Materi Fisika Pada Yoyo.docx

Materi Fisika Pada Yoyo

Yoyo memiliki energi potensial. Energi ini berasal dari dua sumber, yaitu gaya

gravitasi (melalui lemparan) dan laso yang memungkinkan yoyo berotasi. Ketika

yoyo dimainkan, kedua energi potensial itu berubah menjadi energi kinetik. Yoyo

jatuh lurus ke tanah karena lemparan dan gaya gravitasi. Pada saat yang sama, tali

memberi energi putar. Saat yoyo sampai pada ujung benang, energi putar belum

habis sehingga yoyo terus berotasi dalam keadaan “diam”. Dalam bahasa Inggris,

kondisi tersebut dinamakan sleep.

Rotasi yoyo membuatnya stabil. Agar yoyo naik ke atas, kita harus menyentakkan

talinya. Gerakan sleep tidak mungkin terjadi pada yoyo tradisional sebab talinya

terikat erat pada poros, sehingga saat yoyo sampai pada ujung benang, yoyo akan

membalik ke atas (ke tangan pemain yoyo).

Gerakan sleep memungkinkan pemain yoyo melakukan beragam trik. Maka,

pemain yoyo selalu berusaha melakukan sleep selama mungkin agar dapat

melakukan banyak trik. Salah satu trik adalah walk the dog, yaitu yoyo

digelindingkan di tanah seperti roda, kemudian ditarik kembali ke tangan.

Pabrik yoyo menciptakan beragam desain yoyo untuk memudahkan sleep. Salah

satu desain yoyo menggunakan prinsip fisika yang disebut momen inersia.

Momen inersia berkaitan dengan kemampuan suatu benda melakukan rotasi.

Momen inersia dipengaruhi dua faktor, yaitu massa benda dan jarak massa dari

poros. Makin besar massa dan makin jauh jaraknya dari poros, makin besar pula

momen

inersianya.

Jika

memiliki momen inersia tinggi, yoyo bisa melakukan sleep dalam waktu yang

lama. Untuk itu, pabrik yoyo menumpukkan berat pada tepi terluar. Cara lain

untuk mendapatkan momen inersia yang tinggi adalah dengan mengurangi

gesekan antara poros yoyo dengan benang. Caranya dengan meletakkan bola

(gotri) pada sekeliling poros, sehingga poros yoyo tidak bersentuhan dengan

benang. Agar lebih halus, gotri bisa diberi minyak pelumas (oli).

Saat dunia tergila-gila dengan yoyo pada tahun 1990-an, sebuah perusahaan

bernama Yomega menciptakan yoyo jenis baru. Sama dengan yoyo generasi

sebelumnya, benang juga tidak menyentuh poros. Bedanya, benang diletakkan

pada pelek. Antara pelek dan poros dipisahkan pegas (per). Saat yoyo diam atau

berputar pelan, pegas menekan pelek. Jadi, jika poros berputar, pelek (dan yoyo)

ikut berputar. Namun, saat yoyo berputar cepat, gaya sentrifugal menarik pegas

sehingga pegas tidak menekan pelek. Jadi, pelek terpisah dari poros. Saat poros

berputar, pelek (dan yoyo) tetap diam.

sleep. Fisika memang dunia yang mengasyikan, dimasa datang kreativitas kitalah

yang ditunggu seperti permainan yoyo tersebut.

Hubungan Yoyo dengan Konsep Fisika

Dreadnought

     

  Y

oyo merupakan mainan populer yang terdiri dari dua piringan yang

terhubung satu sama lain di pusatnya. Disekitar pusat tersebut, yoyo diikat erat

dengan sehelai tali panjang yang umumnya terbuat dari wol.

Add caption

ana yang lebih nyaman dimainkan, apakah yoyo jenis dreadnought

dengan massa 0.068 kg, atau yoyo jenis 888 dengan massa 0.067

kg? (petunjuk: semakin besar gaya tegang tali, semakin enak untuk

dimainkan)

M

Penyelesaian:

Dianggap kedua yoyo dicoba dimainkan, dengan arah perputaran yoyo

searah jarum jam (gaya berat benda +). Mari kita hitung terlebih dahulu gaya

tegang tali (T) yang diperlukan untuk memainkan yoyo Dreadnought:

Mari kita hitung gaya tegang tali pada yoyo 888:

Semakin besar gaya tegang tali, semakin nyaman bagi kita untuk memainkan

yoyo tersebut. Maka yoyo yang nyaman dimainkan adalah yoyo Dreadnought.

---

Yoyo 888

Penampang Bagian-Bagian Yoyo

Yoyo ketika dimainkan

Referensi:

Gambar sketsa gaya (beserta sumber konsep ilmiah):

http://www.yoyostorerewind.com/media/catalog/product/cache/1/image/600x600/

9df78eab33525d08d6e5fb8d27136e95/d/r/dreadnaught13.jpg

http://farm3.static.flickr.com/2385/1516510859_d9bab23355.jpg

http://www.yo-yo.org/elvis/Misc/stevebrown888.jpg

Yoyo

memang tidak sepopuler Tamiya, PlayStation, atau boneka Barbie. Tapi,

jangan dikira mainan yang sudah dimainkan bangsa Yunani sejak tahun 500 SM

itu kuno dan tidak "gaul". Buktinya, di Jepang dan Amerika setiap tahun masih

ada kontes nasional pintar-pintaran bermain yoyo. Pesertanya mulai dari

anak-anak hingga kakek-kakek yang datang dari seluruh penjuru negeri. Penggemar

yoyo di Amerika bahkan mendirikan American Yoyo Association, perkumpulan

khusus penggemar yoyo.

Yoyo juga populer di kalangan para ilmuwan. Para astronot NASA pernah dua

kali membawa yoyo ke luar angkasa untuk dipelajari. Yang pertama tahun 1985

dengan pesawat Discovery dan yang kedua tahun 1992 dengan pesawat Atlantis.

Yoyo adalah satu-satunya mainan yang pernah dimainkan di ruang angkasa.

Banyak orang memandang rendah yoyo karena mainan ini begitu sederhana. Yoyo

tak memiliki rangkaian elektronik atau mesin yang rumit. Wujudnya cuma berupa

setangkup cakram (terbuat dari kayu, plastik, atau logam) yang dihubungkan

dengan seutas tali ke salah satu jari kita. Tapi, jangan under-estimate, karena di

tangan pemain yang mahir, yoyo akan berubah menjadi mainan yang luar biasa. Ia

dapat berjalan di lantai, melayang di udara, atau terbang berputar-putar.

Atraksi fisika

pertama adalah dengan menggulung tali pada poros yoyo dan meletakkan di

genggaman tangan kita. Cakram yoyo yang masih kita genggam itu mempunyai

energi potensial karena dua hal. Pertama, karena ketinggiannya (posisinya) dan

kedua, karena gulungan tali pada porosnya.

Ketika kita melepaskan cakram yoyo, gaya gravitasi akan menarik pusat

massanya sehingga cakram tersebut jatuh. Akibat gulungan tali, cakram yoyo

akan jatuh sambil berputar. Saat cakram yoyo mulai jatuh, energi potensialnya

diubah menjadi energi kinetik. Energi kinetik cakram yoyo akan bertambah

seiring dengan waktu dan akan mencapai nilai tertinggi saat tali sudah sepenuhnya

terurai.

Selain energi kinetik, cakram yoyo akan berputar terus. Mengapa begitu? Karena

tali yoyo sengaja hanya dikalungkan melingkari poros. Sekadar cerita, sebelum

cara mengikat ini dikenalkan oleh bangsa Filipina, tali yoyo diikatkan kuat-kuat

dengan simpul mati pada poros. Akibatnya, cakram yoyo langsung kembali begitu

tali sepenuhnya terurai. Bermain dengan cara ini kurang asyik. Berbeda jika tali

yoyo hanya dikalungkan, cakram akan terus berputar hingga gesekan antara tali

dan poros membuatnya berhenti.

Bagaimana agar cakram yoyo kembali ke tangan kita? Mudah saja. Beri saja

sedikit entakan saat cakram yoyo masih berputar di ujung tali. Entakan itu akan

membuat gesekan antara tali dan poros yoyo berhenti berputar untuk beberapa

saat. Meskipun berhenti berputar, momentum sudut yang dipunyai cakram tidak

akan hilang. Hal ini mengikuti prinsip hukum kekekalan momentum sudut.

Momentum sudut itu oleh cakram digunakan untuk mendaki punggung tali.

Akibatnya, tali akan tergulung dan yoyo kembali ke genggaman tangan kita.

Peristiwa kembalinya yoyo ini merupakan kebalikan dari peristiwa jatuhnya yoyo,

di mana energi kinetik cakram diubah menjadi energi potensial.

Gesekan akan membuat cakram yoyo berhenti sebelum sampai ke tangan kita.

Nah, kita mesti membantu cakram dengan memberinya sedikit tarikan ke atas.

Tarikan tersebut memberi cakram energi kinetik tambahan untuk mengganti

energi kinetik yang hilang akibat gesekan.

Trik "Menembak Bulan"

Yoyo yang baik adalah yang dapat berputar di ujung tali dalam waktu cukup lama

(pemain yoyo menyebutnya "Sleeper"). Saat yoyo tertidur itulah sebagian besar

trik permainan yoyo dilakukan. Sayangnya, "menidurkan" dan "membangunkan"

cakram yoyo bukanlah perkara yang mudah. Para pembuat yoyo pun kemudian

berlomba-lomba membuat yoyo yang lebih mudah ditidurkan dan dibangunkan.

adalah ukuran seberapa tahan suatu benda untuk mengubah gerak rotasinya.

Momen kelembaman dipengaruhi oleh massa benda dan jarak massa tersebut ke

sumbu rotasi. Penambahan massa dan jarak massa ke sumbu rotasi akan membuat

momen kelembaman suatu benda meningkat sehingga lebih sulit berotasi.

Para pembuat high performance yoyo sering kali meletakkan massa tambahan di

ujung luar cakram yoyo. Tujuannya, agar cakram memiliki momen inersia yang

lebih besar. Dengan begitu, cakram yoyo akan tertidur lama.

Ada cara lain agar cakram yoyo dapat tidur lama, yaitu mengurangi gesekan

antara tali dan poros. Laher (ball bearing) yang terdiri atas dua cincin (mirip

dengan roda sepatu roda) dapat dipasang di sekeliling poros. Tali yoyo

dilingkarkan pada cincin luar yang tidak bersentuhan langsung dengan poros.

Cincin luar ini berputar saat kita mulai melempar cakram yoyo. Gaya akibat

lemparan membuat cincin luar dan dalam saling menempel sehingga keduanya

berputar bersama. Putaran cincin dalam kemudian memutar poros yoyo. Saat

cakram yoyo sampai di ujung tali, kedua cincin akan terpisah lagi dan berputar

sendiri-sendiri.

Gesekan antara cincin luar (tempat tali diikatkan) dan cincin dalam (tempat poros

berputar) sangatlah kecil karena ada bantalan peluru yang memisahkan keduanya.

Yoyo cold fusion dan mondial yang dipasangi laher dapat tertidur lebih dari 10

menit.

Banyak trik dapat dilakukan selama yoyo tertidur. Trik permainan yoyo yang

populer di antaranya shoot the moon, walk the dog, braintwister, dan splitting the

atom. Dalam trik shoot the moon, yoyo tidak dijatuhkan tetapi dilempar ke atas.

Prinsip kerja trik ini sama dengan permainan yoyo biasa, hanya saja energi kinetik

cakram yoyo dihasilkan oleh lemparan, bukan oleh gaya gravitasi.

Pada tahun 1990 Michael Caffrey dari perusahaan yoyo Yomega

mematenkan yoyo yang ia juluki "the yoyo with a brain". Selain dapat tertidur lama, yoyo pintar ini dapat kembali secara otomatis ke

genggaman tangan kita. Bagaimana cara kerja yoyo keren ini?

"Otak" yoyo pintar buatan Caffrey adalah suatu susunan alat yang disebut kopling sentrifugal. Kopling ini terdapat di salah satu cakram yoyo berupa dua batang lengan logam yang disangga oleh sebuah pegas. Masing-masing lengan diberi pemberat di salah satu ujungnya, sementara ujung lainnya disatukan dengan badan yoyo.

poros dan spindle tidak saling bersentuhan, spindle dapat berputar dengan bebas pada poros.

Pada waktu awal jatuh, cakram yoyo hanya berputar pelan. Saat itu kopling akan mencengkeram spindle sehingga putaran spindle akan memutar seluruh cakram yoyo. Ketika tali sudah hampir terurai seluruhnya, cakram yoyo mulai berputar cepat. Akibatnya, bola pemberat yang berada di ujung lengan kopling akan terlempar keluar dan menekan pegas. Lengan kopling melepaskan cengkeramannya pada spindle. Cakram yoyo dan spindle pun akan berputar sendiri.

Setelah berputar beberapa lama, putaran cakram yoyo akan melambat karena gesekan. Gaya yang mengakibatkan pemberat terlempar keluar menjadi berkurang. Gaya yang melemparkan pemberat sering disebut gaya sentrifugal. Gaya ini merupakan gaya semu yang berasal dari usaha beban untuk mempertahankan gerak lurusnya. Lengan kopling kembali mencengkeram spindle dan putaran cakram kembali ke tangan kita. Karena dapat kembali tepat pada waktunya, yoyo ini disebut yoyo pintar.

rumus cepat fisika

14 Apr

Rumus cepat fisika

Rumus ini saya dapatkan setlah saya mengutak-atik soal fisika bab mement

inersia,tepatnya rumus menggelinding dsn rumus yoyo di gantung, berikut

rumusnya

1. rumus mencari percepatan gerak menggelinding

x. F

M DIKET X ADLAH N SEPERTI SI PEJAL ½

-BOLA PEJAL 2/5

-YOYO PEJAL ½

ITU MENJADI PERCEPATAN 5.F

7.M

Dengan begitu diketahui =a/b

=b/(a+b)

*Ini untuk x nya lo, kalau x nya dah ketemu baru dikalikan F/M ok!!!!!

Simpelkan tapi efektif

B.rumus perceatan yoyo

Sama seperti cara diatas tapi x nya di kalikan W/M

Contoh x=1/2

Ingat a/b

=b/(a+b)

Berari kan menjadi 2/(1+2)

Nah baru dukalikan W/M

Rumusnya menjadi =2/3 . W/m

Contoh soal=

sebuah bola pejal diket m=2kg

f=40 N

dit a?

jwb

bola pejal =2/5

berarti kan =5(2+5) .F/M

=5/7 . F/M

=200/14

=14,285

MODUL XIII DAN XIV

FISIKA MEKANIKA

MOMEN INERSIA

Tujuan intruksional umum

Agar mahasiswa dapat mengetahui Fisika mekanika tentang gerak peluru dan gerak melingkar

Tinjauan Instruksional khusus

 Dapat memahami dan menganalisa tentang gerak peluru

 Dapat memahami dan menganalisa tentang gerak melingkar

Buku Rujukkan:

Giancoli Physics

Kane & Sterheim Physics 3 Edition

Sears & Zemanky University Phisics

Frederick J Bueche Seri Buku Schaum

Sutrisno Seri Fisika Dasar

Pada waktu membahas Hukum Newton I, kita telah belajar bahwa setiap benda mempunyai kecenderungan untuk tetap diam atau bergerak lurus beraturan (mempertahankan posisi atau keadaannya). Kecenderungan ini dinamakan Inersia, ukuran yang menyatakan kecenderungan ini dinamakan massa.

Besi lebih sukar digerakan disbanding kayu yang berukuran sama karena besi mempunyai kecenderungan lebih besar untuk mempertahankan posisinya dibandingkan dengan kayu (dengan kata lain massa besi lebih besar dibandingkan dengan massa kayu).

Dalam gerak rotasi tiap-tiap benda mempunyai kecenderungan untuk mempertahankan posisi atau keadaannya. Misalnya : rotasi bumi (perputaran bumi pada sumbunya) dari semenjak bumi diciptakan hingga sekarang bumi senantiasa berotasi dan tidak berhenti berotasi berarti suatu bencana karena tidak ada pertukaran siang dan malam lagi. Kecenderungan seperti ini dinamakan inersia rotasi. Ukuran untuk menyatakan besarnya kecenderungan ini kita namakan momen inersia.

Berbeda dengan massa benda yang hanya tergantung pada jumalh kandungan zat didalam benda tersebut, momen inersia disamping tergantung pada jumlah kandungan zat (masa benda) juga terganyung bagaimana zat-zat atau massa ini terdistribusi. Semakin jauh distribusi massa dari pusat putaran semakin besar momen inersinya.

r

2>

r

1

I

2>

I

1

r2

r1

Gambar 13.1

Misalnya momen inersia suatu silinder lebih besar dibandingkan dengan momen inersia silinder lain yang berukuran lebih kecil karena pada molekul-molekul pembentukannya tersebar pada tempat-tempat yang jauh lebih jauh dari sumbu putarnya.

Momen inersia I suatu benda titik (partikel) terhadap suatu sumbu putar didefinisikan sebagai perkalian massa partikel, m dengan kuadrat jarak partikel r dari sumbu putar.

I=MR2

Momen inersia dari sistem beberapa partikel dapat dihitung dengan menjumlahkan momen inersia tiap-tiap partikel.

Suatu momen inersia kg.m2

Contoh 1

Tiga buah massa

(

1

kg

)

,m

B

(

2

kg

)

_dan

m

c _{ukuran seperti pada gambar,}

hitung momen inersia sistem terhadap sumbu putar berikut ini : a) Melalui massa A dan B

b) Melalui titik d tegak lurus bidang xy

I

=

∑

i

m

_i

r

_i2

y

x

D

A

B C

2m

Gambar 13.2

Penyelesaian :

a) Sumbu putar yang melalui A dan B :

Dalam kasus ini massa ma dan mb tidak memberikan kontribusi pada

momen inersia, karena kedua massa ini didahului oleh sumbu putar. Momem inersia hanya berasal dari mc saja, rc = 2 m adalah jarak

sumbu putar dengan mc.

Diketahui :

Mc = 3 kg

Rc = 2 m

Ditanya : I ?

Jawab :

I

=

∑

i

m

_i

r

_i2

=

m

c

r

c2 _{= 12 kg.m}2

b) sumbu putar yang melalui sumbu d (titik berat segitiga)

Dalam kasus ini semua massa memberikan kontribusi pada momen inersia, perhitungan jarak dari titk berat ke masing-masing massa dapat dilihat pada gb. 13.3

m

_C

=

3

kg

m

_B

=

2

kg

m

_A

=

1

kg

r

_C

=

2

√

5₉

m

r

_A

=

2

√

5₉

m

r

_B

=

2

√

2₉

m

DB

=

2₃

√

2

DE

=

1₂

√

2

√

2

√

2

r

_C

=

CD

=

2

√

5₉

r

_A

=

AD

=

rC

=

2

√

5₉

r

_B

=

DB

=

2₃

√

2

Gambar 13.3

Ditanya : I?

Jawab :

I

=

∑

i

m

_i

r

_i2

=m_Ar

A2+mBrB2+mCrC2

¿1.20₉ +16₉ +60₉ =96₉ kgm2

y

x

D

A

B C

2m

2m

r

Momen inersia benda tegar

Momen inersia benda tegar atau benda pejal dihitung dengan menghitung jumlah momen inersia tiap partikel dalam benda itu. Pembahasan lebih detil momen inersia benda tegar disajikan dalam subbab pengayaan. Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuk walaupun mendapat gaya atau momen gaya.

Momen inersia berbaagai bentuk benda tegar jika diputar pada sumbu putar seperti digambarkan.

Pengayaan

Momen inersia benda tegar

Momen inersia benda tegar terhadap suatu sumbu putar didefinisikan sebagai jumlah momen inersia setiap partikel dalam benda itu.

MR

2 1 2

MR

2 1 2

MR

2 1 4

MR

2

+

1 12

ML

2

Benda Keterangan Momen Inersia R R R R Cincin terhadap sumbu simetri Cincin terhadap diameter Piringan atau silinder terhadap sumbu simetri silinder terhadap diameter

Gambar 13.4

I

=

m

₁

r

12

+

m

2

r

22

+

m

3

r

32

+

m

4

r

42

+

m

5

r

52

+

m

6

r

62

I

=

∑

i

m

_i

r

i2

Karena benda tegar mempunyai struktur kontinu (atom-atom sangat berdekatan sehingga dapat dikatakan saling bersambungan) maka rumus jumlah itu boleh diganti dengan rumus integral.

I=

∫

r2_dm

Dengan dm menyatakan elemen kecil dari benda yang terletak pada jarak r dari sumbu puatar. Untuk membuktikan hal ini mari kita hitung momen inersia suatu batang yang diputar pusat massanya.

Teorema Sumbu sejajar

Teorema sumbu sejajar menetapkan bahwa momen inersia I suatu benda terhadap suatu sumbu putar sejajar dengan sumbu yang melalui pusat massa benda sama dengan momen inersia terhadap sumbu melalui massa, Ipm ditambah perkalian massa benda itu (M) dengan kuadrat dalam

sumbu itu ke pusat massa benda D.

I

=

I

_pm

+

MD

2

Catatan : Pusat mata adalah titik dimana seluruh massa benda dapat dikonsentrasikan pembahasan titik massa diberikan kepada bab selanjutnya.

Umumnya pusat massa benda terletak ditengah atau dipusat benda.

Gambar 13.5

Pusat massa silinder terletak pada tengah-tengah silinder, sehingga jarak puast massa terhadap sumbu putar adalah D = R, karena momentum inersia terhadap sumbu putar ini adalah :

I

=

I

_pm

+

MD

2

=

1₂

MR

2

+

MR

2

¿

3₂

MR

2

Momentum sudut

Dalam gerak translasi kita mengenal momentum yang didefinisikan sebagai perkalian antara massa dan percepatan p = m .v

Dalam gerak rotasi besaran yang analog dengan momentum ini adalah momentum sudut.

R

Pusat massa

Momentum sudut suatu partikel (benda titik) yang berputar terhadap suatu titik O didefinsikan sebagai

L = r x p

p merupakan momentum partikel dan r adalah vektor posisi partikel.

Gambar 13.6

Arah momentum sudut dapat dicari dengan aturan tangan kanan ketika kita mengepalkan keempat jari kita dari arah r kearah p maka arah ibu jari menunjukkan momentum sudut L.

Gambar 13.7

Gambar 13.7 Melukiskan gerakan sebuah partikel mengelilingi sebuah sumbu putar dengan O sebagai pusat putaran. Momentum sudut terhadap titik O dapat ditulis :

Z

X

Y L

p r

Z L

X

O

L

=

rxp

=|

r

||

p

|

sin

θk

=

rmv

sin

(

90

o

)

k

¿

rm

(

ϖ

r

)

k

¿

mr

2

ϖ

k

¿

I

ϖ

⃗

Atau jika hanya besarnya kita boleh tuliskan :

L = I ω

k merupakan vektor satuan arah sumbu z positif dan ϖ _merupakan vektor kecepatan sudut. Arah kecepatan vektor sudut ditentukan sebagai berikut :

Jika partikel bergerak melingkar berlawanan dengan arah jarum jam dalam bidang xy maka arah vektor kecepatan sudutnya adalah pada sumbu z positif tapi jika gerakannya searah jarum jam vektor kecepan sudut searah sumbu z negative.

Catatan rumus momentum sudut terhadap titik O pada persamaan hanya berlaku ketika titik O terletak pada bidang rotasi. Jiak tititk O tidak terletak pada bidang rotasi seperti ditunjukkan oleh gambar 13.7. Maka arah

momentum sudut tidak sejajar dengan arah ω

Dan besar momentum sudut tidak sama dengan I ω _{. Besar momentum} sudut ini dapat ditulis sbb :

⃗

ϖ

L P

L

=

r ' p

sin

(

90

o

)

r

=

r ' m r

ϖ

=

mr

2

ϖ

r ' r

¿

Iϖ

r '_r

¿

Iϖ

Pada pembahasan modul ini kita membatasai diri dengan hanya mendiskusikan soal-soal dimana vektor L sejajar dengan sumbu putar

yaitu dimana rumus L = I ω _{berlaku. Rumus diatas dapat kita perluas} untuk benda tegar, Benda tegar dapt kita anggap sebagai kumpulan partikel-partikel jika benda tegar diputar terhadap sumbu maka momentum sudut benda terhadap sumbu putar itu sama dengan jumlah momentum sudut dari partikel-partikel benda tegar tersebut karena arah momentum sudut kita pilih sejajar dengan arah sumbu putar maka kita boleh menuliskan.

L

=

∑

i

I

_i

ω

_i

Dimana Ii adalah momen inersia tiap partikel karena ϖ untuk setiap

partikel sama maka :

L

=

ω

∑

i

I

_i

=

ωI

Dengan I menyatakan momen inersia benda tegar yang diberikan pada tabel satuan momentum sudut adalah kg.m2_/s.

Hubungan momen gaya dengan kecepatan sudut

Gambar 11.8

Gambar melukiskan partikel bermassa m yang diberi gaya F gaya tegak lurus jari-jari menurut hukum Newton benda akan di percepat dengan percepatan searah dengan gaya percepatan. Percepatan ini dinamakan hubungan gaya dan percepatan ini adalah:

F

=

m

.

α

Karena percepatan singgung α=αr

Maka

F

=

mαr

Sekarang kalikan kedua ruas dengan r selanjutnya gunakan definisi

τ

=

rF

Untuk memperoleh hubungan antara momen gaya τ _dengan

percepatan sudut α

rF

=

rm

(

αr

)

τ

=

mr

2

α

Karena momen inersia partikel adalah :

I

=

mr

2

Rumus diatas mirip dengan Newton II

F

=

m

.

α

. Disini τ _berperan seperti gerak translasi dan α _{berperan sebagai percepatan pada gerak} translasi, bagaimana dengan I? I mempunyai peran seperti massa, semakin besar I semakin besar benda berputar (mirip dengan gerak translasi). Benda bermassa besar sukar digerakkan/dipercepat.

Energi Kinetik Rotasi

Anggap suatu partikel bergerak dengan kecepatan sudut ϖ _{. Kecepatn}

singgung partikel adalah : v=ϖr _{, energi kinetikpartikel ini} Ek=

1 2mv

2

dengan mensubstitusikan v _{kita peroleh rumus energi kinetik partikel ini}

E_k=1₂mv2

v=ωr

=

1

2m(ϖ.r) 2

=1₂mr2ϖ2

Karena

mr

2 merupakan momen inersia partikel, maka :

Dalam kasus ini partikel hanya kbergerak melingkar saja, sehingga rumus energi diatas adalah rumus energi kinetik untuk gerak rotasi. Satuan energi kinetik rotasi adalah joule.

Rumus diatas dapat diperluas untuk suatu benda tegar. Pada waktu benda

tegar diputar dengan kecepatan sudut ϖ maka seluruh partikel yang menyusun benda itu bergerak dengan kecepatan sudut ϖ . Energi

Gambar 13.9

Ek=1₂1ϖ2

kinetik rotasi benda tegar merupakan penjumlahan energi kinetik tiap partikel.

E

_k

=

1₂

I

₁

ϖ

2

+

1₂

I

₂

ϖ

2

+

1₂

I

₃

ϖ

2

+

1₂

I

₄

ϖ

2

+

.. .

¿

1₂

ϖ

2

∑

i

I

=

1₂

ϖ

2

I

Gambar 13.10

Dalam hal ini I merupakan momen inersia benda pejal.

Contoh : Suatu piringan hitam berputar 33 rpm dan mempunyai massa 100 gr. Jika jari-jari piringan hitam 15 cm hitung berapa energi kinetik rotasi piringan hitam ini ?

Momen inersia piringan hitam I=

1 2MR

2

Penyelesaian : Soal ini dapat diselesaikan langsung dengan rumus :

Diketahui :

M

=

100

gr

=

0.1

kg

R

=

15

cm

=

0.15

m

ϖ=

33

rpm

=

33

putaran

/

menit

=

33.

(

2

π

)/

60

=

1.1

π rad

/

s

v

₃

v

₂

v

₁ ω

ω

1 2 3

ditanya

E

k _?

Jawab :

E_k=1₂Iω2

Energi ini sangat kecil sekali, ini setara dengan energi untuk memindahkan massa 0,68 gr setinggi 1 meter.

Cara lain menurunkan rumus energi kinetik (pengayaan)

Pada gambar 13.12 gaya F bekerja pada suatu p. usaha yang

dilakukan gay ini ketika benda berputar sejauh

ds

=

rd θ

adalah:

dw

=

F

.

ds

=

F

cos

(

90

−

φ

)

rd θ

=

F

(

sin

φ

)

rd θ

Karena

r

sin

φ

merupakan lengan momen maka :

dw

=

Fℓdθ

=

τdθ

Selanjutnya kita tulis τ=Iα=Idwdt dan gunakan aturan rantai

dω dt=

dω dθ

dθ dt=

dω

dt ω untuk memperoleh

=

1₂

(

1₂

)

MR

2

ϖ

2

¿

1₄

(

0.1

)(

0.15

)

2

(

1.1

π

)

2

dw=Idω_dθ ω.dθ

∫

dw=

∫

_ωoω Iω.dω w=W=1₂ Iω2−1₂ Iω

o2

Gambar 13.12

Kekekalan Momentum Sudut

Kita sudah pelajari bahwa laju perubahan momentum sudut sama dengan momen gaya yang bekerja pada sistem itu,

τ=dL_dt

Jika tidak ada momen gaya yang bekerja pada sistem

(

τ

=

0

)

maka momentum sudut tidak berubah terhadap waktu

dL dt=0

Persamaan diatas mengatakan bahwa momentum sudut sistem kekal ( konstan sepanjang waktu, baik besar maupun arahnya ).

Iω

=

konstan

atau kalau hendak dituliskan besarnya maka L=. Selanjutnya karena

L

=

I

ω

_maka

I

ω

=

I

0

ω

0

Dimana

I

0 _{dan I adalah momen inersia mula-mula dan momen inersia}

akhir. Sedangkan

ω

0

dan

ω

_{menyatakan kecepatan sudut mula-mula dan}

kecepatan sudut akhir.

ds

Berapa aplikasi hukum kekekalan momentum sudut adalah :

a. Penari Balet

Seorang penari balet akan menarik tangannya ke dekat badannya untuk berputar lebih cepat dan mengembangkan kedua tangannya untuk berputar lebih lambat. Pada waktu sang penari menarik kedua tangannya ke dekat badannya, momen inersia sistem makin kecil akibatnya kecepatan sudut penari semakin besar ( penari berputar lebih cepat ), sebaliknya ketika kedua tangan mengembang, momen inersia penari lebih besar sehingga penari akan bergerak lebih lambat.

b. Pelompat Indah

Ketika seorang pelompat indah hendak melakukan putaran di udara ia akan menekuk tubuhnya, hal mana akan mengurangi momen inersianya sehingga kecepatan sudutnya menjadi lebih besar menyebabkan ia dapat berputar 1.5 putaran. Pada tahap akhir lompatannya pelompat ini memanjangkan kembali tubuhnya sehingga ia dapat terjun ke air dengan kecepatan sudut yang lebih rendah. Momen gaya akibat gravitasi dalam hal ini tidak ada, karena pelompat indah dapat berpuatar terhadap massanya.

Contoh

Suatu piringan berputar 33 rpm dan mempunyai massa 100 gr. Piringan lain tiba-tiba di jatuhkan diatas piringan pertama, akibat gaya gesekan antara kedua pirirngan itu, mereka bergerak dengan kecepatan sudut yang sama, jika jari-jari pirirngan 15 cm hitung berapa kecepatan sudut kedua piringan tersebut. Hitung energi kinetik rotasi piringan yang hilang ! momen

inersia piringan I=

1 2MR

Jawaban :

Diketahui :

M

=100

gr

=0.1

kg

R

=15

cm

=

0.15

m

ω

_o

=33

rpm

=33

putaran

/

menit

=

33.

(

2

π

)

60

=

1.1

rad

/

s

I_o=1₂.MR2

=1₂. 0,1(0,1)2

2 ¿1,125 .10−¿

¿

It

=

2

I

_o

Ditanya :

ωt

?;

ΔE

k

?

Jawab :

I_oω_o=I_tω_t

ω_t=Io 2Io

1,1π

=0,55

π rad

/

s

ΔE

_k

=

E

_ko

−

E

_kt

=1₂(I_oω

o2−Itωt2)

¿1₂(I_oω

o2−2Ioωt2)

¿1₂ I_o(ω

o2−2ωt2)

¿1₂(1, 125 .10−3_)(1,1π)2_{−2(0. 55π)}2

Kombinasi gerak rotasi dan translasi (pengayaan)

Bagaimana dengan gerak rotasi yang digabungkan dengan gerak translasi seperti pada roda sebuah sepeda sedang bergerak.

Gambar 11.13

Pada gerakan energi kinetik sistem ada dua macam :

Energi kinetik rotasi Ek(R)=

1

2Iϖ

2

( ϖ adalah kecepatan sudut dimana pusat putarannya melalui pusat massa benda )

Energi Kinetik translasi

E

k(T)

=

1 2

Mv

2

( Energi kinetik ini merupakan energi gerakan translasi pusat massa ).

Contoh :

Sebuah yoyo dengan massa 250 gram terdiri dari dua buah silinder berjari-jari 5 cm, yang dihubungkan dengan sebuah batang silinder kecil. Jika panjang tali 90 cm, hitung berapa kecepatan sudut yoyo diujung bawah tali agar dapat naik keatas sampai ketangan pemain yoyo. Abaikan massa tali

Gambar 11.14

Penyelesaian : Karena massa silinder kecil diabaikan maka momen inersia

yoyo adalah sama dengan momen inersia silinder yaitu I=MR2

dengan M menyatakan massa yoyo ( massa kedua silinder ), ketika yoyo naik keatas, energi kinetik rotasi yoyo mula-mula diubah menjadi

energi translasi

E

k(T)

=

1 2

Mv

2

+

_{energi potensial}

E

_p

=

Mgh

_dan

sisanya tetap sebagai energi kinetik rotasi pada waktu itu.

1

2 Iϖ_o2=

1

2Mv

2

+Mgh+1₂Iϖ2

Anggap ketika yoyo sampai kecepatannya, sehingga persamaan diatas menjadi :

1

2Iϖ_o2=Mgh

Selanjutnya

ϖ

o _{dapat dihitung dengan mudah}

Diketahui :

R = 5 cm = 0,05 m

H = 90 cm = 0,9 m

Ditanya

ω

o _?

Jawab :

I=

1 2MR

2

=

1₂

0,025

(

0,05

)

2

¿

3,125

x

10

−4

kg

.

m

2

1

2ϖ_o2=Mgh

ϖ

o

=

√

2Mgh1

=

√

2(0,25)(9,8)(0,9)

3,125x10−4

=

119

rad

/

s

Bergulir tanpa slip (pengayaan)

Pada gabungan gerak rotasi dan translasi ada semacam gerakan yang dinamakan bergulir tanpa slip. Maksudnya adalah benda bergulir tapi tidak terpeleset. Dalam hal ini jarak translasi yang ditempuh sama dengan panjang tali busur yang ditempuh.

Gambar melukiskan sebuah silinder yang bergerak translasi dan rotasi.

Misalkan pada waktu t silinder telah menempuh

θ

. Panjang tali busur

AB dan R

θ

, jika gerakan silinder ini gerak bergulir tanpa slip, maka jarak yang ditempuh silinder akan sama dengan panjang busur AB.

Gambar 13.15

S = R

θ

Atau jika kita differensialkan kedua rumus kita peroleh syarat benda bergulir tanpa slip

v

=

R

ϖ

Gambar 13.16

Catatan :

Pada gerak bergulir tanpa slip kecepatan dititik sentuh benda dengan

permukaan lintasan sama dengan nol

(

v

c

=

0

)

_{. Bandingkan dengan}

gerak translasi murni dimana seluruh titik pada benda termasuk titik C

bergerak dengan kecepatan sama

(

v

c

=

0

)

_{dangerak rotasi murni}

dimana seluruh titik pada permukaan silinder bergerak dengan kecepatan

sama tapi pusat massanya sama dengan nol

(

v

c

=

ϖ

R

)

Vpm

Vpm

Vpm

Vpm

V=V =0c pm

Vpm

V =0pm

V=V =0c pm

Vc

Contoh :

Sebuah silinder bermassa M bergulir tanpa slip diatas sebuah bidang

miring dengan mirinr sudut

θ

. Hitung berapa kecepatan silinder ini ketika tiba didasar benda miring.

Gambar 13.16.a

Penyelesaian ada 4 macam cara untuk soal ini, harap perhatikan titik masing-masing cara. Dengan mengerti ke 4 cara ini dengan baik, kita

dapat fleksibel dalam penyelesaian soal, dalam hai ini berlaku

v

=

ϖ

R

( syarat tanpa slip).

Cara I : Metode Usaha

Dalam metode ini kita meninjau bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya

gravitasi dari puncak benda miring kedasar benda miring

(

W

=

mgh

)

adalah untuk mengubah energi kinetik silinder sehingga ketika tiba dibidang miring, silinder mempunyai kecepatan. Usaha yang dilakukan oleh gaya jgravitasi ini dapat dikatakan sebagai energi kinetik.

Dalam hal ini dua macam energi kinetik translasi dan rotasi

W

=

ΔE

_k

=E_kt−E_ko

¿1₂ Iϖ2+₂1 Mv2−(1₂ I_oϖ o2+

1

2 Mv_o2)

¿1₂(1₂ MR2)(_Rv )2+1₂ Mv2−0

h

M

Mgh=3₄Mv2

v=

√

2₄gh

Gambar 11

13.16.a

Cara II : Metode Kekekalan Energi

Dalam metode ini pakai konsep energi kekal, dalam soal ini hanya dua macam energi yaitu energi potensial dan energi kinetik. Menurut hukum kekekalan energi, jumlah energi potensial dan energi kinetik dipuncak bidang miring ( keadaan mula-mula) sama dengan jumlah energi potensial dan energi kinetik di dasar bidang miring sehingga energi potensial mula-mula.

E_p

(awal)=Mgh _dan Ep(akhir)=0 _{, karena energi kinetik awal sistem}

sama dengan nol

E

k

=

0

E_p(awal)+E_k

(awal)=Ep(akhir)+Ek(akhir) Mgh+0=0+1₂ (1₂ MR2₍v

R )

2₎₊1 2 Mv

2

[image:33.595.146.506.407.615.2]

Mgh=3₄ Mv2 v=

√

₃4 gh

Gambar 13.16.c

Cara III : Metode Momen Gaya

Pertama kita tinjau dahulu gerak rotasi (pada pusat massa) disebabkan oleh adanya gaya gesek f yang menimbulkan momen gaya. Gaya berat mg

E

_p

=

Mgh

E

_k

=

0

E

_p

=

0

E

_k

=

1₂

Iω

2

+

1₂

mu

2

tidak menimbulkan momen gaya karena gaya ini terletak pada suatu sumbu rotasi yaitu dipusat massasilinder. Momen gaya yang ditimbulkan

oleh gaya ini

τ

=

f

.

R

. Dengan menggunakan rumus

τ

=

Iα

dan

F

=

ma

_{kita bisa menghitung besarnya a. catatan F merupakan gaya}

total yang bekerja pada silinder yaitu sama dengan

Mg

sin

θ

−

F

(lihat gambar) perhatikan juga bahwa untuk gerak bergulir tanpa slip berlaku

juga

a

=

αR

τ

=

Iα

f

.

R

=

1₂

MR

2 a_R

f

=

1₂

Ma

F

=

m

.

a

Mg

sin

θ

−

f

=

M

.

a

Mg

sin

θ

−

1₂

M

.

a

=

M

.

a

a

=

2₃

g

sin

θ

_{Gambar 13.16.d}

selanjutnya gunakan rumus s=vot+

1 2at

2

dan v=vo+αt _untuk menghitung v perhatikan bahwa s adalah panjang lintasan yang ditempuh

silinder yaitu sama dengan s=sinhθ

s=v_ot+1₂ at2

h

sinθ=0+

1 2 2

3 gsinθt 2 3h

gsin2θ=t

2

t=

√

3h

gsin2

θ v=v_o+αt

=

0

+

2₃

g

sin

θ

√

3h gsin2θ

h mg

f

h

v=

√

4₃gh

Cara IV : Metode Momen Gaya (II)

Cara ini hamper mirip dengan cara III. Dalam hal ini kita menganggap gerakan benda turun ke bidang miring digantikan dengan gerakan rotasi murni silinder yang berputar terhadap titik A. momen inersia silinder ini merupakan momen inersia terhadap sumbu putar di A dan dapat dicari teorema sumbu sejajar:

I

_A

=

I

_pm

+

MR

2

=

₂1

MR

2

+

MR

2

=

3₂

MR

Dengan rumus τ=Iα=I Ra kita dapat menghitung besarnya a selanjutnya sama dengan cara III

τ

=

Iα

Mg

. sin

θR

=

3₂

MR

2 a_R

a

=

2₃

g

sin

θ

Besaran Rumus

Perpindahan _s=

∫

_vdt

Kecepatan

v

=

∫

adt

v

=

ds

dt

Percepatan

dt dv

a

Posisi Sudut

θ

=

∫

ϖ

dt

θ

=

θ

_o

+

ϖ

_o

t

+

1

2

αt

2

Kecepatan Sudut

ϖ

=

∫

adt

ϖ

=

dθ

dt

Percepatan Sudut

α

=

d

ϖ

dt

Momen Gaya

⃗

τ

=⃗

r x

⃗

F

τ

=|

r||F|

sin

θ

=Fℓ=

Iα

Momentum Sudut

⃗

L

=⃗

r x

⃗

p

=

I

ϖ

⃗

Momen Inersia

I

=

mr

2