BA II PENGERTIAN HAKIKAT MATEMATIKA

BAB II

A. Hakekat Matematika

Kata matematika berasal dari bahasa Yunani “mathein” atau “manthenein”, yang berarti “mempelajari”. Kebanyakan orang mengatakan bahwa matematika adalah suatu pelajaran yang pasti atau sering disebut ilmu pasti. Menurut Andi Hakim Nasution (dalam Masykur, 2008:42) “penggunaan istilah matematika lebih tepat daripada ilmu pasti. Karena dalam matematika, banyak terdapat pokok bahasan yang justru tidak pasti seperti pada statistik terdapat probabilitas (kemungkinan)”.

Jonson dan Rising (dalam Ajipriyanto, 2009) menyatakan bahwa “Matematika dikatakan sebagai pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat atau teori dibuat secara deduktif berdasarkan pada unsur yang didefinisikan, aksioma, teori yang telah dibuktikan

kebenarannya”. Dari pengertian ini, matematika marupakan ilmu pengetahuan yang melatih seseorang untuk menyelesaikan masalah dengan terstruktur dan dengan menggunakan logika. Menurut Masykur (2008:43)

belajar matematika sama halnya belajar logika, karena kedudukan matematika dalam

pengetahuan adalah sebagai ilmu dasar atau ilmu alat. Sehingga untuk dapat berkecimpung di dunia sains, teknologi, atau disiplin ilmu lainnya, langkah awal yang harus ditempuh adalah menguasai alat atau ilmu dasarnya yaitu menguasai matematika secara benar.

Sedangkan menurut Galileo Galilei (dalam Masykur, 2008:46) “alam semesta ini bagaikan sebuah buku raksasa yang hanya dapat dibaca kalau orang mengerti bahasanya dan akrab dengan lambang dari huruf-huruf yang digunakan didalamnya, dan bahasa alam tersebut tidak lain adalah matematika”.

Berdasarkan pengertian dari Masykur dan Galileo Galilei di atas, dapat kita tarik kesimpulan bahwa setiap orang yang ingin mempelajari segala ilmu yang ada di dunia ini harus

menguasai ilmu dasar yaitu matematika. Maka dari itu matematika disebut juga sebagai “Queen of Science” yang melayani raja yaitu “science”.

Apakah matematika itu? Matematika merupakan salah satu mata pelajaranyang diajarkan di SMA. Seorang guru SMA yang akan mengajarkan matematika kepada siswanya, hendaklah mengetahui dan memahami objek yang akand diajarkannya, yaitu matematika. Untuk

berarti pengetahuan atau ilmu. Kata mathematike juga berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir.

Hudoyo (1988:3) menyatakan matematika berkenan dengan ide, aturanaturan, hubungan-hubungan yang diatur secara logis sehingga matematika berkaitan dengan konsep-konsep abstrak.

Soedjadi (2000:11) menyatakan Matematika adalah pengetahuan eksak dengan objek abstrak meliputi konsep, prinsip, dan operasi yang berhubungan dengan bilangan.

Dari beberapa pendapat di atas dapat disimpulkan bahwa matematika adalah ilmu tentang bilangan, hubungan antar bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mengenai bilangan dengan objek abstrak yang diatur secara logis yang didapat dengan berpikir. Apakah belajar matematika itu? Belajar pada dasarnya merupakan suatu proses perubahan tingkah laku untuk mendapatkan pengetahuan atau pengalaman yang terjadi dari adanya interaksi antara seseorang dengan lingkungannya Untuk menangkap isi dan pesan belajar, maka dalam belajar tersebut individu menggunkan

pengetahuan pada ranah-ranah:

1) Kognitif yaitu kemampuan yang beerkenaan dengan pengetahuan, penalaran atau pikiran,

2) Afektif yaitu kemampuan yang mengutamakan perasaan, emosi, dan reaksi-reaksi yang berbeda dengan penalaran, dan

3) Psikomotorik yaitu kemampuan yang mengutamakan keterampilan (Sagala, 2003:12). Hal senada juga dikemukakan oleh Hamalik (2003:28) yang mendefinisikan belajar sebagai suatu proses perubahan tingkah laku individu atau seseorang melalui interaksi dengan lingkungan yang mencakup perubahan dalam tiga aspek yaitu pengetahuan, sikap dan keterampilan.

 Untuk memahami karakteristik daripada matematika maka harus dipahami terlebih dahulu hakekat matematika. Menurut Hudoyo (1979:96), hakekat matematika berkenaan dengan ide-ide struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Jika matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol-simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Beberapa hakekat atau definisi dari matematika adalah sebagai berikut:

Agak berbeda dengan ilmu pengetahuan yang lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri atas beberapa komponen, yang meliputi aksioma/postulat, pengertian pangkal/primitif, dan dalil/teorema (termasuk di dalamnya lemma (teorema pengantar/kecil) dan corolly/sifat).

2. Matematika sebagai alat ( tool )

Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalam mencari solusi berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari.

3. Matematika sebagai pola pikir deduktif

Matematika merupakan pengetahuan yang memiliki pola pikir deduktif, artinya suatu teori atau pernyataan dalam matematika dapat diterima kebenarannya apabila telah dibuktikan secara deduktif (umum).

4. Matematika sebagai cara bernalar (the way of thinking).

Matematika dapat pula dipandang sebagai cara bernalar, paling tidak karena beberapa hal, seperti matematika memuat cara pembuktian yang sahih (valid), rumus-rumus atau aturan yang umum, atau sifat penalaran matematika yang sistematis.

5. Matematika sebagai bahasa artifisial.

Simbol merupakan ciri yang paling menonjol dalam matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.

6. Matematika sebagai seni yang kreatif.

Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan ide-ide dan pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.

 Karakteristik/ciri-ciri Matematika

Berdasarkan uraian-uraian hakikat matematika di atas maka dapat di simpulkan bahwa karakteristik- karakteristik matematika dapat dilihat pada penjelasan berikut: 1. Memiliki Kajian Objek Abstrak.

3. Berpola pikir Deduktif namun pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi.

4. Memiliki Simbol yang Kosong dari Arti. Rangkaian simbol-simbol dapat membentuk model matematika.

5. Memperhatikan Semesta Pembicaraan. Konsekuensi dari simbol yang kosong dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam lingkup model yang dipakai.

6. Konsisten Dalam Sistemnya. Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada yang saling terkait dan ada yang saling lepas. Dalam satu sistem tidak boleh ada kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi.

A. Matematika memiliki objek kajian yang abstrak.

Di dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga disebut sebagai objek mental. Di mana objek-objek tersebut merupakan objek pikiran yang meliputi fakta, konsep, operasi ataupun relasi, dan prinsip. Dari objek-objek dasar tersebut disusun suatu pola struktur matematika. Adapun objek-objek tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Fakta (abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Contoh simbol bilangan “3” sudah di pahami sebagai bilangan “tiga”. Jika di sajikan angka “3” maka sudah dipahami bahwa yang dimaksud adalah “tiga”, dan sebalikya. Fakta lain dapat terdiri dari rangkaian simbol misalnya “3+4” sudah di pahami bahwa yang dimaksud adalah “tiga di tambah empat”.

2. Konsep (abstrak) adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan suatu konsep atau bukan. ”segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak, “Bilangan asli” adalah nama suatu konsep yang lebih komplek, konsep lain dalam matematika yang sifatnya lebih kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ruang metrik”. Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi ini orang dapat membuat ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu.

“irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui.

4. Prinsip (abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip dapat terdiri atas beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar matematika. Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.

B. Bertumpu pada kesepakatan

Dalam matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang amat mendasar adalah aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk

menghindarkan berputar-putar dalam pembuktian. Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian. Aksioma juga disebut sebagai postulat (sekarang) ataupun pernyataan pangkal (yang sering dinyatakan tidak perlu dibuktikan). Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat konsep primitif tertentu. Dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian. C. Berpola pikir deduktif

Dalam matematika sebagai “ilmu” hanya diterima pola pikir deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran “yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan kepada hal yang bersifat khusus”. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana tetapi juga dapat terwujud dalam bentuk yang tidak sederhana.

Contoh: Banyak teorema dalam matematika yang “ditemukan” melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya Teorema Phytagoras. Bila hasil pengamatan-pengamatan tersebut dimasukkan dalam suatu struktur matematika tertentu, maka teorema yang ditemukan itu harus dibuktikan secara deduktif antara lain dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah diterima dengan benar.

apakontribusi konsepnya; dan begitu seterusnya, hingga kita mendapat konsep primer yang lain.

D. Memiliki simbol yang kosong dari arti

Dalam matematika jelas terlihat banyak sekali simbol yang digunakan, baik berupa huruf ataupun bukan huruf. Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri tertentu, dsb. Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan, misalnya x + y = z belum tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda + belum tentu berarti operasi tamba untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum huruf dan tanda dalam model x + y = z masih kosong dari arti, terserah kepada yang akan memanfaatkan model itu.

Kosongnya arti itu memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (linguistik).

E. Memperhatikan semesta pembicaraan

Sehubungan dengan penjelasan tentang kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika diatas, menunjukkan dengan jelas bahwa dalam memggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa model itu dipakai. Bila lingkup pembicaraanya adalah bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup pembicaraanya transformasi, maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Lingkup pembicaraan itulah yang disebut dengan semesta pembicaraan. Benar atau salahnya ataupun ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika sangat ditentukan oleh semesta pembicaraannya.

Contoh: Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat, terdapat model 2x = 5. Adakah penyelesaiannya? Kalau diselesaikan seperti biasa, tanpa menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x = 2,5. Tetapi kalu suda ditentukan bahwa semestanya bilangan bulat maka jawab x = 2,5 adalah salah atau bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi jawaban yang sesuai dengan semestanya adalah “tidak ada jawabannya” atau penyelesaiannya tidak ada. Sering dikatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah “himpunan kosong”.

Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain, tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu sama lain, tetapi dalam sistem aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih “kecil” yang terkait satu sama lain. Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat beberapa sistem yang “kecil” yang berkaitan satu sama lain.

Suatu teorema ataupun suatu definisi harus menggunakan istilah atau konsedp yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai

kebenarannya. Kalau telah ditetapkan atau disepakati bahwa a + b = x dan x + y = p, maka a + b + y haruslah sama dengan p.

http://techonly13.wordpress.com/2009/07/03/hakekat-pembelajaran-matematika

KARAKTERISTIK MATEMATIKA-MANIA DALAM PROBLEM SOLVING

1. Kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika.

2. Kemampuan untuk mencatat kesamaan, perbedaan dan analogi.

3. Kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih prosedur yang benar. 4. Kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan.

5. Kemampuan untuk menaksir dan menganalisa.

6. Kemampuan untuk memvisualisasi dana menginterpretasi kuantitas atau ruang. 7. Kemampuan untuk memperumum berdasarkan beberapa contoh.

8. Kemampuan utnuk berganti metode yang telah diketahui.

9. Mempunyai keberanian diri yang cukup dan merasa senang terhadap materinya. Dari beberapa pendapat di atas karakter matimatika adalah:

3. Memiliki pola fikir deduktif dan konsisten dalam sistemnya, dan 4. Menggunakan simbol yang kosong.

 Soedjadi (2000: 1) mengemukakan bahwa ada beberapa definisi atau pengertian

matematika berdasarkan sudut pandang pembuatnya, yaitu sebagai berikut:

a. Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisisr secara sistematik.

b. Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi.

c. Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.

d. Matematika adalah pengetahuan fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.

e. Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logik.

f. Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.

 Sedangkan John dan Rising (dalam Ruseffendi, 1993 : 28) mengatakan, Matematika

adalah pola pikir, pola mengorganisasikan pembuktian yang logik; matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide (gagasan) daripada mengenai bunyi; matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasikan sifat-sifat atau teori-teori itu dibuat secara deduktif berdasarkan unsur-unsur yang didefinisikan atau tidak didefinisikan, aksioma-aksioma, sifat-sifat, atau teori-teori yang telah dibuktikan kebenarannya; matematika adalah ilmu tentang pola,

keteraturan pola atau ide; dan matematika itu keterampilan.

 Menurut Morris Kline (dalam Simanjuntak, 1993) mengatakan bahwa jatuh bangunnya

proses, dan teori yang memberikan ilmu suatu bentuk dan kekuasaan, yang akhirnya bahwa matematika merupakan salah satu kekuatan utama pembentukan konsepsi tentang alam suatu hakikat dan tujuan manusia dalam kehidupannya .

Menyadari akan peran penting matematika dalam kehidupan, maka matematika selayaknya merupakan kebutuhan dan menjadi kegiatan yang menyenangkan. Sebagai mana dari tujuan yaitu melatih siswa berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, mengembangkan aktifitas kreatif yang melibatkan imajinasi, penemuan, membuat prediksi dan dugaan serta mencoba – coba, mengembangkan kemampuan memecahkan masalah dan mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan atau ide melalui tulisan, pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta atau diagram. Oleh karena itu setiap siswa perlu memili penguasaan matematika yang merupakan penguasaan kecakapan matematika untuk dapat memahami dunia dan berhasil dalam kariernya.

Ebbutt dan Straker (dalam Depdiknas, 2006) mengemukakan hakekat dan karakteristik matematika sekolah yang selanjutnya disebut sebagai matematika, sebagai berikut.

a. Matematika sebagai kegiatan penelusuran pola dan hubungan

Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah guru perlu:

1) memberi kesempatan kepada siswa untuk melakukan kegiatan penemuan dan penyelidikan pola-pola untuk menentukan hubungan,

2) memberi kesempatan kepada siswa untuk melakukan percobaan dengan berbagai cara,

3) mendorong siswa untuk menemukan adanya urutan, perbedaan, perbandingan, pengelompokan, dsb,

4) mendorong siswa menarik kesimpulan umum,

5) membantu siswa memahami dan menemukan hubungan antara pengertian satu dengan yang lainnya

1) mendorong inisiatif siswa dan memberikan kesempatan berpikir berbeda,

2) mendorong rasa ingin tahu, keinginan bertanya, kemampuan menyanggah dan kemampuan memperkirakan,

3) menghargai penemuan yang diluar perkiraan sebagai hal bermanfaat daripada menganggapnya sebagai kesalahan,

4) mendorong siswa menemukan struktur dan desain matematika,

5) mendorong siswa menghargai penemuan siswa yang lainnya,

6) mendorong siswa berfikir refleksif, dan

7) tidak menyarankan hanya menggunakan satu metode saja.

c. Matematika sebagai kegiatan pemecahan masalah (problem solving)

Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah guru perlu:

1) menyediakan lingkungan belajar matematika yang merangsang timbulnya persoalan matematika,

2) membantu siswa memecahkan persoalan matematika menggunakan caranya sendiri,

3) membantu siswa mengetahui informasi yang diperlukan untuk memecahkan persoalan matematika,

4) mendorong siswa untuk berpikir logis, konsisten, sistematis dan mengembangkan sistem dokumentasi/catatan,

5) mengembangkan kemampuan dan ketrampilan untuk memecahkan persoalan,

6) membantu siswa mengetahui bagaimana dan kapan menggunakan berbagai alat peraga/media pendidikan matematika seperti : jangka, penggaris, kalkulator, dsb.

1) mendorong siswa mengenal sifat-sifat matematika,

2) mendorong siswa membuat contoh sifat matematika,

3) mendorong siswa menjelaskan sifat matematika,

4) mendorong siswa memberikan alasan perlunya kegiatan matematika,

5) mendorong siswa membicarakan persoalan matematika,

6) mendorong siswa membaca dan menulis matematika,

7) menghargai bahasa ibu siswa dalam membicarakan matematika

Selanjutnya Ebbutt dan Straker (dalam Depdiknas, 2006) juga memberikan Klasifikasi Materi Matematika meliputi:

Fakta ( facts ), meliputi:

 informasi,

 nama,

 istilah dan

 konvensi tentang lambang-lambang.

Pengertian (concepts), meliputi:

 struktur pengertian,

 perananstruktur pengertian,

 berbagai macam pola, urutan,

 model matematika,

 operasi dan algoritma.

 memahami pengertian ,

 berfikir logis,

 memahami contoh negatif,

 berpikir deduksi,

 berpikir induksi,

 berpikir sistematis dan konsisten,

 menarik kesimpulan,

 menentukan metode dan membuat alasan, dan

 menentukan strategi.

Keterampian algoritmik, meliputi:

 keterampilan untuk memahami dan mengikuti langkah yang dibuat orang lain,

 merancang dan membuat langkah,

 menggunakan langkah,

 mendefinisikan dan menjelaskan langkah sehingga dapat dipahami orang lain,

 membandingkan dan memilih langkah yang efektif dan efisien, serta

 memperbaiki langkah.

Keterampilan menyelesaikan masalah matematika (problem solving) meliputi:

 memahami pokok persoalan,

 mendiskusikan alternatif pemecahannya,

 memecah persoalan utama menjadi bagian-bagian kecil,

 menggunakan pengalaman masa lampau dan menggunakan intuisi untuk menemukan alternatif pemecahannya,

 mencoba berbagai cara, bekerja secara sistematis, mencatat apa yang terjadi, mengecek hasilnya dengan mengulang kembali langkah-langkahnya, dan

 mencoba memahami dan menyelesaikan persoalan yang lain.

Keterampilan melakukan penyelidikan (investigation), meliputi:

 mengajukan pertanyaan dan mencari bagaimana cara memperoleh jawabannya,

 membuat dan menguji hipotesis,

 mencari dan menentukan informasi yang cocok dan memberi penjelasan mengapa suatu informasi diperlukan,

 mengumpulkan, mengelompokkan, menyusun, mengurutkan dan membandingkan serta mengolah informasi secara sistematis,

 mencoba metode alternatif,

 mengenali pola dan hubungan, dan

 menyimpulkan. (Depdiknas, 2006: 3-4)

Slamet Dajono (dalam Sukahar, 1997 : 41) mengemukakan tiga macam pengertian elementer matematika,

1. Matematika sebagai ilmu pengetahuan tentang bilangan dan ruang.

2. Matematika sebagai studi ilmu pengetahuan tentang klasifikasi dan konstruksi berbagai struktur dan pola yang dapat diimajinasikan.

3. Matematika sebagai kegiatan yang dilakukan oleh para matematisi.

1. Obyek-obyek matematika adalah abstrak.

2. Simbol-simbol yang kosong dari arti.

3. Kesepakatan dan pemikiran deduktif aksiomatik.

4. Anti kontradiksi.

http;//sartikapgmi.blogspot.com

B. Pengertian Matematika

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά – mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai “ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang

penting”.Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa “sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.”

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan

psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

 Selanjutnya Kita melihat pengertian matematika versi para ahli: Johnson dan Rising

(1972 mengatakan bahwa matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang

didefinisikan dengan cermat, jelas, dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.

 Kemudian Kline (1973) mengatakan bahwa matematika itu bukanlah pengetahuan

menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan mengatasi permasalahan sosial, ekonomi dan alam. Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir, oleh karena itu logika adalah dasar untuk terbentuknya matematika.

 Reys, dkk (1984) mengatakan bahwa matematika itu adalah telaah tentang pola dan

hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa, dan suatu alat.

 James dan james (1976) mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika

mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri.

Dari berbagai pendapat tentang pengertian atau definisi matematika diatas, maka dapatlah kiranya disimpulkan secara sederhana, bahwa Matematika adalah ilmu yang memepelajari tentang perhitungan, pengkajian dan menggunakan nalar atau kemampuan berpikir seseorang secara logika dan pikiran yang jernih. Matematika itu mempelajari hal-hal yang ada,

matematika tidak akan sanggup mengkaji tentang hal-hal yang tidak pernah ada. Tetapi perlu diingat bahwa matematika dapat “meramal” yang akan terjadi, tapi matematika tidak

menggunakan “ilmu gaib”, melainkan matematika menggunakan pengalaman yang pernah terjadi kemudian merumuskannya ke dalam sebuah “formula” dan akhirnya matematika bisa atau mampu meramal sesuatu yang akan terjadi dengan pertimbangan logika yang dimiliki manusia, bukan meramal dengan cara mistis yang tidak masuk dalam logika berpikir manusia. Jadi matematika adalah ilmu logika yang dapat berhitung, menganalisa dan bahkan meramal

 Pengertian Matematika Menurut Ahli

Pengertian Matematika Menurut Ahli |Secara etimologi, pengertian matematikaberasal dari bahasa latin manthanein ataumathemata yang berarti "belajar atau hal yang

dipelajari" (things that are learned). Dalam bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran. Matematika adalah ilmu yang tidak jauh dari realitas kehidupan manusia. Proses pembentukan dan pengembangan ilmu matematika tersebut sejak jaman purba hingga sekarang tidak pernah berhenti. Sepanjang sejarah matematika dengan segala perkembangan dan pengalaman langsung berinteraksi dengan matematika membuat pengertian orang tentang matematika terus berkembang.

Berikut ini adalah pengertian matematika yang disampaikan oleh para ahli:

 Pengertian Matematika Menurut Riedesel: Matematika adalah kumpulan kebenaran dan

 Pengertian Matematika Menurut Prof. Dr. Andi Hakim Nasution: matematika adalah ilmu

struktur, urutan (order), dan hubungan yang meliputi dasar-dasar perhitungan, pengukuran, dan penggambaran bentuk objek.

 Pengertian Matematika Menurut Susilo: Matematika bukanlah bukanlah sekedar

kumpulan angka, simbol, dan rumus yang tidak ada kaitannya dengan dunia nyata. Justru sebaliknya, matematika tumbuh dan berakar dari dunia nyata.

 Pengertian Matematika Menurut Yansen Marpaung: Matematika adalah ilmu yang dalam

perkembangannya penggunaanya menganut metode deduksi.

 Pengertian Matematika Menurut Suwarsono: Matematika adalah ilmu yang memiliki sifat

khas yaitu; objek bersifat abstrak, menggunakan lambang-lambang yang tidak banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, dan proses berpikir yang dibatasi oleh aturan-aturan yang ketat

C. Psikologi pembelajaran matematika

1. Psikologi pembelajaran menurut Thorndike

Menurut Thorndike, belajar adalah proses interaksi antarastimulus dan respon (Muhibbin : 2007). Stimulus yaitu apa saja dapat merangsang terjadinya kegiatan belajar seperti pikiran, perasaan atau hal-hal lain yang dapat diterapkan melalui alat indera, sedangkanrespon yaitu reaksi yang dimunculkan peserta didik ketika belajar, yang juga dapat berupa pikiran, perasaan atau gerakan/tindakan. Stimulus dan respon merupakan upaya secara metodologis untuk mengaktifkan siswa secara utuh dan menyeluruh baik pikiran, perasaan dan perilaku (perbuatan). Salah satu indikadasi keberhasilan belajar terletak pada kualitas respon yang dilakukan siswa terhadap stimulus yang diterima dari guru.

sambutan). Hubungan S-R ( Stimilus-Respon ) atau antara kesan indera (sense impression) dan impuls (dorongan spontan) untuk bertindak (impuls to action) disebut “bond”

atau “connection” atau“association”. Karena itulah maka teori ini

disebut “connectionis”atau “bond psikologi”. Menurut Thorndike, asosiasi itu membentuk sebagian besar, meskipun bukan seluruhnya, apa yang di pelajari dan diingat oleh manusia .Teori ini disebut juga dengan “trial and error learning” (belajar dengan cara coba salah) atau “learning by selecting and connecting” (belajar dengan menyaring dan menghubungkan). Menurut teori ini, belajar dilakukan dengan cara menyaring atau memilih respons yang tepat terhadap stimulus tertentu ( Muhammad : 2004 ).

 Hukum-hukum Teori Koneksionisme Edward Lee Thorndike

Adapun hukum – hukun teori Koneksionisme Edward Lee Thorndike yang ditulis oleh Stephen Tomlinson (Edward Lee Thorndike and John Dewey on the Science of Education, 1997) adalah :

1. Hukum kesiapan (law of readiness), hukum ini pada intinya menyatakan bahwa belajar akan berhasil apabila peserta didik benar-benar telah siap untuk belajar. Dengan perkataan lain, apabila suatu materi pelajaran diajarkan kepada anak yang belum siap untuk mempelajari materi tersebut maka tidak akan ada hasilnya.

2. Hukum latihan (law of exercise), yaitu apabila ikatan antara stimulus dan respon lebih sering terjadi, maka ikatan itu akan terbentuk semakin kuat. Interpretasi dari hukum ini adalah semakin sering suatu pengetahuan dan pengalaman yang telah terbentuk akibat terjadinya asosiasi antara stimulus dan respon yang terus-terus dilatihkan, maka ikatan tersebut akan semakin kuat. Jadi, hukum ini menunjukkan prinsip utama belajar adalah pengulangan. Semakin sering suatu materi pelajaran diulangi maka materi pelajaran tersebut akan semakin kuat tersimpan dalam ingatan (memori).

3. Hukum akibat (law of effect), yaitu apabila asosiasi yang terbentuk antara stimulus dan respon diikuti oleh suatu kepuasan maka asosiasi akan semakin meningkat. Hal ini berarti, jika suatu respon yang diberikan oleh seseorang terhadap suatu stimulus adalah benar dan ia mengetahuinya, maka kepuasan akan tercapai dan asosiasi akan diperkuat.

Implikasi Teori Throndike pada pembelajarn dikelas yang dikutip dari buku Psichology of Learning adalah :

1) Guru harus tahu, bahwa siswa lebih minat belajar ketika mereka merasa berkebutuhan dan berkepentingan pada pelajaran tersebut. maka guru harus memastikan bahwa kegiatan belajar tersebut penting bagi siswa.

2) Kesiapan merupakan prasyarat untuk belajar, karena itu guru disarankan untuk mempertimbangkan kemampuan mental atau kognitif peserta didik ketika merencanakan kurikulum atau isi instruksional.

3) Guru harus menyadari fakta bahwa siswa ingin mengulangi tindakan yang mereka terima sebagai hal positif. Oleh karena itu, guru harus selalu menggunakan berbagai strategi motivasi untuk mempertahankan minat belajar siswa di kelas.

4) Guru harus selalu meghadirkan bahan secara logis dan cara yang lebih koheren. Ini adalah cara utama menangkap dan mempertahankan kepentingan peserta didik dalam kegiatan pedagogis.

Sumber:http;//file.upi.edu/dual.modes/model_pembelajaran_matematika/hakikat_matematika. pdf

1. Psikologi pembelajaran menurut Skinner

Menurut pandangan B. F. Skinner (1958), belajar merupakan suatu proses atau penyesuaian tingkah laku yang berlangsung secara progressif. Pengertian belajar ialah suatu perubahan dalam kemungkinan atau peluang terjadinya respons. Skiner berpendapat bahwa

ganjaran (reward) yang bersifat mendidik merupakan salah satu unsur yang penting dalam proses belajar, hanya istilahnya perlu diganti dengan penguatan. Ganjaran adalah sesuatu yang menggembirakan, sedangkan penguatan adalah sesuatu yang mengakibatkan meningkatkatnya suatu respon tertentu. Penguatan tidak selalu hal yang menggembirakan, tetapi bisa juga sebaliknya.

 Teori skinner

 Teori pengkondisian operan

sebagai respon pada pukulan di tempurung lutut. Sebaliknya, perilaku operan dikendalikan oleh akibat dari perilaku respon. Bila akibat dari perilaku respon tersebut positif, maka kita cenderung mengulangi perilaku tersebut, sebaliknya bila akibat dari perilaku respon tersebut negatif, maka kita cenderung tidak mengulanginya. Jadi proses belajar dengan

pengkondisian operan adalah proses pengontrolan tingkah laku organisme melalui pemberian reinforcement yang bijaksana dalam lingkungan yang relatif bebas.

 Aplikasi Teori Skinner Terhadap PembelajaranMatematika

Seorang siswa diberi soal matematika sederhana dan siswa dapat menyelesaikannya sendiri. Guru memuji siswa karena telah berhasil menyelesaikan soal tersebut. Dengan peristiwa ini siswa merasa yakin atas kemampuannya, sehingga timbul respon

mempelajari pelajaranberikutnya yang sesuai atau lanjutan apa yang dapat dia selesaikan tadi. Selanjutnya dikatakan bahwa pada umumnya stimulus yang demikian pada umumnya

mendahului respon yang ditimbulkan. Belajar denganrespondent conditioning ini hanya efektif jika suatu respon timbul karena kehadiran stimulus tertentu.

2. Psikologi pembelajaran menurut Ausubel

David Ausubel adalah seorang ahli psikologi pendidikan yang terkenal dengan teori belajar bermakna (meaningfull). Ausubel (Tim MKPBM, 2001 : 35) membedakan antara belajar menemukan dengan belajar menerima. Pada belajar menerima siswa hanya menerima, jadi tinggal menghafalkannya, tetapi pada belajar menemukan konsep ditemukan oleh siswa, jadi tidak menerima pelajaran begitu saja.

Menurut Ausubel (Dahar, 1996 : 112) pembelajaran bermakna merupakan suatu proses mengaitkan informasi baru pada konsep-konsep relevan yang terdapat dalam struktur kognitif seseorang. Struktur kognitif meliputi fakta-fakta, konsep-konsep, dan generalisasi-generalisasi yang telah dipelajari dan diingat siswa.

Faktor-faktor utama yang mempengaruhi belajar bermakna menurut Ausubel adalah struktur kognitif yang ada, stabilitas dan kejelasan pengetahuan dalam suatu bidang studi tertentu dan padawaktu tertentu. Pembelajaran bermakna terjadi apabila seseorang belajar dengan

seseorang mengkonstruksi apa yang telah ia pelajari dan mengasosiasikan pengalaman, fenomena, dan fakta-fakta baru ke dalam struktur pengetahuan mereka

 Teori Ausubel

 Teori Belajar Bermakna

Teori Belajar Bermakna Ausubel sangat dekat dengan Konstruktivisme. Keduanya

menekankan pentingnya pelajar mengasosiasikan pengalaman, fenomena, dan fakta-fakta baru kedalam sistem pengertian yang telah dipunyai. Keduanya menekankan pentingnya asimilasi pengalaman baru kedalam konsep atau pengertian yang sudah dipunyai siswa. Keduanya mengandaikan bahwa dalam proses belajar itu siswa aktif.

Ausubel berpendapat bahwa guru harus dapat mengembangkan potensi kognitif siswa melalui proses belajar yang bermakna. Sama seperti Bruner dan Gagne, Ausubel beranggapan bahwa aktivitas belajar siswa, terutama mereka yang berada di tingkat pendidikan dasar, akan bermanfaat kalau mereka banyak dilibatkan dalam kegiatan langsung. Namun untuk siswa pada tingkat pendidikan lebih tinggi, maka kegiatan langsung akan menyita banyak waktu. Untuk mereka, menurut Ausubel, lebih efektif kalau guru menggunakan penjelasan, peta konsep, demonstrasi, diagram, dan ilustrasi.

 Aplikasi Teori Ausubel Terhadap PembelajaranMatematika

Dalam pembelajaran matematika siswa akan lebih baik jika siswa tersebut dilibatkan langsung dalam pembelajaran, terutama mereka yang berada di tingkat pendidikan dasar. Namun untuk siswa pada tingkat pendidikan lebih tinggi, maka kegiatan langsung akan menyita banyak waktu. Untuk mereka, menurut Ausubel, lebih efektif kalau guru menggunakan penjelasan, peta konsep, demonstrasi, diagram, dan ilustrasi.

3. Psikologi pembelajaran menurut Gagne

datangnya dari luar, sedang kematangan datangnya memang dari dalam diri orang itu. Perubahan tingkah laku yang tetap sebagai hasil belajar harus terjadi bila orang itu berinteraksi dengan lingkungan.

 Teori Belajar Menurut Robert M. Gagne

Sebagaimana tokoh-tokoh lainnya dalam psikologi pembelajaran, Gagne berpendapat bahwa belajar dipengaruhi oleh pertumbuhan dan lingkungan, namun yang paling besar pengaruhnya adalah lingkungan individu seseorang. Lingkungan indiviu seseorang meliputi lingkungan rumah, geografis, sekolah, dan berbagai lingkungan sosial. Berbagai lingkungan itulah yang akan menentukan apa yang akan dipelajari oleh seseorang dan selanjutnya akan menentukan akan menjadi apa ia nantinya.

 Aplikasi Teori Gagne terhadap PembelajaranMatematika

Karakteristik materi matematika yang berjenjang (hirarkis) memerlukan cara belajar yang berjenjang pula. Untuk memahami suatu konsep dan/atau rumus matematika yang lebih tinggi, diperlukan pemahaman yang memadai terhadap konsep dan/atau rumus yang ada di bawahnya, dalam hal ini guru sangat berperan dalam proses pembelajaran.