PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER
DENGAN METODE JARINGAN SYARAF TIRUAN
HOPFIELD
Faradila Martha Devi
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER
DENGAN METODE JARINGAN SYARAF TIRUAN
HOPFIELD
SKRIPSI
Diajukan Kepada
Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Fakultas Sains dan Teknologi
Oleh:
Faradila Martha Devi
107094003053
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
PENGESAHAN UJIAN
Skripsi berjudul “Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield” yang ditulis oleh Faradila Martha Devi, NIM 107094003053 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif
Hidayatullah Jakarta pada hari Jumat, 25 November 2011. Skripsi ini telah
diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI
BENAR-BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN
SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI
ATAU LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, 25 November 2011
PERSEMBAHAN
Alhamdulillahirobbil’alamin, segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam
Skripsi ini saya persembahkan untuk Bapakku Achmad Saleh dan Ibuku
Khumayah, Kakak dan Adikku, keluarga besarku, dan Keluarga besar Prodi
Matematika, serta semua pihat yang terlibat di dalamnya.
Semoga selalu diridhoi Allah SWT, selalu dalam lindungan-Nya, serta selalu
dibukakan pintu rahmat, kasih sayang, dan hidayah-Nya
Amin
MOTTO
”Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, dan Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan” (Q.S.
Al-Insyiroh : 5-6)
Give the best to the world and the best will come to you
ABSTRAK
FARADILA MARTHA DEVI, Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield. Di bawah bimbingan
Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech danDrs. Slamet Aji Pamungkas, M.Eng.
Ada 2 cara menyelesaikan persamaaan nonlinier maupun sistem persamaan nonlinier, yaitu secara analitik dan numerik. Namun, ada persamaan ataupun sistem persamaan nonlinier tertentu, yang sulit diseleskan dengan penghitungan analitik, sehingga penghitungan numerik dapat menjadi solusi. Penghitungan numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan operasi hitungan, karena merupakan pendekatan terhadap nilai eksak maka diupayakan kesalahannya sekecil mungkin. Allah berfirman “Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan
menghitung mereka dengan hitungan yang teliti” (Q.S. Maryam/18: 94), dan penghitungan numerik merupakan penghitungan yang memerlukan ketelitian untuk menghidari kesalahan yang besar.
Salah satu kajian dalam metode numerik adalah menyelesaikan persamaan maupun sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield Modifikasi, dengan prinsip Reccurent Network. Berdasarkan latar belakang di atas, skripsi ini menjelaskan tentang langkah-langkah penyelesaian persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield yang dimodifikasi.
Jenis penelitian ini merupakan penelitian kepustakaan atau penelitian literatur yang bertujuan untuk mengumpulkan data dan informasi terkait persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier, jaringan syaraf tiruan Hopfield, serta dilengkapi simulasi numerik terhadap beberapa contoh penggunaaan metode ini pada beberapa kasus yang diberikan dengan bantuan
software.
Beberapa contoh persamaan dan sistem persamaan nonlinier telah diselesaikan dengan menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield modifikasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode Hopfield modifikasi akan selalu konvergen terhadap sembarang nilai awal, dan berbeda dengan metode
Newton-Raphson atau Secant yang harus memenuhi syarat “dekat” dengan solusi.
Namun, performa Newton-Raphson lebih baik dibandingkan Hopfield modifikasi, akan tetapi, waktu yang dibutuhkan kedua metode tidak siginifikan. Kelebihan lain dari Hopfield modifikasi adalah kemampuannya untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier satu variabel, yang dalam hal ini metode dasar, Newton-Raphson, Secant, Bisection tidak dapat digunakan.
ABSTRACT
There are two methods to solve nonlinear equation or system of nonlinear equations, which is analytic and numeric method. However, there are equation or system of certain nonlinear equations, which are difficult to solve with analytic, so that numerical calculations can be a solution. Calculation of numerical techniques to solve the problem is formulated mathematically, as an approximation the exact value, then pursued its mistake as small as possible. Allah says “Verily, Allah has determined the number of them and count them with a careful count” (Q.S
Maryam/18: 94), and numerical calculation is a calculation that requires precision to avoid large errors.
One study of numerical methods is to solve nonlinear equation or system of nonlinear equations using the method of modified Hopfield neural network, with the principle Recurrent Network. Based on the background, this paper describes the steps solving nonlinear equation or system of nonlinear equations using the Hopfield Neural Network methods are modified.
This type of research is a research library or research literature that aims to collect data and information related to nonlinear equation or system of nonlinear equations, Hopfield neural network, and equipped with numerical simulation of several examples of the use of this method in some cases provided with the help of software.
Some examples of nonlinear equation or system of nonlinear equations has been solved by using modified Hopfield neural network. The results showed that the modified Hopfield will always converge to arbitrary initial values, and different from the Newton-Raphson or Secant, which should qualify “close” to the
solution. However, the performance of Newton-Raphson better than Hopfield modification, however the time needed both methods is not significant. Another advantage of the Hopfield modification is its ability to solve systems of nonlinear equations one variable, which in this case the basic method, Newton-Raphson, Secant, Bisection can not be used.
Key words: Hopfield Neural Network, Recurrent, Nonlinear Equation and System of Nonlinear Equations
KATA PENGANTAR
ميح راا نمح راا ها مسب
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Alhamdulillah, Segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam, yang
senantiasa melimpahkan rahmat dan nikmat-Nya kepada kita semua, tak
terkecuali pada penulis, hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
“Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf
Tiruan Hopfield”. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, manusia biasa yang menjadi luar biasa karena kecerdasannya,
kemuliaan akhlaqnya, keluhuran budi pekertinya, dan insya Allah hingga di akhir
hidup nanti, sunnah-sunnah Rasulullah tetap subur.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat dorongan,
semangat, dan bimbingan serta kritikan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada
kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ayahanda dan Ibunda serta kakak dan adik yang selalu memberikan do’a,
kasih sayang, dukungan dan semangat yang tiada henti-hentinya,
2. Bapak Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M.Sis, Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta,
3. Ibu Yanne Irene, M.Si. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan
4. Bapak Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech., pembimbing I dan Bapak Drs. Slamet
Aji Pamungkas, M.Eng. selaku pembimbing II, yang bersedia dengan senang
hati membimbing serta mengarahkan penulis,
5. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si, sebagai penguji I,
6. seluruh dosen dan karyawan Proram Studi Matematika, yang telah
memberikan pengajaran dan ilmunya yang bermanfaat bagi penulis
7. sahabat-sahabat terbaikku selama mengenyam pendidikan di UIN Jakarta,
serta teman-teman se-angkatan dan seperjuangan serta semua pihak yang telah
membantu penulis.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kelemahan dan kekurangan yang
terdapat pada skripsi ini. Atas dasar itulah penulis memohon maaf yang
sebesar-besarnya kepada semua pihak jika terdapat kesalahan yang kurang berkenan.
Namun, saran dan kritik selalu penulis harapkan demi perbaikan pada penelitian
selanjutnya.
Akhir kata, harapan yang besar bahwa skripsi ini dapat bemanfaat dan
memberikan kontribusi yang berarti, baik bagi penulis khususnya dan bagi
pembaca umumnya.
Wassalamu’alaikum Warhmatullahi Wabaraktuh
Jakarta, 25 November 2011
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... ii
PENGESAHAN UJIAN ... iii
PERNYATAAN ... iv
PERSEMBAHAN DAN MOTTO ... v
ABSTRAK ... vi
ABSTRACT ... vii
KATA PENGANTAR ... viii
DAFTAR ISI ... x
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xiv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 4
1.3 Batasan Masalah... 4
1.4 Tujuan Penulisan ... 4
1.5 Metode Penelitian... 5
1.6 Sistematika Penulisan ... 6
BAB II LANDASAN TEORI ... 7
2.1 Persamaan Linier ... 7
2.2 Persamaan Nonlinier ... 9
2.3 Solusi Persamaan Nonlinier ... 10
2.3.2 Metode Newton-Raphson ... 12
2.3.3 Metode Secant ... 13
2.4 Jaringan Syaraf Tiruan ... 14
2.4.1 Jaringan Syaraf Tiruan ... 14
2.4.2 Arsitektur Jaringan ... 16
2.4.3 Metode Pembelajaran ... 20
2.4.4 Fungsi Aktivasi ... 21
BAB III JARINGAN HOPFIELD UNTUK PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER ... 25
3.1 Jaringan Hopfield ... 25
3.1.1 Jaringan Hopfield Diskrit ... 25
3.1.2 Jaringan Hopfield Kontinu ... 31
3.2 Jaringan Hopfield Modifikasi ... 32
3.3 Algoritma Hopfield untuk Penyelesaian Persamaan dan Sistem Persamaan Nonlinier ... 36
BAB IV APLIKASI JARINGAN HOPFIELD MODIFIKASI PADA PERSAMAAN DAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER ... 38
4.1 Persamaan Polinomial ... 38
4.1.1 Contoh Persamaan Polinomial Sederhana ... 38
4.1.2 Contoh Persamaan Polinomial Berderajat Tinggi ... 41
4.2 Sistem Persamaan Polinomial ... 47
4.2.1 Contoh Sistem Persamaan Polinomial ... 47
5.1 Kesimpulan ... 51
5.2 Saran ... 52
REFERENSI ... 53
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Penyelesaian persamaan x – 0.6 = 0 dengan dan yang berbeda ... 41
Tabel 4.2 Penyelesaian persamaan polinomial –
dengan
dan yang berbeda ... 46
Tabel 4.3 Penyelesaian sistem persamaan polinomial dengan dan yang berbeda
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Proses pembagian selang [a,b] dengan metode bagi dua ... 11
Gambar 2.2 Tafsiran geometri metode Newton-Raphson ... 12
Gambar 2.3 Metode Secant ... 14
Gambar 2.4 Komponen-komponen neuron ... 15
Gambar 2.5 Jaringan lapisan tunggal ... 16
Gambar 2.6 Jaringan lapisan jamak ... 18
Gambar 2.7 Jaringan recurrent ... 19
Gambar 2.8 Fungsi aktivasi identitas (linier) ... 21
Gambar 2.9 Fungsi aktivasi saturating linier ... 22
Gambar 2.10 Fungsi aktivasi symmetric saturating linier ... 22
Gambar 2.11 Fungsi aktivasi undak biner (hard limit) ... 22
Gambar 2.12 Fungsi aktivasi bipolar (symmetric hard limit) ... 23
Gambar 2.13 Fungsi aktivasi sigmoid biner ... 23
Gambar 2.14 Fungsi aktivasi sigmoid bipolar ... 24
Gambar 3.1 Contoh jaringan Hopfield ... 26
Gambar 3.2 Arsitektur jaringan Hopfield diskrit ... 28
Gambar 3.3 Arsitektur Hopfield untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ... 32
Gambar 3.4 Flowchart algoritma Hopfield untuk penyelesaian persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier ... 37
Gambar 4.1 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan nonlinier, Ax+B=0 ... 39
Gambar 4.3 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan nonlinier,
... 43
Gambar 4.4 Grafik Persamaan –
dengan dan
... 45
Gambar 4.5 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian sistem persamaan nonlinier
dengan pangkat tertinggi dua ... 48
BAB I PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
“Dan seandainya pohon-pohon di bumi menjadi pena dan lautan (menjadi
tinta), ditambahkan kepadanya tujuh lautan (lagi) setelah (kering)nya, niscaya
tidak akan habis-habisnya (dituliskan) kalimat-kalimat Allah” (Q.S Lukman: 27).
Menurut [1], kalimat-kalimat Allah yang terdapat pada penggalan ayat di atas
bermakna kekuasaan Allah hakikat segala sesuatu, ketentuan dan perkataan Allah,
dan juga termasuk di dalamnya ilmu serta segala macam ciptaan Allah. Allah
SWT menciptakan langit dan bumi dengan segala macam yang ada di dalamnya,
dari yang besar hingga yang kecil, tumbuh-tumbuhan yang beraneka ragam,
bintang-bintang yang ada di cakrawala dengan segala aturan, binatang yang paling
besar hingga ribuan bakteri yang paling halus, serta banyak lagi yang lain,
semuanya termasuk dalam kalimat Allah. Hal itu terbukti bahwa setiap harinya
bahkan hingga dalam hitungan detik, di seluruh belahan dunia science baik
teknologi, ilmu sosial, ataupun ilmu di bidang lainnya mengalami perkembangan.
Pada ayat yang lain, Allah menjelaskan bahwa semua diciptakan-Nya
dengan ukuran-ukuran tertentu, “karena sesungguhnya Allah telah menentukan
jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti” (Q.S
Maryam: 94). Karena itulah matematika hadir sebagai cabang ilmu yang
merepresentasikan kejadian pada dunia nyata ke dalam bentuk persamaan
digunakan untuk mendukung cabang ilmu lainnya. Namun, dalam
perkembangannya, tidak semua persamaan dapat dipecahkan dengan mudah,
secara analitik. Pada umumnya, persamaan yang mempunyai bentuk sederhana
dapat diselesaikan secara analitik, sedangkan persoalan yang muncul dalam dunia
nyata seringkali nonlinier serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit,
akibatnya penyelesaian secara analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak
dapat diterapkan lagi, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari
dengan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk
memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan
operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) [2].
Di bangku perkuliahan, telah diajarkan beberapa metode numerik untuk
mencari solusi persamaan nonlinier diantaranya metode bagi dua (Bisection),
Newton-Raphson, Secant. Namun, metode tersebut masih memiliki kelemahan,
seperti metode bagi dua (Bisection) yang tidak dapat digunakan untuk persamaan
dengan akar ganda, metode Newton-Raphson dan Secant yang tidak selalu
konvergen, jika mengambil nilai awal yang salah. Sekalipun telah dilakukan
beberapa perbaikan pada metode-metode tersebut, para peneliti masih melakukan
penelitian guna mencari metode yang paling efektif dalam penyelesaian
persamaan nonlinier.
Saat ini, cabang ilmu kecerdasan buatan (Artificial Intelligence) juga
sedang mengalami perkembangan yang cukup signifikan. Termasuk di dalamnya
Logika Fuzzy (Fuzzy Logic), Sistem Pakar (Expert System), Algoritma Genetika,
sistem otak manusia ke dalam sistem komputer. Dengan cara ini diharapkan pada
suatu saat nanti akan dapat tercipta suatu komputer yang dapat menimbang dan
mengambil keputusannya sendiri sebagaimana layaknya manusia. Sebuah jaringan
saraf tiruan adalah sebuah prosesor yang terdistribusi paralel dan mempuyai
kecenderungan untuk menyimpan pengetahuan yang didapatkannya dari
pengalaman dan membuatnya tetap tersedia untuk digunakan [3].
Jaringan Syaraf Tiruan mengalami perkembangan sejak 1940-an: para
ilmuan, menemukan bahwa psikologi otak sama dengan mode pemrosesan yang
dilakukan oleh peralatan komputer, 1960: Widrow dan Hoff [4] menemukan
Adaline, model yang dapat beradaptasi dan beroperasi secara linier, 1974: Werbos
[5] memperkenalkan algoritma backpropagation untuk melatih perceptron dengan
banyak lapisan, hingga 1982: Hopfield [6] memperkenalkan recurrent network,
kemampuan untuk mengingat/menghubungkan suatu objek dengan objek yang
pernah diingat/dikenal sebelumnya, dan salah satu aplikasinya Travelling
Salesman Problem (TSP) [7], untuk masalah optimasi. Karena prinsip recurrent
network, pada penelitian ini, penulis menggunakan metode Hopfiled, dengan judul
“Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf
Tiruan Hopfield”, yang diangkat dari [8], Jurnal Engineering dengan judul
“Modified Hopfield Neural Network Approach for Solving Nonlinear
Algebraic Equations”, ditulis oleh Deepak Mishra dan Prem K. Kalra, pada
tahun 2007. Adapun penelitian sebelumnya yang juga menggabungkan antara
Kecerdasan Buatan dengan pencarian solusi persamaan nonlinier, diantaranya
metode Algoritma Genetika tersebut belum bisa menyelesaiakan untuk kasus
sistem.
1.2Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan, rumusan masalah
dalam penulisan ini antara lain:
a. bagaimana solusi persamaan serta sistem persamaan nonlinier dengan metode
Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield Modifikasi?
b. bagaimana analisa konvergensi dan akurasi Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield
Modifikasi dalam menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan nonlinier?
1.3 Batasan Masalah
Ruang lingkup pembahasan dalam skripsi ini adalah persamaan nonlinier
polinomial serta sistem persamaan nonlinier polinomial satu variabel non
transenden, dengan batasan interval domain dari solusinya adalah antara 0 sampai
1.
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui solusi persamaan dan
sistem persamaan nonlinier dengan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield,
Modifikasi serta mengetahui konvergensi dan akurasi Jaringan Syaraf Tiruan
Hopfield Modifikasi dalam menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dan simulasi
numerik. Studi literatur adalah melakukan penelusuran dengan penelaahan
terhadap beberapa literatur yang mempunyai relevansi dengan topik pembahasan
[9]. Simulasi numerik adalah simulasi penggunaan metode Jaringan Syaraf
Hopfield modifikasi dalam menyelesaikan persamaan serta sistem persamaan
nonlinier dengan software. Langkah umum dalam penulisan ini adalah: a. merumuskan masalah,
b. mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca dan
memahami literatur yang berkaitan dengan Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield,
dan penyelesaian persamaan nonlinier yang telah dipelajari,
c. melakukan pembahasan dengan menguraikan langkah-langkah penyelesaian
persamaan nonlinier serta sistem persamaan nonlinier menggunakan metode
Jaringan Syaraf Hopfield Modifikasi,
d. memberikan contoh dan penyelesaiannya dari persamaan nonlinier serta
sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Hopfield
Modifikasi menggunakan Matlab 7.1, dan
1.6 Sistematika Penulisan
Skripsi ini menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut:
BAB I, berisi tentang pendahuluan yang terdiri dari latar belakang
masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode penelitian,
dan sistematika penulisan,
BAB II, berisi tentang kajian teori yang terdiri dari Persamaan Linier dan
Nonlinier serta sistem Persamaan, Solusi Persamaan Nonlinier, Jaringan Syaraf
Tiruan secara umum,
BAB III, berisi tentang pembahasan Jaringan Syaraf Hopfield Biasa dan
Jaringan Syaraf Hopfield yang telah dimodifikasi, serta langkah-langkah
penerapannya dalam menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan
nonlinier,
BAB IV, berisi contoh penerapan Jaringan Syaraf Hopfield yang telah
dimodifikasi dalam menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan
nonlinier serta analisis penyelesaiannya,
BAB V, berisi penutup yang terdiri dari kesimpulan penerapan Jaringan
Syaraf Hopfield yang telah dimodifikasi dalam menyelesaikan persamaan
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Linier
Sebuah garis dalam dimensi dua dapat disajikan dalam bentuk aljabar
dengan sebuah persamaan berbentuk
. (2.1)
Persamaan ini disebut persamaan linier dalam peubah dan [10]. Secara lebih
umum, persamaan linier didefinisikan dalam peubah sebagai suatu
persamaan yang dapat disajikan dalam bentuk
. (2.2)
dengan koefisien, dan konstanta, .
Contoh persamaan linier:
a. ,
b. .
Penyelesaian dari persamaan (2.2) adalah barisan bilangan
sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, jika disubstitusikan nilai
.
Sebuah sistem dari buah persamaan-persamaan linier disebut sistem
persamaan linier. Sistem persamaan linier dengan peubah
(2.3)
dengan koefisien, , dan konstanta, . Dalam
notasi matriks, persamaan (2.3) ditulis sebagai persamaan matriks
(2.4)
dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier tersebut menjadi
. =
dengan penyelesaian , karena nilai-nilai ini memenuhi
kedua persamaan di atas.
2.2Persamaan Nonlinier
Persoalan mencari solusi persamaan nonlinier dapat dirumuskan sebagai
berikut: adalah himpunan solusi dari
(2.5)
jika untuk setiap sedemikian sehingga sama dengan nol.
Persamaan nonlinier yang melibatkan fungsi transenden, diantaranya
sinus, cosinus, eksponensial, logaritma, misalnya:
a.
b. dalam bidang fisika, kecepatan ke atas sebuah roket dapat dihitung dengan
persamaan:
dengan kecepatan ke atas, kecepatan saat bahan bakar dikeluarkan,
massa awal roket, laju pemakaian bahan bakar, percepatan gravitasi,
waktu,
c. suatu arus osilasi dalam rangkaian listrik
dengan waktu, dan arus.
Selain itu, persamaan nonlinier juga melibatkan fungsi non transenden, yaitu
persamaan polinomial. Bentuk umum persamaan polinomial satu variabel
Contoh persamaan polinomial:
a. satu variabel, , ,
b. dua variabel, dan , .
Sistem dengan n buah persamaan nonlinier, yang harus diselesaikan secara simultan dalam suatu sistem disebut sitem persamaan nonlinier. Dalam
matematika, salah satu masalah penyelesaian sistem persamaan nonlinier
diaplikasikan dalam mencari titik potong antara 2 kurva, misalnya kurva parabola
( ) dan elips ( ). Hingga diperoleh solusi
(-0.2, 1) dan (1.9, 0.3), yang memenuhi 2 kurva tersebut. Bentuk umum sistem
persamaan nonlinier dapat ditulis sebagai berikut:
. (2.7)
Pada persamaan (2.7), (.) adalah fungsi dari variabel-variabel
dan adalah bilangan real konstan. Penyelesaian
sistem persamaan (2.7) adalah himpunan dimana dan memenuhi
, untuk setiap .
2.3Solusi Persamaan Nonlinier
Prinsip fundamental dalam ilmu komputer (computer science) adalah iterasi. Iterasi adalah proses yang berulang hingga jawaban ditemukan. Teknik
iterasi biasa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan, solusi sistem
persamaan linier dan nonlinier, dan solusi persamaan differensial. Berikut ini
2.3.1 Metode Bagi Dua (Bisection Method)
Metode bagi dua memerlukan selang , sehingga . Pada
setiap kali iterasi selang dibagi 2, dengan rumus
dengan (2.8)
Gambar 2.1 Proses pembagian selang [a,b] dengan metode bagi dua
Setelah didapatkan nilai , akan dilakukan 3 pemeriksaan kondisi, apakah:
a. , maka c adalah akar persamaan, atau
b. , maka akan terbentuk selang baru , atau
c. , maka akan terbentuk selang baru .
Jika selang baru yang terbentuk, prosedur iterasi akan dilanjutkan untuk mencari
nilai yang baru. Namun, metode ini memiliki 2 kelemahan.
a. Jumlah akar lebih dari satu
Bila dalam selang terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar
ganjil), hanya satu buah akar yang akan ditemukan
b. Akar ganda
Metode ini tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan
karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang baru.
2.3.2 Metode Newton-Raphson
Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson.
a. Penurunan rumus secara geometri
Gambar 2.2 Tafsiran geometri metode Newton-Raphson
Gambar 2.2, menunjukkan gradien garis singgung di adalah
(2.9)
atau
dengan (2.10)
sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah
dengan (2.11)
b. Penurunan rumus dengan bantuan deret Taylor
Deret Taylor:
(2.12)
yang bila dipotong sampai suku orde-2 saja menjadi
(2.13)
dan karena persoalan mencari akar, maka , sehingga
atau
dengan (2.14)
yang merupakan rumus metode Newton-Raphson.
Kondisi berhenti iterasi Newton-Raphson adalah bila
(2.15)
atau bila menggunakan galat relatif hampiran
(2.16)
dengan dan telah ditetapkan sebelumnya. Terdapat beberapa catatan terkait
metode ini, antara lain:
a. jika terjadi , perhitungan iterasi diulang kembali dengan nilai awal,
yang lain,
b. jika persamaan memiliki lebih dari satu akar, pemilihan yang
berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain,
c. dapat memungkinkan terjadi iterasi konvergen ke akar yang berbeda dari yang
diharapkan.
2.3.3 Metode Secant
Prosedur iterasi metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi, . Akan tetapi, tidak semua fungsi mudah dicari turunannya,
terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan
Gambar 2.3 Metode Secant
Berdasarkan gambar 2.3, gradien dapat dihitung
(2.17)
Substitusi persamaan (2.17) ke dalam rumus Newton-Raphson, persamaan (2.14)
sehingga diperoleh
(2.18)
yang merupakan prosedur iterasi metode secant. Dalam hal ini, diperlukan dua buah tebakan awal akar, yaitu dan . Kondisi berhenti iterasi sama dengan
metode Newton-Raphson, menggunakan persamaan (2.15) atau (2.16).
2.4 Jaringan Syaraf Tiruan 2.4.1 Jaringan Syaraf Tiruan
Otak manusia memiliki struktur yang sangat kompleks dan memiliki
kemampuan luar biasa. Otak terdiri dari jaringan-jaringan syaraf (neuron) dan
penghubung yang disebut sinapsis. Neuron bekerja berdasarkan impuls/sinyal
listrik yang diberikan pada neuron dan melanjutkannya pada neuron lain.
Diperkirakan manusia memiliki neuron dan sinapsis [11]. Sehingga
tubuh dengan kecepatan yang lebih tinggi dibandingkan komputer. Sebagai
perbandingan, pengenalan wajah seseorang yang sedikit berubah (misalnya
memakai topi) akan lebih cepat dilakukan manusia dibandingkan komputer. Kerja
otak yang luar biasa merupakan salah satu mahakarya dari Sang Pencipta, yang
sesuai dengan penggalan ayat “sungguh, Kami telah menciptakan manusia dalam bentuk sebaik-baiknya” (Q.S At-Tin: 4).
Neuron memiliki 3 komponen penting yaitu dendrit, soma dan axon.
Dendrit menerima sinyal dari neuron lain. Berikutnya, soma menjumlahkan semua
sinyal-sinyal yang masuk. Kalau penjumlahan tersebut cukup kuat dan melebihi
batas ambang (threshold), maka sinyal tersebut akan diteruskan ke sel lain melalui axon. Gambar 2.4 menunjukkan komponen-komponen neuron.
Gambar 2.4 Komponen-komponen neuron, gambar di atas dari [11].
Jaringan syaraf tiruan merupakan salah satu representasi buatan dari otak
manusia yang selalu mencoba untuk mensimulasikan proses pembelajaran
terhadap pengetahuan/pengalaman pada otak manusia. Hal ini menyerupai kerja
otak dalam dua hal yaitu: neuron memperoleh pengetahuan melalui suatu proses
belajar dan kekuatan hubungan antar neuron yang dikenal dengan bobot sinapsis
digunakan untuk menyimpan pengetahuan [3]. Oleh karena itu,
komponen-komponen pada jaringan syaraf, antara lain:
b. adanya hubungan antara neuron-neuron tersebut, yang berfungsi mentransfer
sinyal informasi,
c. penghubung antar neuron memiliki bobot yang akan memperkuat/
memperlemah sinyal, dan
d. untuk menentukan output, setiap neuron menggunakan fungsi aktivasi.
Dengan demikian, jaringan syaraf tiruan ditentukan oleh 3 hal:
a. arsitektur jaringan, yaitu pola hubungan antar neuron,
b. metode training/learning/algoritma, yaitu metode untuk menentukan bobot
penghubung, dan
c. fungsi aktivasi
2.4.2 Arsitektur Jaringan
Arsitektur jaringan yang sering dipakai dalam jaringan syaraf tiruan terdiri
dari 3 macam.
a. Jaringan Lapisan Tunggal (Single Layer Network)
Dalam jaringan ini, sekumpulan input neuron dihubungkan langsung
dengan sekumpulan outputnya.
Gambar 2.5 Jaringan Lapisan Tunggal
menyatakan bobot hubungan antara neuron input ke-i dengan neuron output ke-j.
Semua neuron input dihubungkan dengan semua neuron output, meskipun dengan
bobot yang berbeda-beda. Tidak ada neuron input yang dihubungkan dengan
neuron input lainnya. Demikian pula dengan neuron output. Contoh perhitungan
jaringan syaraf tiruan lapisan tunggal: diberikan jaringan dengan satu input dan
satu output
output yang diinginkan = 1, konstanta belajar , dengan fungsi aktivasi
undak biner (hardlimit)
langkah 1: menghitung penjumlahan bobot
,
langkah 2: hitung fungsi aktivasi
karena u = -7 < 0, maka f(u) = 0,
langkah 3: perubahan bobot
langkah 4: ulang kembali langkah ke-1 sampai ke-3, hingga output yang
dihasilkan sama dengan target, dengan menggunakan bobot yang telah
diperbaharui.
2
-1
input output
b. Jaringan Lapisan Jamak (Multi Layer Network)
Dalam jaringan ini, selain neuron input dan output, ada neuron lain yang
sering disebut lapisan tersembunyi (hidden layer).
Gambar 2.6 Jaringan Lapisan Jamak
Gambar 2.6 menunjukkan jaringan dengan buah neuron input ,
buah neuron tersembunyi dan buah neuron output
.
c. Jaringan Recurrent
Jaringan recurrent adalah jaringan yang mengakomodasi output jaringan untuk menjadi input pada jaringan yang sama dalam rangka menghasilkan output
jaringan berikutnya, sehingga akan menjadikan jaringan rileks dalam keadaan
stabil karena tidak adanya masukan dari luar [12]. Jaringan recurrent mempunyai buah neuron input, buah neuron tersembunyi dan buah neuron output,
seperti pada jaringan feedforward, yang membedakan adalah jaringan recurrent
setidaknya memiliki satu loop umpan balik, yaitu ketika output neuron kembali ke
Gambar 2.7 Jaringan Recurrent
Pada gambar 2.7, terlihat adanya lapisan konteks (context layer), yang terdiri dari beberapa node. Lapisan inilah yang menerima output dari lapisan tersembunyi, dan mengembalikannya kembali ke lapisan tersebut sebagai input. Lapisan
konteks diperlukan ketika belajar pola-pola dari waktu ke waktu, yaitu ketika nilai
sebelumnya berpengaruh untuk nilai selanjutnya. Karena itulah, jaringan
recurrent dapat dilihat sebagai upaya menggabungkan antara waktu dan memori pada jaringan syaraf tiruan. Ada 2 jaringan yang menggunakan prinsip jaringan
Recurrent, yaitu jaringan Hopfield [13] dan jaringan Elman [14]. Contoh perhitungan jaringan recurrent
2
-1
input output
bias
dengan satu input dan satu output, serta fungsi aktivasi undak biner (hardlimit). Langkah 1: menghitung penjumlahan bobot
,
langkah 2: hitung fungsi aktivasi; karena u = -7 < 0, maka f(u) = 0, yang akan menjadi input kembali,
langkah 3: ulang kembali langkah ke-1 dan ke-2; menghitung penjumlahan bobot,
dengan kondisi yang baru
,
hitung fungsi aktivasi; karena , maka , dan proses
iterasi berhenti karena .
2.4.3 Metode Pembelajaran
Berdasarkan cara memodifikasi bobotnya, ada 2 macam metode
pembelajaran:
a. dengan pelatihan (supervised)
Terdapat sejumlah pasangan data (masukan-target keluaran) yang dipakai
untuk melatih jaringan hingga diperoleh bobot yang diinginkan. Pada setiap kali
pelatihan, suatu input diberikan ke jaringan. Jaringan akan memproses dan
mengeluarkan output. Selisih antara output dengan target (output yang diinginkan)
merupakan kesalahan yang terjadi. Jaringan akan memodifikasi bobot sesuai
b. tanpa pelatihan (unsupervised)
Pada pembelajaran tanpa pelatihan ini, tidak ada pasangan data
(masukan-target keluaran) yang diberikan ke jaringan. Perubahan bobot jaringan dilakukan
berdasarkan parameter tertentu dan jaringan dimodifikasi menurut ukuran
parameter tersebut.
2.4.4 Fungsi Aktivasi
Dalam jaringan syaraf tiruan, fungsi aktivasi digunakan untuk menentukan
output suatu neuron. Fungsi aktivasi dibagi menjadi 3 kategori.
a. Fungsi identitas (linear)
Fungsi identitas memiliki nilai output yang sama dengan nilai inputnya,
yang ditunjukkan Gambar 2.8. Fungsi identitas dirumuskan sebagai:
. (2.20)
Matlab mengenal fungsi aktivasi identitas sebagai purelin.
Gambar 2.8 Fungsi aktivasi identitas (linear)
Fungsi identitas dibagi menjadi dua, yaitu:
1. fungsi saturating linear
Fungsi Saturating Linear dirumuskan sebagai:
Gambar 2.9 Fungsi aktivasi saturating linier
Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai satlin. 2. fungsi symetric saturating linear
Fungsi Symmetric Saturating Linear dirumuskan sebagai:
(2.22)
Gambar 2.10 Fungsi aktivasi symmetric saturating linier
Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai satlins. b. Fungsi threshold
Fungsi Undak Biner (hard limit)dirumuskan sebagai:
(2.23)
Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai hardlim. 2. fungsi bipolar (symmetrichard limit)
Fungsi Bipolar (symmetric hard limit)dirumuskan sebagai:
(2.24)
Gambar 2.12 Fungsi aktivasi bipolar (symmetric hard limit)
Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai hardlims.
c. Fungsi sigmoid
Fungsi sigmoid dibagi menjadi dua, yaitu: 1. fungsi sigmoid biner
(2.25)
dengan: . Fungsi ini sering digunakan untuk jaringan
syaraf yang membutuhkan nilai output pada interval 0 sampai 1. Namun, fungsi
ini bisa juga digunakan oleh jaringan syaraf yang nilai outputnya 0 atau 1. Matlab
mengenal fungsi aktivasi ini sebagai logsig.
2. fungsi sigmoid bipolar
Fungsi sigmoid bipolar hampir sama dengan fungsi sigmoid biner, hanya saja outputnya memiliki range antara 1 sampai -1.
Gambar 2.14 Fungsi aktivasi sigmoid bipolar
Fungsi Sigmoid Bipolar dirumuskan sebagai:
(2.26)
dengan: . Matlab mengenal fungsi aktivasi
BAB III
JARINGAN HOPFIELD UNTUK PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER
3.1 Jaringan Hopfield
Hopfield pertama kali diperkenalkan oleh John Hopfield pada tahun 1982
[6]. Hopfield merupakan jaringan syaraf dengan pelatihan tak terbimbing
(unsupervised learning).
3.1.1Jaringan Hopfield Diskrit
Pada [6], John Hopfield memperkenalkan arsitektur jaringan yang
kemudian dikenal sebagai jaringan Hopfield. John Hopfield menjabarkan
bagaimana kemampuan komputasi dapat dibangun dari jaringan yang terdiri dari
komponen-komponen yang menyerupai neuron, atau dengan kata lain John
Hofield mengadaptasi aspek neurobiologi ke dalam bentuk rangkaian listrik.
Unit pengolah (processing device) pada jaringan Hopfield disebut neuron. Setiap neuron mempunyai sebuah nilai aktifitas atau keadaan (kondisi) bersifat
biner, yaitu dan [15]. Ketika neuron i mempunyai hubungan ke
neuron j, maka kekuatan hubungan tersebut didefinisikan sebagai . Jika neuron
tidak memiliki hubungan, Kondisi jaringan dapat berubah setiap waktu
sesuai dengan perubahan kondisi pada tiap neuron.
Jaringan Hopfield merupakan jaringan syaraf tiruan yang terhubung penuh
neuron mempunyai hubungan dalam dua arah. Topologi hubungan ini mempunyai
jaringan yang bersifat recursive karena keluaran dari tiap neuron memberikan masukan ke neuron yang lain pada lapisan yang sama.
Gambar 3.1 Contoh Jaringan Hopfield
Gambar 3.1 menunjukkan sebuah jaringan Hopfield dengan neuron yang
terhubung satu sama lain. Berikut bobot-bobot tersebut digambarkan sebagai
vektor W:
.
Bobot-bobot yang terletak pada diagonal utamanya adalah nol, yang menunjukkan
bahwa neuron-neuron pada jaringan Hopfield tidak memiliki hubungan dengan
dirinya sendiri, ; , dan bobot-bobot simetris, di mana
Interpretasi biologi dari model
Informasi biologi dikirim ke neuron lain rata-rata membutuhkan waktu
yang cepat. Lintasan paralel yang membawa informasi yang sama akan
meningkatkan kemampuan sistem untuk mengekstraksi ke waktu yang lebih cepat
dari rata-rata.
Keterlambatan pada transmisi sinaptik dan pada transmisi impuls
sepanjang akson dan dendrit menghasilkan suatu keterlambatan diantara input dan
output suatu neuron. Input pada setiap neuron berasal dari arus yang keluar dari
sinapsis ke neuron, yang mempengaruhi suatu sel, dinamakan potensial soma, .
Sinapsis diaktifkan oleh potensial atau tegangan yang masuk. Input sel ke-i
didefinisikan
(3.1)
dengan representasi kekuatan hubungan sinapsis dari neuron i ke neuron j.
Input setiap neuron ke-i, berasal dari dua sumber, arus dari luar (external current) dan input dari neuron lain didefinisikan
(3.2)
Jaringan Hopfield diberikan satu atau lebih vektor input sebagai kondisi
awal jaringan, kemudian jaringan akan merespon untuk menghasilkan suatu
output. Pada dasarnya, algoritma Hopfield akan mencoba untuk menstabilkan
Gambar 3.2 Arsitektur Jaringan Hopfield Diskrit
Gambar 3.2 menunjukkan pengolahan dasar yang dilakukan oleh neuron
jaringan Hopfield biner selama prosedur pembaharuan. Setiap neuron mengambil
penjumlahan bobot dari input-inputnya, sesuai persamaan berikut:
(3.3)
dengan
= proses
= neuron
= bobot neuron ke ,
= neuron input ke ,
= neuron output ke ,
= nilai bias jaringan ke ,
= hasil proses dari neuron input.
Kemudian diproses oleh fungsi transfer, sehingga menghasilkan , ,
yang akan kembali menjadi input jaringan dan dikalikan dengan . Jaringan
Hopfield diskrit menggunakan fungsi aktivasi monoton naik, yaitu satlins
+
(symmetric saturated linear transfer function) [12], yang ditunjukkan pada persamaan (2.22), namun ada juga yang menggunakan fungsi transfer hardlim
[17], yang ditunjukkan pada persamaan (2.23). Contoh perhitungan jaringan
Hopfield
dengan dua input dan satu output, serta fungsi aktivasi undak biner (hardlimit). Langkah 1: menghitung penjumlahan bobot
,
langkah 2: hitung fungsi aktivasi; karena u = -4 < 0, maka f(u) = 0, yang akan masuk ke neuron input ke-1,
langkah 3: ulang kembali langkah ke-1 dan ke-2; menghitung penjumlahan bobot,
dengan kondisi yang baru neuron input ke-1
,
hitung fungsi aktivasi; karena , maka ,
langkah 4: ulang kembali langkah ke-1 dan ke-2; menghitung penjumlahan bobot,
dengan kondisi neuron input ke-2, yang setelah penjumlahan bobot, menghasilkan
Tiap kondisi dari jaringan Hopfield mempunyai fungsi energi yang
didefinisikan dengan:
. (3.4)
Fungsi energi ini adalah fungsi objektif yang diminimalkan oleh jaringan.
Pembaharuan kondisi dari jaringan merupakan prosedur konvergen dimana energi
dari keseluruhan jaringan akan menjadi semakin kecil. Pada akhirnya jaringan
akan berada pada kondisi stabil, saat energi berada pada nilai minimum.
Berikut ini adalah uraian prosedur pembaharuan akan mengurangi energi
atau memmbuatnya bernilai tetap. Misalkan neuron j adalah neuron yang akan diperbaharui, maka energi
. (3.5)
Ketika neuron j diperbaharui, jika tidak terdapat perubahan kondisi, maka energi akan tetap sama. Jika terjadi perubahan kondisi maka perbedaan energi
adalah:
(3.6)
dengan . Jika berubah menjadi lebih besar nilainya, maka
, dan setelah pembaharuan , maka . Jika berubah
menjadi lebih kecil nilainya, maka , dan setelah pembaharuan
3.1.2Jaringan Hopfield Kontinu
Pada tahun 1984, Hopfield mengembangkan rancangan jaringan biner
sehingga neuron-neuron dapat memperhitungkan nilai-nilai kontinu [18].
Pengembangan dari jaringan Hopfield ini adalah jaringan Hopfield kontinu. Kerja
jaringan Hopfield kontinu ini menyerupai kerja jaringan diskrit, tetapi jaringan ini
mempunyai kemampuan lebih karena tidak dibatasi pada nilai biner (0 dan 1) dan
arsitekturnya lebih kompleks. Perbedaannya fungsi aktivasi yang digunakan
adalah fungsi logsig (fungsi sigmoid), yang ditunjukkan pada persamaan (2.25). Dalam jaringan Hopfield kontinu, arsitektur dari jaringan ditentukan
sehingga perubahan neuron-neuronnya setiap saat digambarkan secara kontinu.
Pada sistem biologi, kapasitansi C membran sel, transmembran hambatan R, dan hambatan sinapsis antara neuron dan . Sehingga terdapat sebuah persamaan
hambatan-kapasitansi (RC) yang menentukan perubahan dari .
. (3.7)
merepresentasikan arus masuk listrik ke sel i karena potensial dari sel j. Persamaan energinya adalah:
. (3.8)
3.2 Jaringan Hopfield Modifikasi
Jaringan Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier,
menggunakan prinsip jaringan Hopfield kontinu, karena nilai input dan output
yang diharapkan pada jaringan tidak hanya biner (0 atau 1), tetapi juga bilangan
riil (antara 0 sampai 1).
Jumlah neuron pada jaringan sama dengan jumlah variabel yang akan
dicari solusinya. Hubungan antar neuron pada jaringan Hopfield modifikasi untuk
menyelesaikan persamaan nonlinier bergantung pada hubungan antar variabel
persamaan dengan koefisien, yang diturunkan sebagai bobot pada jaringan.
Hubungan antar variabel pada persamaan nonlinier merupakan hubungan
nonlinier, karena itulah jaringan Hopfield harus dimodifikasi. Arsitektur jaringan
Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ditunjukkan pada
gambar 3.3.
Gambar 3.3 menunjukkan sistem sebanyak neuron yang saling berhubungan
nonlinier. Unit-unit pengolah atau neuron dimodelkan sebagai amplifier dengan hubungan input-output nonlinier, yang ditunjukkan pada gambar sebagai fungsi
aktivasi, Fungsi ini diasumsikan dapat diturunkan, dan monoton
naik. Fungsi aktivasi yang paling umum adalah fungsi sigmoid, yaitu:
(3.9)
dengan potensial atau tegangan masuk, tegangan keluar. Setiap amplifier
mempunyai sebuah hambatan R, dan sebuah kapasitor C, yang terhubung dengan ke tanah. Pada rangkaian RC juga terdapat arus dari luar, dapat menjadi nilai bias,
yang secara efektif sebagai nilai masalah yang spesifik yang sesuai data pada
masalah.
Hubungan nonlinier pada neuron, yaitu menggabungkan perkalian dan
penjumlahan linier. Hal ini dilihat pada gambar, proses product (perkalian) menghasilkan fungsi , dimana . Fungsi adalah
kombinasi dari peubah Output dari neuron perkalian secara
linier dikalikan dengan bobot , yang merupakan arus-arus masuk,
melalui resistor-resistor konduktansi , yang menghubungkan antara
neuron i dan neuron j, atau kekuatan sinapsis.
Berdasarkan Hukum Kirchoff I [19], jumlah arus listrik yang masuk ke
suatu titik simpul sama dengan jumlah arus listrik yang keluar dari titik simpul
tersebut. Hukum Kirchoff I secara matematis dapat dituliskan sebagai
Arus listrik adalah gerakan atau aliran muatan listrik. Muatan listrik dalam
rangkaian, didefinisikan sebagai
, (3.11)
dengan muatan listrik, kapasitansi, dan tegangan listrik. Dalam suatu selang
waktu ( ), arus listrik yang mengalir
(3.12)
Karena pada rangkaian terdapat hambatan , maka berlaku Hukum Ohm [20]
atau . (3.13)
Jadi, arus listrik total yang bergerak pada rangkaian RC tersebut adalah
, (3.14)
maka perubahan arus listrik I dalam setiap satuan waktu t
. (3.15)
Pada permasalahan ini, tegangan V adalah , yang merupakan input pada
neuron-j, dan berdasarkan persamaan (3.7), arus yang masuk ke amplifier, yang
Sama halnya dengan jaringan Hopfield biasa yang mempunyai fungsi
energi, dimana fungsi energi akan menjadi semakin kecil (
pembaharuan kondisi pada jaringan. Oleh karena itu, dalam rangka memecahkan
masalah, yang berupa persamaan atau sistem persamaan nonlinier, dengan metode
Hopfield modifikasi, masalah harus diformulasikan ke fungsi energi. Fungsi
energi jaringan Hopfield pada masalah ini didefinisikan:
. (3.18)
yang merupakan fungsi energi, untuk memformulasikan persamaan atau sistem
persamaan nonlinier. Jika formulasi fungsi energi tepat, maka fungsi energi dapat
digunakan untuk mendapatkan nilai bobot dan bias dari jaringan, dengan cara
membandingkan persamaan (3.20) dengan persamaan (3.16).
Perubahan kondisi jaringan dalam rangka mencari solusi, sesuai perubahan
Simulasi numerik jaringan dengan bobot dan bias yang telah didapatkan, akan
menghasilkan solusi yang diinginkan hingga prosedur konvergen terpenuhi.
Secara numerik, simulasi jaringan menggunakan metode Euler:
(3.22)
3.3 Algoritma Hopfield untuk Penyelesaian Persamaan dan Sistem Persamaan Nonlinier
Penyelesaian persamaan atau sistem persamaan nonlinier polinomial
terdiri dari beberapa tahapan:
a. formulasikan persamaan atau sistem persamaan nonlinier polinomial dalam
bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20),
b. differensialkan persamaan fungsi energi yang didapatkan, sesuai dengan
persamaan (3.21), untuk mendapatkan persamaan Hopfield, sehingga dapat
ditentukan nilai bobot dan bias pada jaringan,
c. inisialisasi nilai-nilai awal pada , dan ,
d. lakukan simulasi dengan Metode Euler persamaan (3.22) untuk
memperbaharui ,
e. perbaharui nilai , dengan persamaan (3.9),
f. lakukan langkah d dan e hingga syarat terpenuhi.
start
Gambar 3.4 FlowchartAlgoritma Hopfield untuk penyelesaian persamaan dan sistem
persamaan nonlinier
9 2
BAB IV
APLIKASI JARINGAN HOPFIELD MODIFIKASI PADA PERSAMAAN DAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER
Pada bab ini akan dibahas mengenai penerapan jaringan Hopfield
modifikasi serta langkah-langkahnya dalam menyelesaikan contoh persamaan dan
sistem persamaaan nonlinier yang diberikan.
4.1 Persamaan Polinomial
4.1.1 Contoh Persamaan Polinomial Sederhana
Diberikan persamaan polinomial berderajat 1,
(4.1)
dengan , dan . Untuk persamaan di atas akan diselesaikan
dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi.
Langkah 1: Memformulasikan persamaan nonlinier polinomial (4.1) dalam bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)
= (4.2)
Langkah 2: Menurunkan persamaan fungsi energi (4.2), sesuai dengan persamaan (3.21)
untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk :
Bandingkan persamaan (4.3) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk persamaan
berpangkat tertinggi 1
Jadi, didapat dan , yang akan digunakan
sebagai bobot dan nilai bias pada jaringan. Gambar 4.1 menunjukkan arsitektur
jaringan Hopfield untuk penyelesaian persamaan nonlinier kasus ini.
W1
Langkah 4: Melakukan simulasi menggunakan Metode Euler, persamaan (3.22)
untuk memperbaharui nilai
Langkah 5: Memperbaharui nilai , dengan persamaan (3.9)
Langkah 6: Mengulang langkah 4 dan 5 hingga syarat terpenuhi Iterasi ke-1
dan , = 1
dilakukan memperkecil eror dan konvergen ke arah .
Percobaan juga dilakukan dengan nilai dan yang berbeda, kemudian
dibandingkan dengan penyelesaian persamaan menggunakan metode Bisection, yang dapat dilihat pada tabel 4.1.
Tabel 4.1 Penyelesaian persamaan – dengan dan yang berbeda
Nilai Persamaan (4.1) Banyak Iterasi Eror
0.3 0 0.6 106
-1.5 0.25 0.6 118
dengan metode Bisection
Nilai Persamaan (4.1) Banyak Iterasi Eror
0.3 1 0.6 - 45
-1.5 2 0.6 - 47
Berdasarkan tabel 4.1, metode Hopfield modifikasi memberikan
yang sama dengan pencarian solusi menggunakan metode Bisection, yang dilakukan dengan nilai awal, , yang berbeda, sekalipun terdapat perbedaan
yang cukup signifikan dari banyaknya iterasi yang dilakukan metode Hopfield
modifikasi. Dilihat dari nilai eror yang dihasilkan, metode Hopfield modifikasi,
menghasilkan nilai eror yang lebih besar dibandingkan dengan metode Bisection,
walaupun perbedaan tersebut tidak terlalu signifikan.
4.1.2 Contoh Persamaan Polinomial Berderajat Tinggi
Berdasarkan pembahasan pada bab 3, metode jaringan Hopfield modifikasi
sederhana saja, namun juga dapat digunakan pada persamaan yang rumit.
Diberikan persamaan dengan pangkat tertinggi 4,
(4.4)
dengan
. Untuk persamaan di
atas akan diselesaikan dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi.
Langkah 1: Memformulasi persamaan nonlinier polinomial (4.4) dalam bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)
untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk:
Bandingkan persamaan (4.6) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk persamaan
Gambar 4.3 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan nonlinier,
Langkah 3: Inisialisasi nilai-nilai awal dan
untuk memperbaharui nilai
Langkah 5: Memperbaharui nilai , dengan persamaan (3.9)
Langkah 6: Mengulang langkah 4 dan 5 hingga syarat terpenuhi Iterasi ke-1
dan , = 1
Iterasi ke-2
hingga syarat dipenuhi (misalnya ), dan didapat nilai
pada iterasi ke-114. Hal ini terlihat pada gambar 4.4, iterasi yang
Gambar 4.4 Grafik eror persamaan –
dengan
Percobaan dilakukan dengan memberikan kondisi awal ( dan ) yang berbeda, kemudian dibandingkan dengan penyelesaiaan persamaan menggunakan metode
Newton-Raphson, yang dapat dilihat pada tabel 4.2.
0 20 40 60 80 100 120 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
iterasi
e
ro
Tabel 4.2 Penyelesaian persamaan polinomial –
Berdasarkan tabel 4.2, metode Hopfield modifikasi, dengan nilai awal, ,
yang berbeda juga memberikan yang sama dengan nilai sebenarnya. Di
sisi lain, metode Newton-Raphson, dari dua nilai awal, , yang diberikan tidak
mendapatkan hasil yang sama dengan nilai sebenarnya, yaitu ketika nilai awal,
, membuat iterasi divergen, dan ketika nilai awal, , menghasilkan
turunan pertama sama dengan nol, sehingga iterasi tidak dapat dilakukan.
Sedangkan, dua nilai awal lainnya menghasilkan yang sama dengan nilai
sebenarnya, dengan jumlah iterasi yang jauh lebih sedikit, dari iterasi dengan
metode Hopfield modifikasi, dan menghasilkan eror yang lebih kecil
4.2 Sistem Persamaan Polinomial
Metode jaringan Hopfield modifikasi dengan 6 langkah dapat digunakan
juga untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan.
4.2.1 Contoh Sistem Persamaan Polinomial
Diberikan sistem persamaan dengan pangkat tertinggi 2,
,
dengan . Untuk sistem persamaan di
atas akan diselesaikan dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi,
yang sama dengan penerapan jaringan Hopfield modifikasi dalam menyelesaikan
persamaan nonlinier.
Langkah 1: Memformulasikan sistem persamaan nonlinier polinomial (4.7) dalam bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)
untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk:
Bandingkan persamaan (4.9) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk sistem
persamaan berpangkat tertinggi 2
Jadi, didapat
dan , yang akan digunakan sebagai bobot dan
nilai bias pada jaringan. Untuk persamaan yang diberikan, diperoleh
dan . Gambar 4.5 menunjukkan arsitektur
jaringan Hopfield untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier kasus ini.
W1
Gambar 4.5 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan polinomial dengan
Langkah 3: Inisialisasi nilai-nilai awal dan
Langkah 4: Melakukan simulasi dengan Metode Euler, persamaan (3.22)
untuk memperbaharui nilai
Langkah 5: Memperbaharui nilai , dengan persamaan (3.9)
Langkah 6: Mengulang langkah 4 dan 5 hingga syarat terpenuhi Iterasi ke-1
dan , time step ( ) = 1
Iterasi ke-2
hingga syarat dipenuhi (misalnya ), dan didapat nilai
pada iterasi ke-33. Gambar 4.6, menunjukkan iterasi membuat eror
Gambar 4.6 Grafik Eror Sistem Persamaan dengan dan
Percobaan untuk kasus sistem ini, juga dilakukan dengan nilai awal, dan ,
yang berbeda, yang dapat dilihat pada tabel 4.3.
Tabel 4.3 Penyelesaian Sistem Persamaan Polinomial dengan dan yang berbeda
Nilai Persamaan (4.7) Banyak Iterasi Eror
1.8 0 0.5 30
-1.1 -2.5 0.5 33
Berdasarkan tabel 4.3, metode Hopfield modifikasi, dengan nilai awal, ,
yang berbeda juga memberikan yang sama dengan nilai sebenarnya, untuk
suatu sistem persamaan nonlinier.
0 5 10 15 20 25 30 35 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
iterasi
e
ro
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Konvergensi bergantung pada nilai awal yang diberikan untuk
menghasilkan suatu solusi. Metode Hopfield termodifikasi selalu konvergen untuk
sembarang nilai awal, yaitu x(t) dan u(t), hal ini berbeda dengan Newton-Raphson,
yang harus memenuhi syarat ”dekat” dengan solusi, agar iterasi konvergen. Hal
ini merupakan kelebihan metode Hopfield modifikasi dibandingkan Newton-Raphson. Namun, menurut hasil penelitian yang dilakukan performa Newton-Raphson lebih baik dibandingkan dengan Hopfield modifikasi. Akan tetapi, waktu yang dibutuhkan untuk keduanya menghasilkan solusi dengan perangkat
komputer yang peneliti gunakan tidak signifikan.
Kelebihan lain dari metode Hopfield modifikasi adalah kemampuannya
untuk menyelesaikan permasalahan sistem persamaan nonlinier, yang dalam hal
ini metode dasar seperti Newton-Raphson, Secant, Bisection tidak dapat digunakan. Hasil dari penelitian yang dilakukan terbukti metode Hopfield
modifikasi reliabel dalam menyelesaikan masalah sistem persamaan nonlinier
5.2Saran
Tujuan pencarian metode penyelesaian persamaan nonlinier adalah metode
yang dapat digunakan secara efektif, membutuhkan iterasi yang sedikit, dan selalu
konvergen ke solusi. Oleh karena itu, berdasarkan kesimpulan sebelumnya bahwa
metode Hopfield modifikasi selalu konvergen namun relatif lebih lambat,
dibandingkan metode Newton-Raphson, akan tetapi Newton tidak selalu konvergen, maka saran untuk penelitian selanjutnya adalah metode yang
menggabungkan kedua metode tersebut, yaitu langkah pertama menggunakan
metode Hopfield modifikasi, dan ketika solusi sudah mendekati solusi yang
sebenarnya, metode Newton-Raphson digunakan, serta modifikasi lainnya yang dapat meningkatkan efektifitas maupun efisiensi dalam pencarian solusi
REFERENSI
[1] Departemen Agama Republik Indonesia & Yayasan Penyelenggara
Penterjemah Al-Qur’an (Pentj), Al-Qur’an dan Tafsirnya Jilid VII.
Jakarta: CV. Darma Pala, 1997.
[2] Munir, Rinaldi, Metode Numerik. Bandung: Informatika, 2008.
[3] Haykin, S, Neural Networks: A Comprehensive Foundation. New York: Macmillan College Publishing Co., 1994.
[4] Widrow, B., and M.E. Hoff., “Adaptive switching circuits,” 1960 IRE WESCON Convention Record, New York IRE, 1960, pp. 96–104.
[5] Werbos, Paul J., “Beyond Regression: New Tools for Prediction and
Analysis in the Behavioral Sciences,” PhD Thesis, Harvard University,
1974.
[6] Hopfield, J. J., “Neural Network and Physical Systems with Emergent
Collective Computational Abilities,” in Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol. 79 no. 8, 1982, pp. 2554-2558. [7] Wilson, G.V. and Pawley, G.S, “On the stability of the Travelling
Salesman Problem algorithm of Hopfield and Tank,” in Biological Cybernetics (1988), Vol. 58, no.1, 1985, pp. 63-70.
[8] Mishra, Deepak and Kalra, Prem K, “Modified Hopfield Neural
Network Approach for Solving Nonlinear Algebraic Equations,”
Engineering Letters, 14:1, EL_14_1_23,2007.
[10] Anton, Howard, Dasar-dasar Aljabar Linier Jilid 1. Tangerang: Binarupa Aksara, 2002.
[11] Siang, Jong Jek, Jaringan Saraf Tiruan & Pemprogramannya Menggunakan Matlab. Yogyakarta: Andi, 2009.
[12] Beale, Mark Hudson, Hagan, M.T., and Demuth, Howard B, Neural
Netork Toolbox 7 User’s Guide. Online: MathWorks, 2010.
[13] Li, J., A.N. Michel, and W. Porod, “Analysis and synthesis of a class of
neural networks: linear systems operating on a closed hypercube,” IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 36, no. 11, pp. 1405–1422, November 1989.
[14] Elman, J.L., “Finding structure in time,” in Cognitive Science, Vol. 14, 1990, pp. 179–211.
[15] McCulloch, W.S. and Pitts, W., Bull, Math Biophys. 5, 1943, pp. 115-133. [16] Puspitaningrum, Diyah, Pengantar Jaringan Syaraf Tiruan.
Yogyakarta: Andi, 2006.
[17] Hermawan, Arief, Jaringan Saraf Tiruan Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Andi, 2006.
[18] Hopfield, J. J., “Neurons with Graded Response have Collective
Computational Abilities,” in Proceedings of the National Academy of
Sciences of the USA, vol. 81, 1984, pp. 3088-3092.
[19] Oldham, Kalil T. Swain, “The doctrine of description: Gustav
Lampiran 1
Program Metode Hopfield Modifikasi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Sistem Persamaan Nonlinier
%nb utk persamaan pangkat yang lebih kecil dibuat maksimal
b = input('Masukkan banyaknya persamaan dalam sistem = ');
for j = 1:b
Output Program untuk polynomial berderajat 1, persamaan (4.1)
Masukkan banyaknya persamaan dalam sistem = 1 Masukkan pangkat tertinggi fungsi 1
![Gambar 2.1 Proses pembagian selang [a,b] dengan metode bagi dua](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/951195.733253/26.595.132.528.80.471/gambar-proses-pembagian-selang-dengan-metode-bagi-dua.webp)
