Pemodelan & Simulasi

• 3 SKS :

– Perkuliahan : 3 jam SKS (3 X 45 menit) /

Perkuliahan : 3 jam SKS (3 X 45 menit) /

minggu

M t k li h i i

l j i

l

i

Mata kuliah ini mempelajari proses penyelesaian

masalah dalam sistem nyata melalui

pengembangan model matematik dan simulasi

pengembangan model matematik dan simulasi,

mulai dari pemahaman konsep sistem,

pendekatan sistem, membuat formulasi

p

,

masalah, memformulasikan model untuk

memecahkan sistem nyata dan merumuskan

Mahasiswa mampu membuat formulasi (memodelkan dan mensimulasikan) dari permasalahan sistem nyata

• KHUSUS :

– Mahasiswa memahami konsep sistem, pendekatan sistem, model dan pemodelan sistem.

model dan pemodelan sistem.

C

h

• Ceramah

• Diskusi (Kelompok)

• Quiz

tertulis.

•

Kehadiran < 75 %, tidak boleh ikut UAS

(Syarat Kelulusan)

(Syarat Kelulusan).

•

Ujian susulan diperbolehkan jika mhs dapat

menunjukkan bukti autentik .

•

Semua tugas harus dikerjakan dan diserahkan

pada waktu yang ditentukan.

•

Mahasiswa yang terlambat lebih dari 15 menit

Mahasiswa yang terlambat lebih dari 15 menit

tidak diperkenankan masuk kelas, demikian

juga untuk dosen, kecuali telah disepakati

sebelumnya

NA = 10% QUIZ + 20% TUGAS + 30% UTS + 40% UAS • Skala Penilaian :

INDEKS NILAI AKHIR KETERANGAN

A NA  80 Lulus (Sangat Baik)( g )

B 68  NA  79 Lulus (Baik) C 56  NA  67 Lulus (Cukup) D 45  NA  55 Lulus (Kurang)

– Karakteristik model – Prinsip pemodelan – Klasifikasi modelKlasifikasi model

– Tahapan pengembangan model • Konsep Simulasi Sistem

M d l St ti tik d l Si l i • Model Statistik dalam Simulasi

Private Limited, 1989.

2. Law, Averill M., Simulation Modeling and Analysis, McGraw-Hill International Edition, 2007.

3. Simatupang, Togar M., Pemodelan Sistem, Penerbit Nindita Klaten, 1995.

4. Sridadi, Bambang, Pemodelan dan Simulasi Sistem, 4. Sridadi, Bambang, Pemodelan dan Simulasi Sistem,

PreTest

1.

Apa

 

yang

 

dimaksud

 

dengan

 

model

 

?

2.

Apa

 

yang

 

dimaksud

 

dengan

 

pemodelan

 

?

DEFINISI MODEL

DEFINISI

 

MODEL

 Model merupakan penyederhanaan dari sistem yang akan dipelajari.

 Model adalah suatu representasi/formalissasi dalam bahasa tertentu 

(yang disepakati) dari suatu sistem nyata.

 Sistem nyata : sistem yang sedang berlangsung dalam kehidupan  sistem 

 Sistem nyata : sistem yang sedang berlangsung dalam kehidupan, sistem  yang dijadikan titik perhatian dan dipermasalahkan.

 Model dapat dianggap sebagai subtitusi (pengganti) untuk sistem yang   Model dapat dianggap sebagai subtitusi (pengganti) untuk sistem yang 

dipertimbangkan dan digunakan apabila lebih mudah bekerja dengan  subtitut tersebut daripada dengan sistem sesungguhnya.

 Pemodelan adalah proses membangun atau membentuk sebuah model 

Sk

P

P

d l

 Sistem nyata (A) akan dilihat dan dibaca oleh pemodel dan

 Sistem nyata (A) akan dilihat dan dibaca oleh pemodel dan membentuk “image” atau gambaran tertentu di dalam pikirannya. Tetapi “image” (A’) tidak persis sama dengan sistem nyata (A ≠ A’) karena pemodel membacanya dengan menggunakan “kacamata karena pemodel membacanya dengan menggunakan kacamata tertentu”.

 “Kacamata” adalah sudut pandang/visi /wawasan tentang kehidupan

 Kacamata adalah sudut pandang/visi /wawasan tentang kehidupan, yang dipengaruhi oleh 3 faktor :

 Tata nilai yang diyakini/dianut oleh pemodel

 Ilmu pengetahuan yang dimiliki pemodel

 Ilmu pengetahuan yang dimiliki pemodel

 Pengalaman hidup pemodel

“I ”/ it d l h t d l t l ( iki t b fiki

 Alat komunikasi umumnya berberuk bahasa tertulis (seperti uraian

 Alat komunikasi umumnya berberuk bahasa tertulis (seperti uraian verbal, simbol, huruf, grafik, angka, gambar dll) atau berupa wujud fisik.

 Model yang sudah diformalkan dapat diuji kesesuaiannya dengan sistem nyata secara ilmiah. Untuk memperkecil kesalahan pengembangan dan hasil dari model dapat dilakukan penyesuaian pengembangan dan hasil dari model, dapat dilakukan penyesuaian‐ penyesuaian tertentu.

M d l tid k ki b i ik k i t t k

KARAKTERISTIK MODEL

KARAKTERISTIK

 

MODEL

Suatu model yang baik, akan mempunyai karakteristik :

Tin k t  n r li i tin i

1. Tingkat generalisasi tinggi

Semakin tinggi derajat generalisasi, maka kemampuan model tersebut untuk memecahkan masalah makin besar.

2 Mekanisme transparansi

2. Mekanisme transparansi

Mekanisme suatu model dalam memecahkan masalah dapat dilihat jelas,  sehingga dapat diterangkan kembali (rekonstruksi) tanpa ada yang 

disembunyikan. disembunyikan.

3. Potensial untuk dikembangkan

Mampu membangkitkan minat peneliti lain untuk menyelediki lebih lanjut dan membuka kemungkinan untuk dikembangkan menjadi model  lanjut dan membuka kemungkinan untuk dikembangkan menjadi model  yang lebih kompleks dan berdaya guna untuk menjawab masalah sistem nyata.

PRINSIP PRINSIP PENGEMBANGAN PEMODELAN

PRINSIP

‐

PRINSIP

 

PENGEMBANGAN

 

PEMODELAN

1. Elaborasi

Pengembangan model dimulai dengan yang sedehana dan secara Pengembangan model dimulai dengan yang sedehana dan secara bertahap dielaborasi hingga diperoleh model yang lebih representatif. Penyederhanaan dilakukan dengan menggunakan sistem asumsi yang ketat tetapi memenuhi persayaratan (konsistensi, independensi,

k i l i d l i) ekuivalensi dan relevansi)

2. Sinektik

Metode yang dibuat untuk mengembangkan pengenalan masalah secara

l i d k k Bi

analogis yang mengacu pada penemuan kesamaan‐kesamaan. Biasanya menggunakan prinsip‐prinsip, hukum, teori, aksioma, dan dalil.

3. Iteratif

M t d l k k b b l t

JENIS

‐

JENIS

 

MODEL

 

(1)

 Model dapat direpresentasikan dalam berbagai cara. 

 Model dikelompokkan untuk mempermudah dalam memahami 

makna dan kepentingannya.p g y

 Model dapat dikategorikan menurut jenis, dimensi, fungsi, tujuan, 

pokok kajian, atau derajat keabstakkannya.

 Secara umum & praktis  model pada dasarnya dapat dikelompokkan   Secara umum & praktis, model pada dasarnya dapat dikelompokkan 

menjadi :

 Model Ikonik (Model Fisik)

Merupakan perwakilan fisik dari sistem  baik dalam bentuk ideal maupun  Merupakan perwakilan fisik dari sistem, baik dalam bentuk ideal maupun  dalam skala yang berbeda. Model ini punya karakteristik yang sama dengan  sistem yang diwakilinya.

 Model Analok (Model Diagramatik)

Digunakan untuk mewakili situasi dinamik (keadaan yang berubah  menurut waktu).

JENIS JENIS MODEL (3)

JENIS

‐

JENIS

 

MODEL

 

(3)

 Model Fisis/Fisik

Did k   d   l i  t   i t i t  ( k i   l kt i  dll)   Didasarkan pada analogi antara sistem‐sistem (mekanis, elektris, dll).  Dalam model ini, atribut sistem digambarkan oleh pengukurnya.

Contoh :

M d l  h   d l j b

 Model rumah, model jembatan.

 Laju ; laju gerak jarum pengukur kecepatan (speedometer)

d l k

 Model Fisik Statis

Biasa disebut sebagai Model Skala (model yang dibuat dengan  memperkecil ukuran asli dari sistem).

Contoh  :

JENIS JENIS MODEL (4)

JENIS

‐

JENIS

 

MODEL

 

(4)

 Model Fisis Dinamis

M d l i i did i  l h  l i (k   il k   i t )  t   i t     Model ini didasari oleh analogi (kesamaan prilaku sistem) antara sistem yang  diamati dengan beberapa sistem lain yang secara alamiah berbeda.

 Model Matematis

M k   i b l i b l d     ik   k  Menggunakan simbol‐simbol dan persamaan matematika untuk 

menggambarkan sistem. Atribut direpresentasikan oleh variabel, dan aktivitas  oleh fungsi0fungsi matematika yang menghubungkan variabel yang ada.

 Model Matematik Statis  Model Matematik Statis

Model ini memberikan hubungan antara atribut sistem ketika sistem berada  dalam keseimbangan. Jika titik keseimbangan diubah dengan mengganti nilai‐ nilai atributnya, maka model dimungkinkan untuk memperoleh nilai‐nilai  nilai atributnya, maka model dimungkinkan untuk memperoleh nilai nilai  yang baru untuk semua atributnya, tetapi bagaimana cara‐cara nilai tersebut  berubah tidak diperlihatkan.

JENIS JENIS MODEL (5)

JENIS

‐

JENIS

 

MODEL

 

(5)

 Model Matematik Dinamis

M d l i i  b l hk   b h   t ib t t ib t  i t     Model ini memperbolehkan pengubahan atribut‐atribut sistem yang  diperoleh  sebagai fungsi waktu. Penurunan dapat dilakukan dengan  analitis atau komputasi numeris, bergantung pada kerumitas model.

 Metode Numeris : Melibatkan penggunaan prosedur‐prosedur 

komputasi untuk menyelesaikan persamaan yang ada atau  aproksimasi

aproksimasi.

 Metode Analitis : Memakai teori matematika deduktif untuk 

l ik   d l   hi  h il   k

PreTest

1.

Apa

 

yang

 

dimaksud

 

dengan

 

simulasi

 

?

2.

Berikan

 

contoh

 

simulasi

 

yang

 

saudara

 

ketahui

 

( i i

l

 

)

 

Definisi Simulasi (1)

Definisi

 

Simulasi

 

(1)

 Simulasi adalah proses implementasi model menjadi program  komputerp  (software)( ) atau rangkaiang  elektronik dan mengeksekusig   software tersebut sedemikian rupa sehingga perilakunya menirukan  atau menyerupai sistem nyata tertentu untuk tujuan :

 Mempelajarip j  perilakup  sistem

 Pelatihan

 Permainan

Definisi Simulasi (2)

Definisi

 

Simulasi

 

(2)

 Simulasi adalah peniruan operasi menurut waktu sebuah proses atau  sistem nyatay  ;;

 Dapat dilakukan secara manual maupun dengan bantuan komputer

 Menyertakan pembentukan data dan sejarah buatan (artificial history) dari  sebuah sistem, pengamatang  data dan sejarah,j  dan kesimpulan yangy g terkait  dengan karakteristik sistem‐sistem.

 Untuk mempelajari sebuah sistem, biasanya harus dibuat asumsi‐ asumsi tentang operasi sistem tersebut. 

Model Simulasi

Model

 

Simulasi

 Suatu representasi sederhana dari sebuah sistem (proses atau teori).

 Model‐model tidak harus memiliki seluruh atribut (hanya  disederhanakan, dikontrol, digeneralisasi atau di‐idealkan).

 Bagi sebuah model yang akan digunakan, seluruh sifat‐sifat relevan‐ nya harus ditetapkan dalam suatu cara yang praktis, dinyatakan dalam  suatu set deskripsi terbatas yang masuk akal (reasonably)

suatu set deskripsi terbatas yang masuk akal (reasonably).

 Sebuah model simulasi harus divalidasi. Setelah divalidasi, maka dapat  di k   k  l diki d   dik i  il k  ( if ) 

digunakan untuk menyelediki dan memprediksi perilaku (sifat) 

Kapan Simulasi Cocok Digunakan ?

Kapan

 

Simulasi

 

Cocok

 

Digunakan

 

?

 Mempelajari intekasi internal sub‐sistem yang kompleks.

 M ti  if t  d l d  h il k l   kib t  b h  

 Mengamati sifat model dan hasil keluaran akibat perubahan  lingkungan luar atau variabel internal.

 Meningkatkan kinerja sistem melalui pembangunan/pembentukan  model

model.

 Eksperimen desain dan aturan baru sebelum diimplementasikan.

 Alat bantu pelatihan dan pembelajaran dengan biaya yang lebih  d h

rendah.

 Visualisasi operasi melalui animasi.

Kapan Simulasi Tidak Cocok Digunakan ?

Kapan

 

Simulasi

 

Tidak

 

Cocok

 

Digunakan

 

?

 Jika masalah dapat diselesaikan dengan metode sederhana.

 Jik   k i  l  l bih  d h dil k k

 Jika eksperimen langsung lebih mudah dilakukan

 Jika biaya terlalu mahal.

 Jika sumber daya atau waktu tidak tersedia.

 Jika tidak ada data yang tersedia.

 Jika verifikasi dan validasi tidak dapat dilakukan.

Bidang Bidang Aplikasi

Bidang

‐

Bidang

 

Aplikasi

 Perancangan dan analisis sistem manufacturing.

 Evaluasi persyaratan hardware dan software untuk sistem komputer.

 Evaluasi sistem persenjataan atau taktik militer yang baru.

 PerancanganPerancangan  sistemsistem  komunikasikomunikasi  dandan  messagemessage  protokol.protokol.

 Perancangan dan pengoperasian fasilitas transportasi. Misalnya jalan  tol, bandara, rel kereta api atau pelabuhan.

 Evaluasi sistem keuangan atau ekonomi

KLASIFIKASI

 

MODEL

 

SIMULASI

 Model Simulasi Statik

Representasi sistem pada waktu tertentu. Contoh : model Monte Carlo

Contoh : model Monte Carlo

 Model Simulasi Dinamik

Merepresentasikan sistem dalam perubahannya terhadap waktu. C t h    i t    di  b ik

Contoh : sistem conveyor di pabrik

 Model Simulasi Deterministik

Tidak memiliki komponen probabilistik (random)

 Model Simulasi Stokastik

Memiliki komponen input random dan menghasilkan output yang random pula.

 Model Simulasi Kontinyuy

Status berubah secara kontinyu terhadap waktu. Contoh : gerakan pesawat terbang

 Model Simulasi Diskrit

 Model Simulasi Diskrit

SIMULASI

 Peristiwa Diskrit

Pemodelan sistem, dimana variabel keadaan berubah pada set waktu yang  diskrit.

Misalnya : 

 Studi kinerja sistem komputer digital S di  i   i  b k

 Studi sistem antrian bank

 Peristiwa Kontinu

Merupakan sistem dimana keadaan (state)‐nya berubah secara kontinu  terhadap waktu.

Misalnya :

 Studi proses reaksi kimia

BAHASA SIMULASI

BAHASA

 

SIMULASI

 C dan C++

 Java

 Java

 Pascal

 Fortran

Si i

 Simscript

 Matlab/Simulink

 _{Untuk pemodelan & simulasi sistem dinamis}

 _{Menyediakan fungsi aljabar linier, matriks, trigonometri,} 

TAHAPAN PENGEMBANGAN MODEL SIMULASI

TAHAPAN

 

PENGEMBANGAN

 

MODEL

 

SIMULASI

 Dalam pembetukan model, harus diperhatikan faktor apa saja yang  mempengaruhi perilaku dari sistemnya (memperhatikan pengertian  mempengaruhi perilaku dari sistemnya (memperhatikan pengertian  konsep sistemnya).

 Tentukan variabel variabel apa saja yang menentukan performansi 

 Tentukan variabel‐variabel apa saja yang menentukan performansi  sistem yang diamati, lalu bagaimana variabel‐variabel tersebut dapat  dikendalikan dan diatur.

 Kriteria yang haris dipenuhi dalam memodelkan suatu sistem :  Model harus mewakili (merepresentasikan) sistem nyatanya

d l k d h d k l k h

Secara implisit,p  terdapat 6p  tahap umum yangp y g selalu muncul dalam pengembangan model & simulasi :

1. Memahami sistem yang akan disimulasikan

1. Memahami sistem yang akan disimulasikan

 Memahami cara kerja sistem

 Output : uraian, context diagram yang menjelaskan hubungan sistem &  lingkungannyag g y

2. Mengembangkan model matematis dari sistem

 Persamaan : diferensial, aljabar linier, logika diskrit, variabel keadaan dll yang disesuaikan dengan karakteristik sistem dan tujuan pemodelan.

y g g j p

 Output : persamaan matematis, DFD

 Cari analogi dari sistem/model lain yang sudah ada untuk mempermudah

3. Mengembangkan model matematis untuk simulasi

4. Membuat program/softwarep g  komputerp

 Menentukan bahasa pemrograman yang cocok untuk simulasi komputer (tergantung pada fasilitas yang tersedia pada kompiler untuk

mendukung simulasi seperti prosedur, fungsi,  GUI, library)

 Membuat coding sesuai dengan tujuan simulasi

5. Menguji, verifikasi dan validasi output simulasi

 Tolak ukur baik/tidaknya simulasi adalah sejauh mana kemiripan hasil simulasi jika dibandingkan dengan sistem nyata yang bersangkutan.

 Pengujian dilakukan pada tingkat modul program untuk menguji fungsi sistem

 V ifik i dil k k t k b ktik b h h il i l t i

 Verifikasi dilakukan untuk membuktikan bahwa hasil implementasi program komputer telah sesuai dengan rancangan model konsep dari sistem nyata

 Validasi dilakukan dengan membandingkan hasil outputValidasi dilakukan dengan membandingkan hasil output  simulasi dengansimulasi dengan data dari sistem nyata, yang diperoleh dari hasil pengujian, sensor, sensus

 Jika validasi tidak bisa diukur, maka dilakukan evaluasi secara subjektif

6. Mengeksekusi program simulasi

6. Mengeksekusi program simulasi

VARIABEL ACAK &

VARIABEL ACAK &

FUNGSI DISTRIBUSI

Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi

Pertemuan Ke- 5 & 6

Riani L Riani L.

Variabel acak (random variable)

 Definisi: suatu fungsi atau aturan yang menunjukkan sebuah bilangan riil untuk suatu titik sampel pada ruang sampel S

 Variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil sebuah eksperimen.

 Variabel acak merepresentasikan hasil yang tidak pasti.p y g p

 Biasanya variabel acak dinyatakan dengan huruf besar X, Y, Z dan nilai variabel acaknya dimisalkan dengan huruf kecil x y z

variabel acaknya dimisalkan dengan huruf kecil x, y, z.

 Variabel Acak terdiri dari :

 Variabel Acak Diskrit

Variabel Acak Diskrit

 Variabel acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.

 Contoh:

- Jumlah pembeli yang memasuki sebuah toko = 2 orang - Banyaknya produk yang rusak = 12 buahy y p y g

 Ruang sampel diskrit :

 Ruang sampel diskrit mempunyai banyak elemen terhingga

 Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu

 Hasil : Mata dadu yang tampak di atas

 Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}

 Peristiwa : A Titik ganjil yang muncul {1 3 5}

VARIABEL ACAK KONTINU

 Variabel acak yang nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat dihitung dan tidak terhingga (memingkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan).

 Biasanya untuk hal-hal yang diukur (jarak, waktu, berat, volume)

 Contoh:

-Jarak pabrik ke pasar = 35,57 km

-Waktu produksi per unit = 15,07 menit

 Ruang sampel kontinu :

 Ruang sampel kontinu mempunyai bilangan-bilangan dalam suatu interval

 Eksperimen : Pemilihan 1 mahasiswa secara random dicatat IPK nya

 Eksperimen : Pemilihan 1 mahasiswa secara random, dicatat IPK-nya

 Hasil : Bilangan real antara 0 dan 4

 Ruang sampel : S = { xR : 0 ≤x≤4}

Distribusi Probabilitas

 Distribusi probabilitas dari variabel acak adalah tabel, grafik, atau rumus yang menyatakan probabilitas setiap nilai yang mungkin dimiliki variabel acak.

 Contoh:

Ada sebuah kuis dengan tiga pertanyaan dengan kemungkinan jawaban benar/salah Ruang sampel kuis ini terdiri dari hasil

Distribusi Diskrit vs Kontinu

 Sejumlah nilai yang mungkin (a countable number of possible values)

 Sebuah kontinum dari nilai

C h values)

 Contoh :

 Contoh :

 Sebuah mesin dengan waktu siklus yang terdistribusi

( if ) t 1 2

 Jumlah item dalam satu lot

 Jumlah individu dalam sekelompok orang

seragam (uniform) antar 1,2 – 1,8 menit

 Distribusi :

 Distribusi Uniform

 Distribusi :

 Distribusi Diskrit Uniform

 Distribusi Binomial

 Distribusi Uniform

 Distribusi Exponential

 Distribusi Gamma Di t ib i W ib ll

 Distribusi Binomial Negatif

 Distribusi Geometric

 Distribusi Poisson

Distribusi Uniform Kontinyu – U(



,



)

 Distribusi :

 Densitas :

 Parameter :

,  real ;  < 

M

 Variansi:

Distribusi Normal– N(



,



2

)

 Densitas : 0.4

0.

3

x

)

 Parameter :

,  ;  > 0

.10 .2 dn or m (x 

• Distribusi normal standar N(0,1):

0.

0

0

.

-4 -2 0 2 4

x

Distribusi Exponential– expo(



)

 Distribusi :

 Densitas :

 Parameter :

Distribusi Diskrit Uniform– DU(i,j)

 Distribusi :

 Massa :

 Parameter :

i, j integer ; i ≤ j M

 Mean: _

Distribusi Poisson– Poisson(



)

 Massa :

 Distribusi :

 Parameter :

Distribusi Binomial– bin(t,p)

 Densitas :

 Distribusi :

dimana

 Parameter :

t integer ; t > 0, p  (0,1)

 Mean:

 Mean: tp

DISKUSI KELOMPOK

PEMBANGKIT BILANGAN ACAK

Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi

Pertemuan Ke- 7

Riani L Riani L.

Pembangkit Bilangan Acak

(R

d

N

b G

t )

(Random Number Generator)



CARA MEMPEROLEH :

 _{ZAMAN DAHULU, dgn cara :}  _{Melempar dadu}

 _{Mengocok kartu}

 _{ZAMAN MODERN (>1940), dgn cara :}

membentuk bilangan acak secara numerik/ aritmatik(menggunakan komputer) , disebut “Pseudo Random Number” (bilangan pseudo acak).g p



PEMBANGKIT BILANGAN ACAK, HARUS :

 _{B di t ib i if (0 1) d tid k b k l i t bil}

 _{Berdistribusi uniform(0,1) dan tidak berkorelasi antar bilangan.}  _{Membangkitkan cepat, storage tidak besar}

 _{Dapat di “reproduce”}

Bilangan Acak ?

 Bilangan acak adalah bilangan yang tidak dapat diprediksi kemunculannya

 Tidak ada komputasi yang benar-benar menghasilkan deret bilangan acak secara sempurna

 Bilangan acak yang dibangkitkan oleh komputer adalah bilangan acak semu (Pseudo Random Number), karena menggunakan rumus-rumus matematika

matematika

 Banyak algoritma atau metode yang dapat digunakan untuk membangkitkan bilangan acak

membangkitkan bilangan acak

Sifat-Sifat Pembangkit PRN

I d d t ti i bl h b b d i k t t ti

 Independent : tiap variablenya harus bebas dari ketentuan, seperti :

 Z_i-1= merupakan hasil akhir

 Z₀ = merupakan angka pertama yang bebas tertentu

 a = merupakan angka konstan yang dapat bebas dengan ketentuan tersendiri

 c = merupakan angka bebas tetapi tidak ada hubungan tertentu dengan m

 Uniform : suatu distribusi yang umum (distribusi probabilitas) dan sama untuk y g ( p ) semua besaran yang dikeluarkan/diambil. Hal ini berarti bahwa diusahakan probabilitasnya sama untuk setiap penarikan random number tersebut.

 Dense : Density Probabilitas Distribution harus mengikuti syarat probabilitasDense : Density Probabilitas Distribution harus mengikuti syarat probabilitas (antara 0 dan 1). Hal ini berarti dalam penarikan angka-angka yang dibutuhkan dari Random Number Generator cukup banyak dan dibuat sedemikian rupa sehingga 0 ≤ R.N. ≤ 1

 Efficient : artinya dapat cukup sederhana dan dalam menggunakan cara ini harus terlebih dahulu memilih angka-angka untuk variable-variabelnya yang cocok. Hal ini berarti dalam penarikan random number tersebut harus dapat p p

Penentuan Random Number

a. Tabel Random Number; table ini sudah banyak ditemukan mulai dari

enam digit sampai dengan belas digit.

b. Electronic Random Number; number ini banyak juga dipergunakan

dalam percobaan penelitian.

c. Conguential Pseudo Random Number Generator, yang terdiri dari tiga bagian :

Li C i l G (LCG)

a. Linear Congruential Generator (LCG) b. Multiplicative Random Number Generator

Linear Congruential Generator (LCG)

 Metode ini digunakan untuk membangkitkan bilangan acak dengan distribusi uniform

 Pseudo RNG berbentuk :

 Pseudo RNG, berbentuk :

Z

_i

= (

aZ

_{i – 1}

+

c

) mod

m

Dimana :

Z_i = bilangan acak ke-i dari deretnya

Z_{i– 1} = bilangan acak sebelumnya

a = faktor pengali

a a to pe ga

c = increment m = modulus

Contoh 1 LCG :

Membangkitkan bilangan acak sebanyak 8 kali dengan a = 2, c = 7, m = 10, dan Z₀= 2

Z₁ = (2.2+7) mod 10 = 1 Z₂ = (2.1+7) mod 10 = 9 Z₃ = (2.9+7) mod 10 = 5 Z = (2 5+7) mod 10 = 7 Z₄ = (2.5+7) mod 10 = 7 Z₅ = (2.7+7) mod 10 = 1 Z₆ = (2.1+7) mod 10 = 9 Z₇ = (2.9+7) mod 10 = 5 Z₈ = (2.5+7) mod 10 = 7

Bilangan acak yang dibangkitkan adalah : Bilangan acak yang dibangkitkan adalah :

1 9 5 7 1 9 5 7

Contoh 2 LCG :

Membangkitkan bilangan acak sebanyak 8 kali dengan a = 4, c = 7, m = 15, dan Z₀= 3

Z₁ = (4.3+7) mod 15 = 4 Z₂ = (4.4+7) mod 15 = 8 Z₃ = (4.8+7) mod 15 = 5 Z = (4 5+7) mod 15 = 12 Z₄ = (4.5+7) mod 15 = 12 Z₅ = (4.12+7) mod 15 = 10 Z₆ = (4.10+7) mod 15 = 2 Z₇ = (4.2+7) mod 15 = 0 Z₈ = (4.0+7) mod 15 = 7

Bilangan acak yang dibangkitkan adalah : Bilangan acak yang dibangkitkan adalah : 4 8 5 12 10 2 0 7

 Terjadi pengulangan pada periode tertentu atau setelah sekian kali

pembangkitan, hal ini adalah salah satu sifat pembangkitan dari metode ini

pe b g , d s s u s pe b g d e ode

dan PRNG pada umumnya

 LCG mempunyai periode tidak lebih besar dari m, dan pada kebanyakan kasus periodenya kurang dari itu

kasus periodenya kurang dari itu

 LCG mempunyai periode penuh (m – 1) jika memenuhi syarat berikut:

1. c relatif prima terhadap m.

2 1 d t dib i d f kt i d i

2. a – 1 dapat dibagi dengan semua faktor prima dari m

3. a – 1 adalah kelipatan 4 jika m adalah kelipatan 4

4. m > maks(a, c, Z₀) 5. a > 0, c > 0

Contoh 3 LCG :

a = 21, c = 3, m = 16 digunakan untuk menghasilkan angka acak PRN Z_i = (21.Z_i-1 +3) mod 16

Z_{0 =} 13 (pilih angka antara 0 dan 15 (diperoleh dari m-1) sebagai seed Z₀ 13 (pilih angka antara 0 dan 15 (diperoleh dari m 1) sebagai seed value/starting value)

Z₁ = (21. Z₀ +3) mod 16 = (21 13+3) mod 16 = (21.13+3) mod 16 = 276 mod (16)

= 4 (random number) Random variate :

Membuat Fungsi Pembangkit Bilangan Acak

d

LCG

Memanggil Bilangan Acak dengan Fungsi

LCG

Multiplicative Random Number Generator

Z

_i

= (a.Z

_i-1

) mod m

Dimana :

 _{Bilangan pseudo dimulai dgn nilai awal Z0 yang disebut benih.}  _{a & m : bilangan bulat positif tertentu}

 _{A.ZA.Zi 1 i-1 dibagi dgn m dan sisanya diambil sebagai nilai Zdibagi dgn m dan sisanya diambil sebagai nilai Zn}

 _{Agar Zn berprilaku acak yang dapat dipertanggungjawabkan :}

 _{Modulo m dipilih sebesar mungkin untuk memperbesar periode}  _{Modulo m dipilih sebesar mungkin untuk memperbesar periode}  _{a dipilih agar korelasi antar Zn minimum}

 _{Benih Zo: bilangan Bulat positif ganjil, Zo<m}

l k /

Untuk pemilihan nilai-nilai yang terbaik dijabarkan sebagai berikut :

a. Pemilihan nilai : m (modulo) merupakan suatu angka integer yang cukupe : ( odu o) e up su u g ege y g cu up

besar dan merupakan satu kata dari yang dipakai pada computer. Contoh :

 Dalam computer IBM 360/370 sistem sebuah kata adalah 32 bits

panjangnya, berarti angka integer yang terbesar dalam satu kata computer

p j g y , g g y g p

(computer words) adalah : 232-1 _{-1 = 2}31 _{– 1 = 2147488647}

 Maka nilai m hasrus lebih satu integer, atau : m = 232-1 _{+1 = 2147.483.648}

 Untuk mesin computer system 1130/1800 IBM yang dikenal dengan 16Untuk mesin computer system 1130/1800 IBM yang dikenal dengan 16 BITS Words maka untuk memilih m adalah : m = 216-1 _{= 32.768}

 Sedangkan untuk memilih microcomputer dengan 8 BITS akan digunakan ::

 m = 28-1 _{= 128}

 Dengan nilai m ini akan merupakan pembagi dari nilai (a x Z1) yang mengikuti operasi modulo

mengikuti operasi modulo

 Hal ini akan menjadikan mesin computer hanya dapat tertinggi dengan integer m-1 dan apabila produk-produknya lebih besar dari nilai-nilai ini akan mengakibatkan overflow/hang

b. Pemilihan konstanta multiplier : a harus tepat.

 Pemilihan nilai a harus bilangan prima terhadap m. a juga harus bilangang p p j g g ganjil (odd number). Pemilihan yang terbaik adalah dengan rumus yang lebih mendekat pada ketepatan.

 Untuk system IBM 1130/1800 dengan : 16 Bits akan diperolehy g p

 Dan untuk mikrokomputer dengan 8 Bits, maka akan diperoleh :

c. Pemilihan untuk Z₀, yang dikenal dengan : SEED = Z₀ mengharuskan

relative belakangan prima terhadap m. Hal ini dapat diperhatikan dengan relative belakangan prima terhadap m. Hal ini dapat diperhatikan dengan mudah apabila dicari untuk m adalah angka berpangkat 2 (dua) → angka exporer dari angka 2. Dengan demikian untuk Z₀ adalah setiap angka-angka yang ganjil (odd number) seperti : Ig y g g j ( ) p _SEEDSEED = Z₀₀ = 12357

Dapat diambil sembarang asalkan bilangan ganjil dan biasanya cukup besar.

d Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga d. Bilangan c yang dipilih harus bukan merupakan kelipatan dari m dan juga

Contoh :

Misal komputer berkapasitas 12 bit word



W = 12

m = 2

w-1

= 2

11

= 2048

a = 67



a



2

6

& a



3 (mod 8)

misal : Zo = 129



Z

₁

= (67)(129) mod 2048 = 451

Contoh :



U

₁

= 451/2048 = 0,22015

U

₂

= 1545/2048 = 0,754395

U = 1115/2048 = 0 544434

U

₃

= 1115/2048 = 0,544434

U

₄

= 977/2048 = 0,477051



Periode : m/4 = 2048/4 = 512

Mixed Congruential Random Number Generator

 Pseudo Random Number ini dapat dirumuskan dengan :

 Rumus Pseudo Random Number generator ini adalah dengan syarat utama

h j l h bil i (b l ) d l bih b d i l i i

n harus sejumlah bilangan integer (bulat) dan lebih besar dari nol, rumus ini dikenal juga dengan nama ‘Linier Congruential RNG’

 beberapa kondisi syarat-syaratnya sebagai berikut :

C d l h bil l ti i t h d

 C = adalah bilangan relative prima terhadap n

 a = 1 (mod.q) untuk setiap factor prima q dari m

 a = 1 (mod 4) apabila 4 adalah suatu factor dari m

 Kondisi 1 berarti bahwa pembagi umum yang terbesar dari c dan m adalah satu. Dan kondisi ini mudah dicapai.

 Kondisi 2 berarti :

Apabila akan dapat diperoleh untuk a yaitu a= 1 +qk Apabila akan dapat diperoleh untuk a, yaitu a= 1 +qk

Dimana q adalah faktor prima dari m

 Kondisi 3 : berarti a = 1 + 4k

Distribusi Bilangan Acak & Grafiknya

 Bilangan acak dapat dibangkitkan dengan pola tertentu yang mengikuti fungsi distibusi yang ditentukan

 Untuk mengetahui distribusi suatu bilangan acak digunakan histogram atau PDF

Grafik histogram menunjukkan seringnya kemunculan suatu nilai, dalam hal ini dapat menggambarkan distribusi dari bilangan acak yang

Histogram & PDF Bilangan Acak Berdistribusi

Uniform

PEMBANGKIT

PEMBANGKIT

RANDOM VARIATE

Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi

Pertemuan Ke- 8

Riani L Riani L.

R

d

V i t F

i K

ti

& Di k it

Random Variate Fungsi Kontinu & Diskrit



Distribusi Kontinu Uniform



Distribusi Eksponensial



Distribusi Normal



Pendekatan Central Limit Theorem



Box Muller Method

TUGAS

1.

Bangkitkan bilangan acak sebanyak 10 kali.



Dibangkitkan dengan metode Linier Congruential Generator

Jik

dik h i

5

2

128

d il i l

(Z )

12003



Jika diketahui a = 5, c = 2, m = 128, dan nilai awal (Z

₀

) = 12003

digit terakhir NIM masing-masing

a.

Tentukan fungsi distribusi kumulatifnya !

b.

Bangkitkan random variate distribusi tersebut, bila digunakan

metode LCG untuk membangkitkan 10 bilangan random. Jika

ditentukan bahwa konstanta pengali = 197, konstanta penggeser

p g

,

p gg

= 2375, modulus = 1387, dan nilai awal 12003

c.

Berapakah nilai optimal dari X untuk 0 < X < 1 ?

b l d l l d l h d b

3. Distribusi penerimaan telepon pada suatu sentral telepon adalah distribusi

eksponensial. Dimana penerimaan teleponnya terjadi setiap 0,1 menit. Setiap kali pengecek dilakukan pengambilan sampel sebanyak 10 kali dengan menggunakan random number yang dibangkitkan dengan metode LCG dengan ketentuan random number yang dibangkitkan dengan metode LCG dengan ketentuan

konstanta pengali = 127, konstanta penggeser = 2375, modulus = 1237, dan nilai awal didefinisikan 12003

Hit kt t k k t b t ?

a. Hitung waktu untuk pengecekan tersebut ?

MODEL INVENTORY

Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi Pertemuan Ke- 9

Riani L Riani L.

Pendahuluan

 Inventory merupakan pengumpulan atau penyimpanan komoditas yang akan digunakan untuk memenuhi permintaan dari waktu ke waktu.

 Bentuk persediaan bisa berupa bahan mentah, komponen, barang setangah jadi spare part dan lain lain

setangah jadi, spare part, dan lain-lain.

 Tujuan utama pengendalian persediaan adalah meminimumkan total biaya operasi perusahaan. Hal ini berkaitan dengan :

 Berapa jumlah komoditas yang harus dipesan

 Berapa jumlah komoditas yang harus dipesan

 Kapan pemesanan itu hasrus dilakukan

 Dalam menentukan jumlah yang dipesan pada setiap kali pemesanan, pada dasarnya harus ipertemukan dua titik ekstrim yaitu :

pada dasarnya harus ipertemukan dua titik ekstrim yaitu :

 Memesan dalam jumlah yang sebesar-besarnya; jika memesan dalam jumlah besar akan meminimumkan biaya pemesanan, besar diskon dan faktor teknologis.

 Memesan dalam jumlah yang sekecil-kecilnya; akan meringankan

Fungsi dalam Inventory



Siklus persediaan (inventory order)

Siklus persediaan berkaitan dengan pembeli atau menyediakan

dalam jumlah lebih besar dari yang dibutuhkan Alasannya

dalam jumlah lebih besar dari yang dibutuhkan. Alasannya

karena faktor ekonomis, dengan jumlah yang besar akan

mendapatkan diskon berat pula. Disamping itu

hambatan-hambatan berupa faktor teknologi transportasi dan lain lain

hambatan berupa faktor teknologi, transportasi dan lain-lain.



Persediaan pengaman (safety stock)

p

g

(

y

)

Mencegah terhadap ketidaktentuan persediaan. Artinya sebelum

persediaan habis harus dipersiapkan sejumlah persediaan, jika di

suatu saat ternyata persediaan habis sedangkan pemesanan

Komponen Biaya Inventory



Ordering Cost dan Procurement Cost

Merupakan total biaya pemesanan dan pengadaan komoditas hingga siap untuk dipergunakan. Biaya ini berkaitan dengan biaya

pengangkutan, pengumpulan, kepemilikan, penyusunan dan

penempatan di gudang serta biaya lain yang berhubungan dengan pemesanan. Ada dua total biaya pemesanan :

Bi b if t t t (fi d) it tid k

 Biaya pemesanan yang bersifat tetap (fixed), yaitu yang tidak

tergantung pada jumlah barang yang dipesan. Biasa disebut ordering cost.

 Biaya pemesanan yang bersifat berubah ubah (variable) yang



Holding Cost/Carrying Cost

Biaya ini timbul karena perusahaan menyimpan persediaan. Sebagian besar merupakan biaya penyimpanan fisik, pajak, asuransi. Hal ini dikarenakan modal yang ada dalam persediaan barang kemungkinan akan lebih menguntungkan bila digunakan untuk investasi yang lain.



Shortage Cost

Biaya ini terjadi bila ada permintaan terhadap barang yang kebetulan

d tid k t di t t k h bi U t k b b t t t

sedang tidak tersedia atau stok habis. Untuk barang-barang tertentu yang kebutuhannya tidak mendesak mungkin pelanggan diminta untuk menunggu (back order). Tetapi untuk barang yang sifatnya mendesak atau kebutuhan sehari hari maka pelanggan tidak akan menunggu dan atau kebutuhan sehari-hari maka pelanggan tidak akan menunggu dan akan segera mencari dan membeli penggantinya di tempat lain,

Model Economic Order Quantity



Model Deterministik

Semua parameternya diasumsikan diketahui dengan pasti .

Model EOQ Klasik (sederhana)



Model EOQ Klasik (sederhana)



Model EOQ Back Order



Model EOQ Fixed Production Rate



Model EOQ Quantity Discount

M d l St k

tik



Model Stokastik

Model EOQ Klasik

A

i d



Asumsi dasar :

 Barang yang dipesan dan disimpan hanya barang sejenis (homogen)

 Permintaan per periode diketahui dan konstan

 Ordering cost konstan

 Ordering cost konstan

 Holding cost berdasarkan rata-rata persediaan

 Harga per unit barang konstan

 Barang yang dipesan segera tersedia (tidak diijinkan back order)Barang yang dipesan segera tersedia (tidak diijinkan back order)



Parameter yang digunakan :

k = ordering cost per pemesanan

k ordering cost per pemesanan

A = jumlah barang yang dibutuhkan dalam 1 periode (misal 1

tahun)

c = procurement cost per unit barang yang dipesan

p

p

g y

g

p

h = holding cost per unit nilai persediaan

Frekuensi pemesanan sering dilakukan

 Q merupakan jumlah barang yang dipesan secara periodik.

 Order point adalah saat dimana siklus persediaan (inventory cycle) yang baru dimulai dan yang lama berakhir.

 Untuk mengetahui jumlah persediaan dari waktu ke waktu, dapat digunakan gradien A sebagai petunjuk dengan cara melihat garis lurus yang memiliki gradien tersebut.

 Karena barang yang dipesan diasumsikan segera tersedia maka setiap siklus persediaan dapat dilukiskan dalam bentuk segitiga dengan tinggi Q dan alat T.  Frekuensi pemesanan tergantung pada A dan Q yang dirumuskan :

 Jika frekuensi pemesanan dikali dengan biaya setiap pemesanan / ordering cost (k), maka diperoleh :

 Holding cost ditentukan oleh jumlah dan lamanya barang disimpan. Setiap waktu jumlah barang berkurang sehingga perlu diperhatikan tingkat persediaan rata-rata jumlah barang berkurang sehingga perlu diperhatikan tingkat persediaan rata-rata.

 Karena persediaan bergerak dari Q unit sampai nol unit, sampai tingkat

 Holding cost dihitung berdasarkan satuan nilai persediaan dan procurement cost (c), sehingga :

p ( ), gg

Sehingga :

 Dalam satu periode (tahun) dibutuhkan A unit barang untuk pengadaan

(procurement) dan biaya pengadaan sebesar c setiap unit barang sehingga :

 Jika ketiga komponen biaya tersebut digabungkan, maka diperoleh :

S ti t j l d i d l l di d l h i i k t t l

 Seperti tujuan awal dari model persoalan persediaan adalah meminimumkan total annual cost (TC), maka TC minimum dapat dicari dengan menentukan berapa jumlah pemesanan (Q). Karena yang mengandung Q pada fungsi TC hanya ada pada annual ordering cost dan annual holding cost, maka akan lebih sederkana jika Ac diabaikan dalam perhitungan

 TC mencapai maksimum jika antara fungsi annual order cost dan total annual holding cost berharga sama.g g

Contoh 1

Sebuah supermarket mampu menjual 10.400 galon susu setiap

tahunnya. Setiap galon menanggung biaya Rp. 20.000,- untuk

sampai ke gudang. Agen meminta bayaran Rp. 400.000,- untuk

p

g

g

g

y

p

pemesanan (tidak tergantung pada berapa jumlah pesanan).

Karena modal yang ada pada susu dipinjam dari bank, maka

supermarket harus membayar bunga sebesar 10% per tahun,

p

y

g

p

,

disamping itu harus membayar pajak atas barang yang

disimpannya sebesar 5% dan juga asuransi 5% dari nilai

persediaan rata-rata.

persediaan rata rata.

Selama ini supermarket memesan 200 galon per minggunya.

Dari sudut biaya yang relevan apakah kebijakan supermarket

mengenai pengendalian persediaan susu ini sudah benar

Model EOQ Back Order

 Back order adalah pesanan untuk diambil kemudian oleh pelanggan, hal ini terjadi apabila pelanggan bersedia menunggu pesanan yang sudah habis dan pihak perusahaan tetap mengijinkan menjual barang yang

bersangkutan meskipun barangnya tidak ada di gudang (tingkat persediaan bersangkutan meskipun barangnya tidak ada di gudang (tingkat persediaan barang nol).

 Model persediaan dengan back order :

 Q adalah jumlah setiap  Q adalah jumlah setiap

pemesanan

 S adalah jumlah persediaan barang pada setiap awal siklus persediaan (on hand inventory)

 Tujuannya adalah

 Tahap I : tahap dimana permintaan pembeli dapat dipenuhi dengan on hand inventory. Tahap ini diwakili oleh segitiga besar (tinggi S). Apabila permintaan terhadap barang selama setahun sebesar A maka periode permintaan terhadap barang selama setahun sebesar A, maka periode waktu setiap tahap I pada setiap siklus adalah S/A tahun.

 Tahap II : tahap dimana on hand inventory sudah nol dan pembeli harus memesan untuk dapat diambil setelah tersedia kemudian Tahap ini

memesan untuk dapat diambil setelah tersedia kemudian. Tahap ini digambarkan sebagai segitiga kecil dengan tinggi Q-S, nilai ini

menunjukkan jumlah barang yang dipesan oleh pembeli tetapi tidak dapat segera dipenuhi. Waktu yang dibutuhkan untuk memenuhi

i t t b t d l h (Q S)/A t h permintaan tersebut adalah (Q-S)/A tahun.

 Sebagai beban (dalam hal kerugian) atas ketidakmampuan perusahaan menyediakan barang yang diminta, maka ada biaya yang timbul yang disebut shortage cost (p) yang bergantung pada banyaknya barang disebut shortage cost (p) yang bergantung pada banyaknya barang yang diminta (tetapi tidak tersedia) dan lamanya permintaan itu baru bisa terpenuhi.

 Karena hanya sebagian dari seluruh kebutuhan (Q) yang pernah disimpan, maka holding cost hanya dikenakan pada tahap I, yaitu sebesar :

 Annual holding cost & annual shortage cost :

 Total annual relevant cost :

 Quantitas pesanan & persediaan optimal :

Contoh 2

Bila kasus pada contoh nomor 1 diperluas. Misalkan susu

merek tersebut merupakan barang konsumsi yang sudah

menjadi kesukaan dan cocok untuk pelanggan tertentu

menjadi kesukaan dan cocok untuk pelanggan tertentu.

Dan ia bersedia memesannya bila persediaan barang

sedang kosong. Andaikan untuk supermarket itu dibebani

0 1 sen dolar per galon per hari sebagai shortage cost

0,1 sen dolar per galon per hari sebagai shortage cost

karena persediaan susu kosong, maka berapakah :



Kuantitas pesanan dan persediaan optimal



Tenggang waktu pemesanan

Re Order Point (ROP) & Safety Stock (SS)



Asumsi bahwa barang yang dipesan segera tersedia pada

kenyataanya jarang terpenuhi, karena banyak faktor yang

menyebabkan hal ini terjadi karena kegiatan penyediaan

atau pemesanan barang perlu tenggang waktu (lead time)

hingga barang pesanan bisa tersedia.



Saat kapan pemesanan kembali dilakukan hingga barang

Saat kapan pemesanan kembali dilakukan hingga barang

yang dipesan tersedia disebut titik pemesanan kembali

(ROP).



ROP diperoleh dari hasil kali lead time (L) dan tingkat



ROP diperoleh dari hasil kali lead time (L) dan tingkat

kebutuhan per satuan waktu (U) lalu ditambah dengan

safety stock (SS) :

ROP

U

L

SS

Contoh 3

a. Misal diketahui :

Kebutuhan barang per bulan (U) = 2 ton Lead time (L) = 4 bulan

Lead time (L) 4 bulan

Safety stock (SS) = 25% dari kebutuhan selama lead time Tentukan ROP-nya !

b. Misal diketahui :

Kebutuhan barang per bulan (U) = 2 tong p ( ) Lead time (L) = 4 bulan

Safety stock (SS) ditetapkan sebesar kebutuhan selama 1 bulan Tent kan ROP n a !

Model EOQ Fixed Production Rate



Pada model ini harus dikaitkan dengan tingkat produksi dari

perusahaan pemasok barang atau produsen.



Asumsi yang harus dipenuhi pada penggunaan model ini



Asumsi yang harus dipenuhi pada penggunaan model ini

adalah :



Tingkat permintaan kosntan



Tingkat produksi dari pemasok kosntan



Tingkat produksi lebih besar dari tingkat permintaan per tahun



Lead time konstan



Lead time konstan

Model persediaan fixed production rate

• Asumsi untuk tingkat produksi dan tingkat permintaan konsumen

masing-masing sebesar B unit per tahun dan A per tahun.

• Tampak bahwa siklus persediaan terdiri dari dua fase. Fase I adalah

fase produksi yang digambarkan dengan segitiga siku siku yang kecil fase produksi yang digambarkan dengan segitiga siku-siku yang kecil (kiri) dengan slope (B-A).

 Biaya set up (biaya untuk melaksanakan satu production run/set up):

 Annual holding cost :

 Total annual relevant cost :

 Jumlah produksi yang mengakibatkan setup cost dan holding cost mencapai minimum dikenal sebagai economic production quantity (EPQ), yang besarnya :g p q y ( ), y g y

 Lama setiap production run :

Contoh 4

Misalkan permintaan suatu produk diketahui 24.000 unit per

tahun. Anggap bahwa suatu mesin menghasilkan produk

tersebut dengan tingkat produksi sebesar 73 000 unit per

tersebut dengan tingkat produksi sebesar 73.000 unit per

tahun. Setiap production run menimbulkan biaya sebesar

Rp. 1.000.000,- dan biaya produksi variabel per unit adalah

Rp 20 000

dan besar holding cost tah nan adalah 10%

Rp. 20.000,-, dan besar holding cost tahunan adalah 10%

per dolar nilai persediaan, tentukan :

a.

Besar produksi optimal

b.

Lama setiap production run dan production run berikutnya

Model EOQ Quantity Discount



Model ini didasari oleh adanya kemungkinan potongan kuantitas atau

harga per unit barang bila perusahaan membeli dalam kuantitas persediaan

yang lebih besar.

g



Penentan EOQ yang optimal memerlukan perhitungan seluruh biaya

minimum feasible.



Jika holding cost adalah persentase dari harga yaitu h = i c maka



Jika holding cost adalah persentase dari harga, yaitu h = i.c, maka

prosedur penerusan EOQ adalah :



Untuk setiap potongan harga hitung EOQ-nya



Jik EOQ dil

j

k

d ti

t

h

(tid k f

ibl )

k



Jika EOQ diluar jangkauan pada tiap potongan harga (tidak feasible) maka

sesuaikan nilai EOQ (naikkan pada kuantitas terendah sehingga feasible)



Hitung total cost tiap EOQ (setelah disesuaikan)

P l h EOQ

h lk

l d h

Contoh 5

Sebuah medical center memesan peralatan keehatan berupa disposal

sanitary. Kebutuhan tahunan untuk alat ini adalah 400 boks. Holding

cost-nya bervariasi terhantung pada harga dan kuantitas (20% dari harga boks

nya bervariasi terhantung pada harga dan kuantitas (20% dari harga boks

pertahun). Ordering cost Rp. 120.000,- per pemesanan. Daftar holding

cost ditunjukkan peralatan kesehatan ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Tentukan EOQ sehingga total cost minimum

Kuantitas (b k )

Harga P (R /b k )

Holding cost (R /b k /t h ) (boks) (Rp/boks) (Rp/boks/tahun)

1 – 49 280.000 56.000

50 – 99 260.000 52.000

FORECASTING

Mata Kuliah Pemodelan & Simulasi

Pertemuan Ke- 10

Riani L Riani L.

Pendahuluan



Peramalan merupakan bagian penting bagi setiap organisasi bisnis dan

untuk setiap pengambilan keputusan manajemen yang sangat signifikan.



Peramalan menjadi dasar jangka panjang bagi perencanaan jangka

j

j g p j g g p

j g

panjang perusahaan.



Peramalan merupakan input bagi proses perencanaan dan pengambilan

keputusan

keputusan



Definisi :



Adalah ramalan tentang apa yang akan terjadi dimasa yang akan datang.



Adalah penggunaan data masa lalu dari sebuah variabel atau kumpulan

variabel untuk mengestimasi nilainya di masa yang akan datang



Dengan peramlan kita dapat memprediksi apa yang terjadi di masa

g p

p

p

p y g

depan maka kita dapat mengubah kebiasaan saat ini menjadi lebih baik

dan akan jauh lebih berbeda di masa yang akan datang. Hal ini



Pemanfaatan Peramalan :



K

l

b ik d

d l

t k



Keuangan : peramalan memberikan dasar dalam menentukan

anggaran dan pengendalian biaya



Pemasaran : peramalan penjualan dibutuhkan untuk merencanakan

produk baru, kompensasi tenaga jual, dan beberapa keputusan

penting lainnya



Produksi & operasi : menggunakan data peramalan untuk

p

gg

p

perencanaan kapasitas, fasilitas, produksi, penjadwalan, dan

pengendalian persediaan.



Ekonomi : menetapkan kebijakan ekonomi seperti tingkat

p

j

p

g

pertumbuhan ekonomi, tingkat pengangguran, tingkat inflasi



Karakteristik Peramalan :

K k

t



Keakuratan



Biaya

Komponen Peramalan Permintaan

1.

Batasan Waktu (Time Frame)



Time Frame mengidentifikasikan seberapa jauh dimasa yang akan

datang yang telah diramalkan

datang yang telah diramalkan



Menentukan jangka waktu peramalan, misalnya pengklasifikasian

jangka waktu (jangka pendek, jangka menengah, dan jangka

panjang)

Rentang Waktu Tipe Keputusan Jangka Pendek

( 3 – 6 bulan) Operasional

Jangka Menengah

Taktis

g g

( 2 tahun) Taktis

Jangka Panjang

2.

Perilaku Permintaan (Demand Behavior)



P il k i t

k d

k d

tid k b

t



Perilaku permintaan kadang-kadang tidak beraturan



Tiga jenis :

1.

Trend

; perilaku permintaan jangka panjang atau pendek

; p

p

j g p j g

p

dimana pergerakkannya tergantung pada permintaan

2.

Cycle

; gelombang naik turun pergerakkan permintaan yang

b

l

l

d

j

k

k

j

berulang-ulang pada suatu jangka waktu yang panjang

3.

Seasonal Pattern

; suatu gerakan perputaran permintaan yang

terjadi secara periodik (dalam waktu yang pendek) dan

j

p

(

y g p

)

berulang

(a) Trend

(b) Cycle (economic)

( ) S

l

(d)T

d & S

l

Contoh Data Ekonomi (1)

3

Time Se r ie s Pl ot of I nf l a si

3 2 In fl a s i 1 0 Year Month 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan - 1

Contoh Data Ekonomi (2)

Krisis di I ndonesia Pertengahan 1997

Reference :  Badan Pusat Statistik (BPS) I ndonesia

Contoh Data Ekonomi (3)

Krisis di I ndonesia Terjadi Mulai Pertengahan 1997

Contoh Data Ekonomi (4)

200000

Time Ser ies Plot of Penumpang KA Eksekutif dan Pesaw at

200000

150000

Var iab le KA Ek sek u tif Pesaw at D a ta 100000 50000

Krisis di I ndonesia Terjadi

Year Month 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan 0

Contoh DATA TOURISM (5)

Krisis di I ndonesia Pertengahan 1997

Contoh DATA TOURISM (6)

100

Time Ser ies Plot of Tingkat Hunian Hotel 4 * dan Hotel 5 *

90

80

Var iab le Ho tel 4* Ho tel 5*

D a ta 70 60 50 50 40 30

Krisis di I ndonesia Terjadi B

Year Month 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan 20

Krisis di I ndonesia Terjadi Mulai Pertengahan 1997

Contoh DATA HIDROLOGI (7)

0.30

Time Ser ies Plot of Cur ah hujan and Debit air in Telaga N gebel, Madiun

0.30

0.25

0 20

Var iab le Cu r ah h u j an Deb it air

D a ta 0.20 0.15 0.10 0.05

I nde x

Metode Peramalan

1.

Metode Kualitatif



Metode ini tidak ada model matematik, biasanya dikarenakan data

yang ada tidak cukup representatif untuk meramalkan masa yang

yang ada tidak cukup representatif untuk meramalkan masa yang

akan datang (long term forecasting).



Peramalan kualitatif menggunakan pertimbangan pendapat para

pakar di bidangnya.



Kelebihan : biaya murah (tanpa data) dan cepat diperoleh.

Kekurangan bersifat sub ektif (kurang ilmiah)

Kekurangan : bersifat subyektif (kurang ilmiah)



Salah satu pendekatan peramalan dalam metode ini adalah Teknik

2.

Metode Kuantitatif



Penggunaan metode ini didasari pada ketersediaan data metah



Penggunaan metode ini didasari pada ketersediaan data metah

disertai serangkaian kaidah matematis untuk meramalkan hasil

dimasa depan



Model peramalan dengan metode kuantitatif :

1. Time Series Methods

Metode statistik yang menggunakan data historis yang dihimpun pada suatu y g gg y g p p periode waktu. Dengan asumsi bahwa apa yang terjadi dimasa lalu akan terjadi dimasa yang akan datang.

 _{Model Cosntant Forecastingg}

 _{Model Moving Average}

 _{Model Exponential Smooting}

2 Regression Methods 2. Regression Methods

Model Constant Forecasting

Persamaan garis yang menggambarkan pola konstan adalah: Persamaan garis yang menggambarkan pola konstan adalah:

Y’(t) = a dimana a = konstanta



n

Y

t

E

[

(

)

]

2

Untuk mendapatkan nilai (a) maka dapat didekati melalui turunan kuadrat terkecilnya (least square) terhadap (a) sebagai berikut:









i

a

t

Y

E

1 2

]

)

(

[

0



dE









2

n

[

Y

(

t

)

a

]

0

diperoleh

da



i1

]

)

(

[



n

Y

(

t

)





n

a



0







n

na

t

Y

(

)

0

p

; maka





 

i 1 i 1

)

(



 i

na

t

Y

1

0

)

(

; maka

Sehingga:



n _{Y (t) dimana n = jumlah periode peramalan}

a

i 



1

)

Jadi, apabila pola data berbentuk konstan, maka peramalannya dapat didekati dengan harga rata-rata dari data tersebut.

CONTOH :

Dib ik d t i t b ik k k i PT G M di i d i Diberikan data permintaan pabrik konveksi PT Garmen Mandiri dari bulan Januari sampai Juni tahun 2006. Tentukan jumlah permintaan untuk lima bulan selanjutnya dengan menggunakan model konstan!

Bulan (t)

Model Moving Average



Digunakan untuk menentukan trend dari suatu deret waktu.



Metode ini digunakan untuk data yang perubahannya tidak

d id k

i k

k

i ik

i

cepat, dan tidak mempunyai karakteristik musiman atau

seasonal.



Model ini mengestimasi permintaan periode berikutnya sebagai



Model ini mengestimasi permintaan periode berikutnya sebagai

5 91 5 50 75 130 110 90 5 5 1 1 5       



i

Diberikan data harga penutupan akhir minggu surat-surat berharga perusahaan “Mandala” yang bergerak dalam bidang maskapai penerbangan.

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Y 46 56 54 43 57 56 67 62 50 56 47 56

Maka Moving Average 3 mingguan (SMA ) terhadap harga penutupan akhir minggu Maka Moving Average 3 mingguan (SMA₃) terhadap harga penutupan akhir minggu saham diperoleh dari perhitungan berikut: <