KEGIATAN V DINAMIKA ROTASI
Dinamika rotasi adalah bagian dari fisika yang mempelajari gerak rotasi suatu benda dengan memperhatikan penyebak gerak rotasi tersebut. Penyebab gerak rotasi suatu benda adalah momen gaya, sedangkan penyebab gerak translasi suatu benda adalah gaya. Dalam kegiatan ini kita akan mempelajri tentang gerak rotasi yang berhubungan dengan momen gaya, momentum sudut, hukum kekekalam momentum sudut, momen inersia dari berbagai benda tegar dan gerak menggelinding suatu benda.
a. Tujuan
Setelah membaca kegiatan ini diharapkan anda dapat :
- menjelaskan pengertian momen gaya
- menjelaskan pengertian momentum sudut
- menjelaskan hokum kekekalam momentum sudut
- menentukan momen inersia darai berbagai benda tegar - menjelaskan gerak menggelinding suatu benda
- mengerjakan soal-soal tentang dinamika rotasi suatu benda
b. Uraian materi dan contoh 5.1 Momen gaya
Momen gaya adalah penyebab gerak rotasi suatu benda. Sebuah baut diputar dengan sebuah kunci yang panjang tangkainya r (lengan gaya) dan diberi gaya F pada ujungnya seperti Gambar 5-1.
Gambar 5.1
Besarnya momen gaya yang bekerja pada kunci tersebut adalah:
F x r
... (5-1)
Gaya yang melakukan puntiran hanyalah komoponen gaya yang tegak lurus dengan lengan gaya, yaitu F sin , sedang komponen gaya yang sejajar atau searah dengan lengan gaya adalah F cos , hanyalah menekankan atau menarik baut tanpa memutarnya. Apabila r adalah vector penunjuk dari poros rotasi ketitik tangkap gaya, maka momen gaya yang dilakukan pada mur baut dapat ditulis sebagai :
r Fsin ... (5-2)
5.2 Momentum Sudut
Sebuah benda tegar berputar terhadap sumbunya (pusat massa) dengan kecepatan sudut , maka kecepatan linear benda tersebut adalah v = r. oleh karena partikel bergerak dengan kecepatan v maka momentum linearnya adalah :
v m
p v m r p
r
v r m p
r besaran r x p disebut momentum sudut (L)
Jadi perkalian silang (cross) antara vector posisi r dengan momentum linier p disebut
momentum sudut (L).
. v r m p r
L ……….(5-3)
Selanjutnya hubungan momentum sudut dengan gaya yang mempengaruhinya dapat dicari melalui Hukum Newton II
dt v d a a m
F
dp v md dt
v d m
F
dt p d F
dL dp r dt p d r F
r
dt L d F r
F r
dt L d
rF=
(momen gaya)Jadi dt dL p x r ………(5-4)
Penyelesaian ini adalah rotasional yang analog dengan Hukum Kedua Newton :
dt dp F terhadap ana adalah dt dL log
... (5-5)
Apabila beberapa gaya bekerja memutar suatu sistem massa sekeliling sumbu, momen total dapat diperoleh dengan menjumlahkan momen masing-masing gaya. Jika sistem tersebut terdiri dari sejumlah massa yang berotasi sekeliling sumbu tertentu, momentum sudut total merupakan penjumlahan momentum sudut masing-masing massa. Dalam hal ini, nilai perubahan momentum sudut total sama dengan netto momen yang bekerja pada sistem. Jadi, untuk sejumlah m gaya yang sebidang bekerja pada sejumlah n massa yang saling terikat sehingga dapat berotasi di dalam bidang itu, diperoleh :
m i n j j j i i t o t dt dp x r xF r 1 1 r xp dLdt
dt
d n tot
j
j
j
1
... (5-6)
Selama vektor rj adalah tetap. Untuk n massa yang terikat pada jarak tetapdari sumbu
rotasi, total momentum sudut sekitar titik di sumbu dapat ditulis sebagai berikut :
n j n j j j j j jtot r x p m r xv
L
1 1
Seandainya tiap massa mengikuti lintasan melingkar sebagai rotasi dengan kecepatan sudut
, diperoleh :vj =
x rj ... (5-8)dengan
adalah sama untuk masing-masing massa, karena semua dihubungkan dengan tongkat tegar ke sumbu rotasi. Jadi, rj dan vj saling tegak lurus. Apabila semuamassa berada dalam satu bidang dengan
tegak lurus kepada bidang diperoleh :
n
j j j tot mr
L
1 2
...( 5-9) dengan kuantitas yang terdapat di dalam kurung dinamakan total momen inersia I sekeliling atau sekitar sumbu rotasinya.
n
j j jr
m I
[image:4.612.129.505.82.250.2]1 2
... (5-10) Jadi,
Ltot= I
...(5-11)Apabila Persamaan (5.11) didiferensialkan terhadap waktu, maka:
dt d I dt
dLtot
...(5-12)
untuk momen inersia I konstan, seperti dilukiskan pada gambar 5-2 di atas. Bila persamaan (5.12) digabungkan denagn persamaan (5.6), diperoleh:
Gambar 5-2.
= I α ...(5-13)
dengan α adalah percepatan sudut (angular). Persamaan (5.13) analog dengan persamaan Hukum Kedua Newton F = m a.
Selanjutnya perhatikan Gambar 5-3. Jika sistem dalam keadaan seimbang, diperoleh:
0
dt dL
...(5-14)
Untuk mencari sekitar titik tumpu, digunakan Persamaan (5.14), diperoleh:
tot = 0 ...(5-15)
Dengan mengambil arah positif untuk yang arahnya ke luar bidang gambar, dapat ditulis:
tot = r1 W1 – r2 W2 ...(5-16)
dengan r tegak lurus pada W. Karena tot = 0, maka :
r1 W1 = r2 W2 ... (5-17)
yang merupakan hukum dari jungkat-jungkit. Kemampuan memuntir suatu gaya yang arahnya tegak lurus pada jungkat-jungkit diberikan oleh perkalian gaya dan jarak antara titik kerja gaya dan poros.
CONTOH 5 - 1 Momen gaya
Empat massa masing-masing 2 kg dihubungkan oleh tangkai sepanjang ¼ m dari poros dan dapat berputar bebas disekeliling poros tersebut (lihat Gambar 5-4). Gaya 48 N bekerja pada massa dengan lengan gaya ½ m dan bersudut 30o terhadap lengan itu.
Akibat gaya sistem berputar dengan percepatan sudut
.Tentukan
PENYELESAIAN :
Percepatan sudut
dicari dengan menggunakan Persamaan (5.2), (5.10), dan (5.13).2 2
2 1 2 4 1 2
1
24 12
) ( . 2 . 4
30 sin . 48 .
m kg
Nm m
kg Nm m
kg N m I
o
Karena N = kgm/s2, maka
= 24 s-2 . Dimensi
adalah s-2 karena radian tidakberdimensi. jadi, keempat massa itu berputar dengan percepatan sudut 24 rad/s2.
5. 3 Momen Inersia Benda Tegar
Sering kali dalam suatu sistem mempunyai massa yang tidak terkonsentrasi pada satu titik, tetapi tersebar merata seperti dalam suatu tongkat homogen, silinder pejal, cakram atau dalam bentuk yang lainnya. Pertama-tama, ditinjau suatu benda berbentuk lingkaran yang massanya tersebar di tepi lingkaran (lihat Gambar 5-5). Jika
Gambar 5-4.
massa benda dibagi-bagi dalam n bagian dan tiap bagian massanya m, maka diperoleh jumlah momen inersia :
n
i
i ir
m I
1 2
atau : I =
r2dm...(5-18)
Momen inersia untuk beberapa benda tegar
CONTOH 5 - 2 Momen Inersia
Sebatang tongkat homogen panjangnya L dan massa m dan luas penampang A diputar pada salah satu sumbunya yang terletak pada ujung batang, maka momen inersia batang tersebut adalah:
dm
L PENYELESAIAN :
I =
r2dmI =
L
0
r2 A dr
I = 1/3 A L3 L3 = L . L2
I = 1/3 A L . L2 A L = m
I = 1/3 m . L2………..(5-19)
Jika sumbu putar pada pertengahan batang, maka besarny momen inersia adalah
I = 1/12 m . L2………..(5-20)
- volume yang diarsir dV = A dr
CONTOH 5 - 3 Momen Inersia
Sebuah cakram berjari-jari 0,2 m dengan massa 5 kg dapat berotasi dengan bebas sekitar sumbu tetap melalui titik beratnya. Gaya 9,8 N dikerjakan pada cakram dengan melilitkan tali pada pinggir cakram (lihat Gambar 5-5). Cari percepatan sudut cakram dan kecepatannya setelah 5 detik.
PENYELESAIAN :
Gaya-gaya yang bekerja pada cakram adalah gaya berat Mg, gaya tali F, dan gaya penyangga F’. Sebagai sumbu rotasi adalah z-z’. Torkas ditentukan terhadap pusat massa C. torkas oleh gaya berat Mg sama dengan nol. Torkas kedua-dua gaya F’ saling meniadakan karena kedua gaya itu sama dan searah dengan panjang lengan yang sama. Jadi, torkas yang bekerja pada cakram hanyalah yang dibangkikan oleh gaya tali F, yaitu FR. Dengan menggunakan I = 12 mR2 , diperoleh FR = (
2
1 MR2)
atau F= 12MR
. Sehingga percepatan sudut :19,6 2
) 2 , 0 ( ) 5 (
) 8 , 9 ( 2 2
s rad m
kg N MR
F
Kecepatan sudut setelah 5 detik :
s
rad
s
s
rad
t
(
19
,
6
)
.
(
5
)
9
,
8
Gambar 5-5.
1. Sebatang tongkat homogen panjangnya L dan Roda gila berbentuk silinder tegar dililiti dengan tali penggantung beban (lihat gambar 5-15). Jika jari-jari roda 10 cm dengan massa 2 kg dan massa beban 5 kg, cari percepatan sudut roda tersebut.
(jawaban : a = 8,2 m/s2 dan = 82 rad /s2)
2. Sebatang besi panjangnya 2,0 meter dan luas penampang 10 cm2 diputar dengan
kecepatan sudut 30 rad/det. Massa jenis besi 7,9 gr/cm3. Hitunglah momen inersia
dan momentum sudutnya, jika : a.Poros besi diputar pada ujungnya.
b.Poros besi pada 0,5 meter dari salah satu ujungnya. c.Poros besi pada pertengahan batang
(jawaban : a. I = 21,07 kg m2, L = 632,1 kg m2/s
b. I = 9,22 kg m2, L = 276,6 kg m2/s
c. I = 5,27 kg m2, L = 158,1 kg m2/s )
3. Buktikan bahwa besarnya momen inersia dari sebuah silinder dengan massa M, panjang L dan Jari-jari dalam R1 dan jari-jari luar R2 adalah :
I = ½ M (R12 + R22)
