ABSTRAK
PENDUGA INVERS PARTISI MATRIKS (IPM) UNTUK MENDUGA PARAMETER MODEL LINEAR
PADA KASUS HETEROSKEDASTISITAS, MULTIKOLINEARITAS, yang harus dipenuhi, yaitu galat εi berdistribusi normal, mempunyai rata-rata nol, varians homogen, tidak autokorelasi, dan rank X adalah full rank kolom. Jika pada model linear terjadi pelanggaran asumsi varians galat homogen atau berautokorelasi dan mempunyai matriks X yang tidak full rank kolom, maka salah satu metode yang dapat digunakan adalah Invers Partisi Matriks (IPM), dimana
Tujuan penelitian ini adalah untuk melihat karakteristik dari penduga IPM, sehingga pada penelitian ini dilakukan simulasi dengan dua kasus, yaitu yang pertama kasus heteroskedastisitas dan multikolinearitas, dan yang kedua kasus autokorelasi dan multikolinearitas Pada kasus heteroskedastisitas dan multikolinearitas, nilai dugaan dari �̂ dan σ̂ akan semakin mendekati nilai parameter jika keheterogenan varians diperkecil dan nilai kuasa uji akan bertambah besar ketika keheterogenan dari varians data diperkecil. Pada kasus autokorelasi dan multikolinearitas, nilai dugaan dari �̂ akan semakin mendekati nilai parameter jika korelasi antar pengamatan diperkecil, akan tetapi untuk penduga parameter σ̂ semakin besar korelasi antar pengamatan maka E(σ̂ ) semakin besar dan semakin berbias dan nilai kuasa ujinya akan bertambah besar ketika ketika korelasi antar pengamatan diperkecil.
DAN AUTOKORELASI
Oleh Melia Kartina
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
PENDUGA INVERS PARTISI MATRIKS (IPM) UNTUK MENDUGA PARAMETER MODEL LINEAR
PADA KASUS HETEROSKEDASTISITAS, MULTIKOLINEARITAS, DAN AUTOKORELASI
(Skripsi)
Oleh Melia Kartina
0717031047
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Teori model linear merupakan dasar bagi analisis statistik seperti analisis ragam, analisis regresi, anova dalam perancangan percobaan yang banyak diaplikasikan dibidang ekonometrika, biometrika, dan teknometrika. Model linier secara umum adalah Y = X β + ε , dimana Y adalah vektor pengamatan, X adalah matriks penjelas nxp dengan elemen-elemennya diketahui, � adalah parameter, dan ε adalah vektor galat dimana �~N �, σ2� (Tirta, I. M, 2008).
2
Adapun asumsi-asumsi tersebut yaitu :
1. Nilai rata-rata galat nol, yaitu: E ε = , untuk i = , , … , n.
2. var ε = �2 adalah konstan (asumsi homoskedastisitas). 3. Tidak ada korelasi serial (autocorrelation) antara galat, berarti
kovarian(ε ε) = .
4. Tidak ada korelasi antar variabel bebas X (Gujarati, 1997).
Jika OLS atau MLE digunakan pada data dengan pelanggaran asumsi tidak ada korelasi antar variabel X maka penduga yang dihasilkan berbias dan jika korelasi yang terjadi adalah korelasi sempurna maka metode OLS dan MLE tidak lagi dapat digunakan karena akan meyebabkan rank X < p, sehingga (X’X) tidak mempunyai invers. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah pelanggaran asumsi tidak ada korelasi antar variabel bebas X adalah dengan menguraikan matriks X menggunakan Singular Value Decompotition (SVD). Sedangkan jika asumsi varians galat homogen atau nonautokorelasi yang tidak dipenuhi maka metode OLS dan MLE akan menghasilkan penduga yang tidak efisien, maka diperlukan metode lain yang dapat mengatasi masalah tersebut yaitu salah satunya adalah dengan metode Generalized Least Square (GLS).
metode yang dapat digunakan adalah Invers Partisi Matriks (IPM) dari matriks
[� ��′ �]. Berdasarkan masalah tersebut, pada skripsi ini akan dilakukan
pembahasan tentang pendugaan parameter model linear dengan Invers Partisi Matriks (IPM).
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah
1. Mengkaji secara teori pendugaan parameter pada model linierdengan Invers Partisi Matriks (IPM).
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Model Linear
Model Linier dengan n pengamatan dan p variable penjelas biasa ditulis sebagai berikut :
Y = β + X β + X β + + X β +ε ; i = , , … , n
bila dirinci untuk setiap pengamatan :
Y = β + X β + X β + + X β +ε Y = β + X β + X β + + X β +ε ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Y = β + X β + X β + + X β +ε
dengan pendekatan matriks dapat ditulis sebagai berikut :
[
Persamaan diatas juga dapat ditulis dalam notasi matriks : = � + �
dimana
E = � ; Σ = σ ; ~N �, σ
= n x vektor pengamatan.
� x = vektor parameter yang harus diduga.
� x = vektor galat, dengan �~N ( , σ ).
Pada model linear umum terdapat beberapa asumsi dasar, yaitu : 1. Nilai rata-rata galat nol, yaitu: E ε = , untuk i = , , … , n. 2. var ε = � adalah konstan (asumsi homoskedastisitas). 3. Tidak ada korelasi serial (autocorrelation) antara galat, berarti
kovarian(ε ε ) = .
4. Tidak ada korelasi antar variabel bebas X (Gujarati, 1997).
2.2. Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menakasir parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel. Penduga adalah suatu statistik yang digunakan untuk menduga parameter. Menurut Hoog dan Craig (1995), Kriteria penduga yang baik adalah :
1. Takbias
Suatu statistik dikatakan penduga tidak bias dari parameter θ apabila nilai
6
Suatu penduga U(X) dikatakan mempunyai varians minimum apabila penduga
tersebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga yang memiliki varians terkecil.
3. Konsisten
Suatu statistik dikatakan penduga yang konsisten jika peluangnya konvergen ke parameter θ.
lim→∞P(|U(X) − θ| < �) =
atau
lim→∞P(|U(X) − θ| > �) =
5. Kelengkapan
Misalkan peubah acak Z baik kontinu maupun diskrit mempunyai fungsi kepekatan peluang (fkp) bagi peubah acak kontinu dan fungsi peluang (pms) bagi peubah acak diskrit merupakan keluarga eksponensial dari {h z; θ ∶ θ ϵ Ω}. Jika kondisi E[u Z ] = untuk setiap θ ϵ Ω, memenuhi u z =
kecuali pada titik dimana probabilitasnya nol untuk setiap pdf h z; θ ∶ θ ϵ Ω. Maka keluarga eksponensial {h z; θ ∶ θ ϵ Ω} disebut keluarga
eksponensial lengkap dari fungsi kepekatan peluangnya.
2.3.Metode Pendugaan Parameter pada Model Linear
Untuk memperoleh penduga parameter pada model linear dapat dilakukan dengan beberapa metode, diantaranya :
1. Metode kuadrat terkecil/Ordinary least square method (OLS)
Prinsip dasar dari metode kuadrat terkecil adalah mencari β̂ = {β̂ , β̂ , … , β̂ }
dengan meminimumkan bentuk kuadratik
� ′� = − � ′ − �
Penduga parameter β pada metode metode kuadrat terkecil adalah �OLS= ′ − ′
sedangkan penduga untuk parameter dispersi adalah
σ̂ =( − �n − p′ − � )
8
2. Metode kemungkinan maksimum/maximum likelihood method (MLE)
Untuk menduga parameter model linear pada metode likelihood maksimum hal pertama yang dilakukan adalah menentukan fungsi likelihood; menyatakan fungsi likelihood L sebagai fungsi � dan σ ; membangun ln L; memaksimumkan ln L terhadap � dan σ untuk mencari penduga maksimum likelihoodnya. Karena ~N �, σ , maka fungsi likelihoodnya adalah
L β, σ = [ πσ ] / exp [− σ − � ′ − � ] Melogaritma asli kedua ruas, maka diperoleh
ln L β, σ = −nln π −nln σ − σ ′ − ′ � + �′ ′ �
Untuk mencari nilai � dan σ yang memaksimumkan fungsi likelihood, yaitu dengan cara mencari nilai turunan parsialnya yang disamakan dengan nol untuk masing-masing � dan σ .
3. Penggunaan Singular Value Decompotition (SVD) pada matriks X
Menurut Rao, C.R (1971), jika model linear = � + �, dengan E = � dan Σ = σ , akan tetapi Rank = r < p atau terjadi
multikolinearitas, maka dapat diperoleh penduga yang baik dengan Singular Value Decompotition (SVD) pada matriks X.
= � ′
Dimana
= kolom adalah eigen vektor dari ’ yang ortonormal sedemikian
sehingga ’ = .
= kolom adalah eigen vektor dari ′ yang ortonormal sedemikian
sehingga ’ = .
� = matriks diagonal dengan unsur diagonalnya akar kuadrat dari nilai eigen
tak nol dari matriks ’ (Baker, 2005).
dengan = � ′� dan menjadi parameter baru, maka model direduksi menjadi :
= + �
sehingga model diatas telah memenuhi asumsi, sehingga teorema-teorema pada pendugaan OLS/MLE dapat dipergunakan.
̂ = ′ adalah penduga takbias bagi γ, sehingga penduga dari fungsi
10
4. Metode Generalized Least Square (GLS)
Metode GLS adalah metode pendugaan parameter model linear = � + �, dengan asumsi E = �, Σ = σ �, V matriks definit positif, dan Rank = p. Jika dibandingkan dengan asumsi pada metode MLE atau
OLS pada metode GLS asumsi heteroskedastisitas dan galat yang saling berkorelasi dapat diizinkan. Pada GLS dilakukan pendekatan dengan transformasi matriks pengamatan [ ], ide transformasi ini menggunakan konsep matriks sehingga matriks kovarian σ � menjadiσ .
Karena matriks V adalah matriks simetriks definit positif sehingga matriks � nonsingular dan terdapat matriks n x n nonsingular , sehingga:
′ = �−
Pada model linier umum dikalikan dengan matriks sehingga = � + � Sehingga matriks pengamatannya [ ] dengan vektor galat �, sehingga matriks kovarian dari galatnya :
cov � = E ��′ ′
= σ � ′
= σ ′ − ′
= σ (Theil , 1971).
Karena matriks kovariannya cov � = σ , sehingga model transformasi memenuhi asumsi MLE ataupun OLS, sehingga teorema-teorema pada MLE / OLS dapat dipergunakan dan diperoleh b penduga parameter � :
� = ′�− − ′�− dan cov � = σ ′�− −
5. Invers Partisi Matriks
Menurut Rao, C.R (1971), jika model linier = � + �,
mempunyai rank = r < � dan �~N ( , σ �). Parameter � dapat diduga
dengan menggunakan invers partisi matriks [�′ ]− = [� �
� −� ] dapat
dicari penduga dari � , matriks dispersi dari �̂, dan penduga takbias untuk σ :
i. [menggunakan � atau � ]
�′�̂ adalah penduga BLUE dari �′� dimana �̂ = �′ atau �̂ = � .
ii. [menggunakan � ]
Matriks dispersion dari �̂ adalah σ � iii. [menggunakan � ]
Penduga takbias untuk σ = f− ′� , dimana f = R � − R dan f adalah deerajat bebasnya.
2.4. Pengujian Hipotesis
Dalam pengujian hipotesis yang digunakan adalah Uji F
Uji F digunakan untuk menguji secara bersamaan apakah parameter dalam model menerangkan respon secara signifikan atau tidak.
Hipotesis:
12
P-value juga dapat digunakan untuk menolak atau tidak tolak hipotesis. Semakin kecil p-value, semain kecil peluang membuat kesalahan yang diakibatkan menolak Ho. Artinya berdasarkan nilai peluang yang ada, p-value < α maka Ho ditolak pada tingkatan α tertentu.
Pada pengujian hipotesis dua macam kesalahan :
Kesimpulan H0 Hipotesis Benar Hipotesis Salah
Tidak tolak H0 Benar Kesalahan Tipe II (Beta)
Kuasa Uji = 1 - beta
Tolak H0 Kesalahan Tipe I
Taraf nyata (α) Benar
α = P (menolak H0 │ H0 benar) atau dengan kata lain α adalah P (nilai yang
diamati dari statistik uji akan jatuh di wilayah penolakan ketika H0 benar),
sedangkan beta (kesalahan jenis II) adalah peluang menerima H0 dimana H0
(statistik uji akan jatuh dalam penolakan wilayah ketika hipotesis nol salah). Kuasa uji = 1 - beta.
2.5. Invers Partisi Matriks / IPM
Menurut Rao, C.R (1972) Didefinisikan matriks
[�′ ]−= [�� −� ]� ’ adalah transpose matriks .
Berdasarkan definisi g-invers ��−� = �, maka
[�′ ][�� −� ] [� �′ ] = [ �′ ]
[�� � + � � + ��′� � + ′� ′′− � ′ �� + �′� ] = [ �′ ] (1)
III. METODE PENELITIAN
3.1. Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian ini dilaksanakan pada semester ganjil Tahun Ajaran 2011/2012.
3.2. Data Simulasi
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data yang dibangkitkan melalui software SAS 9.0. Adapun data yang dibangkitkan adalah variable X sebanyak 50 pengamatan. Variabel X1 digenerete melalui proses random dengan distribusi normal nilai tengah 0.7 dan varians (0.6)2, dan X2 berdistribusi normal dengan
nilai tengah 844.752 dan varians (143.780)2. Akan tetapi untuk X3 diperoleh dengan cara mengalikan 0.000002 dengan X2 dan X1.
Variabel tak bebas (Y) diperoleh dari X * � + �, dan � digenerete dengan � ~ � , � ∗ � dimana S ={i/10, dengan i = 1, 2, …, 50}. Hal tersebut
Untuk kasus autokorelasi variabel tak bebas (Y) diperoleh dari X * � + �, dan � digenerete berdasarkan �� = ���− + �, dimana � ~ � , � , sehingga
berdistribusi N �,σ � , dimana � = [
� � … ��− �
� ⋮
� … �
⋮ ⋮ … ⋱ ��− ��− ⋮
��− ��− ��− … ]
.
3.3. Tahapan Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Menduga parameter � pada model linier dengan invers partisi matriks (IPM).
2. Melakukan simulasi data dengan mendesign program pendugaan parameter � dengan invers partisi matriks IPM menggunakan software SAS 9.0.
16
3.4. Flowchart Simulasi Kasus Heteroskedastisitas dan Multikolinearitas
tidak
Gambar 3.1. Flowchart Tahapan Simulasi Kasus Heteroskedastisitas dan
3.5. Flowchart Simulasi Kasus Autokorelasi dan Multikolinearitas
Gambar 3.2. Flowchart Tahapan Simulasi Kasus Autokorelasi dan
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan pada ALLAH SWT atas berkat rahmat dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penduga Invers Partisi Matriks (IPM) Untuk Menduga Parameter Model Linear Pada Kasus Heteroskedastisitas, Multikolinearitas, Dan Autokorelasi”.
Dalam pelaksanaan dan penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dan sumbangan pikiran dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Mustofa Usman, MA, Ph.D. selaku Dosen Pembimbing I, atas bantuannya membimbing penulis dalam memberikan ide dan saran demi menghasilkan skripsi ini.
2. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing II yang telah sabar membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini
3. Bapak Warsono, Ph.D. selaku Dosen Pembahas yang telah memberikan saran dan kritik demi perbaikan skripsi ini.
4. Bapak Tiryono Ruby, Ph.D. selaku Dosen Pembimbing Akademik.
6. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung .
7. Bapak Amanto, M.Si selaku Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
8. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Kepala Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 9. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung .
10. Seluruh Dosen dan Karyawan FMIPA Universitas Lampung.
11. Bapak, Emak, adek Hilman, adek Risa, adek Rafi yang selalu memberikan yang terbaik kepada penulis.
12. Sahabat-sahabatku Neng, Olive, Mbak Djuwi, Ana, Wayan, Sela, dan Niken. 13. Teman-teman seperjuangan “ANIMASI” atas hari-hari yang indah.
Penulis telah berusaha semaksimal mungkin dalam penulisan Skripsi ini untuk mencapai suatu kelengkapan dan kesempurnaan. Penulis juga mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari semua pihak. Akhirnya dengan segala kerendahan hati penulis berharap Skripsi ini memberi manfaat, baik kepada penulis khususnya maupun kepada pembaca pada umumnya.
Bandar Lampung, Februari 2012 Penulis
Kupersembahkan Karya Kecilku ini untuk :
Yang Paling KUSAYANG DAN HORMATI
Bapak dan Emak atas segala doa, nasehat, dukungan serta kasih sayang yang sungguh luar biasa.
MOTTO :
Hidup adalah proses belajar.
Judul : PENDUGA INVERS PARTISI MATRIKS (IPM) UNTUK MENDUGA PARAMETER MODEL LINEAR PADA KASUS
HETEROSKEDASTISITAS, MULTIKOLINEARITAS, DAN AUTOKORELASI
Nama Mahasiswa : MELIA KARTINA No. Pokok Mahasiswa : 0717031047
Program Studi : Matematika S1 Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI Komisi Pembimbing
Mustofa Usman, Ph.D Dian Kurniasari, M. Sc
NIP 19570101 198404 1 001 NIP 19690305 199603 2 001
MENGETAHUI
Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi Matematika
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Mustofa Usman, Ph.D. ...
Sekretaris : Dian Kurniasari, M.Sc. ...
Penguji
Bukan Pembimbing : Warsono, Ph.D. ...
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D. 19690530 199512 1 001
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Nanga Silat pada tanggal 06 Januari 1989 dan merupakan anak pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Bapak Mulyanto. M dan Ibu Een Suzana.
Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak di TK Pertiwi Putussibau tahun 1994, Sekolah Dasar di SD Negeri 4 Putussibau diselesaikan tahun 2000, pendidikan menengah di Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 1 Way Jepara yang diselesaikan tahun 2003, dan pendidikan lanjutan di Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Way Jepara diselesaikan pada tahun 2006. Tahun 2007 Penulis melanjutkan pendidikan Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
1. Metode Invers Partisi Matriks (IPM) dapat digunakan menduga parmeter pada model linear dengan pelanggaran asumsi varians galat σ2� dan tidak terjadi multikolinearitas.
2. Penduga parameter dengan metode IPM pada kasus heteroskedastisitas dan multikolinearitas menghasilkan:
a. Nilai �̂ dan σ̂2 yang semakin mendekati nilai parameter jika keheterogenan varians diperkecil.
b. Nilai kuasa uji akan bertambah besar ketika keheterogenan dari varians data diperkecil, hal ini berarti semakin homogen varians maka peluang menolak H0 dimana H0 salahpun semakin besar.
3. Penduga parameter dengan metode IPM pada kasus autokorelasi dan multikolinearitas menghasilkan:
a. Nilai �̂ akan semakin mendekati nilai parameter �, jika korelasi antar pengamatan semakin kecil, akan tetapi untuk penduga parameter σ2
55
b. Nilai kuasa uji juga akan bertambah besar ketika korelasi antar pengamatan diperkecil, hal ini berarti semakin tidak ada korelasi antar pengamatan maka peluang menolak H0 dimana H0 salahpun semakin
