DINAMIKA ROTASI Materi Fisika Peminatan Kelas XI Semester I

(1)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA DINAMIKA ROTASI

Materi Fisika Peminatan Kelas XI Semester I Oleh: Asep Budi Setiawan, S.Si

A. Momen Gaya (Torsi)

Momen gaya (torsi) adalah besaran yang menyatakan besarnya suatu gaya yang bekerja pada sebuah benda sehingga benda tersebut bergerak rotasi.

Besarnya momen gaya (torsi) yang bekerja pada suatu bendavdipengaruhi oleh besar gaya yan bekerja pada benda tersebut, dan jarak titik kerja gaya terhadap poros putar benda. Secara matematis momen gaya tersebut merupakan hasil perkalian silang (vektor) antara vektor gaya dengan jarak;

𝜏⃗ = 𝐹⃗ 𝑥 𝑅

Jika arah gaya membentuk sudut α terhadap jarak titik kerja gaya ke poros puitar, maka besarnya momen gaya dirumuskan:

𝜏 = 𝐹 . 𝑅 sin 𝛼 Keterangan:

𝜏 = momen gaya atau torsi (N.m) 𝐹 = gaya (N)

𝑅 = jarak garis kerja gaya ke poros putar (m)

𝛼 = sudut antara gaya (F) dan jarak titik kerja gaya ke poros putar.

Berdasarkan persamaan di atas, selain besar gaya dan jarak, yang mempengaruhi besarnya momen gaya adalah sudut arah gaya terhadap jarak titik kerja gaya ke poros putar. Sehingga, jika arah gaya tegak lurus terhadap jarak titik kerja gaya ke poros putar (𝛼 = 0) , maka akan diperoleh besar momen gaya maksimum, yaitu:

𝜏 = 𝐹 . 𝑅

Karena momem gaya merupakan hasil perkalian silang antara vektor gaya dan jarak, maka momen gaya (torsi) merupakan besaran vektor, yang memiliki nilai dan arah. Arah momen gaya mengikuti arah gerak rotasi bendanya, misalkan: jika benda berotasi searah putaran jarum jam, maka momen gaya bernilai positif  (+) , dan jika benda berotasi berlawanan arah putaran jarum jam, maka momen gaya bernilai negatif  (–), atau bisa sebaliknya sesuai dengan kesepakatan.

Berikut ini contoh perumusan momen gaya pada batang homogen:

poros titik kerja gaya

F R

L

fisika sekolah asik a

𝑅 = 𝐿 sin 𝛼 𝜏 = 𝐹 . 𝐿 sin 𝛼

(2)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA

F R

L

fisika sekolah asik

𝑅 = 𝐿 𝜏 = 𝐹 . 𝐿

F L

fisika sekolah asik

𝑅 = 0 𝜏 = 0

Gaya yang bekerja tepat pada poros putar atau garis kerja gayanya tetap melalui poros putar, tidak akan menghasilkan momen gaya (𝜏 = 0)

Contoh soal:

1. Sebuah batang homogen dengan panjang 80 cm diberikan tia buah gaya seperti gambar di bawah:

poros

½ L

fisika sekolah asik

F1

F₂ F3

½ L 37⁰

Jika F1 = 5 N, F2 = 15 N dan F3 = 8 N, hitunglah besar resultan momen gaya yang bekerja pada batang !

Penyelesaian

Diketahui:

𝐿 = 80 cm = 0,8 m 𝐹₁ = 3 N

𝐹₂ = 15 N 𝐹₃ = 8 N 𝛼 = 37⁰ Ditanyakan:

𝜏_{𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛} = … ? Jawab:

Perhatikan gambar berikut:

(3)

poros

½ L

fisika sekolah asik

F1

F₂ F3

½ L

37⁰

R₁

R₂

 Momen gaya oleh F1

𝑅₁ = 𝐿

F1 menyebabkan batang berotasi berlawanan arah putaran jarum jam, sehingga:

𝜏₁ = −𝐹₁ . 𝐿 𝜏₁ = −3 . (0,8) 𝜏₁ = −2,4 𝑁. 𝑚

𝑅₂ = 1

2𝐿 sin 𝛼

F2 menyebabkan batang berotasi searah putaran jarum jam, sehingga:

𝜏₂ = +1

2𝐹₂ . 𝐿 sin 𝛼 𝜏₂ = +1

2 .15 . (0,8) sin 37⁰ 𝜏₂ = +6 (0,6)

𝜏₂ = +3,6 𝑁. 𝑚

F3 tepat bekerja pada poros putar batang, sehingga:

𝜏₃ = 0

 Resultan momen gaya:

𝜏_𝑅 = 𝜏₁+ 𝜏₂+ 𝜏₃ 𝜏_𝑅 = −2,4 + 3,6 + 0 𝜏_𝑅 = +1,2 𝑁. 𝑚

Akibat ketiga gaya tersebut batang berotasi searah putaran jarum jam.

2. Sebuah pelat logam berbentuk persegi panjang, dengan ukuran panjang 40 cm, dan lebar 30 cm. Pada pelat tersebut diberikan beberapa gaya seperti gambar, sehingga pelat tersebut berotasi pada pusat massanya.

(4)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA poros

F1

F2

F3

F4

p

l

37⁰

fisika sekolah asik

Jika F1 = 10 N, F2 7 N, F3 = 15 N dan F4 = 5 N, hitunglah resultan momen gaya pada pelat tersebut !

Penyelesaian

Diketahui:

𝑝 = 40 cm = 0,4 m 𝑙 = 30 cm = 0,3 m 𝐹₁ = 10 N

𝐹₂ = 7 N 𝐹₃ = 15 N 𝐹₄ = 5 N 𝛼 = 37⁰ Ditanyakan:

𝜏_{𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛} = … ?

Jawab:

F1

F2

F3

F₄ p

l

37⁰

F_4x F_4y

R₁

R3

R4y

R4x

fisika sekolah asik

𝑅₁ = 1 2𝑝

F1 menyebabkan pelat berotasi berlawanan arah putaran jarum jam, sehingga:

𝜏₁ = −𝐹₁ . (1 2𝑝)

(5)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 𝜏₁ = −10 . (1

2 . 0,4) 𝜏₁ = −2 𝑁. 𝑚

F3 garis kerja gayanya tepat melalui poros putar pelat, sehingga:

𝜏₂ = 0

𝑅₂ = 1 2𝑙

F3 menyebabkan pelat berotasi searah putaran jarum jam, sehingga:

𝜏₃ = +𝐹₃ . (1 2𝑙) 𝜏₃ = +15 . (1

2 . 0,3) 𝜏₃ = +2,25 𝑁. 𝑚

F4 membentuk sudut 37⁰ terhadap garis vertikal (sumbu y), sehingga gaya F4 harus diuraikan secara vektor terhadap sumbu x dan sumbu y, yaitu:

𝐹_4𝑥 = 𝐹₄sin 37⁰ 𝐹_4𝑥 = 5 (0,6) 𝐹_4𝑥 = 3 𝑁 dan

𝐹_4𝑦 = 𝐹₄cos 37⁰ 𝐹_4𝑦 = 5 (0,8) 𝐹_4𝑦 = 4 𝑁

F4x menyebabkan pelat berotasi searah arah putaran jarum jam, sehingga:

𝑅_4𝑥 = 1 2𝑙 𝜏_4𝑥 = 𝐹_4𝑥 . (1

2𝑙) 𝜏_4𝑥 = 3 . (1

2 . 0,3) 𝜏_4𝑥 = 0,45 𝑁. 𝑚

F4y menyebabkan pelat berotasi berlawanan arah putaran jarum jam, sehingga:

𝑅_4𝑦 =1 2𝑝 𝜏_4𝑦 = −𝐹_4𝑦 . (1

2𝑝)

(6)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 𝜏_4𝑦 = −4 . (1

2 . 0,4) 𝜏_4𝑥 = −0,8 𝑁. 𝑚

 Resultan momen gaya:

𝜏_𝑅 = 𝜏₁+ 𝜏₂+ 𝜏₃+ 𝜏₄

𝜏_𝑅 = −2 + 0 + 2,25 + 0,45 − 0,8 𝜏_𝑅 = −0,1 𝑁. 𝑚

Akibat keempat gaya tersebut, pelat berotasi berlawanan arah putaran jarum jam.

B. Momen Inersia

Momen inersia adalah ukuran kelembaman suatu benda untuk bergerak rotasi. Momen inersia memiliki kesetaraan dengan besaran massa pada gerak translasi.

Suatu benda ketika diberikan gaya, akan memiliki tiga kemungkinan gerak yaitu gerak translasi, gerak rotasi atau gerak gabungan antara gerak translasi dan rotasi. Suatu benda yang hanya memungkinkan untuk bergerak translasi saja ketika diberikan gaya disebut benda titik (partikel).

Sedangkan benda yang memungkinkan bergerak transalasi, atau rotasi ataupun kedua-duanya disebut benda tegar.

1. Momen inersia benda titik.

Benda titik ketika titik diberikan gaya, dia tidak akan bergerak rotasi hanya memunginkan bergerak translasi (lurus) atau bergerak melingkar (berkeliling mengelilingi suatu pusat putaran).

Ketika benda titik bermassa m bergerak mengelilingi suatu pusat putaran dengan jari-jari lintasan R, maka benda titik tersebut memiliki momen inersia yang besarnya:

𝐼 = 𝑚𝑅²

Apabila ada N buah benda titik bergerak mengelilingi suatu pusat putaran dengan jari-jari lintasan R, maka besarnya momen inersia total merupakan hasil penjumlahan skalar dari momen inersia masing-masing benda, yang dirumuskan:

𝐼 = 𝑚₁. 𝑅₁²+ 𝑚₂. 𝑅₂²+ 𝑚₃. 𝑅₃²+ … + 𝑚_𝑁. 𝑅_𝑁² 𝐼 = ∑ 𝑚. 𝑅²

Keterangan:

𝐼 = momen inersia (kg.m² atau g.cm²) 𝑚 = massa benda (kg atau g)

𝑅 = jari – jari rotasi (m atau cm)

Contoh Soal:

Tiga buah benda berada sejajar pada sebuah batang ringan yang massanya diabaikan, seperti terlihat pada gambar.

m

₁

m

₂

m

₃

20 cm 40 cm

(7)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA Jika m1 = 40 gram, m2 = 25 gram, dan m3 = 10 gram, hitunglah momen inersia sistem jika:

a. diputar dengan poros di tengah-tengah antara m1 dan m2. b. diputar dengan poros melalui m3 !

Penyelesaian:

Diketahui:

m1 = 40 gram m2 = 25 gram m3 = 10 gram r12 = 20 cm r23 = 40 cm Ditanyakan:

a. I dengan poros di tengah-tengah antara m1 dan m2. b. I dengan poros melalui m3

Jawab:

a. I dengan poros di tengah-tengah antara m1 dan m2

m1 m2 m3

20 cm 40 cm

r1 r2

r3 poros

fisika sekolah asik

𝐼 = ∑ 𝑚𝑟²

𝐼 = 𝑚₁𝑟₁²+ 𝑚₂𝑟₂²+ 𝑚₃𝑟₃²

𝐼 = 40 (10)² + 25 (10)²+ 10 (50)² 𝐼 = 4.000 + 25.00 + 25.000

𝐼 = 31.500 𝑔. 𝑐𝑚² b. I dengan poros melalui m3

m₁ m2 m3

20 cm 40 cm

r1

r2

poros

fisika sekolah asik

𝐼 = ∑ 𝑚𝑟²

𝐼 = 𝑚₁𝑟₁²+ 𝑚₂𝑟₂²+ 𝑚₃𝑟₃² 𝐼 = 40 (60)² + 25 (40)²+ 10 (0)² 𝐼 = 40(3600) + 25(1600) + 0

(8)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 𝐼 = 144.000 + 40.000

𝐼 = 184.000 𝑔. 𝑐𝑚²

2. Momen inersia benda tegar

Benda tegar adalah suatu benda yang memiliki satu kesatuan massa yang kontinu (tidak terpisahkan antara satu sama lain) dan bentuknya teratur. Pada benda tegar, massa benda terkonsentrasi pada pusat massanya dan tersebar pada jarak yang sama dari titik pusat massa benda.

Apabila sebuah benda pejal terdiri dari distribusi materi yang kontinyu, maka kita dapat menganggap benda terdiri dari sejumlah besar elemen massa dm yang tersebar merata di seluruh benda, dan momen inersia benda adalah jumlah dari momen inersia semua elemen massa tersebut (𝑟² 𝑑𝑚). Untuk dm yang jumlahnya banyak, penjumlahan dinyatakan sebagai sebuah integral:

𝐼 = ∫ 𝑟² 𝑑𝑚

Dengan batas – batas integral yang dipilih sehingga mencakup seluruh benda.

Dari persamaan momen inersia tersebut, dapat di rumus – rumus momen inersia untuk benda tegar beraturan yang poros putarnya melalui pusat massanya , yang duirangkum dalam table berikut:

No Nama Benda Tegar Letak sumbu putar Gambar Rumus Momen Inersia

1 Batang Homogen Di tengah-tengah

tegak lurus batang 𝐼₀ = 1

12 𝑚𝐿²

2 Silinder pejal

Menembus pusat lingkaran sejajar panjang silinder

𝐼₀ = 1 2 𝑚𝑅²

3 Silinder berongga (tebal)

Melalui pusat

lingkaran tegak lurus diameter

𝐼₀ =1

2𝑚 (𝑅₁²+ 𝑅₂²) 4 Cincin tipis

Melalui pusat

lingkaran tegak lurus diameter

𝐼₀ = 𝑚𝑅²

5 Cincin tipis

Melalui pusat lingkaran sejajar diameter

𝐼₀ =1 2𝑚𝑅²

6 Bola berongga Melalui pusat bola 𝐼₀ =2

3𝑚𝑅²

7 Bola pejal Melalui pusat bola 𝐼₀ =2

5𝑚𝑅² 8 Pelat tipis

Melalui pusat pelat, tegak lurus

permukaan pelat

𝐼₀ = 1

12𝑚(𝑎²+ 𝑏²)

(9)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA Pada tabel di atas adalah rumus – rumus momen inersia untuk beberapa benda tegar yang poros putarnya melalui pusat massa benda. Sedangkan untuk benda tegar yang diputar dengan poros putar digeser sejajar sejauh d dari pusat massa, momen inersianya dapat ditentukan dengan persamaan:

𝐼 = 𝐼₀+ 𝑚𝑑² Keterangan:

𝐼 = momen inersia (kg.m² atau g.cm²)

𝐼₀ = momen inersia dengan poros di pusat massa benda (kg.m² atau g.cm²) 𝑚 = massa benda (kg atau g)

𝑑 = jarak pergeseran poros putar dari pusat massa benda (m atau cm) Contoh Soal:

Sebuah batang homogen bermassa 100 gram dan panjangnya 90 cm . Diputar dengan sumbu putar berada di satu titik yang berjarak ¹

3𝑙 dari salah satu ujung batang, hitunglah momen inersia batang tersebut !

Penyelesaian:

Diketahui:

𝑚 = 100 gram 𝑙 = 90 cm Ditanyakan:

I = … ? Jawab:

Poros putar bergeser sejauh d dari pusat massanya;

𝑑 = 1 2𝑙 − 1

3𝑙 𝑑 = 3

6𝑙 − 2 6𝑙

𝑑 = 1 6𝑙

Momen inersia batang homogen dengan poros di pusat massa:

𝐼₀ = 1 12𝑚𝑙²

(10)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA Momen inersia batang homogen dengan poros ¹

3𝑙 dari salah satu ujung batang : 𝐼 = 𝐼₀ + 𝑚. 𝑑²

𝐼 = 1

12𝑚𝑙²+ 𝑚. (1 6𝑙)

2

𝐼 = 1

12𝑚𝑙²+ 1 36𝑚𝑙² 𝐼 = 3

36𝑚𝑙²+ 1 36𝑚𝑙² 𝐼 = 4

36𝑚𝑙² 𝐼 = 1

9𝑚𝑙² 𝐼 = 1

9100 (90)² 𝐼 = 1

9100 (8100) 𝐼 = 90.000 𝑔. 𝑐𝑚²

C. Dinamika Rotasi

Dinamika rotasi mempelajari tentang gerak rotasi suatu benda beserta penyebab dari gerak itu sendiri. Dalam hal ini akan dibahas tentang hubungan antara momen gaya dengan percepatan sudut benda yang berotasi akibat momen gaya tersebut.

Misalkan sebuah partikel bermassa m berputar pada pada lintasan lingkaran berjari-jari r akibat adanya gaya tangensial F yang bekerja pada partikel tersebut seperti pada gambar berikut:

a F

r m

fisika sekolah asik

Gaya tangensial tersebut menimbulkan percepatan tangensial a sehingga berdasarkan hukum II Newton ;

𝐹 = 𝑚 . 𝑎

Jika persamaan hukum II Newton di atas disubstitusikan ke rumus momen gaya 𝜏 = 𝐹 . 𝑟 akan diperoleh:

𝜏 = 𝑚. 𝑎. 𝑟

Sebagai mana kita ketahui dalam gerak melingkar, percepatan tangensial dirumuskan: 𝑎 = 𝛼 𝑟, dan jika disubstitusikan lagi ke rumus momen gaya, diperoleh:

𝜏 = 𝑚. 𝛼 . 𝑟. 𝑟 𝜏 = 𝑚. 𝑟² 𝛼

(11)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 𝑚. 𝑟² merupakan rumus momen inersia (I) sehimgga persamaan di atas menjadi:

𝜏 = 𝐼 𝛼

Persamaan tersebut merupkan analogi dari persamaan hukum II Newton, yaitu 𝐹 = 𝑚 . 𝑎 pada gerak linier. Sehingga pada dinamika gerak rotasi bisa dirumuskan resultan momen gaya:

∑ 𝜏 = 𝐼 𝛼 Keterangan:

𝜏 = momen gaya (N.m)

𝐼 = momen inersia benda (kg.m² atau g.cm²) 𝛼 = percepatan sudut (rad/s²)

Contoh Soal:

Sebuah roda berbentuk bola pejal bermassa 500 gram berdiameter 10 cm ditarik mendatar dengan gaya F di atas sebuah bidang yang kasar, seperti gambar berikut:

F = 7 N

fisika sekolah asik

Akibat gaya tersebut roda menggelinding mendatar, hitunglah besar percepatan linier yang dialami roda !

Penyelesaian:

Diketahui:

𝑚 = 500 gram = 0,5 kg 𝐷 = 10 cm

𝑟 = 5 cm = 5 x 10^–2 m 𝐹 = 7 N

Ditanyakan:

𝑎 = … ? Jawab:

F

fisika sekolah asik

f

r

a a

Roda bergerak menggelinding, bearti roda mengalami gerak translasi mendatar ke kanan dan rotasi searah putaran jarum jam dengan poros di pusat roda (bola pejal).

 Untuk gerak translasi berlaku:

∑ 𝐹_𝑥 = 𝑚. 𝑎

𝐹 − 𝑓 = 𝑚. 𝑎 …….. (1)

(12)

 Untuk gerak rotasi berlaku:

∑ 𝜏 = 𝐼 . 𝛼 …….. (2)

Momen gaya yang dialami roda:

𝜏 = 𝑓 . 𝑟 … … . .. (3) Momen inersia bola pejal:

𝐼 =2

5 𝑚. 𝑟² … … … (4)

Percepatan sudut benda dirumuskan:

𝛼 = 𝑎

𝑟 … … … (5)

Persamaan (3), (4), dan (5) disubstitusi ke persamaan (2), diperoleh:

𝑓. 𝑟 = 2

5 𝑚. 𝑟². (𝑎 𝑟) 𝑓 = 2

5 𝑚. 𝑎 … … … (6)

Persamaan (6) substitusi ke persamaan (1), diperoleh:

𝐹 −2

5 𝑚. 𝑎 = 𝑚. 𝑎 𝐹 = 𝑚. 𝑎 +2

5 𝑚. 𝑎 𝐹 =7

5 𝑚. 𝑎 𝑎 = 5𝐹

7𝑚 𝑎 = 5(7)

7(0,5) 𝑎 = 10 𝑚/𝑠²

D. Energi Kinetik Rotasi

Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh semua benda yang bergerak. Ketika benda bergerak translasi, maka energi kinetiknya adalah:

𝐸_𝑘𝑇 =1 2 𝑚 𝑣²

Pada gerak rotasi besaram yang ekivalen dengan massa adalah momen inersia ( I ) dan besaran yang ekivalen dengan kecepatan adalah kecepatan sudut (  ). Berdasarkan analogi besaran – besaran tersebut dapat dirumuskan energi kinetik pada benda yang bergerak rotasi adalah:

𝐸_𝑘𝑅 =1 2 𝐼 𝜔²

(13)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA Untuk benda yang bergerak menggelinding ( bergerak translasi dan rotasi ) enrgi kinetiknya merupakan hasil penjumlahan antara energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi, yang secara matematis dirumuskan:

𝐸_𝑘 = 1

2 𝑚 𝑣²+1 2 𝐼 𝜔²

Hubungan kecepatan linier dan kecepatan sudut dirumuskan:

𝜔 = 𝑣 𝑅 Keterangan:

𝐸_𝑘 = energi kinetik (joule) m = massa benda (kg)

𝐼 = momen inersia benda (kg.m² atau g.cm²) v = kecepatan linir (m/s)

𝜔 = kecepatan sudut (rad/s) R = jari - jari (m)

Contoh Soal

1. Iwan sedang memutarkan sebuah tongkat homogen yang panjang 80 cm dan massanya 300 gram.

Tongkat tersebut diputar dengan poros di salah satu ujungnya dengan frekeunsi 7 Hz. Hitunglah bear energi kinetik yang dihasilkan oleh putaran tongkat tersebut !

Penyelesaian Diketahui:

𝑙 = 80 cm = 0,8 m 𝑚 = 300 gram = 0,3 kg 𝑓 = 7 Hz

Ditanyakan:

𝐸_𝑘 = … ? Jawab:

 Tongkat homogeny diputar dengan poros di salah stu ujungnya, momen inersianya dirumuskan:

𝐼 = 1 3 𝑚 𝑙² 𝐼 = 1

3 (0,3) (0,8)² 𝐼 = 0,1 . 0,64

𝐼 = 6,4 𝑥 10⁻² 𝑘𝑔. 𝑚²

 Kecepatan sudut tongkat;

𝜔 = 2 𝜋 𝑓 𝜔 = 2 (22

7) (7) 𝜔 = 44 𝑟𝑎𝑑/𝑠

(14)

 Energi kinetik rotasi tongkat;

𝐸_𝑘 = 1 2 𝐼 𝜔² 𝐸_𝑘 = 1

2 (6,4 𝑥 10⁻²) (44)² 𝐸_𝑘 = 61,952 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒

2. Sebuah silinder pejal bermassa 200 gram dari keadaan diam kemudian menggelinding dari atas menuruni bidang miring sepanjang 2 meter dengan sudut kemiringan 37⁰. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s², hitunglah kecepatan benda saat tepat akan menyentuh dasar bidang miring!

Penyelesaian:

Diketahui:

𝑠 = 2 m

𝑚 = 200 gram = 0,2 kg 𝜃 = 37⁰

𝑔 = 10 m/s² Ditanyakan:

v = … ? Jawab:

s = 2 m h

q

v₀ = 0

v = … ?

A

B

 Silinder menggelinding dari titik A dengan ketinggian;

ℎ = 𝑠 . sin 𝜃 ℎ = 2 sin 37⁰ ℎ = 2 (0,6) ℎ = 1,2 𝑚

 Momen inersia silinder pejal:

𝐼 =1 2𝑚𝑟²

 Energi di titik A:

𝐸𝑝_𝐴 = 𝑚 . 𝑔 ℎ

𝐸𝑘_𝐴 = 0 (benda awalnya diam)

(15)

 Di titik B:

𝐸𝑝_𝐵 = 0 𝐸𝑘_𝐵 =¹

2 𝑚 𝑣_𝐵²+¹

2 𝐼 𝜔_𝐵² (benda menggelinding) 𝐸𝑘_𝐵 =1

2 𝑚 𝑣_𝐵²+1 2 (1

2𝑚𝑟²) (𝑣_𝐵 𝑟)

2

𝐸𝑘_𝐵 =1

2 𝑚 𝑣_𝐵²+1

4 𝑚 𝑣_𝐵² 𝐸𝑘_𝐵 =3

4 𝑚 𝑣_𝐵²

 Dari A ke B benda mengalami kekekalan energy mekanik;

𝐸_𝑀𝐴 = 𝐸_𝑀𝐵

𝐸𝑝_𝐴+ 𝐸𝑘_𝐴 = 𝐸𝑝_𝐵+ 𝐸𝑘_𝐵 𝑚 𝑔 ℎ + 0 = 0 + 3

4 𝑚 𝑣_𝐵² 𝑔 ℎ = 3

4 𝑣_𝐵² 𝑣_𝐵² = 4

3 𝑔 ℎ

𝑣_𝐵 = √4 3 𝑔 ℎ

𝑣_𝐵 = √4

3 (10) (1,2)

𝑣_𝐵 = √16 𝑣_𝐵 = 4 𝑚/𝑠

E. Momentum Sudut

Setiap benda yang bermassa kemudian bergerak dengan kecepatan v, maka benda tersebut memiliki nilai momentum. Ketika benda tersebut bergerak translasi, maka nilai momentum benda tersebut dirumuskan;

𝑝 = 𝑚 . 𝑣

Ketika suatu benda bergerak rotasi dengan jari – jari R, maka benda tersebut memiliki momentum yang disebut dengan momentum sudut (L), dimana besar momentum sudut tersebut merupakan hasil perkalian antara momentum linier dengan jari-jari; secara matematis ditulis:

𝐿 = 𝑝 . 𝑅 𝐿 = 𝑚 𝑣 . 𝑅 Karena 𝑣 = 𝜔 . 𝑅 , maka momentum sudut menjadi:

𝐿 = 𝑚 𝜔 𝑅 𝑅 𝐿 = 𝑚 𝑅² 𝜔

𝐿 = 𝐼 𝜔

(16)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA Keterangan:

𝐿 = momentum sudut (kg m²/s)

𝐼 = momen inersia benda (kg.m² atau g.cm²) 𝜔 = kecepatan sudut (rad/s)

Hubungan momen gaya dengan momentum sudut pada benda yang bergerak rotasi menyatakan bahwa besarnya momen gaya adalah turunan pertama dari momentum sudut terhadap waktu, yang secara matematis dirumuskan:

𝜏 = 𝑑𝐿 𝑑𝑡

Berdasarkan persamaan di atas, jika tida ada momen gaya luar yang bekerja pada suatu sistem yang bergerak rotasi (∑ 𝜏 = 0), maka momentum sudut ( L ) yang dialami benda/sistem tersebut nilainya akan tetap (konstan), dan inilah merupakan prinsip dari kekekalan momentum sudut. Yang secara matematis dituliskan:

𝐿₁ = 𝐿₂ 𝐼₁ . 𝜔₁ = 𝐼₂ . 𝜔₂

Contoh Soal

1. Rudi memutarkan tongkat homogen sepanjang 100 cm dengan poros di salah satu ujungnya secara mendatar, jika putaran tongkat tersebut kecepatannya 300 rpm, dan massa tongkat 900 gram, hitunglah besar momentum sudut tongkat tersebut !

Penyelesaian:

Diketahui:

𝑙 = 100 cm = 1 m 𝜔 = 300 rpm 𝑚 = 900 g = 0,9 kg Ditanyakan:

𝐿 = … ? Jawab:

Kecepatan sudut harus dikonversi dari rpm ke rad/s;

𝜔 = 300 𝑟𝑝𝑚 = 𝜋

30 . 300 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔 = 10𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Momen inersia batang homogen diputar di ujung:

𝐼 = 1 3 𝑚 𝑙² 𝐼 = 1

3 0,9 1² 𝐼 = 0,3 𝑘𝑔. 𝑚²

(17)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA Momentum sudut tongkat besarnya:

𝐿 = 𝐼 . 𝜔

𝐿 = (0,3) . (10𝜋) 𝐿 = 3𝜋 𝑘𝑔. 𝑚²/𝑠

2. Sebuah silinder pejal berputar pada poros di pusat permukan tegak lurus diameter dengan frekuensi 8 Hz. Massa silinder 240 gram dan berdiameter 10 cm. Kemudian pada dinding silinder tersebut ditempelkan plastisin bermassa 30 gram. Hitunglah frekuensi putaran silinder setelah ditempel plastisin tersebut !

Penyelesaian:

Diketahui:

𝑓₁ = 8 Hz 𝑚_𝑠 = 240 gram 𝑑_𝑠 = 10 cm 𝑚_𝑝 = 30 gram Ditanyakan:

𝑓₂ = … ? Jawab:

Silinder berputar tanpa plastisin, memiliki momentum sudut:

𝐿₁ = 𝐼_𝑠 . 𝜔₁

Silinder berputar dengan plastisin, memiliki momentum sudut:

𝐿₂ = (𝐼_𝑠+ 𝐼_𝑝) . 𝜔₂

Pada kasus ini terjadi kekekalan momentum sudut, yaitu:

𝐿₁ = 𝐿₂

𝐼_𝑠 . 𝜔₁ = (𝐼_𝑠 + 𝐼_𝑝) . 𝜔₂ 1

2𝑚_𝑠 𝑟² . 2𝜋𝑓₁ = (1

2𝑚_𝑠 𝑟²+ 𝑚_𝑝 𝑟²) . 2𝜋𝑓₂ 1

2𝑚_𝑠 . 𝑓₁ = (1

2𝑚_𝑠+ 𝑚_𝑝 ) . 𝑓₂ 1

2(240) . (8) = (1

2(240) + 30 ) . 𝑓₂ 120 . (8) = (150 ) . 𝑓₂

4. (8) = 5 . 𝑓₂ 𝑓₂ = 32

5 𝑓₂ = 6,4 𝐻𝑧

(18)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA Soal – Soal Latihan

A. Kerjakan soal di bawah ini, kemudian pilihlah jawaban yang benar ! 1. Momen inersi suatu benda yang berputar bergantung pada ….

(1) Momen gaya yang bekerja pada benda (2) Letak sumbu putar

(3) Percepatan sudut benda (4) Massa benda

Pernyataan yang benar adalah ….

a. 1, 2, dan 3 b. 1 dan 3 c. 2 dan 4 d. 4 saja

e. Semua benar

2. Perhatikan gambar berikut.

Y

X 2m

3m

2m 4a

3a 5a

3a

Jika sistem diputar terhadap sumbu Y, besar momen inersia sistem adalah….

a. 80 ma² b. 90 ma² c. 98 ma² d. 106 ma² e. 116 ma²

3. Sebuah roda cincin memiliki massa 8 kg dengan momen inersia 0,5 kg.m². maka jari – jari girasi roda tersebut terhadap porosnya adalah ….

a. 25 m b. 20 m c. 16 m d. 2 m e. 0,25 m

4. Sebuah batang homogen dengan panjang 120 cm, diputar mendatar dengan poros putar 30 cm dari salah satu ujungnya. Bila massa batang tersebut 600 gram, momen inersia batang tersebut adalah ….

a. 0,072 kg.m² b. 0,126 kg.m² c. 0,288 kg.m² d. 0,432 kg.m² e. 0,486 kg.m²

(19)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 5. Dua buah bola berongga yang identik ditempel satu sama lain, kemudian di putar dengan poros

di salah satu musat bila, seperti gambar:

R R

M

Jika massa bola M dan jari-jari bola R, momen inersia kedua bola tersebut adalah ….

a. ⁴

3𝑀𝑅² b. ⁷

3𝑀𝑅² c. ¹²

3 𝑀𝑅² d. ¹⁴

3 𝑀𝑅² e. ¹⁶

3 𝑀𝑅²

6. Sebuah batang diabaikan massanya dipengaruhi tiga buah gaya FA = FC = 10 N dan FB = 20 N seperti gambar. Jika jarak AB = BC = 20 cm, maka besar momen gaya terhadap titik C adalah…

FA

FB

FC

A

B

C 30^o

a. 0 Nm b. 1 Nm c. 4 Nm d. 6 Nm e. 8 Nm

7. Sebuah roda menggelinding sempurna pada bidang datar kasar. Massa roda 0,5 kg dan jari-jari roda 20 cm. Roda ditarik dengan gaya F = 2 N sehingga bergerak dengam pecepatan konstan seperti gambar.

O

Besar momen gaya yang bekerja pada roda adalah….

a. 0,13 Nm b. 0,25 Nm c. 0,40 Nm d. 0,51 Nm e. 0,82 Nm

(20)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 8. Sebuah bola pejal yang berdiameter 20 cm berotasi dengan poros yang melalui pusat bola.

Perputaran bola memiliki persamaan kecepatan sudut 𝜔 = (10 + 25𝑡) 𝑟𝑎𝑑/𝑠 dengan t dalam sekon. Jika massa bola 4 kg, besar momen gaya yang bekerja pada bola adalah ….

a. 0,32 N.m b. 0,40 N.m c. 0,65 N.m d. 0,80 N.m e. 1,60 N.m

9. Sebuah batu gerinda memiliki massa 4 kg dan jari – jari 10 cm. ketika sebuah momen gaya tetap dikerjakan, batu gerinda mencapai kecepatan sudut 1.200 rpm dalam 20 sekon. Jika pada saat awal batu gerinda dalam keadaan diam dan bentuknya berupa silinder pejal, besar reultan momen gaya yang bekerja adalah ….

a. 4 x 10^–4 N.m b. 8 x 10^–4 N.m c. 2 x 10^–2 N.m d. 4 x 10^–2 N.m e. 8 x 10^–2 N.m

10. Sebuah roda pejal homogen dililitkan sebuah tali pada tepi roda seperti gambar berikut:

F

Ujung tali ditarik dengan gaya F = 12 N. Jika massa roda 5 kg dan jari-jari roda 10 cm, besar percepatan sudut roda tersebut adalah….

a. 12 rad/s² b. 16 rad/s² c. 36 rad/s² d. 40 rad/s² e. 48 rad/s²

11. Dua buah benda, masing-masing m1 = 4 kg, m2 = 2 kg dihubungan dengan katrol bermassa 4 kg seperti tampak pada gambar. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s², percepatan yang dialami m1

dan m2 adalah ….

a. 10 m/s² b. 5,0 m/s² c. 3,3 m/s² d. 2,5 m/s² e. 2,0 m/s²

m1

mk

m2

(21)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 12. Berikut ini merupakan besaran-besaran yang menentukan energi kinetik rotasi suatu benda tegar.

(1) kecepatan sudut benda (2) massa benda

(3) bentuk benda (4) letak sumbu putar

Jawaban yang benar ditunjukan oleh nomor….

a. (1), (2), (3) dan (4) b. (1), (2) dan (3) c. (1) dan (3) d. (2) dan (4) e. (4) saja

13. Perhatikan gambar di bawah:

A

B T₁ T2

licin

Jika massa balok A, balok B, dan katrol maing – masing massanya 7 kg, 2 kg, dan 1 kg serta massa gravitasi 10 m/s², besar tegangan tali T1 adalah ….

a. 20 N b. 16 N c. 14 N d. 8 N e. 7 N

14. Sebuah drum minyak yang kedua ujungnya sudah terbuka bermassa m dan berjari-jari r, menggelinding di jalanan dengan kecepatan v, jika dinding drum tersebut sangan tipis, energi kinetik drum tersebut adalah ….

a. ¹

2𝑚𝑣² b. ³₄𝑚𝑣² c. 𝑚𝑣² d. ³

2𝑚𝑣² e. 2𝑚𝑣²

15. Sebuah silinder pejal bermassa 0,1 kgmenggelinding di atas lintasan datar yang kasar denga kelajuan tetap 4 m/s. besar energi kinetik silinder tersebut adalah ….

a. 1,0 joule b. 1,2 joule c. 2,0 joule d. 2,2 joule e. 3,0 joule

16. Dua buah benda berbentuk bola pejal dan silinder pejal mempunyai massa sama (m1 = m2) dan jari-jari sama (r1 = r2) berotasi terhadap sumbunya dengan kecepatan sudut sama. Perbandingan energi kinetik antara kedua benda tersebut adalah….

(22)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA a. 5 : 4

b. 4 : 5 c. 2 : 5 d. 5 : 2 e. 3 : 5

17. Jika kecepatan angular dari benda yang bergerak rotasi diperbesar menjadi dua kali semula, energi total dari benda yang berotasi itu menjadi ….

a. ¼ kali energi total semula b. ½ kali energi total semula c. sama dengan energi total semula d. 2 kali energi total semula

e. 4 kali energi total semula

18. Sebuah bola berongga menggelinding dari keadaan diam menuruni bidang miring yang tingginya 12 m. kelajuan linier bola ketika tiba di dasar bidang miring adalah ….

a. 10 m/s b. 11 m/s c. 12 m/s d. 13 m/s e. 15 m/s

19. Sebuah roda pejal bermassa 50 kg dan berjari-jari 60 cm diputar dengan kecepatan sudut 3 rad/s.

Besar momentum sudutnya adalah….

a. 54 kg m²/s b. 63 kg m²/s c. 72 kg m²/s d. 81 kg m²/s e. 108 kg m²/s

20. Seorang penari balet berputar 3 putaran per detik dengan kedua lengannya direntangkan. Pada saat itu momen inersia penari 8 kg.m². Kemudian kedua lengan dirapatkan sehingga momen inersianya menjadi 2 kg.m². frekuensi putaran sekarang adalah ….

a. 10 Hz b. 12 Hz c. 16 Hz d. 24 Hz e. 48 Hz

B. Kerjakan soal – soal di bawah ini dengan baik dan benar !

1. Dua bola bermassa 100 gram dan 300 gram ditusuk dengan kawat ringan (massa kawat diabaikan) seperti tampak pada gambar berikut:

10 cm 20 cm

m1

m2

Tentukan momen inersia sistem!

(23)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 2. Batang bermassa m ditempelkan salah satu ujungnya pada permukaan bola berongga yang bermassa M dan berjari-jari R. Jika diketahui panjang batang adalah 4R, tentukan momen inersia sistem jika diputar di pusat bola.

3. Tentukan momen gaya pada batang sepanjang 2 m dengan psat rotasi titik O setelah diberikan gaya F sebesar 10 N seperti keadaan berikut:

1 m 30^o F

F

4. Gasing memiliki momen inersia 4 kgm² berputar dengan kecepatan sudut 360 rpm. Tentukanlah:

a. Momentum sudut gasing terhadap pusat rotasi b. Energi kinetik rotasi dari gasing

5. Katrol pejal dililit tali seperti gambar berikut:

F

Ujung tali ditarik dengan gaya 20 N. Jika massa katrol 4 kg dan jari-jarinya 10 cm, tentukanlah percepatan sudut katrol?

6. Perhatikan gambar berikut:

m1

m2

m1 = 2 kg dan m2 = 3 kg, massa katrol 10 kg dan dianggap silinder pejal dengan jari-jari 20cm, Hitunglah tegangan tali T1 dan T2 !

(24)

Dinamika Gerak Rotasi, Fisika XI/1 SMA/MA 7. Pada suatu sistem katrol di bawah ini m1 = 2 kg dan m2 = 5 kg, massa katrol 2 kg dan dianggap

silinder pejal berjari-jari 10 cm, tentukan percepatan sistem?

m1

m2

8. Sebuah batang homogen dengan panjang L dan massa M dapat berotasi bebas pada suatu bidang vertikal terhadap ujung O seperti tampak pada gambar. Batang mula – mula dipegang pada posisi horizontal dan kemudian dilepaskan.

L q

Pada saat batang membentuk sudut q dengan arah vertikal, tentukan:

a. Percepatan sudutt rotasi batang, b. Kecepatan sudut batang,

c. Kecepatan linier batang !

9. Bola tolak peluru digelindingkan pada sebuah bidang miring seperti pada gambar di bawah ini:

37^o

Jika massa bola 5 kg dan panjang lintasan 1,5 m, tentukanlah a. percepatan bola,

b. kecepatan bola saat tiba di dasar bidang!

10. Seorang penari balet memiliki momen inersia 4 kg.m² ketika lengannya merapat ke tubuhnya , dan 16 kg.m² ketika lengannya terentang. Pada saat kedua lengannya dirapatkan ke tubuhnya, kelajuan putaran penari tersebut adalah 12 putaran/s. Jike kemudian kedua lengannya direntangkan, tentukanlah kelajuan putarannya !