studi Matematika Terapan
Dr Jaharuddin, MS
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2014 ini adalah model pengurangan biomassa hutan, dengan judul Sistem Dinamik Model Pengurangan Biomassa Hutan Akibat Penumpukan Industrialisasi.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa bantuan dan bimbingan dari kedua pembimbing sangat membantu dalam menyelesaikan karya tulis ini. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Jaharuddin, MS dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran dan bimbingan dalam menyelesaikan tesis ini.
Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Seluruh dosen dan staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika.
2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa BPPDN.
3. Orang tua, saudara, dan seluruh keluarga yang selalu memberikan doa dan semangat selama masa studi penulis.
4. Seluruh mahasiswa angkatan 2013 di program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB.
5. Sahabat-sahabat yang telah membantu secara moril maupun materil.
Semoga semua bantuan, doa, dan motivasi yang telah diberikan pada penulis mendapat balasan dari Allah SWT.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan memperkaya wawasan bagi semua pembaca.
DAFTAR ISI
Titik tetap dan Pelinearan 3
Nilai Eigen dan Vektor Eigen 5
Analisis Kestabilan Titik Tetap 5
Teori Stabilitas Liapunov 5
Biomassa Hutan 7
Populasi dan Tekanan Populasi Penduduk 7
Industrialisasi 8
Model Dubey et al. (2009) 8
Model Shukla et al. (2011) 10
3 HASIL DAN PEMBAHASAN 12
Modifikasi Model Pengurangan Biomassa Hutan 12
Daerah Solusi Model Pengurangan Biomassa Hutan 14
Penentuan Titik Tetap Model 17
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model 20
Simulasi Numerik 31
4 SIMPULAN DAN SARAN 36
Simpulan 36
Saran 36
DAFTAR PUSTAKA 36
LAMPIRAN 38
DAFTAR TABEL
3 Skema model pengurangan biomassa hutan 13
4 Grafik sifat kestabilan pada titik tetap E 32
5 Variasi terhadap untuk beberapa nilai yang berbeda dan nilai parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67) 33 6 Variasi terhadap untuk beberapa nilai yang berbeda dan nilai
parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67) 33 7 Variasi terhadap untuk beberapa nilai yang berbeda dan nilai
parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67) 34 8 Variasi terhadap untuk beberapa nilai yang berbeda dan nilai
parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67) 34 9 Variasi � terhadap untuk beberapa nilai � yang berbeda dan nilai
parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67). 35 10 Variasi terhadap untuk beberapa nilai � yang berbeda dan nilai
parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67). 35
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks Maple dalam menentukan titik tetap , , dan 38 2 Sintaks Maple untuk matriks Jacobi, persamaan karakteristik, serta
nilai eigen dari titik tetap E , E , danE 39 3 Sintaks Maple yang digunakan untuk memperoleh nilai dari titik
tetapE B*, N*, P*, I* 43 4 Sintaks Maple untuk memperoleh grafik sifat kestabilan pada titik
tetap E (B*, N*, P*, I* 44 5 Sintaks Maple untuk simulasi numerik pada sistem (3.1) dengan
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Hutan merupakan paru-paru bumi yang menjadi bagian penting dari keseimbangan ekologi. Hutan memberikan berbagai manfaat terhadap kehidupan manusia, baik yang dirasakan secara langsung maupun tak langsung. Manfaat langsung hutan antara lain hasil hutan untuk memenuhi kebutuhan hidup, untuk bahan baku industri, serta tempat hidup berbagai satwa. Manfaat tidak langsung di antaranya adalah sebagai tempat penyimpanan air, perlindungan, serta tempat terjadinya pertukaran oksigen (O2) dan karbondioksida (CO2) melalui fotosintesis
pada tumbuhan.
Daya dukung hutan terhadap kehidupan manusia sangat ditentukan oleh kesadaran masyarakat dalam pemanfaatan dan pengelolaannya. Akan tetapi, dalam pemanfaatan hutan manusia cenderung melakukan eksploitasi berlebihan. Penebangan hutan tanpa regenerasi dapat mengubah hutan menjadi padang pasir. Eksploitasi tidak terkendali menyebabkan berkurangnya biomassa hutan. Akibatnya, keseimbangan hutan menjadi terganggu yang pada akhirnya berdampak terhadap kehidupan manusia itu sendiri. Hal ini lazim terjadi di negara-negara berkembang, di mana kerusakan hutan disebabkan oleh kegiatan penduduk yang semakin meningkat dalam infrastruktur dan industri (Dubey et al. 2009). Berkurangnya biomassa hutan akibat populasi penduduk dan industrialisasi merupakan masalah serius yang dihadapi masyarakat karena menyebabkan ketidakseimbangan ekologi dan perubahan iklim di bumi (Shukla et al. 2011).
Masalah berkurangnya biomassa hutan dapat dianalisis dengan menggunakan model matematika. Model matematika merupakan suatu tiruan (replika) yang mendeskripsikan fenomena (peristiwa alam) dalam satu sistem persamaan. Kecocokan model terhadap peristiwa alam tergantung pada ketepatan formulasi persamaan matematis dalam mendeskripsikan peristiwa alam yang ditirukan tersebut. Model matematika dapat membuat masalah yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana sehingga lebih mudah untuk diselesaikan. Dengan demikian, masalah pengurangan biomassa hutan ini dapat diformulasikan dalam suatu model matematika dan dilakukan analisis terhadap model tersebut.
Beberapa peneliti telah mempelajari model matematika yang menganalisis masalah pengurangan biomassa hutan. Shukla et al. (1988) memaparkan model dampak populasi, polusi, dan industrialisasi pada penurunan biomassa sumber daya terbaharui. Penelitian selanjutnya Shukla et al. (1989) telah menganalisis model matematika untuk mempelajari pengaruh industrialisasi pada pengurangan biomassa hutan. Pada tahun 1997, Shukla dan Dubey mempelajari efek dari penduduk dan polusi pada pengurangan biomassa sumber daya hutan.
2
dilakukan oleh Dubey et al. (2009) belum diamati pengaruh penumpukan industrialisasi pada biomassa hutan. Tahun 2010, Dubey dan Narayanan menganalisis model matematika untuk mempelajari pengaruh industrialisasi, populasi, dan polusi terhadap pengurangan biomassa sumber daya terbaharui. Shukla et al. (2011) menguraikan model pengurangan biomassa sumber daya terbaharui akibat populasi dan industrialisasi serta dampak teknologi terhadap konservasi biomassa tersebut.
Penelitian ini akan menganalisis model pengurangan biomassa hutan akibat populasi penduduk, tekanan populasi, dan industrialisasi. Model ini merujuk pada model matematika tak linear yang telah dipaparkan oleh Dubey et al. (2009) dan Shukla et al. (2011). Model dimodifikasi dengan mempertimbangkan penumpukan industrialisasi pada biomassa sumber daya hutan. Apabila dibandingkan dengan kenyataan di lapangan, model pengurangan biomassa hutan seharusnya memiliki banyak variabel yang terlibat. Akan tetapi, pada penelitian ini tidak semua dari variabel tersebut dimasukkan ke dalam model. Variabel yang dipertimbangkan dalam model dibatasi untuk empat variabel saja, yaitu kepadatan biomassa hutan, populasi penduduk, tekanan populasi penduduk, dan kepadatan industrialisasi.
Tujuan Penelitian
Tujuan yang akan dicapai pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memodifikasi model pengurangan biomassa hutan akibat populasi, tekanan populasi, dan industrialisasi.
2. Melakukan analisis kestabilan terhadap model hasil modifikasi.
3. Melakukan simulasi terhadap kestabilan model modifikasi dengan menggunakan program Maple dan melihat pengaruh perubahan parameter terhadap dinamika sistem.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini diberikan penjelasan teori-teori yang digunakan dalam penelitian model pengurangan biomassa hutan. Selain itu, juga dipaparkan beberapa model matematika tak linear dari penelitian sebelumnya yang menjadi rujukan dalam menyelesaikan penelitian ini. Teori-teori tersebut mendukung pembahasan di bagian selanjutnya.
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Tak Linear
Misalkan terdapat suatu model dinamika dengan� buah variabel tak bebas
3
Selanjutnya, dari sistem persamaan (2.1) apabila
, � = sistem persamaan diferensial biasa tak linear.
Sistem Persamaan Diferensial Biasa Mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai berikut �̇ = � , � ∈ , (2.2) dengan fungsi kontinu bernilai real dari �. Sistem persamaan (2.2) disebut sistem persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak memuat secara eksplisit di dalamnya (Tu 1994).
Titik Tetap dan Pelinearan
Misalkan diberi sistem persamaan diferensial biasa mandiri sebagai berikut �̇ = � , � ∈ . (2.3) Apabila �∗ = , maka titik �∗ disebut titik tetap dari persamaan (2.3) (Tu 1994).
Analisis kestabilan dari suatu sistem persamaan diferensial tak linear dapat diaproksimasi melalui sistem pelinearannya (Murray 1993). Salah satu metode yang digunakan adalah metode Deret Taylor. Diberikan sistem persamaan diferensial tak linear seperti di bawah ini
4
Diberikan sistem persamaan diferensial tak linear sebagai berikut:
̇ = , ,
Persamaan (2.8) dapat ditulis dalam bentuk ̇ = ,
5
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan matriks berukuran � x �, maka suatu vektor tak nol �di disebut vektor eigen dari jika untuk suatu skalar � berlaku
� = �� (2.10) dan nilai eigen � adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor eigen �. Untuk mencari nilai eigen dari matriks , maka persamaan (2.10) dapat ditulis menjadi
− � � = , (2.11) dengan adalah matriks identitas. Persamaan (2.11) mempunyai solusi tak trivial jika dan hanya jika
det − � = . (2.12) Persamaan (2.12) disebut persamaan karakteristik dari matriks (Anton dan Rorres 1995).
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misal diberikan matriks Jacobian dari sistem persamaan diferensial (2.3) dengan nilai eigen ��, � = , , , … � yang diperoleh dari det − � = . Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai sifat sebagai berikut (Tu 1994):
1. Stabil, jika:
a. setiap nilai eigen real adalah negatif �� < untuk setiap � atau
b. setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real negatif atau sama dengan nol, yaitu �� untuk setiap �, � = , , , … �.
6
(2.13)
(2.14) Teorema 2.1 Misalkan�∗ ∈ adalah titik tetap dari persamaan (2.3) dan fungsi
: → kontinu untuk x di ⊂ serta terdiferensialkan di − {�∗}, maka�∗ adalah stabil asimtotik apabila memenuhi kondisi berikut:
1. � definit positif, yaitu berlaku �∗ = dan � > untuk� ≠ �∗. 2. ̇ � adalah definit negatif , yaitu berlaku ̇ � < pada − �∗, di mana
̇ � = �� ̇ +� ̇ + . . . + � � ̇ .�
Fungsi � yang memenuhi kedua kondisi di atas disebut fungsi Liapunov(Hirsch dan Smale 1974, Khalil 2002).
Teori aljabar dasar menghasilkan suatu metode yang digunakan untuk menkonstruksi fungsi definit positif dan fungsi definit negatif seperti pada Teorema 2.2 berikut.
Teorema 2.2 Apabila diketahui fungsi seperti berikut ini
, = + + ,
maka persamaan (2.13) adalah definit positif jika dan hanya jika:
> dan − < , dan definit negatif jika dan hanya jika:
< dan − < .
(Boyce dan Diprima 2001) Berikut diberikan contoh analisis kestabilan dengan menggunakan teori stabilitas Liapunov. Misal diberikan suatu sistem persamaan diferensial:
̇ = − − ,
̇ = − − .
Akan ditunjukkan bahwa titik tetap , dari sistem persamaan (2.14) merupakan titik tetap stabil asimtotik.
Langkah pertama misalnya dikonstruksi sebuah fungsi Liapunov dari persamaan (2.13). Dengan demikian diperoleh fungsi berikut
, = + +
yang merupakan fungsi Liapunov dan digunakan untuk menganalisis kestabilan titik tetap (0,0) sehingga didapatkan:
, = + , , = + .
Turunan terhadap adalah seperti berikut
̇ = + − − + + − −
7 Kemudian dipilih = , dan dipilih serta sembarang bilangan positif. Dengan menggunakan Teorema 2.1 dan Teorema 2.2, maka diperoleh bahwa adalah fungsi definit positif dan ̇ adalah fungsi definit negatif. Jadi, titik tetap (0,0) adalah titik tetap stabil asimtotik (Boyce dan Diprima 2001).
Biomassa Hutan
Biomassa hutan adalah bahan organik yang dihasilkan dari proses fotosintesis pada tumbuhan. Kuantitas energi potensial dari proses fotosintesis yang diserap oleh tumbuhan digunakan untuk membentuk biomassa (White and Plaskett 1981). Hutan menyimpan CO2 dalam bentuk biomassa dan humus. Biomassa hutan
memiliki kandungan karbon yang cukup potensial karena hampir 50% biomasa hutan adalah berupa karbon. Apabila hutan terbakar maka unsur karbon terlepas ke lingkungan dalam bentuk karbondioksida (CO2) yang akan mengancam kestabilan
lingkungan.
Keseimbangan biomassa hutan terganggu karena manusia melakukan eksploitasi tak terkendali. Degradasi dan deforestrasi menyebabkan pengurangan biomassa hutan. Hanggumantoro (2007) menyebutkan degradasi hutan pada umumnya didefinisikan sebagai penurunan kerapatan pohon dan meningkatnya kerusakan pada hutan yang menyebabkan hilangnya hasil hutan dan hilangnya berbagai layanan ekologi yang berasal dari hutan. Sedangkan deforestrasi adalah penebangan tutupan hutan (tegakan pohon) dan aktifitas konversi lahan lainnya yang dilakukan oleh manusia.
Populasi dan Tekanan Populasi Penduduk
Populasi penduduk adalah banyaknya penduduk persatuan luas lahan yang ditempati dalam kurung waktu tertentu. Penduduk sekitar hutan banyak yang memenuhi berbagai kebutuhan hidupnya seperti bahan makanan dan bahan bangunan dari dalam kawasan hutan. Prasetyo et al. (2009) menyebutkan bahwa semakin terhimpitnya keadaan ekonomi telah memicu terjadinya konversi lahan hutan untuk dijadikan sebagai lahan pertanian atau untuk lahan lainnya. Bahkan sumber pendapatan alternatif yang paling umum diperoleh penduduk sekitar hutan adalah melalui pengambilan sumber daya dari dalam kawasan hutan (Prasetyo et al. 2009).
8
Industrialisasi
Dalam istilah ekonomi, industri adalah sektor ekonomi yang di dalamnya terdapat kegiatan produktif yang mengolah barang mentah menjadi barang setengah jadi atau barang jadi. Industrialisasi adalah proses modernisasi ekonomi yang mencakup seluruh sektor ekonomi yang mempunyai kaitan satu sama lain dengan industri pengolahan.
Meningkatnya industrialisasi dipengaruhi oleh pertumbuhan penduduk dan adanya tekanan populasi penduduk. Selain itu, ketersediaan bahan baku industri juga mempengaruhi peningkatan industrialisasi. Banyak industri yang bahan bakunya berasal dari hasil sumber daya hutan. Di antaranya adalah industri pengolahan kayu, industri pembuatan kertas, pabrik semen, dan lain sebagainya.
Model Dubey et al. (2009)
Dubey et al. (2009) telah mengajukan dan menganalisis sebuah model matematika tak linear untuk mempelajari pengurangan biomassa hutan akibat populasi penduduk, tekanan populasi penduduk, serta industrialisasi. Variabel yang digunakan dalam model tersebut adalah kepadatan biomassa hutan , populasi penduduk , tekanan populasi penduduk � , dan kepadatan industrialisasi . Adapun parameter model Dubey et al. (2009) dapat dilihat pada Tabel (2.1) berikut.
Tabel 2.1 Parameter model Dubey et al. (2009)
Notasi Keterangan
Koefisien laju pertumbuhan intrinsik biomassa hutan Daya dukung lingkungan terhadap biomassa hutan Koefisien laju pengurangan biomassa hutan secara alami Koefisien laju berkurangnya populasi penduduk secara alami Laju pertumbuhan intrinsik populasi penduduk
Daya dukung lingkungan terhadap populasi penduduk
Laju pertumbuhan populasi penduduk akibat adanya biomassa hutan Koefisien laju pengurangan biomassa hutan karena adanya populasi penduduk
� Koefisien laju pertumbuhan tekanan populasi penduduk
� Koefisien laju berkurangnya tekanan populasi penduduk secara alami
� Koefisien laju berkurangnya tekanan populasi penduduk akibat meningkatnya industrialisasi
Koefisien laju pengurangan kepadatan biomassa hutan akibat industrialisasi
� Laju pertumbuhan industrialisasi akibat adanya biomassa hutan
� Laju pertumbuhan industrialisasi karena tekanan populasi penduduk
� Koefisien laju pengendali industrialisasi secara eksternal yang dilakukan pemerintah
9 1. Populasi manusia dalam mengambil hasil hutan diasumsikan menjadi penyebab
terjadinya pengurangan biomassa hutan.
2. Tingkat pertumbuhan tekanan populasi penduduk diasumsikan sebanding dengan populasi penduduk itu sendiri.
3. Tingkat kepadatan biomassa sumber daya hutan diasumsikan berkurang akibat populasi penduduk dan industrialisasi.
Secara skematis, model pengurangan biomassa hutan yang dikemukakan oleh Dubey et al. (2009) digambarkan pada diagram kompartemen Gambar 1
Gambar 1 Skema model Dubey et al. (2009)
Pada Gambar 1 terlihat bahwa kepadatan biomassa hutan bergantung pada beberapa faktor, di antaranya laju pertumbuhan intrinsik dan daya dukung biomassa hutan, berkurangnya biomassa hutan secara alami, pengaruh industrialisasi, serta adanya pengaruh populasi penduduk. Selanjutnya, populasi penduduk bergantung pada berkurangnya populasi penduduk secara alami, pertumbuhan intrinsik populasi, daya dukung populasi penduduk, serta adanya pengaruh biomassa hutan. Tekanan populasi penduduk berantung pada beberapa faktor, yaitu laju pertumbuhan tekanan populasi, berkurangnya tekanan populasi secara alami, dan adanya pengaruh industrialisasi. Selanjutnya, industrialisasi bergantung pada beberapa hal, yaitu adanya pengaruh tekanan populasi penduduk, ketersediaan biomassa hutan, serta kontrol industrialisasi yang dilakukan oleh pemerintah.
Berdasarkan uraian di atas, Dubey et al. (2009) telah menformulasikan sebuah model pengurangan biomassa hutan akibat populasi penduduk, tekanan populasi, dan industrialisasi sebagai berikut:
10
Model matematika pada sistem (2.15) telah dianalisis oleh Dubey et al. (2009) dan didapatkan bahwa keseimbangan kepadatan biomassa hutan menurun seiring terjadinya peningkatan keseimbangan pada kepadatan populasi, tekanan populasi, dan industrialisasi. Ditemukan juga bahwa apabila pertumbuhan penduduk (baik intrinsik atau dengan migrasi) bergantung pada biomassa hutan dan terjadi peningkatan yang besar pada industrialisasi, maka biomassa hutan menjadi punah. Untuk itu, diperlukan kontrol untuk menjaga kestabilan ekologi.
Model Shukla et al. (2011)
Sebuah model matematika tak linear telah dianalisis oleh Shukla et al. (2011) untuk mengamati pengurangan biomassa sumber daya terbaharui oleh populasi penduduk dan industrialisasi. Model tersebut mempertimbangkan migrasi industri yang bergantung pada sumber daya terbaharui. Selain itu, juga dipertimbangkan upaya teknologi dalam melindungi sumber daya terbaharui. Variabel yang digunakan dalam model Shukla et al. (2011) adalah kepadatan bimossa sumber daya terbaharui , populasi penduduk , kepadatan industrialisasi , dan upaya teknologi yang diaplikasikan untuk melindungi sumber daya terbaharui . Adapun parameter yang digunakan dalam model tersebut dapat dilihat pada Tabel (2.2) berikut.
Tabel 2.2 Parameter model Shukla et al. (2011)
Notasi Keterangan
Daya dukung lingkungan terhadap populasi penduduk
Koefisien laju pertumbuhan intrinsik biomassa sumber daya terbaharui Daya dukung lingkungan terhadap biomassa sumber daya terbaharui Laju pertumbuhan intrinsik populasi penduduk
Koefisien tingkat pengurangan biomassa sumber daya terbaharui akibat populasi
Koefisien laju pengurangan biomassa sumber daya terbaharui akibat penumpukan populasi
Koefisien laju pengurangan biomassa sumber daya terbaharui akibat industrialisasi
θ, π
Koefisien laju pengurangan biomassa sumber daya terbaharui akibat penumpukan industrialisasi
Konstanta proporsional
π Koefisien laju pertumbuhan populasi penduduk akibat biomassa sumber daya terbaharui
� Koefisien laju pertumbuhan industrialisasi akibat migrasi industri
θ Koefisien laju berkurangnya industrialisasi
� Koefisien laju pertumbuhan upaya teknologi
� Koefisien laju berkurangan upaya teknologi
θ Laju pertumbuhan industri akibat interaksi industri dengan biomassa sumber daya terbaharui
11 Ada beberapa asumsi yang digunakan pada model Shukla et al. (2011), yaitu sebagai berikut:
1. Kepadatan biomassa sumber daya terbaharui dan populasi penduduk dibangun oleh persamaan logistik.
2. Terjadinya pengurangan pada kepadatan biomassa sumber daya terbaharui diasumsikan sebagai akibat dari populasi penduduk dan industrialisasi.
3. Populasi penduduk dan industrialisasi meningkat akibat terjadinya peningkatan pada kepadatan biomassa terbaharui.
4. Tingkat pertumbuhan upaya teknologi diasumsikan sebanding dengan biomassa sumber daya terbaharui.
Pola pengurangan biomassa sumber daya terbaharui akibat populasi dan industrialisasi serta efek upaya teknologi seperti yang telah dipaparkan oleh Shukla et al. (2011) dapat dilihat pada diagram kompartemen Gambar 2 berikut.
Gambar 2 Skema model Shukla et al. (2011)
Gambar 2 menunjukkan bahwa kepadatan biomassa sumber daya terbaharui bergantung pada beberapa faktor, yaitu daya dukung dan laju pertumbuhan intrinsik biomassa sumber daya terbaharui, akibat adanya populasi penduduk, penumpukan industrialisasi, dan adanya pengaruh upaya teknologi dalam melindungi biomassa sumber daya terbaharui. Populasi penduduk bergantung pada laju pertumbuhan intrinsik dan daya dukung populasi, serta pengaruh dari adanya biomassa sumber daya terbaharui. Sedangkan industrialisasi bergantung pada adanya migrasi industri dan ketersediaan biomassa sumber daya terbaharui. Selanjutnya, upaya teknologi untuk melindungi biomassa sumber daya terbaharui bergantung pada laju pertumbuhan upaya teknologi dan juga bergantung pada daya dukung biomassa sumber daya tersebut.
12
Sistem (2.16) telah dianalisis oleh Shukla et al. (2011). Hasil penelitiannya diperoleh bahwa kepadatan biomassa sumber daya terbaharui menurun akibat meningkatnya populasi penduduk dan industrialisasi. Hal ini dipengaruhi juga akibat terjadinya peningkatan migrasi industri. Akan tetapi, biomassa sumber daya terbaharui tidak akan punah apabila dilakukan berbagai upaya aplikasi teknologi untuk melindunginya.
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Model Pengurangan Biomassa Hutan
Model pengurangan biomassa hutan akibat populasi penduduk, tekanan populasi, dan industrialisasi telah dianalisis oleh Dubey et al. (2009). Akan tetapi, pada model tersebut belum dipertimbangkan pengaruh penumpukan industrialisasi terhadap biomassa hutan. Untuk itu, model pada sistem (2.15) akan dimodifikasi dengan menambahkan pengaruh penumpukan industrialisasi pada laju kepadatan biomassa hutan terhadap waktu. Selain itu, model pada penelitian ini juga memperbaiki model pada sistem (2.15), yaitu pada bagian pengaruh kepadatan industrialisasi terhadap laju tekanan populasi penduduk. Proses modifikasi ini juga merujuk model yang ada pada sistem (2.16) yang dikemukakan oleh Shukla et al. (2011).
Model pengurangan biomassa hutan hasil modifikasi melibatkan empat variabel, yaitu kepadatan biomassa hutan , populasi penduduk , tekanan populasi penduduk � , dan kepadatan industrialisasi . Adapun asumsi yang digunakan dalam model ini adalah sebagai berikut:
1. Kepadatan biomassa hutan dan populasi penduduk memenuhi persamaan logistik.
2. Laju tekanan populasi penduduk sebanding dengan populasi penduduk itu sendiri.
3. Pengurangan biomassa hutan diasumsikan sebagai akibat dari populasi penduduk dan industrialisasi.
13 Parameter yang digunakan dalam model pengurangan biomassa hutan dapat dilihat pada Tabel 3.1 berikut.
Tabel 3.1 Parameter model pengurangan biomassa hutan
Notasi Keterangan (satuan)
Koefisien laju pertumbuhan intrinsik biomassa hutan (tahun-1) Daya dukung lingkungan terhadap biomassa hutan (ton ha-1) Koefisien laju pengurangan biomassa hutan secara alami (tahun-1) Koefisien berkurangnya populasi penduduk secara alami (tahun-1) Laju pertumbuhan intrinsik populasi penduduk (tahun-1)
Daya dukung lingkungan terhadap populasi penduduk (orang ha-1) Laju pertumbuhan populasi penduduk akibat adanya biomassa hutan (ha ton-1 tahun-1)
Koefisien laju pengurangan kepadatan biomassa hutan karena populasi penduduk (ha orang-1 tahun-1)
� Koefisien laju pertumbuhan tekanan populasi penduduk (ha2 ton-2 tahun-1)
� Koefisien laju berkurangnya tekanan populasi penduduk secara alami (tahun-1)
� Koefisien laju berkurangnya tekanan populasi penduduk akibat meningkatnya industrialisasi (ha2 orang-1 unit-1 tahun-1)
Koefisien laju pengurangan kepadatan biomassa hutan akibat industrialisasi (ha unit-1 tahun-1)
� Laju pertumbuhan industrialisasi akibat adanya biomassa sumber daya hutan (ha ton-1 tahun-1)
� Laju pertumbuhan industrialisasi karena tekanan populasi penduduk (orang2 unit2 ha-4)
� Koefisien laju pengendali industrialisasi secara eksternal yang dilakukan pemerintah (tahun-1)
Koefisien laju pengurangan biomassa hutan akibat penumpukan industrialisasi (ha2 ton-1 unit-1 tahun-1)
Pola model pengurangan biomassa hutan secara skematis dapat dilihat pada diagram kompartemen yang disajikan pada Gambar 3 berikut
14
Pada Gambar 3 terlihat bahwa kepadatan biomassa hutan bergantung pada beberapa hal, yaitu laju pertumbuhan intrinsik dan daya dukung biomassa hutan, berkurangnya biomassa hutan secara alami, adanya populasi penduduk, serta industrialisasi. Populasi penduduk dipengaruhi oleh tingkat pertumbuhan intrinsik populasi dan daya dukung populasi penduduk, laju berkurangnya populasi penduduk secara alami, serta ketersediaan biomassa hutan. Sedangkan tekanan populasi penduduk bergantung pada laju pertumbuhan tekanan populasi penduduk, laju berkurangnya tekanan populasi penduduk secara alami, dan industrialisasi. Kepadatan industrialisasi bergantung pada tekanan populasi penduduk, keberadaan biomassa hutan, serta upaya pemerintah dalam mengurangi industrialisasi.
Berdasarkan asumsi dan diagram kompartemen di atas, dapat diajukan model pengurangan biomassa hutan hasil modifikasi yang diformulasikan sebagai berikut:
= − − − − − ,
Model matematika pada sistem (3.1) merupakan replika (tiruan) dari masalah pengurangan biomassa hutan. Sistem (3.1) terdiri dari persamaan laju kepadatan biomassa hutan, laju populasi penduduk, laju tekanan populasi penduduk, dan laju kepadatan industrialisasi. Setiap persamaan dipengaruhi oleh beberapa hal seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3. Dengan menggunakan sistem (3.1), masalah pengurangan biomassa hutan akan lebih mudah untuk dianalisis.
Sistem (3.1) akan dianalisis untuk mempelajari pengurangan biomassa hutan. Terlebih dahulu akan ditentukan daerah solusi dari sistem (3.1). Setelah itu, dicari titik tetap dari model yaitu dengan menentukan solusi saat tidak terjadi perubahan pada sistem (3.1). Kemudian, dianalisis kestabilan dari setiap titik tetap yang diperoleh. Pada bagian akhir dilakukan simulasi numerik terhadap model untuk mengetahui dinamika sistem dengan menvariasikan beberapa parameter yang terdapat pada Tabel (3.1).
Daerah Solusi Model Pengurangan Biomassa Hutan
Daerah solusi model pengurangan biomassa hutan pada sistem (3.1) adalah tak negatif dan terbatas, hal ini ditunjukkan berdasarkan Lema 3.1 berikut.
Lema 3.1 Himpunan Ω = { , , �, : , , �
� , + � + � + /�} adalah daerah solusi yang tak negatif dan terbatas dari model pada sistem (3.1), di mana:
= + , � =��
15 Bukti. Persamaan pertama dari sistem (3.1) seperti berikut
= ( − ) − − − −
dengan , , , bernilai positif. Oleh karena itu, diperoleh
( − ) .
Karena laju kepadatan biomassa hutan bernilai tak negatif, maka pertidaksamaan (3.2) dapat ditulis menjadi
( − ) .
Pertidaksamaan (3.3) diselesaikan sehingga didapatkan . Persamaan kedua dari sistem (3.1) seperti berikut
= ( − ) − +
dengan > sehingga diperoleh bentuk pertidaksamaan di bawah ini
( − ) + .
Karena , maka
( − ) + .
Karena laju populasi penduduk bernilai tak negatif, maka pertidaksamaan (3.4) menjadi
( − ) + .
Pertidaksamaan (3.5) diselesaikan sehingga diperoleh dengan
= + . Persamaan ketiga dari sistem (3.1) seperti berikut
�
= � − � � − � ,
di mana � > sehingga diperoleh pertidaksamaan di bawah ini
�
� − � �.
Karena , maka pertidaksamaan (3.6) dapat ditulis menjadi
� � − � �
16
(3.8)
(3.9)
(3.11) (3.10) Pertidaksamaan (3.7) dibentuk kembali menjadi
�
+ � � � .
Misalkan adalah suatu konstanta positif sedemikian sehingga pertidaksamaan (3.8) dapat ditulis menjadi
�
+ � � = � − .
Pertidaksamaan (3.9) diselesaikan dengan menggunakan faktor integral sebagai berikut (Robinson 2004)
Selanjutnya, dari persamaan keempat pada sistem (3.1) dilakukan penjumlahan yang melibatkan variabel , �, dan seperti di bawah ini
17
Selanjutnya, misalkan juga bahwa adalah suatu konstanta positif sedemikian sehingga pertidaksamaan (3.14) menjadi
+ � = � + − .
Pertidaksamaan (3.15) diselesaikan dengan menggunakan faktor integral sehingga diperoleh (Robinson 2004)
18
= . Model yang ada pada sistem (3.1) memiliki empat titik tetap tak negatif, yaitu , , , , ( ̂, , , , , ̅, �̅, ̅ , dan ∗, ∗, �∗, ∗ , di mana
Titik tetap tersebut diperoleh dengan menggunakan software Maple (dapat dilihat pada Lampiran 1). Akan tetapi, titik tetap ∗, ∗, �∗, ∗ sulit untuk ditunjukkan secara eksplisit. Sistem (3.1) tidak dapat diselesaikan untuk titik tetap sehingga titik tetap tersebut tidak dapat ditunjukkan secara langsung seperti pada tiga titik tetap sebelumnya. Oleh karena itu, berikut ini akan dipaparkan eksistensi dari titik tetap .
Mula-mula semua ruas kanan dari sistem (3.1) dibuat menjadi sama dengan nol. Untuk titik tetap , maka ∗, ∗, �∗, dan ∗ diberikan sebagai berikut:
− ∗ ∗− ∗− ∗ ∗− ∗ ∗ − ∗ ∗ = ,
−�∗ ∗− ∗+ ∗ ∗= ,
� ∗− � �∗− � ∗ = ,
���∗+ � ∗ ∗− � ∗ = .
Persamaan (3.16a) dapat ditulis dalam bentuk
− ∗− − ∗− ∗− ∗ ∗ = .
Dengan melakukan manipulasi aljabar pada persamaan (3.17), maka
L
� −
∗
− − ∗− ∗− ∗ ∗ = .
Selanjutnya, persamaan (3.18) dapat diselesaikan sehingga diperoleh
∗
+L ∗ ∗ = L − − ∗− ∗
dan akhirnya didapatkan
∗ = L
+ ∗ − − ∗− ∗ .
Persamaan (3.16b) dapat ditulis kembali menjadi
− ∗− + ∗ = ,
19
Sekarang persamaan (3.16c) dapat ditulis menjadi
� �∗ = � ∗− � ∗
dan apabila persamaan (3.22) diselesaikan maka diperoleh
�∗ =� ∗− � ∗
dengan menggunakan ∗ = ∗ dan mensubstitusikan nilai �∗ pada persamaan (3.23) ke dalam persamaan (3.24), maka diperoleh:
� − � ∗ ∗= �� � ∗ − � ∗
� .
Sekarang persamaan (3.25) dibuat dalam bentuk berikut
∗ = ��� ∗
� � + �� − � � ∗,
di mana didefinisikan
ℎ ∗ = ∗.
Persamaan (3.26) bernilai positif apabila
� � + �� > � � ∗.
20
adalah koefisien laju pertumbuhan intrinsik biomassa hutan. Oleh karena itu, koefisien tersebut bernilai positif apabila ∗ . Jadi, apabila ∗ = , maka persamaan (3.27) menjadi
− − − − ℎ > .
Dengan mensubstitusikan persamaan ∗ = ∗ dan ℎ ∗ = ∗ ke dalam persamaan (3.19), maka diperoleh
∗
= + ℎ ∗ ( − − ∗ − ℎ ∗ .
Persamaan (3.29) dapat ditulis kembali dalam bentuk berikut yang didefinisikan sebagai ∗ , yaitu
∗ = ∗( + ℎ ∗ − ( − − ∗ − ℎ ∗ = .
Apabila digunakan persamaan (3.28), maka persamaan (3.30) akan memberikan bentuk di bawah ini:
= − ( − − − − ℎ < ,
= ℎ + + + ℎ > .
Sekarang syarat cukup agar ∗ menjadi unik (khusus) apabila ′ > di titik . Oleh karena itu, dari persamaan (3.30) dapat diperoleh bentuk berikut
′ = + ℎ′ + ℎ + ′ + ℎ′ >
karena ′ dan ℎ′ bernilai positif untuk � � + �� > � � .
Jadi, terdapat ∗positif dan unik yang berada pada interval ( , sedemikian sehingga ∗ = . Oleh karena itu, ∗, ∗, dan �∗ yang juga bernilai positif dapat diperoleh secara berurutan dengan mensubstitusikan nilai ∗ ke dalam persamaan (3.21), (3.26), dan (3.23). Dengan demikian, telah ditunjukkan eksistensi dari titik tetap ∗, ∗, �∗, ∗ .
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
21
(3.31)
(3.32) Maple (dapat dilihat pada Lampiran 2). Analisis kestabilan titik tetap , , dan
dapat dilihat pada uraian berikut ini.
Misalkan sistem persamaan diferensial biasa tak linear pada persamaan (3.1) dituliskan sebagai berikut:
, , �, = ( − ) − − − − ,
, , �, = −� − + ,
ℎ , , �, = � − � � − � , , , �, = ��� + � − � ,
Pelinearan persamaan (3.31) dilakukan untuk memeriksa kestabilan sistem pada persamaan (3.1). Matriks Jacobi �� untuk titik tetap �adalah
�� =
Perilaku kestabilan tiga titik tetap pertama dari sistem (3.1) dianalisis dengan mensubstitusikan setiap titik tetap tersebut, yaitu titik tetap , , , ,
( ̂, , , , dan , ̅, �,̅ ̅ pada matriks (3.32). Akan tetapi, analisis kestabilan titik tetap ∗, ∗, �∗, ∗ akan dibahas secara khusus dengan metode yang berbeda, yaitu dengan menggunakan teori kestabilan Liapunov.
Kestabilan Titik Tetap � , , ,
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap , , , terhadap matriks Jacobi �� pada persamaan (3.32) menghasilkan matriks Jacobi berikut
22
Dengan demikian, diperoleh nilai eigen untuk persamaan karakteristik di atas sebagai berikut:
� = − > , � = − > ,
� , = − � + � ± √� − � � + � − � �,
dari hasil tersebut, terlihat bahwa nilai eigen � , � bernilai positif. Jadi diperoleh bahwa adalah titik tetap tak stabil. Apabila kondisi di bawah ini terpenuhi, yaitu
−� − � ± √� − � � + � − � � < ,
maka titik tetap , , , adalah jenis titik tetap saddle point. Kestabilan Titik Tetap � (�̂, , ,
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap ( ̂, , , terhadap matriks Jacobi �� pada persamaan (3.32) menghasilkan matriks Jacobi
� =
Nilai eigen dari matriks � ditentukan dengan menyelesaikan persamaan
23 Selanjutnya, diperoleh nilai eigen dari persamaan karakteristik di atas seperti di bawah ini:
� = − < , � = − + ̂> ,
� , = (� B̂ − � − � ± (� B̂ − (� B̂� − � B̂� +
� � + � � + � + � .
Berdasarkan nilai eigen tersebut terlihat bahwa nilai eigen � < dan nilai eigen
� > . Jadi, titik tetap ( ̂, , , adalah titik tetap tak stabil dan berjenis saddle point.
Kestabilan Titik Tetap � , �̅, �̅, �̅
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap , ̅, �̅, ̅ terhadap matriks Jacobi �� pada persamaan (3.32) menghasilkan matriks Jacobi berikut
� =
Dengan demikian, berdasarkan persamaan karakteristik di atas dapat ditulis nilai eigennya sebagai berikut:
� = − − ̅− ̅,
� = − < ,
� , = − � + � ± √� − � � + � − � �,
dari hasil tersebut, terlihat bahwa nilai eigen � bernilai negatif dan apabila kondisi di bawah ini terpenuhi, yaitu:
− − ̅ − ̅> dan
24 langsung sehingga sulit untuk dipaparkan secara eksplisit seperti pada tiga titik tetap sebelumnya. Sistem (3.1) tidak dapat diselesaikan untuk titik tetap sehingga tidak bisa melihat kestabilan sistem berdasarkan nilai eigen dari persamaan karakteristiknya. Oleh karena itu, analisis kestabilan pada titik tetap
∗, ∗, �∗, ∗ akan diuraikan dengan cara yang berbeda. Sifat kestabilan titik
tetap tersebut akan dianalisis dengan menggunakan teori kestabilan Liapunov. Hal tersebut dapat dilihat dalam penjelasan berikut.
Pada Teorema 3.1 di bawah ini diberikan kondisi cukup agar titik tetap adalah titik tetap stabil asimtotik lokal.
Torema 3.1 adalah titik tetap stabil asimtotik lokal apabila kondisi berikut ini dipenuhi:
Bukti. Untuk membuktikan Teorema 3.1, langkah pertama yang dilakukan adalah melinearkan sistem (3.1) dengan mensubstitusikan persamaan berikut:
= ∗+ , = ∗+�, � = �∗+ , = ∗+�,
di mana , �, , � adalah gangguan kecil di sekitar titik tetap ∗, ∗, �∗, ∗ . Kemudian berikut ini didefinisikan fungsi dengan : → , ⊂ di mana fungsi kontinu dan terdiferensialkan pada
, �, , � = ∗ + �∗ + + � ,
dengan � untuk � = , , , adalah konstanta positif yang dipilih secara tepat (Dubey et al. 2009).
Fungsi pada persamaan (3.35) merupakan fungsi Liapunov karena memenuhi sifat-sifat di bawah ini:
1. Fungsi , �, , � adalah fungsi definit positif (Dubey et al. 2009).
2. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ̇ merupakan fungsi definit negatif. Hal ini dapat dilihat pada uraian berikut.
25 (3.36)
(3.37)
(3.38)
= + + � �+ � .
Selanjutnya, persamaan (3.34) dan persamaan diferensial pada sistem (3.1) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.36) sehingga diperoleh
= ∗ [ −
Persamaan (3.37) dapat ditulis kembali menjadi bentuk berikut
26 Berdasarkan persamaan (3.38) diperoleh persamaan untuk sistem (3.1) yang sudah dilinearkan adalah seperti berikut
= − ( + ∗) − � − � − � − � ∗ �
+ − � + � ∗− − ∗ � + ��
+ �� − � �.
Kemudian akan ditentukan nilai dari � > dengan � = , , , untuk mereduksi persamaan (3.39). Langkah pertama koefisien dari � dibuat bernilai nol, maka dapat ditulis
− = ,
dipilih = sehingga diperoleh
= .
Kemudian hal yang sama dilakukan untuk koefisien dari � sehingga diperoleh
� ∗− − ∗ = .
Dengan melakukan substitusi nilai pada persamaan (3.40) ke dalam persamaan (3.41), maka didapatkan
= �+ ∗ ∗ .
Selanjutnya untuk koefisien dari � juga dibuat bernilai nol sehingga
�� − � = .
Nilai pada persamaan (3.42) disubstitusikan pada persamaan (3.43) sehingga diperoleh nilai seperti berikut
= � + ∗ � ∗ .
Jadi, persamaan (3.39) dapat direduksi menjadi bentuk di bawah ini
= − ( + ∗) − � − � − � − � ∗ �
+ �� ,
dengan � untuk � = , , adalah konstanta positif.
Persamaaan (3.45) adalah definit negatif apabila terpenuhinya kondisi berikut:
� − � ∗ > ,
27 sudah bernilai negatif. Langkah selanjutnya menyelesaikan suku terakhir dari persamaan tersebut dengan menggunakan Teorema 2.2 di mana:
= − , = �,
c = − � , yang disubstitusikan pada pertidaksamaan berikut
− <
dan diperoleh
� < (− ) − � .
Karena � dan bernilai positif, maka didapatkan pertidaksamaan berikut
< � .�
Pertidaksamaan (3.46) memenuhi peridaksamaan (3.33a) dan pertidaksamaan (3.48) memenuhi pertidaksamaan (3.33b). Jadi, di bawah kondisi tersebut, maka titik tetap adalah stabil asimtotik lokal.
Berikut ini diberikan Teorema 3.2 sebagi syarat cukup agar titik tetap
∗, ∗, �∗, ∗ adalah stabil asimtotik global.
Teorema 3.2 Apabila kondisi di bawah ini terpenuhi:
� L < � dan
� +
� ∗ <
� � ,
maka adalah stabil asimtotik global pada daerah Ω, di mana himpunan Ω telah didefinisikan pada Lema 3.1.
Bukti. Berikut ini didefinisikan fungsi dengan : Ω → , Ω ⊂ di mana merupakan fungsi kontinu dan terdiferensialkan pada Ω
, , �, = − ∗− ∗ln
∗ + − ∗− ∗ln
� �∗
28
(3.51)
(3.52) dengan � untuk � = , , , adalah konstanta positif yang dipilih secara tepat (Dubey et al. 2009).
Fungsi pada persamaan (3.50) adalah fungsi Liapunov karena memenuhi sifat-sifat berikut:
1. , , �, adalah fungsi definit positif karena: i. ∗, ∗, �∗, ∗ = dan
ii. , , �, > untuk , , �, ≠ ∗, ∗, �∗, ∗
(Dubey et al. 2009). 2. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ̇ merupakan fungsi definit negatif.
Penjelasannya dapat dilihat pada uraian di bawah ini.
Turunan terhadap waktu untuk sistem persamaan diferensial biasa (3.1) diformulakan dalam bentuk
= + � + � �+ �
dan didapatkan persamaan
= ( − ∗) + ( − ∗) + � − �∗ �+ − ∗
yang dapat ditulis kembali menjadi
= − ∗ +
dan persamaan (3.51) dapat diubah menjadi
= − ∗ ( − disubstitusikan ke dalam persamaan (3.52), maka diperoleh
= − ∗ [ − − − − − − − ∗ −
− ∗− ∗− ∗ ∗ ]
29
Pada persamaan (3.53) dilakukan manipulasi aljabar sehingga diperoleh
= − ∗ [ − − − ∗ − − ∗ − − ∗ −
Jadi, dari persamaan (3.54) didapatkan persamaan diferensial berikut
= − + ∗ − ∗ − − ∗ − � � − �∗
− � − � − ∗ + − − ∗ − ∗
+ � − ∗ � − �∗ + ��− � � − �∗ − ∗
30 dibuat menjadi nol sehingga dapat ditulis
− = . Kemudian dipilih = sehingga diperoleh
= .
setelah mengganti nilai pada persamaan (3.59) dengan persamaan (3.58), maka diperoleh nilai seperti di bawah ini
= � + � ∗ .
Jadi, persamaan (3.55) dapat direduksi menjadi bentuk persamaan berikut yang merupakan turunan terhadap waktu untuk himpunan solusi sistem (3.1)
= − + ∗ − ∗ − − ∗ − � � − �∗
− � − � − ∗ + � − ∗ � − �∗ ,
dengan � untuk � = , , adalah konstanta positif.
Persamaaan (3.61) menjadi definit negatif apabila terpenuhinya kondisi di bawah ini
� − � > ,
� < � .
Pada kasus ini, dengan merujuk pada himpunan Ω yang telah didefinisikan pada Lema 3.1 di mana , maka persamaan (3.60) dapat dibuat kembali menjadi
31 dan pertidaksamaan (3.62) ditulis kembali menjadi
� < � .
Jadi, semua koefisien dari suku − ∗ , − ∗ , � − �∗ , dan
− ∗ pada persamaan (3.61) sudah bernilai negatif. Langkah selanjutnya
adalah menyelesaikan suku terakhir dari persamaan tersebut dengan menggunakan Teorema 2.2 di mana nilai dari:
= − ,
Karena dan � bernilai posif, maka diperoleh
� < � ,
< � .�
Persamaan (3.63) disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan (3.65) dan didapatkan
� + ∗
� ∗ <
� � .
Pertidaksamaan (3.64) memenuhi pertidaksamaan (3.49a) dan pertidaksamaan (3.66) memenuhi pertidaksamaan (3.49b). Jadi, di bawah kondisi tersebut, maka titik tetap stabil asimtotik global.
Simulai Numerik
Salah satu tujuan dalam penelitian ini adalah melakukan simulasi terhadap model pengurangan biomassa hutan. Simulasi dilakukan karena pengamatan terhadap sistem sulit dilakukan secara langsung. Selain itu, dengan dilakukannya simulasi dapat dipelajari hal-hal yang terjadi dalam dinamika model. Pada simulasi berikut dilakukan variasi terhadap beberapa parameter yang digunakan dalam model pada sistem (3.1). Simulasi ini menggunakan software Maple 13.
Model yang terdapat pada sistem persamaan diferensial (3.1) disimulasikan dengan menggunakan nilai-nilai parameter sebagai berikut (Dubey et al. 2009):
= , = , � = . , � = , � = , = . ,
= , = , = , � = , = , � = , = . ,
32
Waktu ( tahun ) Waktu ( tahun )
Waktu ( tahun ) Waktu ( tahun )
Berdasarkan parameter pada persamaan (3.67) dengan menggunakan aplikasi Maple 13 (sintaksnya dapat dilihat pada Lampiran 3), maka diperoleh titik tetap
∗, ∗, �∗, ∗ di mana:
∗ = . , ∗ = . , �∗ = . , dan ∗ = . .
Kondisi yang terdapat pada teorema kestabilan dipenuhi oleh titik tetap
∗, ∗, �∗, ∗ . Ini menunjukkan bahwa titik tetap ∗ adalah titik tetap stabil
asimtotik global.
Berikut dengan menggunakan Maple diberikan gambar sifat kestabilan dari titik tetap dengan mengggunakan nilai-nilai parameter pada persamaan (3.67) Sintaks Maple dari Gambar 4 dapat dilihat pada Lampiran 4.
Gambar 4 Grafik sifat kestabilan pada titik tetap
Pada Gambar 4 terlihat bahwa solusi sistem (3.1) menuju titik tetap
∗, ∗, �∗, ∗ . Kepadatan biomassa hutan B menuju nilai keseimbangannya,
33
Waktu ( tahun )
Waktu ( tahun )
Simulasi numerik berikut dilakukan untuk melihat pengaruh variasi parameter terhadap dinamika model. Di bawah ini ditampilkan beberapa gambar hasil simulasi numerik terhadap model pengurangan biomassa hutan pada sistem (3.1). Sintaksnya dapat dilihat pada Lampiran 5.
Gambar 5 Variasi terhadap untuk beberapa nilai yang berbeda dan nilai parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67)
Gambar 6 Variasi terhadap untuk beberapa nilai yang berbeda dan nilai parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67)
Pada Gambar 5 dan 6 dapat dilihat bahwa mengalami penurunan hingga mencapai tingkat keseimbangannya seiring terjadi peningkatan pada nilai dan
. Ini berarti jika terjadi peningkatan nilai pada laju pengurangan biomassa hutan akibat adanya populasi penduduk atau peningkatan pada laju pengurangan biomassa hutan akibat penumpukan industrialisasi, maka kepadatan biomassa hutan mengalami penurunan hingga mencapai tingkat keseimbangan. Terlihat tingkat keseimbangan dari kepadatan biomassa hutan lebih kecil dari nilai daya dukung lingkungan terhadap biomassa hutan itu sendiri.
34
Waktu ( tahun )
Waktu ( tahun )
Gambar 7 Variasi terhadap untuk beberapa nilai yang berbeda dan nilai parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67)
Gambar 8 Variasi terhadap untuk beberapa nilai yang berbeda dan nilai parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67)
Berdasarkan Gambar 7 dan 8 terlihat bahwa mengalami peningkatan hingga mencapai tingkat keseimbangannya seiring dengan terjadinya peningkatan pada nilai dan . Ini berarti apabila laju pertumbuhan populasi penduduk akibat biomassa hutan mengalami peningkatan, maka populasi penduduk juga akan meningkat hingga mencapai tingkat keseimbangnnya. Hal yang sama juga terjadi pada pengaruh perubahan nilai terhadap . Terlihat bahwa populasi penduduk mengalami peningkatan hingga mencapai level keseimbangannya seiring terjadi peningkatan pada laju pertumbuhan intrinsik populasi penduduk.
35
Waktu ( tahun )
Waktu ( tahun )
Gambar 9 Variasi � terhadap untuk beberapa nilai � yang berbeda dan nilai parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67)
Gambar 10 Variasi terhadap untuk beberapa nilai � yang berbeda dan nilai parameter lainnya sama seperti pada persamaan (3.67)
Gambar 9 menunjukkan bahwa dengan � yang lebih tinggi, maka � mengalami peningkatan hingga mencapai tingkat keseimbangannya. Artinya, apabila terjadi peningkatan pada laju pertumbuhan tekanan populasi penduduk, maka tekanan populasi penduduk juga mengalami peningkatan hingga mencapai level keseimbangannya. Pada Gambar 10 dapat dilihat pengaruh perubahan nilai � terhadap di mana kepadatan industrialisasi meningkat hingga mencapai keseimbangannya seiring terjadi peningkatan pada laju pertumbuhan industrialisasi karena adanya tekanan populasi penduduk.
36
4
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Sebuah model matematika tak linear telah dianalisis untuk mempelajari pengurangan biomassa hutan akibat populasi penduduk, tekanan populasi penduduk, dan industrialisasi. Model tersebut mempertimbangkan pengaruh penumpukan industrialisasi pada biomassa hutan. Rincian hasil utama dalam tesis ini disimpulkan pada uraian berikut:
1. Analisis model menunjukkan bahwa model matematika pengurangan biomassa hutan memiliki empat titik tetap tak negatif di mana tiga titik tetap pertama, yaitu , , dan adalah titik tetap tak stabil berjenis sadle point jika memenuhi kondisi tertentu. Untuk titik tetap yang keempat, yaitu adalah titik tetap stabil asimtotik global.
2. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa keseimbangan kepadatan biomassa hutan mengalami penurunan seiring terjadinya peningkatan keseimbangan pada populasi penduduk, tekanan populasi penduduk, dan industrialisasi. Tingkat keseimbangan biomassa hutan nilainya lebih kecil dari daya dukung lingkungan terhadap biomassa hutan tersebut.
3. Simulasi numerik menggambarkan bahwa dengan meningkatnya penumpukan industrialisasi, maka kepadatan biomassa hutan mengalami penurunan.
4. Untuk seluruh simulasi yang telah diamati, didapatkan apabila kondisi kestabilan terpenuhi, maka dinamika sistem yang terjadi selalu mencapai tingkat keseimbangannya.
Saran
Penelitian model pengurangan biomassa hutan ini dapat dilanjutkan dengan mempertimbangkan pengaruh penumpukan populasi pada kepadatan biomassa sumber daya hutan.
DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 1995. Elementary Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Boyce WE, Diprima RC. 2009. Elementary Differential Equation and Boundary Value Problems. New York: Jhon Wiley & Sons, Inc.
Dubey B, Narayanan AS. 2010. Modelling Effects of Industrialization, Population, and Pollution on a Renewable Resource. Nonlinear Anal. Real World Appl. 11: 2833-2848.
Dubey B, Sharma S, Sinha P, Shukla JB. 2009. Modelling the Depletion of Forestry Resources by Population and Population Pressure Augmented Industrialization. Appl. Math. Model. 33: 3002-3014.
37 Entwisle B, Rindfuss RR, Walsh SJ, Page PH. 2006. Population Growth and its Spatial Distribution as Factors in the Deforestation of Nang Rong, Thailand. Geoforum. 39: 879–897.
Hanggumantoro A. 2007. Studi Lanjut Degradasi Hutan Jati (Tectona grandis) KPH Madiun Perum perhutani Unit II Jawa Timur [skripsi]. Bogor: Departemen Manajemen Hutan. Fakultas Kehutanan. Institut Pertanian Bogor. Hirsch MW, Smale S. 1974. Differential Equations, Dynamical Systems, and
Linear Algebra. New York: Academic Press, Inc.
Hirsch P. 1987. Deforestation and Development in Thailand. Singapore Journal of Tropical Geography. 8: 129-138.
Khalil HK. 2002. Nonlinear Systems. Upper Saddle River. NJ: Prentice Hall. Murray JD. 1993. Mathematical Biology I An Introduction. New York:
Springer-Verlag.
Prasetyo LB, Kartodiharjo H, Adiwibowo S, Okarda B, Setiawan Y. 2009. Spatial Model Approach on Deforestation of Java Island, Indonesia. Journal of Integrated Field Science. 6: 37-44.
Robinson JC. 2004. An Introduction to: Ordinary Differential Equation. New York: Cambridge University Press.
Shukla JB, Agarwal AK, Sinha P, Dubey B. 2003. Modelling Effects of Primary and Secondary Toxicants on Renewable Resources. Nat. Res. Model. 16: 99-120.
Shukla JB, Dubey B. 1997. Modelling the Depletion and Conservation of Forestry Resources: Effects of Population and Pollution. J. Math. Biol. 36:71-94. Shukla JB, Freedman HI, Pal VN, Misra OP, Agarwal M, Shukla A. 1989.
Degradation and Subsequent Regeneration of a Forestry Resource: A Mathematical Model. Ecological Modelling. 44: 219-229.
Shukla JB, Kusum Lata, Misra AK. 2011. Modelling the Depletion of a Renewable Resource by Population and Industrialization: Effect of Technology on its Conservation. Natural Resource Model. 24: 242-267.
Shukla JB, Misra OP, Agarwal M, Shukla A. 1988. Effect of Pollution and Industrial Development on Degradation of Biomass Resources: A Mathematical Model with Reference to Doon Valley. Math. Comput. Modelling. 11:910-913.
Tu PNV. 1994. Dynamical System, an Introduction with Application in Economics and Biology. New York: Springer-Verlag.
38
LAMPIRAN
Lampiran 1 Sintaks Maple dalam menentukan titik tetap � , � , dan�
Untuk sintaks pada semua lampiran, parameter � pada sistem (3.1) didefinisikan oleh ϕ, � didefinisikan oleh ϕ , dan didefinisikan oleh .
Berdasarkan sintaks di atas, diperoleh empat titik tetap tak negatif. Untuk tiga titik tetap pertama, yaitu , , dan diberikan sebagai berikut:
titik tetap pertama � , , , : titik tetap kedua � (�̂, , , :
39 Lampiran 2 Sintaks Maple untuk matriks Jacobi, persamaan karakteristik,
serta nilai eigen dari titik tetap � , � , dan �
Titik tetap pertama � , , ,
## Matriks Jacobi dan persamaan karakteristik titik tetap �
40
Titik tetap kedua � (�̂, , ,
Dalam sintaks berikut ini, ̂ pada titik tetap didefinisikan oleh . ## Matriks Jacobi dan persamaan karakteristik titik tetap �
41 ## Nilai eigen titik tetap �
Titik tetap ketiga � , �̅, �,̅ �̅
Dalam sintaks berikut ini, ̅ pada titik tetap didefinisikan oleh , �̅ didefinisikanoleh , dan didefinisikan oleh ̅ .
42
43 Lampiran 3 Sintaks Maple yang digunakan untuk memperoleh nilai dari titik
tetap � �∗, �∗, �∗, �∗
Apabila nilai parameter di atas dimasukkan ke dalam sistem (3.1) maka diperoleh nilai titik tetap ∗, ∗, �∗, ∗ seperti di bawah ini:
44
Lampiran 4 Sintaks Maple untuk memperoleh grafik sifat kestabilan pada titik tetap � �∗, �∗, �∗, �∗
45 Lampiran 5 Sintaks Maple untuk simulasi numerik pada sistem (3.1) dengan
variasi beberapa parameter
Variasi � terhadap � untuk beberapa nilai � yang berbeda ## Sintaks untuk � = .
46
47
Variasi � terhadap � untuk beberapa nilai � yang berbeda ## Sintaks untuk � =
48
49 Variasi � terhadap � untuk beberapa nilai � yang berbeda
## Sintaks untuk � = .
50
51 Variasi � terhadap � untuk beberapa nilai � yang berbeda
## Sintaks untuk � = .
52
53 Variasi � terhadap � untuk beberapa nilai � yang berbeda
## Sintaks untuk � = .
54
55 Variasi � terhadap � untuk beberapa nilai � yang berbeda
## Sintaks untuk � = .
56
57
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Padang Panjang, Provinsi Sumatera Barat pada tanggal 1 April 1988 dan merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara. Penulis lahir dari pasangan Bapak Yurnalis dan Ibu Dariana. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar di SDN 49 Baing Malalo, Kabupaten Tanah Datar, Sumatera Barat pada tahun 2001. Kemudian menamatkan Sekolah Menengah Pertama pada MTsN Padang Panjang tahun 2004. Setelah itu, penulis melanjutkan sekolah di SMAN 1 Padang Panjang dan lulus tahun 2007. Penulis mengambil Jurusan Matematika di FMIPA Universitas Andalas (UNAND) di tahun yang sama dan lulus pada tahun 2011. Dua tahun kemudian penulis melanjutkan pendidikan di Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (IPB) dengan sponsor Beasiswa BPPDN dari Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) tahun 2013.
