KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F) DENGAN METODE PENDUGAAN GENERALIZED MOMENT

(1)

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F) DENGAN METODE PENDUGAAN GENERALIZED MOMENT

(Skripsi)

Oleh

ANNASTASIA NIKA SUSANTI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(2)

ABSTRACT

THE CHARACTERISTICS OF PARAMETER ESTIMATORS GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F) DISTRIBUTION WITH THE GENERALIZED METHOD OF MOMENT ESTIMATION

By

Generalized F-3 parameters (G3F) distribution have three parameters: The parameter is scale parameter which is a numerical parameter that indicates the amount of data distribution, whereas and parameter is a shape parameter which is a numerical parameter that show the shape of the curve. The parameter estimators of G3F distribution is obtained by using Generalized Method of Moment in form , where r is taken equal to 0 and taken

which not necessarily integers and positive. After obtained the parameter estimators of , then examined the characteristics of these estimators which include unbiased, minimum variance, and consistent. By using the form can also be obtained asymptotic variances and covariance matrix of the parameter estimators of , that is seek variance and covariance of the sample moments ̂ ̂ ̂ .

(3)

ABSTRAK

KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED F-3 PARAMETER (G3F) DENGAN METODE PENDUGAAN GENERALIZED MOMENT

Oleh

Distribusi Generalized F-3 parameter mempunyai tiga parameter yaitu . Parameter merupakan parameter skala, yakni parameter numerik yang menunjukan besarnya distribusi data, sedangkan parameter merupakan parameter bentuk, yakni parameter numerik yang menunjukan bentuk dari kurva. Penduga dari parameter distribusi G3F diperoleh dengan menggunakan metode pendugaaan Generalized Moment dari bentuk dimana r diambil sama dengan 0 dan diambil yang tidak harus bilangan bulat maupun positif. Setelah diperoleh penduga parameter , kemudian diperiksa karakteristik dari masing-masing penduga tersebut yakni meliputi sifat tak bias, varians minimum, dan konsisten. Dengan menggunakan bentuk tersebut juga dapat diperoleh matriks varians dan kovarians asimtotik dari penduga yakni dengan mencari varians dan kovarians dari momen sample ̂ ̂ ̂ .

Kata Kunci : distribusi generalized F 3- parameter (G3F), metode

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kota Metro pada tanggal 27 Agustus 1993 dari bapak bernama Birnadus Parsidi dan ibu Theresia Sarmini. Penulis terlahir dengan nama Annastasia Nika Susanti yang merupakan anak pertama dan terakhir dari pasangan tersebut. Penulis menganut agama Katolik sesuai dengan agama dan kepercayaan yang dimiliki oleh orangtua penulis.

Penulis memulai pendidikannya dari Taman Kanak-Kanak di TK Dharma Wanita, Metro Utara pada tahun 1998 dan lulus pada tahun 1999. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan ke tingkat Sekolah Dasar, yakni di SD Negeri 5 Metro Utara dan lulus pada tahun 2005. Selanjutnya penulis melanjutkan pendidikan di Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Kota Metro dan tamat pada tahun 2008. Setelah lulus dari bangku SMP, penulis kemudian melanjutkan pendidikannya di SMA Negeri 1 Kota Metro dan lulus pada tahun 2011. Kemudian penulis terdaftar sebagai mahasiswa jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas Lampung pada tahun 2011 melalui Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi (SNMPTN) jalur Undangan.

(9)

ix

(10)

MOTO

“Setiap masalah yang datang dalam hidup adalah jalan

Tuhan menyiapkan dirimu untuk masa depan. Tuhan

tahu apa yang terbaik untukmu”

~Choi Siwon~

“All things are possible to

them who believes

”

“

Never give up no matter what you

encounter

”

(11)

PERSEMBAHAN

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena

dengan rahmat dan kuasa-Nya skripsi ini dapat

terselesaikan, dan dengan setulus hati, ku persembahkan

skripsi ini teruntuk:

Orangtuaku tercinta,Bapak (Birnadus Parsidi)

dan Ibu (Theresia Sarmini) yang selalu memberikan

kasih sayang, dukungan, dan doa yang tiada henti.

Keluarga besar serta sanak saudara-ku yang telah

(12)

xii

Seluruh teman-teman seperjuangan angkatan

2011, atas kebersamaan, keceriaan, semangat, serta

do’a kalian kepadaku.

Dosen serta staff Jurusan Matematika Fakultas

Metematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

(13)

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat penulis untuk meraih gelar Sarjana Sains (S.Si) pada jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

Penulis menyadari, bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan membantu dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan ucapan terimakasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan, utamanya kepada:

1. Bapak Warsono, Ph.D selaku dosen pembimbing pertama yang telah memberikan bimbingan, memberikan ide, kritik dan saran kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Ibu Dian Kurniasari, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing kedua terimakasih atas segala masukan, motivasi dan kesabaran dalam membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skipsi ini. 3. Bapak Amanto, M.Si selaku dosen penguji bukan pembimbing yang telah

(14)

xiv

4. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc.,Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 6. Bapak Mustofa Usman,M.A., Ph.D selaku Pembimbing Akademik.

7. Ibu Widiarti,S.Si., M.Si. atas motivasi, semangat, dukungan, dan bantuannya kepada penulis dalam meyelesaikan skripsi ini.

8. Bapak dan Ibu tercinta serta sanak saudaraku yang selalu memberikan motivasi, dukungan, semangat serta do’a kepada penulis.

9. Sahabat-sahabatku “Uno &Volunteer“ (Umi, Okta, Dewa, Inggit, Eko dan Bram) yang banyak memberikan keceriaan, semangat, motivasi, dukungan, saran, dan kritik kepada penulis.

10. Teman-teman satu kostan yakni Citra, Tari, Dhanti, dan Dila yang telah membantu, menghibur, serta menyemangati penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

11. Teman-teman satu bimbinganku, Andzirnie, Dian, Rizka, Dewi, dan Ofi terimakasih atas semangat dan kebersamaanya selama ini.

12. Teman-teman seperjuangan angkatan 2011, Eka, Helmi, dan lain-lain yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terimakasih atas motivasi kalian selama ini kepada penulis.

13. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas motivasi dan dukungannya dalam menyelesaikan skripsi ini.

Bandar Lampung, Februari 2015 Penulis

(15)

DAFTAR ISI

2.3.2.2. Matriks Informasi Fisher ... 11

(16)

xvi

4.1.4. Grafik dengan meningkat, menurun dan tetap... 20

4.1.5. Grafik dengan tetap, menurun dan meningkat... 21

4.1.6. Grafik dengan meningkat, tetap dan menurun... 22

4.2 Fungsi Kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari Distribusi G3F ... 23

4.5. Karakteristik Penduga Distribusi G3F ... 32

4.5.1.Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi G3F ... 32

4.5.1.1. Penduga Parameter ... 32

4.5.2. Memeriksa Sifat Varians Minimum Penduga Distribusi G3F ... 40

4.5.3. Memeriksa Sifat Kekonsistenan Penduga ... 51

4.6. Matriks Varians-Kovarians Asimtotik Distribusi G3F dengan GMM ... 62 V. KESIMPULAN

(17)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1. Grafik distribusi G3F dengan nilai

dan ... 17 Gambar 2. Grafik distribusi G3F dengan nilai

... 21 Gambar 6. Grafik distribusi G3F dengan nilai

(18)

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Statistika inferensia merupakan salah satu metode statistik yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai suatu populasi. Statistika inferensia dikelompokkan ke dalam dua bidang utama, yakni pendugaan dan pengujian hipotesis. Dalam metode pendugaan yang akan dicari adalah penduga dari parameter populasi yang diteliti, melalui sebuah statistik yang diambil dari suatu sampel berukuran tertentu. Biasanya ukuran statistik yang digunakan adalah

mean (rata-rata) dan varians (ragam) yang harus memiliki sifat-sifat penduga yang baik yakni sifat tak bias, ragam minimum, konsisten, dan lain-lain.

(19)

2

Metode PWM memiliki bentuk perumuman (generalized) yang dikenal dengan Metode GPWM (Generalized Probability Weighted Moment) yang diusulkan oleh Rasmussen (2001). Sedangkan bentuk perumuman (generalized) dari Metode Momen (MM) dikenal dengan Metode Generalized Moment (GM) yang dikembangkan oleh Lars Petrus Hansen pada tahun 1982. Dalam menduga parameter dari suatu distribusi, kedua bentuk perumuman tersebut yakni GPWM dan GM, keduanya menggunakan bentuk PWM, berdasarkan studi yang dilakukan oleh Rasmussen (2001) dan Ashkar dan Mahdi (2003) yakni dalam bentuk . Dimana dalam metode Generalized Moment, r diambil sama dengan 0 dan l

diambil sembarang yang tidak harus bilangan bulat, maupun positif. Berdasarkan Ashkar dan Mahdi (2006), metode Generalized Moment memberikan hasil yang lebih baik untuk menduga parameter bentuk dengan ukuran sampel yang cukup besar (n > 50) dibandingkan dengan metode GPWM dan MLE. Di sisi lain, dalam penggunaannya metode PWM dan GPWM membatasi perhatian hanya pada kasus dimana l = 1 atau dengan kata lain, penggunaan momen dari X dengan order yang lebih besar daripada 1 harus dihindari. Sedangkan dalam metode Generaliuzed Moment, penggunaan momen dari X dengan order yang berbeda dari 1 dilibatkan (Ashkar dan Mahdi,2006).

(20)

3

Generalized Gamma (GG), distribusi Log Logistic, dan lain sebagainya. Karena itu, penulis akan mengaplikasikan metode pendugaan Generalized Moment

tersebut pada salah satu family atau keluarga dari distribusi Generalized F, yakni distribusi Generalized F-3 parameter dengan parameter dimana adalah parameter skala, yakni suatu parameter numerik yang menunjukan besarnya distribusi data dan parameter menunjukan parameter bentuk, yakni suatu parameter numerik yang menunjukan bentuk dari kurva. Hal yang menarik dari distribusi G3F ini adalah bahwa momen order positif dan negatifnya ada, atau dengan kata lain jika momen orde +l ada maka momen orde –l juga ada, sehingga dapat menggunakan dasar pendugaan metode Generalized Moment

(Ashkar dan Mahdi,2006). Meskipun distribusi G3F jarang digunakan karena tingkat kesulitannya yang tinggi, namun distribusi tersebut memiliki peranan yang penting dalam bidang kesehatan yakni sebagai suatu “umbrella” atau wadah untuk analisis survival parametrik (Cox,2008).

1.2. Batasan Masalah

(21)

4

1.3. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dilakukannya penelitian ini antara lain :

1. Untuk melihat perbedaan grafik fungsi kepekatan peluang distribusi G3F

dengan nilai parameter α,m1,m2 yang dibuat berubah.

2. Untuk menentukan penduga (α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan

menggunakan metode pendugaan Generalized Moment.

3. Untuk memeriksa karakteristik penduga (α,m1,m2) dari distribusi G3F yang

meliputi sifat ketakbiasan,varians minimum, dan kekonsistenan.

4. Untuk menentukan matriks varians dan kovarians asimtotik penduga (α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan menggunakan metode pendugaan

Generalized Moment.

1.4. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini antara lain :

1. Memberikan sumbangan pemikiran bagi peneliti lain mengenai cara mencari penduga distribusi G3F bagi parameter α,m1,m2 dengan menggunakan

metode pendugaan Generalized Moment.

(22)

II. TINJAUAN PUSTAKA

Dalam menentukan penduga parameter dari distribusi G3F dan karakteristik dari penduga tersebut, maka dalam hal ini penulis menggunakan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan proses tersebut, yakni sebagai berikut :

2.1.Distribusi Generalized F 3-parameters (G3F)

Distribusi Generalized F 3-parameters (G3F) merupakan salah satu distribusi kontinu yang memiliki tiga parameter, yaitu α yang merupakan parameter skala serta m1 dan m2 yang merupakan parameter bentuk.

Definisi 2. 1

Misalkan X adalah random variabel dari distribusi G3F (α,m1,m2) maka fungsi

kepekatan peluangnya adalah

(2.1)

(23)

6

2.1.1. Nilai Harapan dari Distribusi G3F

Nilai harapan dari distribusi G3F (α,m1,m2) dapat dinyatakan sebagai berikut : ∫

Dan dengan menggunakan persamaan (6.2.2) dalam Abramowitz dan Stegun (1970), yakni

maka diperoleh

(24)

7

Jadi, nilai harapan dari distribusi G3F adalah

(2.2)

Selanjutnya, untuk dapat dinyatakan oleh

∫

∫ ( ₎

_∫

Misalkan :

Sehingga

_∫

∫

Jadi diperoleh nilai

(25)

8

2.1.2. Ragam dari Distribusi G3F

Ragam dari distribusi G3F dapat diperoleh dengan dengan menggunakan persamaan (2.2) dan (2.3) yaitu :

Dengan menggunakan persamaan (6.1.15) dalam Abramowitz and Stegun (1970), yakni , maka diperoleh

Jadi, diperoleh ragam dari distribusi G3F adalah

(26)

9

2.2.Metode Generalized Moment

Metode Generalized Moment merupakan bentuk pengembangan dan perumuman dari metode momen. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Lars Petrus Hansen pada tahun 1982, dimana metode Generalized Moment ini digunakan untuk memperoleh penduga parameter dari model statistik. Metode tersebut telah banyak digunakan dalam bidang ekonomi dan seringkali diaplikasikan pada masalah keuangan. Metode Generalized Moment didasarkan pada kondisi momen populasi, yakni

Dengan merupakan vektor dari parameter yang akan diduga, merupakan vektor dari peubah acak, dan merupakan suatu vektor fungsi, (Hall,2009). Untuk menduga parameter dari suatu distribusi, studi oleh Rasmussen (2001), dan oleh Ashkar dan Mahdi (2003), menggunakan bentuk Probability Weighted Moment (PWM) yakni :

∫ (2.4) ∫

Dimana x adalah invers dari distribusi kumulatif F(x), l merupakan momen ke-l

(27)

10

2.3.Karakteristik Penduga

Untuk mengkaji karakteristik penduga dari distribusi G3F dengan menggunakan metode pendugaan Generalized Moment, maka harus memenuhi sifat-sifat penduga yang baik, yakni seperti yang akan dijelaskan berikut ini :

2.3.1. Tak Bias

Salah satu sifat yang harus dimiliki oleh suatu penduga parameter dari suatu distribusi adalah sifat ketakbiasan dari penduga tersebut.

Definisi 2.2

Penduga dikatakan penduga tak bias bagi bila

( ) ,

(Hogg and Craig, 1995).

2.3.2. Varians Minimum

Suatu penduga dikatakan sebagai penduga yang baik jika selain memiliki sifat tak bias, juga memiliki sifat varians minimum (ragam minimum).

Definisi 2.3

Misalkan adalah penduga tak bias bagi , maka untuk sebarang penduga tak bias bagi disebut penduga varians minimum jika

( ) untuk setiap , dimana

( ) [ _]

(28)

11

Dalam menentukan penduga varians minimum, maka berikut ini diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan varians minimum yakni :

2.3.2.1. Informasi Fisher

(29)

12

2.3.2.3. Cramer-Rao Lower Bound(CRLB) Definisi 2.6

Pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound didefinisikan sebagai berikut:

[ _] ( )

Jika adalah penduga takbias dari θ, maka k(θ)= θ, mengakibatkan pertidaksamaan Cramer-Rao Lower Bound dengan adalah sebagai berikut:

(Hogg and Craig,1995).

2.3.3. Konsisten

(30)

13 parameter (Casella and Berger, 2002).

2.4. Matriks Varians dan Kovarians Asimtotik dari Distribusi G3F dengan Metode Generalized Moment

(31)

14

Dimana :

 diperoleh dengan cara mencari turunan pertama terhadap parameter dan diperoleh dengan cara mencari turunan pertama terhadap parameter . Sedangkan dan diperoleh dari dan yakni dengan cara mengganti dengan .

 ₍ ̂ ) diperoleh dengan rumus [ ], sedangkan untuk

( ̂ ) diperoleh dari ( ̂ ) yakni dengan mengganti dengan .  ₍ ̂ ̂ ) diperoleh dengan rumus [ ]

(32)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2Metode Penelitian

Dalam penelitian ini, metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka dengan menggunakan buku-buku penunjang, skripsi, dan jurnal yang berhubungan dengan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Membuat grafik distribusi G3F dengan nilai parameter yang berubah menggunakan software R versi 3.1.2.

2. Mencari fungsi kumulatif (Cumulative Distribution Function) dari distribusi G3F.

3. Mencari bentuk peluang momen terboboti dari distribusi G3F.

4. Mencari penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi G3F dengan

(33)

16

5. Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi

G3F.

6. Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter (α,m1,m2) dari

distribusi G3F.

 Mencari matriks Informasi Fisher dari penduga (α,m1,m2) pada distribusi

G3F

 Mencari invers matriks Informasi Fisher dari penduga (α,m1,m2) pada

distribusi G3F

 Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga (α,m1,m2) pada distribusi G3F.

7. Memeriksa sifat kekonsistenan penduga parameter (α,m1,m2) dari distribusi

G3F.

(34)

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Perubahan nilai parameter mempengaruhi bentuk dari grafik distribusi Generalized F -3 parameter yang meliputi perubahan kelandaian ataupun kecuraman grafik dan perubahan serta pergeseran titik ekstrim (titik puncak) grafik.

2. Penduga parameter distribusi Generalized F-3 parameter dengan menggunakan metode Generalized Moment adalah

̂

_̂̂ ̂_̂

̂

_;

̂

[

̂

̂ ( _̂ ̂ ̂_̂ ̂ )

̂

]

(35)

(36)

DAFTAR PUSTAKA

Abramowitz,M. dan Stegun, I.A.1970. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications,New York.

Ashkar, F. dan Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized moments. Journal of Hidrology. 328, 694-703.

Bain, L. J. and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Brooks/Cole,Duxbury.

Casella,G. And Berger.R.L.2002.Statistical Inference.Second Edition.Thomson Learning Inc.,USA

Cox,C.2008.The generalized F distribution : An umbrella for parametric survival analysis. Statistic in Medicine.27,4301-4312.

Hall,A.R.2009.Generalized Method of Moments.The University of Manchester. Manchester, UK2.

Hogg, R. V. and Craig, A. T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Edisi kelima. Prentice-Hall Inc., New Jersey.

Larsen,R.J. and Marx,M.L.2012.An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications.Fifth Edition.Pearson Education Inc.,United States of America