VARIAN BARU METODE NEWTON-SIMPSON 3/8 UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

(1)

Eka Suci Pramana Sari

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

ABSTRACT

This article discusses a new variant of Newton-Simpson’s 3/8 method for solving nonlinear equation systems. Through convergence analysis it is shown that this Newton-Simpson’s 3/8 method has a three-order convergence. Computational tests are carried out for several examples of nonlinear equation systems with variations initial values. The results show that the iterations obtained by Newton-Simpson’s 3/8 method are less than those of the comparison methods. Therefore, The Newton- Simpson’s 3/8 method can be used as an alternative to solve nonlinear systems of equations.

Keywords: Nonlinear equation system, Newton method, Simpson method 3/8, third order convergence

ABSTRAK

Artikel ini membahas mengenai varian baru metode Newton-Simpson 3/8 untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear. Melalui analisis konvergensi ditun- jukkan bahwa metode Newton-Simpson 3/8 memiliki orde konvergensi tiga. Uji komputasi dilakukan untuk beberapa contoh sistem persamaan nonlinear dengan variasi nilai awal. Hasil komputasi menunjukkan iterasi yang dihasilkan metode Newton-Simpson 3/8 lebih sedikit dari iterasi yang dihasilkan metode pembanding.

Oleh sebab itu metode Newton-Simpson 3/8 ini dapat dijadikan sebagai salah satu alternatif untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear.

Kata kunci: Sistem persamaan nonlinear, metode Newton, metode Simpson 3/8, konvergensi orde tiga

1. PENDAHULUAN

Dalam sains dan teknologi, sering dijumpai kondisi dimana penyelesaian masalah dalam konteks kajian matematika dapat direduksi menjadi sistem persamaan nonlinear. Adapun sistem persamaan nonlinear dapat dinotasikan dengan [6, h. 284]

(2)

F (x ) = 0. (1) Pada tahun 2007, Darvishi dan Barati [5] mengembangkan varian orde tiga dari metode Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear (1). Selanjutnya, Kou et al.[9] memberikan modifikasi orde tiga metode Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear. Tetapi metode tersebut tidak mempercepat metode Newton secepat yang diinginkan dan membutuhkan beberapa pengulangan.

Hueso et al. [7] memberikan metode iteratif orde tiga dan orde empat dari turunan kedua untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear pada tahun 2009.

Namun, metode tersebut hanya memodifikasi metode Newton dengan meningkatkan orde konvergensi tanpa menghilangkan kelemahan dari metode Newton. Oleh karena itu, penulis ingin membahas lebih lanjut terkait varian baru dari metode Newton orde tiga untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear (1) yang dapat mempercepat metode [5]. Metode tersebut dinamakan dengan Metode Newton-Simpson 3/8 (MNS). Penelitian yang dilakukan di dalam artikel ini merupakan review dari artikel Manoj dan Arvind [10].

Artikel ini disusun dalam empat bagian. Pada bagian kedua dibahas metode Newton Simpson 3/8 (MNS) yang merupakan review dari artikel Manoj dan Arvind [10]. Kemudian pada bagian ketiga dibahas analisis konvergensi MNS, dan bagian keempat dilakukan uji komputasi.

2. TEORI PENDUKUNG

Definisi 1 (Ekspansi Taylor) [4] Misalkan F : D ⊆ Rⁿ → Rⁿ terdiferensial secara Frechet sebanyak p kali dalam himpunan konveks D ⊆ Rⁿ, untuk setiap x , x^k ∈ D, ekspansi Taylor untuk F sebagai berikut:

F (x ) = F (x^k) + F^′(x^k)(x − x^k) + 1

2!F^′′(x^k)(x − x^k)²+ 1

3!F^′′′(x^k)(x

− x^k)³+ · · · + 1

(p − 1)!F^(p−1)(x^k)(x − x^k)^p−1 +

Z 1 0

(1 − t)^p−1

(p − 1)! F^(p)(x^k+ t(x − x^k)(x − x^p)^kdt.

Teorema 2 (Dekomposisi LU ) [2, h, 298] Misalkan A=(a_ij) adalah suatu matriks n × n. Asumsikan bahwa fase eliminasi maju dari algoritma Gaussian diterapkan ke A tanpa menemui satupun pembagian dengan nol. Misalkan matriks yang dihasilkan dinotasikan dengan ˜A=(˜a_ij). Jika

L =







1 0 0 . . . 0

˜

a₂₁ 1 0 . . . 0

˜

a31 ˜a32 1 . . . 0 ... ... . .. . .. ...

˜

a_n1 ˜a_n2 . . . ˜a_n,n−1 1





 .

(3)

dan

U =







˜

a₁₁ ã₁₂ ã₁₃ . . . ã_1n 0 ã22 ã23 . . . ã2n

0 0 ã₃₃ . . . ã_3n ... ... . .. ... ... 0 0 0 . . . ã_nn





 .

maka

A = LU . (2)

Atkinson dan Han [1, h. 284] menyatakan solusi dari persamaan (2), yaitu

b = Ax . (3)

Persamaan (3) ekuivalen dengan

b = LUx . (4)

Persamaan (4) juga ekuivalen dengan menyelesaikan dua sistem berikut:

b = Lg , (5)

dan

g = Ux . (6)

3. METODE NEWTON

Metode Newton (MN) merupakan salah satu metode iterasi yang digunakan untuk memperoleh solusi dari F (x ) = 0. Metode iterasi Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dapat ditulis sebagai [3]

x^(k+1)= x^(k)− [F^′(x^(k))]⁻¹F (x^(k)), k = 0, 1, 2, ..., (7) dengan nilai awal x⁽⁰⁾ dan memiliki orde konvergensi dua [3].

4. MODIFIKASI METODE NEWTON

Modifikasi metode Newton (MMN) adalah metode berorde tiga yang merupakan modifikasi dari metode Newton yang dikembangkan oleh Darvishi dan Barati [5]

dengan teknik dekomposisi Adomian. Metode tersebut didefinisikan dengan

x^(k+1) = y^(k)− F^′(x^(k))⁻¹F (y^(k)), k = 0, 1, 2, ..., (8) dimana y^(k) = x^(k)− F^′(x^(k))⁻¹F (x^(k)) dan F^′(x^(k)) adalah matriks Jacobian di x^(k).

3. METODE NEWTON SIMPSON 3/8

Misalkan x^∗adalah solusi dari sistem F (x ) = 0 dan F terdiferensial. Fungsi variabel banyak F : Rⁿ → Rⁿ dapat dinyatakan dengan [8]

(4)

F (x ) = F (x^(k)) + Z x

x^(k)

F^′(t )dt, (9)

dengan F (x ) = (f₁(x ), f₂(x ), . . . , f_n(x ))^′, x = (x₁, x₂, . . . , x_n) dan turunan par- sial F^′(t ) pada persamaan (9) merupakan matriks Jacobian. Untuk mendapatkan aproksimasi dari integral pada persamaan (9), digunakan aturan Simpson 3/8 yaitu

Z x x^(k)

F^′(t )dt = 1

8(x − x^(k))

F^′(x ) + 3F^′ x + 2x^(k) 3

+3F^′ 2x + x^(k) 3

+ F^′(x^(k))

. (10)

Selanjutnya, jika persamaan (10) disubstitusikan ke dalam persamaan (9) maka diperoleh

F (x ) = F (x^(k)) + 1

8(x − x^(k))

F^′(x ) + 3F^′ x + 2x^(k) 3

+3F^′ 2x + x^(k) 3

+ F^′(x^(k))

. (11)

Oleh karena F (x ) = 0, maka persamaan (11) dapat ditulis menjadi 0 = F (x^(k)) + 1

8(x − x^(k))

F^′(x ) + 3F^′ x + 2x^(k) 3

+3F^′ 2x + x^(k) 3

+ F^′(x^(k))

. (12)

Selanjutnya, jika persamaan (12) dievaluasi dititik x = x^(k+1) maka,

−F (x^(k)) = 1

8(x^(k+1)− x^(k))

F^′(x^(k+1)) + 3F^′ x^(k+1)+ 2x^(k) 3

+3F^′ 2x^(k+1)+ x^(k) 3

+ F^′(x^(k))

. (13)

Berdasarkan Definisi pada Bab 2, F^′(t ) memiliki invers sehingga persamaan (13) dapat ditulis

1

8(x^(k+1)) = 1

8(x^(k)) −

F^′(x^(k+1)) + 3F^′ x^(k+1)+ 2x^(k) 3

+3F^′ 2x^(k+1)+ x^(k) 3

+ F^′(x^(k))

⁻¹

F (x^(k)).

Jika kedua ruas dikalikan dengan 8 diperoleh

(5)

x^(k+1)= x^(k)−

F^′(x^(k+1)) + 3F^′ x^(k+1)+ 2x^(k) 3

+3F^′ 2x^(k+1)+ x^(k) 3

+ F^′(x^(k))

⁻¹

8F (x^(k)). (14) Untuk mengatasi permasalahan implisit, dilakukan dengan cara menggunakan metode Newton pada iterasi (k+1) di ruas kanan persamaan (14), sehingga diperoleh

x^(k+1) = x^(k)−

F^′(z^(k)) + 3F^′ z^(k)+ 2x^(k) 3

+3F^′ 2z^(k)+ x^(k) 3

+ F^′(x^(k))

⁻¹

8F (x^(k)), (15)

dengan z^(k) = x^(k) − F^′(x^(k))⁻¹F (x^(k)), k = 0, 1, 2, . . . , . Persamaam (15) dinyatakan sebagai metode Newton Simpson 3/8 (MNS).

5. ANALISIS KONVERGENSI

Teorema 3 [10] Misalkan I sub himpunan konveks dari Rⁿ dan F :I → Rⁿ merupakan sistem dengan x^∗ ∈ I , matrik Jacobian F^′(x^∗) non-singular di x^∗ dan F terdiferensial Frechet sebanyak tiga kali pada himpunan konveks I daerah sekitar lingkungan x^∗, maka, persamaan (15) memiliki orde konvergensi tiga.

Bukti. Misalkan x^∗ ∈ I merupakan pembuat nol dari F (yakni F (x^∗) = 0), e^(k)= x^(k)− x^∗ dan A^(k)= (_k!¹)F^′(x^∗)⁻¹F^(k)(x^∗). Dengan menggunakan notasi di Bab 2, ekspansi Taylor dari F (x ) di sekitar x = x^∗ adalah

F (x ) = F (x^∗) + F^′(x^∗)(x − x^∗) + 1

2!F^′′(x^∗)(x − x^∗)² + 1

3!F^′′′(x^∗)(x − x^∗)³ + 1

4!F^′′′′(ξ)(x − x^∗)⁴, (16) dimana ξ ∈ (x , x^∗).

Jika persamaan (16) dievaluasi dititik x = x^(k), diperoleh

F (x^(k)) = F (x^∗) + F^′(x^∗)(x^(k)− x^∗) + 1

2!F^′′(x^∗)(x^(k)− x^∗)² + 1

3!F^′′′(x^∗)(x^(k)− x^∗)³+ 1

4!F^′′′′(ξ)(x^(k)− x^∗)⁴. (17) Selanjutnya, karena e^(k) = x^(k)− x^∗, sehingga persamaan (17) dapat ditulis

(6)

F (x^(k)) = F (x^∗) + F^′(x^∗)e^(k)+ 1

2!F^′′(x^∗)(e^(k))² + 1

3!F^′′′(x^∗)(e^(k))³+ 1

4!F^′′′′(ξ)(e^(k))⁴. (18) Oleh karena F (x^∗) = 0, maka persamaan (18) dapat ditulis dengan

F (x^(k)) = F^′(x^∗)

e^(k)+ 1 2!

F^′′(x^∗)(e^(k))² F^′(x^∗) + 1

3!

F^′′′(x^∗)(e^(k))³ F^′(x^∗) + 1

4!

F^′′′′(ξ)(e^(k))⁴ F^′(x^∗)

.

Selanjutnya, karena A^(k)= (_k!¹)F^′(x^∗)⁻¹F^(k)(x^∗) sehingga diperoleh

F (x^(k)) = F^′(x^∗)e^(k)+ A₂(e^(k))²+ A₃(e^(k))³+ O (e^(k))⁴ . (19) Dari persamaan (16), F^′(x ) di titik x = x^(k) dapat ditulis sebagai

F^′(x^(k)) = F^′(x^∗)I + 2A₂(e^(k)) + 3A₃(e^(k))²+ O (e^(k))³ , atau

F^′(x^(k))⁻¹ =I − 2A₂e^(k)+ 4A²₂− 3A₃ (e^(k))² [F^′(x^∗)]⁻¹+ O (e^(k))³ (20) dengan I merupakan matriks identitas.

Selanjutnya, jika persamaan (19) dikalikan dengan persamaan (20) dapat ditun- jukkan bahwa

F^′(x^(k))⁻¹F (x^(k)) = e^(k)− A₂(e^(k))² + 2A²₂− 2A₃ (e^(k))³+ O (e^(k))⁴. (21) Jika persamaan (21) disubstitusikan ke dalam z^(k) = x^(k)− F^′(x^(k))⁻¹F (x^(k)) diperoleh

z^(k) = x^(k)−e^(k)− A₂(e^(k))²+ 2A²₂− 2A₃ (e^(k))³+ O (e^(k))⁴ . (22) Oleh karena e^(k)= x^(k)− x^∗ maka persamaan (22) dapat ditulis dengan

z^(k) = x^∗+ A₂(e^(k))²+ 2A²₂ − 2A₃ (e^(k))³+ O (e^(k))⁴. (23) Dari persamaan (23) dan ekspansi Taylor dari F^′(z^(k)), F^′

z^(k)+2x^(k) 3

, dan F^′

2z^(k)+x^(k) 3

diperoleh F^′(z^(k)) = F^′(x^∗)

I + 2A²₂(e^(k))²+ 4A₂(A₃− A²₂)(e^(k))³+ O (e^(k))⁴

. (24)

(7)

Selanjutnya

F^′ z^(k)+ 2x^(k) 3

= F^′(x^∗)

I + 4

3A₂e^(k)+2

3(A²₂+ 2A₃)(e^(k))²+ 4

3(2A₂A₃

− A³₂+8

9A₄)(e^(k))³+ O (e^k)⁴

, (25)

dan

F^′ 2z^(k)+ x^(k) 3

= F^′(x^∗)

I +2

3A₂e^(k)+ 1

3(4A²₂+ A₃)(e^(k))² + 4

3(3A₂A₃− 2A³₂+ 1

3A₄)(e^(k))³+ O (e^k)⁴

. (26) Selanjutnya, dari persamaan (24), (25), (26), diperoleh

F^′(z^(k)) + 3F^′ z^(k)+ 2x^(k) 3

+ 3F^′ 2z^(k)+ x^(k) 3

+ F^′x^(k)= 8F^′(x^∗)

I + A₂e^(k)+ (A²₂+ A₃)(e^(k))²+ 3A₂A₃− 2A³₂+ 10

9 A₄(e^(k))³+ O (e^(k))⁴

. (27) Jika persamaan (19) dan (27) disubstitusikan ke dalam persamaan (15) maka diperoleh

x^(k+1) = x^(k)− 8F^′(x^∗)

I + A₂e^(k)+ (A²₂+ A₃)(e^(k))²+

3A₂A₃− 2A³₂

+ 10 9 A₄

(e^(k))³+ O (e^(k))⁴

−1

8F^′(x^∗)

e^(k)+ A₂(e^(k))² + A₃(e^(k))³+ O (e^(k))⁴

.

Selanjutnya dengan mengurangi kedua ruas persamaan dengan x^(k), kemudian menyatakan e^(k+1) = x^(k+1)− x^(k) diperoleh

e^(k+1)= e^(k)−

e^(k)− A₂(e^(k))²+ A₃(e^(k))³+ A₂(e^(k))²− A²₂(e^(k))³

+ A₃(e^(k))³

#

+ O (e^k)⁴. (28)

Dari persamaan (28), persamaan error dapat dinyatakan dengan

(8)

e^(k+1) = A²₂(e^(k))³+ O (e^(k))⁴. (29) Dari persamaan (29) terbukti bahwa metode Newton-Simpson 3/8 (MNS) memiliki konvergensi orde tiga.

6. UJI KOMPUTASI

Adapun contoh sistem persamaan nonlinear yang digunakan untuk melakukan pengujian ini adalah sebagai berikut:

Contoh 1 F (x )=(exp (x₁) − x₂− 2, cos (x₁) + x₂− 1)^T=0.

Contoh 2 F (x )=(x₁− x²₂+ 3 ln(x₁), 2x²₁− x₁x₂ − 5x₁+ 1)^T=0.

Contoh 3 F (x )=(x²₁+ x²₂− 1, x²₁− x²₂− (−0.5))^T = 0.

Contoh 4 F (x )=(exp(−x₁)+arctan(x₂), ln(x₁) + x₂)^T=0.

Untuk melakukan uji komputasi digunakan software MATLAB R2013a. Uji komputasi dilakukan dengan menggunakan Laptop Intel(R) Celeron(R) 6305, CPU 1.80 GHz, RAM 4,00 GB (3,65 GB usable). Diberikan toleransi 1.0 × 10⁻¹⁵ dan batas iterasi maksimum 100 yang sama untuk setiap algoritma perhitungan metode.

Uji komputasi dilakukan untuk sistem persamaan nonlinear Contoh 1. Selanjut- nya, hasil komputasi dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi Contoh 1 dengan tebakan awal yang berbeda untuk MN, MMN dan MNS.

x⁽⁰⁾ Metode k x^(k) ∥F (x )∥∞ ∥x^(k)− x^(k−1)∥∞ t(s)_avg

MN 5

0.850232916416951 0.340191857555588

0 8.709 × 10⁻¹¹ 4.28 × 10⁻⁴

0.35

−0.16

MMN 4

0.850232916416952 0.340191857555588

0 3.526 × 10⁻¹³ 4.77 × 10⁻⁴

MNS 3

0.850232916416952 0.340191857555589

4.965 × 10⁻¹⁶ 3.600 × 10⁻⁶ 6.74 × 10⁻⁴

MN 4

0.850232916416951 0.340191857555588

4.441 × 10⁻¹⁶ 9.722 × 10⁻¹³ 4.60 × 10⁻⁴

0.905

−0.715

MMN 3

0.850232916416951 0.340191857555588

0 4.168 × 10⁻¹³ 3.87 × 10⁻⁴

MNS 3

0.850232916416951 0.340191857555588

0 2.831 × 10⁻¹⁴ 7.01 × 10⁻⁴

MN 5

0.850232916416951 0.340191857555588

0 7.635 × 10⁻¹⁰ 4.25 × 10⁻⁴

1.349

−1.159

MMN 4

0.850232916416951 0.340191857555588

0 2.346 × 10⁻¹³ 4.79 × 10⁻⁴

MNS 3

0.850232916416952 0.340191857555588

4.578 × 10⁻¹⁶ 1.006 × 10⁻⁵ 6.54 × 10⁻⁴

(9)

x⁽⁰⁾ Metode k x^(k) ∥F (x )∥_∞ ∥x^(k)− x^(k−1)∥_∞ t(s)avg

MN 5

3.756834008012769 2.779849592817898

4.440 × 10⁻¹⁶ 2.633 × 10⁻¹² 4.63 × 10⁻⁴

3.257 2.279

MMN 4

3.756834008012769 2.779849592817898

4.441 × 10⁻¹⁶ 9.930 × 10⁻¹⁶ 4.94 × 10⁻⁴

MNS 3

3.756834008012769 2.779849592817898

4.441 × 10⁻¹⁶ 6.134 × 10⁻⁷ 6.82 × 10⁻⁴

MN 5

3.756834008012769 2.779849592817898

4.441 × 10⁻¹⁶ 6.190 × 10⁻¹⁶ 4.38 × 10⁻⁴

3.812 2.834

MMN 3

3.756834008012769 2.779849592817898

4.441 × 10⁻¹⁶ 4.396 × 10⁻¹⁵ 3.97 × 10⁻⁴

MNS 4

3.756834008012768 2.779849592817898

3.794 × 10⁻¹⁵ 4.441 × 10⁻¹⁶ 8.73 × 10⁻⁴

MN 6

3.756834008012769 2.779849592817898

4.441 × 10⁻¹⁶ 6.190 × 10⁻¹⁶ 5.03 × 10⁻⁴

4.256 3.278

MMN 4

3.756834008012769 2.779849592817898

4.441 × 10⁻¹⁶ 4.441 × 10⁻¹⁶ 4.88 × 10⁻⁴

MNS 4

3.756834008012768 2.779849592817898

3.794 × 10⁻¹⁵ 4.441 × 10⁻¹⁶ 8.81 × 10⁻⁴

MN 6

0.500000000000000 0.866025403784439

1.110 × 10⁻¹⁶ 2.234 × 10⁻¹⁴ 5.15 × 10⁻⁴

0.3 0.4

MMN 5

0.500000000000000 0.866025403784439

2.289 × 10⁻¹⁶ 5.870 × 10⁻⁷ 5.58 × 10⁻⁴

MNS 4

0.500000000000000 0.866025403784439

1.570 × 10⁻¹⁶ 3.309 × 10⁻¹² 8.34 × 10⁻⁴

MN 5

0.500000000000000 0.866025403784439

1.110 × 10⁻¹⁶ 2.853 × 10⁻¹⁴ 4.22 × 10⁻⁴

0.666 0.921

MMN 3

0.500000000000000 0.866025403784439

1.110 × 10⁻¹⁶ 2.212 × 10⁻⁷ 3.81 × 10⁻⁴

MNS 3

0.500000000000000 0.866025403784439

2.220 × 10⁻¹⁶ 2.403 × 10⁻⁸ 6.56 × 10⁻⁴

(10)

MN 5

0.500000000000001 0.866025403784439

8.006 × 10⁻¹⁶ 2.274 × 10⁻⁸ 4.22 × 10⁻⁴

0.999 1.365

MMN 4

0.500000000000000 0.866025403784439

1.110 × 10⁻¹⁶ 3.370 × 10⁻¹¹ 4.66 × 10⁻⁴

MNS 4

0.500000000000000 0.866025403784439

2.220 × 10⁻¹⁶ 1.265 × 10⁻¹³ 8.77 × 10⁻⁴

MN Div - - - -

1 4

MMN 5

1.316220206451834

−0.274764149035574

1.110 × 10⁻¹⁶ 3.047 × 10⁻⁶ 6.16 × 10⁻⁴

MNS 5

1.316220206451834

−0.274764149035574

7.850 × 10⁻¹⁷ 2.223 × 10⁻⁷ 1.174 × 10⁻³

MN 6

1.316220206451834

−0.274764149035574

7.850 × 10⁻¹⁷ 7.415 × 10⁻¹⁰ 4.94 × 10⁻⁴

0.5 1

MMN 4

1.316220206451834

−0.274764149035574

1.110 × 10⁻¹⁶ 5.339 × 10⁻¹⁰ 5.02 × 10⁻⁴

MNS 3

1.316220206451834

−0.274764149035574

1.110 × 10⁻¹⁶ 2.276 × 10⁻⁷ 6.67 × 10⁻⁴

Pada Tabel 4 dapat dilihat bahwa untuk tebakan awal [1, 4]^T terlihat bahwa MN divergen, MMN memerlukan 5 iterasi, dan MNS memerlukan 5 iterasi untuk memenuhi solusi dari sistem persamaan nonlinear pada Contoh 4.

Berdasarkan hasil uji komputasi, iterasi yang dihasilkan metode Newton-Simpson 3/8 (MNS) lebih sedikit dibandingkan dengan iterasi metode Newton (MN) untuk setiap contoh. Selanjutnya, apabila dibandingkan dengan modifikasi metode Newton (MMN), iterasi yang dihasilkan metode Newton-Simpson 3/8 lebih sedikit atau sama untuk beberapa contoh yang diberikan.

Secara umum, berdasarkan uji komputasi yang telah dilakukan untuk empat contoh yang diberikan dengan nilai awal yang berbeda, metode Newton-Simpson 3/8 menghasilkan iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan metode pembanding.

Sedangkan, secara cost komputasi, metode Newton-Simpson 3/8 memiliki cost yang lebih tinggi dari metode pembanding. Hal tersebut dikarenakan metode Newton- Simpson 3/8 menggunakan dua kali dekomposisi LU, sedangkan metode pembanding menggunakan satu kali dekomposisi LU. Oleh karena itu, metode Newton-Simpson 3/8 dapat dijadikan sebagai alternatif untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear.

Ucapan terima kasih diberikan kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

(11)

DAFTAR PUSTAKA

[1] K. Atkinson dan W. Han, Elementary Numerical Analysis, Third Edition, John Wiley dan Sons, New York, 2003.

[2] W. Cheney dan D. Kincaid, Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edi- tion, Brooks/Cole, Belmont, 2008.

[3] A. Cordero, J. L. Hueso, E. Mart´ınez, dan J. R. Torregrosa Efficient high-order methods based on golden ratio for nonlinear system, Applied Mathematics and Computation, 217 (2011), 4548–4556.

[4] M. T. Darvishi dan A. Barati, A fourth-order method form quadrature formula to solve systems of nonlinear equations, Applied Mathematics and Computa- tion, 188 (2007), 257-261.

[5] M. T. Darvishi dan A. Barati, A third-order Newton type method to solve systems of non linear equations, Applied Mathematics and Computation, 187 (2007), 630-635.

[6] W. Gautschi, Numerical Analysis, Second Edition, Springer Science, New York, 2010.

[7] J. L. Hueso, E. Martinez dan J. R. Torregrosa, Third and fourth order iterative methods free from second derivative for nonlinear systems, Applied Mathemat- ics and Computation, 211 (2009), 190-197.

[8] A. Isaac, T. B. Stephen, B. Seidu, A new trapezoidal-Simpson 3/8 method for solving systems of nonlinear equations, American Journal of Mathematical and Computer Modelling, 6 (2021), 1-8.

[9] J. Kou, L. Yitian dan W. Xiuhua, A third-order modification of Newton method for systems of nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation, 205 (2007), 1-5.

[10] K. S. Manoj dan K. S. Arvind, Variant of Newton’s method using simpson’s 3/8th rule, Journal of Computational and Applied Mathematics, 6 (2020), 20.