PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR BONNO ANDRI WIBOWO

PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR BARAT

2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Februari 2016

Bonno Andri Wibowo

Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWADI.

Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di bidang asuransi dan keuangan, fisika, demografi, geologi, serta biologi. Pengembangan model proses Poisson majemuk telah dimulai dengan menggunakan model proses Poisson periodik majemuk. Penelitian terakhir dengan menambahkan tren linear pada model tersebut. Hasil terakhirnya diperoleh penduga yang konsisten (lemah) bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear.

Penelitian lanjutan ini memiliki dua tujuan, yaitu: (1) Menentukan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear; (2) Meneliti keakuratan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga untuk kasus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangkitan.

Misalkan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal (tidak diketahui) 𝜆. Kita asumsikan 𝜆 mempunyai dua komponen, sebuah komponen periodik 𝜆_𝑐 dengan periode (diketahui) 𝜏 > 0 dan sebuah komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap 𝑠 > 0, fungsi intensitas 𝜆 dapat dituliskan sebagai berikut:

𝜆(𝑠) = 𝜆_𝑐(𝑠) + 𝑎𝑠,

dengan 𝜆_𝑐(𝑠) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode 𝜏 dan 𝑎 melambangkan kemiringan dari tren linear dengan 𝑎 > 0. Kita tidak mengasumsikan bentuk parametrik apapun dari 𝜆𝑐 kecuali bentuk periodik yang dapat ditulis sebagai berikut:

𝜆𝑐(𝑠) = 𝜆𝑐(𝑠 + 𝑘𝜏)

untuk setiap 𝑠 ≥ 0 dan 𝑘 ∈ ℕ, dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli. Misalkan {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan

𝑌(𝑡)=∑𝑁(𝑡)_{𝑖= 1}𝑋_𝑖

di mana {𝑋𝑖, 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically

distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎2 < ∞, yang juga bebas

terhadap {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Nilai harapan dari 𝑌(𝑡) adalah 𝜓(𝑡) = 𝐸[𝑌(𝑡)] = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝑡 2 2) 𝜇 dengan 𝑘𝑡,𝜏 = ⌊_𝜏𝑡⌋, 𝑡_𝑟= 𝑡 − 𝑘_𝑡,𝜏𝜏, 𝛬_𝑐(𝑡) = ∫ 𝜆₀𝑡 𝑐(𝑠)𝑑𝑠, dan

𝜃 = 1_𝜏𝛬𝑐(𝜏)

dimana untuk setiap bilangan real x, ⌊𝑥⌋ melambangkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. 𝜃 merupakan fungsi intensitas dari proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0}. Diasumsikan 𝜃 > 0.

Misalkan untuk suatu 𝜔 ∈ Ω, suatu realisasi tunggal 𝑁(𝜔) dari proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, ℱ,P) diamati pada suatu interval terbatas [0, 𝑛]. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi 𝑁(𝜔) ∩ [0, 𝑛] yang diamati, misalkan titik data ke-𝑖, 𝑖 =1, 2, ..., 𝑁[0, 𝑛], peubah acak 𝑋_𝑖 yang bersesuaian juga diamati.

Misalkan 𝑘_𝑛,𝜏 = ⌊𝑛_𝜏⌋, penduga bagi fungsi nilai harapan 𝜓(𝑡) dirumuskan sebagai berikut: 𝜓̂𝑛(𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃̂𝑛+ 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) + 𝑎̂𝑛𝑡 2 2) 𝜇̂𝑛, dengan 𝑎̂𝑛=2𝑁[0,𝑛]_𝑛2 , 𝜃̂𝑛 = _ln(𝑘1 𝑛,𝜏)𝜏∑ 𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎̂𝑛( 𝑘𝑛,𝜏𝜏 ln(𝑘𝑛,𝜏)− 𝜏 2), 𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡𝑟) = _ln(𝑘1 𝑛,𝜏)∑ 𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟]) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎̂𝑛(_ln(𝑘𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ), dan 𝜇̂_𝑛 = _{𝑁([0,𝑛])}1 ∑𝑁([0,𝑛])_{𝑖= 1} 𝑋_𝑖,

dengan 𝜇̂𝑛 = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0 berimplikasi 𝜓̂𝑛(𝑡) = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Bias asimtotik penduga adalah

𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂_𝑛(𝑡)] = 𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 2 ln(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 (

1 ln(𝑘𝑛,𝜏)) dan ragam asimtotik penduga adalah

𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛(𝑡)] = 𝜇 2 ln(𝑘𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡} 𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 2 + 𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘𝑡,𝜏𝜏 ( 𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟 2 ) + 2𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 2𝑡2( (2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 ) − 𝜓(𝑡) 𝜇 (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾) + 2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟))) + 𝑜 (_ln(𝑘1 𝑛,𝜏))

untuk 𝑛 → ∞. Simulasi model memberikan visualisasi mengenai proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Bias dan ragam penduga akan semakin menuju 0 seiring memanjangnya interval pengamatan.

Kata kunci: Bias dan ragam penduga, fungsi nilai harapan, pendekatan asimtotik, proses Poisson periodik majemuk, tren linear.

Variance of an Estimator for the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWADI.

A stochastic process has an important role in modeling various real phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson process. Many phenomena in different fields have been modeled as a compound Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and finance, physics, demography, geology, and biology. A compound Poisson process model have been extended by using compound cyclic Poisson process model. The last research is adding linear trend to the model, and the result is getting formula for an estimator of the mean function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend and it has been proved (weakly) consistent.

This further reseacrh has two objectives as follows: (1) to determine asymptotic approximations to the bias and variance of an estimator for the mean function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend; (2) to study asymptotic approximations in the case of bounded observation time interval, using simulation with generated data.

Let {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} be a cyclic Poisson process with (unknown) locally integrable intensity function 𝜆. We assume 𝜆 has two components, a cyclic compunent 𝜆_𝑐 with (known) period 𝜏 > 0 and a linear trend. In other words, for any 𝑠 > 0, the intensity function 𝜆 can be written as:

𝜆(𝑠) = 𝜆𝑐(𝑠) + 𝑎𝑠,

with 𝜆_𝑐(𝑠) be a periodic function with period 𝜏 and 𝑎 be the slope of the linear trend with 𝑎 > 0. We do not assume any (parametric) form of 𝜆𝑐 except that it is periodic, that is, the equality

𝜆𝑐(𝑠) = 𝜆𝑐(𝑠 + 𝑘𝜏)

holds for all 𝑠 ≥ 0 and 𝑘 ∈ ℕ, with ℕ be the set of natural numbers. Let {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} be process where

𝑌(𝑡) = ∑𝑁(𝑡)_{𝑖= 1}𝑋_𝑖

with {𝑋𝑖, 𝑖 ≥ 1} is a sequence of independent and identically distributed random variables having mean 𝜇 < ∞ and variance 𝜎2 _{< ∞, which is also independet of} the process {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. The mean function of 𝑌(𝑡) is given by

𝜓(𝑡) = 𝐸[𝑌(𝑡)] = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝑡 2 2) 𝜇 where 𝑘𝑡,𝜏 = ⌊_𝜏𝑡⌋, 𝑡_𝑟= 𝑡 − 𝑘_𝑡,𝜏𝜏, 𝛬_𝑐(𝑡) = ∫ 𝜆₀𝑡 𝑐(𝑠)𝑑𝑠, and 𝜃 = 1_𝜏𝛬𝑐(𝜏)

where for any real numbers 𝑥, ⌊𝑥⌋ denotes the biggest integer which is less than or equal to 𝑥. 𝜃 is the global intensity of the process {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. We also assume that 𝜃 > 0.

Suppose that, for some 𝜔 ∈ Ω, a single realization 𝑁(𝜔) of the process {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} defined on a probability space (Ω, ℱ,P) is observed, though only within a bounded interval [0, 𝑛]. Futhermore, suppose that for each data point in the observed realization 𝑁(𝜔) ∩ [0, 𝑛], say 𝑖-th data point, 𝑖 =1, 2, ..., 𝑁[0, 𝑛], its corresponding random variable 𝑋𝑖 is also observed.

Let 𝑘𝑛,𝜏 = ⌊𝑛_𝜏⌋, the estimator of the mean function is given by 𝜓̂𝑛(𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃̂𝑛+ 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) + 𝑎̂𝑛𝑡 2 2) 𝜇̂𝑛, where 𝑎̂𝑛=2𝑁[0,𝑛]_𝑛2 , 𝜃̂_𝑛 = _ln(𝑘1 𝑛,𝜏)𝜏∑ 𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎̂𝑛( 𝑘𝑛,𝜏𝜏 ln(𝑘𝑛,𝜏)− 𝜏 2), 𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟) = _ln(𝑘1 𝑛,𝜏)∑ 𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟]) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎̂𝑛(_ln(𝑘𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ), and 𝜇̂_𝑛 = _{𝑁([0,𝑛])}1 ∑𝑁([0,𝑛])_{𝑖= 1} 𝑋_𝑖,

with the understanding that 𝜇̂_𝑛 = 0 when 𝑁([0, 𝑛]) = 0, implies 𝜓̂_𝑛(𝑡) = 0 when 𝑁([0, 𝑛]) = 0.

Asymptotic approximation to the bias of the estimator is 𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂_𝑛(𝑡)] = 𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)

2 ln(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 ln(𝑘𝑛,𝜏)) and asymptotic approximation to the variance of the estimator is 𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛(𝑡)] = 𝜇 2 ln(𝑘𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡} 𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟))2+ 𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘𝑡,𝜏𝜏 ( 𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟 2 ) + 2𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 2𝑡2( (2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 ) − 𝜓(𝑡) 𝜇 (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾) + 2𝛾𝛬_𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟))) + 𝑜 (_ln(𝑘1 𝑛,𝜏))

as 𝑛 → ∞. Simulation provides visualization about compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Bias and variance of the estimator will to zero as the length of observation interval goes to infinity.

Key word: Asymptotic approximation, compound cyclic Poisson process, linear trend, the bias and variance of estimator, the mean function

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang – Undang

Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB

Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM

PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON

PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains

pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR BARAT

2016

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MAppSc selaku Ketua Komisi Pembimbing dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc. selaku Anggota Komisi Pembimbing atas semua perhatian, ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu (you are my superwomen in my life), Lukman, Adi, Widi atas segala doa dan kasih sayangnya. Serta taklupa, saya ucapkan terima kasih kepada Dikti atas beasiswa fresh graduate yang penulis terima selama perkuliahan. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman–teman Matematika 47, Gumapastika, dan Matematika Terapan angkatan 50 serta rekan–rekan di PT Asuransi Jiwa Manulife Indonesia yang telah memberikan kesempatan saya belajar banyak hal selama masa internship.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Februari 2016 Bonno Andri Wibowo

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitan 2 Manfaat Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Proses Stokastik 2 Proses Poisson 3

Proses Poisson Majemuk 3

Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk 3 Kekonsistenan Penduga Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik

Majemuk dengan Tren Linear 5

PERUMUSAN PENDUGA 7

Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 7

Ide Penduga Modifikasi 8

BEBERAPA LEMA TEKNIS 10

PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA 15

SIMULASI MODEL 22

SIMPULAN 25

DAFTAR PUSTAKA 26

LAMPIRAN 27

1 Bias dan Ragam 𝜓̂𝑛(𝑡) 24

DAFTAR GAMBAR

1 Grafik 𝜓(𝑡) dan 𝜓̂_𝑛(𝑡) 23

2 Grafik selisih (%) antara 𝜓(𝑡) dan 𝜓̂𝑛(𝑡) 24

DAFTAR LAMPIRAN

1 Beberapa Lema dan Teorema Teknis 28

2 Bukti beberapa Lema teknis 30

3 Bukti beberapa persamaan 41

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini dapat digunakan untuk memodelkan fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer

service), dan banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh

karena itu, untuk memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan datang diperlukan suatu peramalan. Peramalan tersebut berguna untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang.

Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk. Proses Poisson majemuk dapat digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat terhadap suatu perusahaan asuransi, sehingga perusahaan tersebut dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (Özel 2011) dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).

Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan, asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi tak konstan dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.

Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Mangku et al. 2014). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena yang terjadi secara periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti jumlah klaim agregat dari suatu produk asuransi.

Peubah acak Poisson periodik majemuk merupakan peubah acak yang bergantung dari waktu maka nilai harapan dari peubah acak tersebut disebut fungsi nilai harapan. Penduga pada pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear sudah terbukti merupakan penduga yang konsisten lemah dan sudah ditentukan laju kekonverganan bagi bias, ragam dan mean sequare error penduga tersebut pada Wibowo (2014). Pada penelitian

lanjutan ini dilakukan penentuan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga tersebut dan mempelajari perilaku penduga tersebut melalui simulasi menggunakan bangkitan data bangkitan.

Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan sebagai berikut:

1. Menentukan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear.

2. Meneliti keakuratan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga untuk kasus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangkitan.

Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi mengenai bias dan ragam penduga dan penggunaan model pada data yang diperoleh sehingga dapat menjadi pertimbangan bagi pengguna model matematika yang berkaitan dengan proses Poisson.

TINJAUAN PUSTAKA

Proses Stokastik

Proses stokastik 𝑋 = {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu himpunan dari peubah acak. Indeks t sering kali diinterpretasikan sebagai waktu dan 𝑋(𝑡) sebagai state dari proses di waktu t. Himpunan T himpunan indeks dari proses. Ketika T merupakan himpunan terhitung maka proses stokastiknya disebut dengan proses dengan waktu diskret, sedangkan jika T merupakan interval dari rentang waktu tertentu, proses stokastik disebut proses dengan waktu kontinu (Ross 2010).

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua 𝑡₀ < 𝑡₁ < 𝑡₂ < ⋯ < 𝑡_𝑛, peubah acak 𝑋(𝑡₁) − 𝑋(𝑡₀), 𝑋(𝑡₂) − 𝑋(𝑡₁), … , 𝑋(𝑡_𝑛) − 𝑋(𝑡_𝑛−1) adalah saling bebas (Ross 2010). Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} disebut memiliki inkremen stasioner jika 𝑋(𝑡 + 𝑠) − 𝑋(𝑡) memiliki sebaran yang sama untuk semua 𝑡 (Ross 2010).

Suatu proses stokastik {𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses pencacahan jika 𝑋(𝑡) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu 𝑡. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan 𝑋(𝑡) harus memenuhi syarat-syarat berikut (Ross 2010):

1. 𝑋(𝑡) ≥ 0 untuk setiap 𝑡 ∈ [0, ∞) . 2. Nilai 𝑋(𝑡) adalah integer.

3. Jika 𝑠 < 𝑡 maka 𝑋(𝑠) ≤ 𝑋(𝑡)di mana 𝑠, 𝑡 ∈ [0, ∞).

4. Untuk 𝑠 < 𝑡 maka 𝑋(𝑡) − 𝑋(𝑠) sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada (𝑠, 𝑡].

3

Proses Poisson

Suatu proses pencacahan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses Poisson homogen dengan laju 𝜆, 𝜆 > 0, jika memenuhi tiga syarat berikut (Ross 2010):

1. 𝑁(0) = 0.

2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan 𝜆𝑡. Jadi, untuk semua t,s ≥ 0,

𝑃(𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑠) = 𝑘) =𝑒

−𝜆𝑡_(𝜆𝑡)𝑘

𝑘! , 𝑘 = 0,1,2 …

Dari syarat 3 bisa diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner serta diperoleh bahwa 𝐸(𝑁(𝑡)) = 𝜆𝑡.

Suatu proses pencacahan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut proses Poisson non-homogen dengan fungsi intensitas 𝜆(𝑡), 𝑡 > 0, jika (Ross 2010):

1. 𝑁(0) = 0.

2. {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} memiliki inkremen bebas. 3. P{𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑡) ≥ 2} = 𝑜(𝑠)

4. P{𝑁(𝑡 + 𝑠) − 𝑁(𝑡) = 1} = 𝜆(𝑡)𝑠 + 𝑜(𝑠), untuk 𝑠 → 0.

Laju dari suatu proses Poisson non-homogen {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0}, yaitu 𝜆(𝑡) disebut fungsi intensitas proses tersebut (Ross 2010). Intensitas lokal dari suatu proses Poisson non-homogen 𝑁 dengan fungsi intensitas 𝜆 pada titik 𝑠 ∈ 𝑃 adalah 𝜆(𝑠), yaitu nilai fungsi 𝜆 di 𝑠 (Cressie 1993).

Proses Poisson Majemuk Misalkan {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan

𝑌(𝑡) = ∑𝑁(𝑡)𝑖= 1 𝑋𝑖

di mana {𝑋_𝑖, 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically

distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎2 < ∞, yang juga bebas

terhadap {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Proses {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut dengan proses Poisson majemuk.

Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk Misalkan {𝑁𝑐(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas 𝜆𝑐 terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas 𝜆_𝑐(s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi

𝜆𝑐(𝑠) = 𝜆𝑐(𝑠 + 𝑘𝜏),

untuk setiap 𝑠 ≥ 0 dan 𝑘 ∈ ℕ, dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli. Nilai harapan dari proses {𝑁_𝑐(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah

E[N_c(t)] = ∫ λ₀t c(s)ds = kt,ττθ + Λc(tr). dengan

k_t,τ= ⌊t τ⌋,

di mana untuk setiap bilangan real 𝑥, ⌊𝑥⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan 𝑥, 𝑡_𝑟= 𝑡 − 𝑘_𝑡,𝜏𝜏,

𝛬_𝑐(𝑡𝑟) = ∫ 𝜆𝑐(𝑠) 𝑡𝑟 0 𝑑𝑠, dan 𝜃 =1 𝜏𝛬𝑐(𝜏),

yaitu fungsi intensitas global dari proses {𝑁𝑐(𝑡), 𝑡 ≥ 0}. Diasumsikan bahwa 𝜃 > 0.

Selanjutnya, misalkan {𝑌_𝑐(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan 𝑌_𝑐(𝑡) = ∑𝑁𝑐(𝑡)𝑋_𝑖

𝑖= 1 ,

di mana {𝑋_𝑖, 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically

distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎2 < ∞, yang juga bebas

terhadap proses {𝑁_𝑐(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Proses {𝑌𝑐(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut dengan proses Poisson periodik majemuk.

Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:

𝜓𝑐(𝑡) = 𝐸[𝑌𝑐(𝑡)] = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 𝜇.

Penduga bagi fungsi nilai harapan 𝜓_𝑐(𝑡) dirumuskan sebagai berikut: 𝜓̂𝑐,𝑛(𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃̂𝑐,𝑛+ 𝛬̂∗∗𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) 𝜇̂𝑐,𝑛, dengan 𝜃̂_𝑐,𝑛= 𝑁𝑐([0,𝑛]) 𝑛 , 𝛬̂∗∗𝑐,𝑛(𝑡𝑟) =_𝑛𝜏∑𝑘= 1∞ 𝑁𝑐([𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝑡𝑟] ∩ [0, 𝑛]), 𝜇̂_𝑐,𝑛 = _𝑁 1 𝑐([0,𝑛])∑ 𝑋𝑖 𝑁𝑐([0,𝑛]) 𝑖= 1 ,

dengan 𝜓̂𝑐,𝑛(𝑡) = 0 saat 𝑁𝑐([0, 𝑛]) = 0. Penduga nilai harapan tersebut telah dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Ruhiyat (2013) telah menentukan laju kekonvergenan bias dan ragam serta mean square error (MSE) dari 𝜓̂_𝑐,𝑛(𝑡) sebesar 𝑂 (1_𝑛), untuk 𝑛 → ∞.

Mangku et al. (2014) melakukan modifikasi terhadap penduga 𝜃̂_𝑐,𝑛 dan 𝛬̂_𝑐,𝑛∗∗ _(𝑡

𝑟) berturut-turut sebagai berikut: 𝜃̂_𝑐,𝑛 =_𝑘1 𝑛,𝜏𝜏∑ 𝑁𝑐([𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝜏]) 𝑘𝑛,𝜏−1 𝑘= 0 , 𝛬̂_𝑐,𝑛∗∗ _(𝑡 𝑟) =_𝑘1 𝑛,𝜏∑ 𝑁𝑐([𝑘𝜏, 𝑘𝜏 + 𝑡𝑟]) 𝑘𝑛,𝜏−1 𝑘= 0 .

Hasil modifikasi tersebut yaitu nilai bias dan ragam asimtotik bagi 𝜓̂𝑐,𝑛(𝑡) berturut-turut sebagai berikut

5 𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂_𝑐,𝑛(𝑡)] = −𝜓𝑐(𝑡) 𝑒𝜃𝑛 + 𝑜(𝑒−𝑛), 𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑐,𝑛(𝑡)] = 𝜇2_𝜏 𝑛 (𝑘𝑡,𝜏2 𝜃𝜏 + 𝛬𝑐(𝑡𝑟)(1 + 2𝑘𝑡,𝜏)) + 𝜎2 𝜃𝑛(𝑘𝑡,𝜏𝜃𝜏 + 𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 2 + 𝑂 (1 𝑛2) untuk 𝑛 → ∞.

Kekonsistenan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear

Misalkan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal (tidak diketahui) 𝜆. Kita asumsikan 𝜆 mempunyai dua komponen, sebuah komponen periodik 𝜆𝑐 dengan periode (diketahui) 𝜏 > 0 dan sebuah komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap 𝑠 > 0, fungsi intensitas 𝜆 dapat dituliskan sebagai berikut:

𝜆(𝑠) = 𝜆𝑐(𝑠) + 𝑎𝑠,

dengan 𝜆_𝑐(𝑠) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode 𝜏 dan 𝑎 melambangkan kemiringan dari tren linear dengan 𝑎 > 0.

Misalkan {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses dengan 𝑌(𝑡) = ∑𝑁(𝑡)_{𝑖= 1}𝑋𝑖

di mana {𝑋𝑖, 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically

distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎2 < ∞, yang juga bebas

terhadap {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Proses {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear.

Nilai harapan dari 𝑌(𝑡), dinotasikan dengan 𝜓(𝑡), sebagai berikut: 𝜓(𝑡) = 𝐸[𝑁(𝑡)]𝐸[𝑋₁] = 𝛬(𝑡)𝜇

dengan 𝛬(𝑡) = ∫ 𝜆(𝑠)₀𝑡 𝑑𝑠.

Misalkan 𝑡_𝑟 = 𝑡 − ⌊𝑡_𝜏⌋ 𝜏, dimana untuk setiap bilangan real x, ⌊𝑥⌋ melambangkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, dan misalkan pula 𝑘_𝑡,𝜏 = ⌊𝑡_𝜏⌋. Kemudian, untuk setiap bilangan positif 𝑡, 𝑡 = 𝑘_𝑡,𝜏𝜏 + 𝑡𝑟, dengan 0 ≤ 𝑡𝑟 < 𝑡. Misalkan 𝛬_𝑐(𝑡) = ∫ 𝜆𝑡 _𝑐(𝑠) 0 𝑑𝑠 serta 𝜃 =1 𝜏𝛬𝑐(𝜏)

yaitu fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Kita asumsikan bahwa 𝜃 > 0. Kemudian untuk setiap 𝑡 ≥ 0 yang diberikan, kita mempunyai

𝛬(𝑡) = 𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬_𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎 𝑡2

2.

Akhirnya, fungsi nilai harapan dari 𝑌(𝑡) dapat dituliskan menjadi 𝜓(𝑡) = (𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬_𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎

𝑡2 2) 𝜇.

Pendugaan fungsi nilai harapan 𝜓(𝑡) pada persamaan tersebut dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan 𝜇, pendugaan 𝑎 yang merupakan

slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global 𝜃, dan pendugaan

𝛬_𝑐(𝑡𝑟) yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [0, 𝑡_𝑟].

Penduga bagi fungsi nilai harapan 𝜓(𝑡) dirumuskan sebagai berikut: 𝜓̂𝑛(𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃̂𝑛∗+ 𝛬̂𝑐,𝑛∗ (𝑡𝑟) + 𝑎̂𝑛 𝑡2 2) 𝜇̂𝑛, dimana 𝑎̂_𝑛 = 2𝑁([0, 𝑛]) 𝑛2 , 𝜃̂𝑛∗ =_{𝑙𝑛(𝑛 𝜏}1_{⁄ )}∑∞𝑘= 1𝑁([𝑘𝜏,(𝑘+1)𝜏]∩[0,𝑛])_𝑘𝜏 − 𝑎̂𝑛(𝜏₂+_{𝑙𝑛(𝑛 𝜏}𝑛_{⁄ )}), 𝛬̂𝑐,𝑛∗ (𝑡𝑟) =_{𝑙𝑛(𝑛 𝜏}1_{⁄ )}∑ 𝑁([𝑘𝜏,𝑘𝜏+𝑡_𝑘𝑟]∩[0,𝑛])− 𝑎̂𝑛(𝑡𝑟 2 2 + 𝑛𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑛 𝜏⁄ )) ∞ 𝑘= 1 , dan 𝜇̂𝑛 =_{𝑁([0,𝑛])}1 ∑𝑁([0,𝑛])𝑖= 1 𝑋𝑖,

dengan 𝜇̂𝑛 = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0 berimplikasi 𝜓̂𝑛(𝑡) = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Penduga bagi tingkat kemiringan 𝑎 telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global 𝜃 telah dikaji pada Mangku (2005) untuk tujuan berbeda dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian 𝛬𝑐(𝑡𝑟) telah dikaji pada Mangku (2010) untuk tujuan berbeda.

Wibowo (2014) telah membuktikan bahwa penduga nilai harapan tersebut kekonsistenan lemah, yakni

𝜓̂_𝑛(𝑡)→ 𝜓(𝑡) 𝑃

untuk 𝑛 → ∞. Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE penduga ialah 𝑂 (_{ln(𝑛 𝜏}1_{⁄ )}) untuk 𝑛 → ∞.

PERUMUSAN PENDUGA

Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear

Misalkan {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} adalah suatu proses Poisson takhomogen. Fungsi intensitas 𝜆(𝑠) diasumsikan berbentuk

𝜆(𝑠) = 𝜆𝑐(𝑠) + 𝑎𝑠, (1) dengan 𝜆𝑐(𝑠) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode 𝜏 dan 𝑎 melambangkan kemiringan dari tren linear dengan

𝑎 > 0. (2)

Proses {𝑌(𝑡), 𝑡 ≥ 0} disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear jika

𝑌(𝑡) = ∑𝑁(𝑡)_{𝑖= 1}𝑋_𝑖 (3) di mana {𝑋_𝑖, 𝑖 ≥ 1} adalah barisan peubah acak yang independent and identically

distributed dengan nilai harapan 𝜇 < ∞ dan ragam 𝜎2 < ∞, yang juga bebas

terhadap {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }.

Misalkan untuk suatu 𝜔 ∈ Ω, suatu realisasi tunggal 𝑁(𝜔) dari proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0} yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω, ℱ, 𝐏) diamati pada suatu interval terbatas [0, 𝑛]. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi 𝑁(𝜔) ∩ [0, 𝑛] yang diamati, misalkan titik data ke-i, i= 1, 2, ... , 𝑁([0, 𝑛]), peubah acak 𝑋_𝑖 yang bersesuaian juga diamati.

Fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear: 𝜓(𝑡) = 𝐸[𝑌(𝑡)] = (𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎𝑡 2 2) 𝜇. (4) dengan 𝑘_𝑡,𝜏 = ⌊𝑡 𝜏⌋, 𝑡_𝑟 = 𝑡 − 𝑘_𝑡,𝜏𝜏, 𝛬_𝑐(𝑡) = ∫ 𝜆₀𝑡 _𝑐(𝑠)𝑑𝑠 (5) serta 𝜃 =1_𝜏𝛬_𝑐(𝜏) (6) yaitu fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {𝑁(𝑡), 𝑡 ≥ 0 }. Kita asumsikan bahwa

𝜃 > 0. (7)

Misalkan 𝑘𝑛,𝜏 = ⌊𝑛_𝜏⌋, penduga bagi fungsi nilai harapan 𝜓(𝑡) dirumuskan sebagai berikut: 𝜓̂𝑛(𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃̂𝑛+ 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) + 𝑎̂𝑛𝑡 2 2) 𝜇̂𝑛 (8) dengan 𝑎̂𝑛 = 2N[0,n]_n2 , (9)

θ̂n = _ln(k1 n,τ)τ∑ N([(k−1)τ,kτ]) k kn,τ k=1 −𝑎̂𝑛(_ln(kkn,ττ n,τ)− τ 2), (10) 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) = _ln(k1 n,τ)∑ N([(k−1)τ,(k−1)τ+tr]) k kn,τ k=1 − 𝑎̂𝑛( kn,ττtr ln(kn,τ)+ (tr2−2trτ) 2 ), (11) dan 𝜇̂_𝑛= 1 𝑁([0,𝑛])∑ 𝑋𝑖 𝑁([0,𝑛]) 𝑖= 1 , (12)

dengan 𝜇̂𝑛 = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0 berimplikasi 𝜓̂𝑛(𝑡) = 0 saat 𝑁([0, 𝑛]) = 0. Penduga bagi tingkat kemiringan 𝑎 telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global 𝜃 merupakan modifikasi dari 𝜃̂𝑛 pada Mangku (2005) dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian 𝛬_𝑐(𝑡𝑟) merupakan modifikasi dari 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) pada Mangku (2010).

Ide Penduga Modifikasi

Penduga 𝜽

Penduga 𝜃 diperoleh dengan proses penjabaran sebagai berikut: Misalkan L_n = ∑kn,τ1_k k=1 . 𝜃 = 𝐿𝑛 𝐿𝑛𝜃 = _𝐿1 𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 𝜃 = _𝐿1 𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 1 𝜏∫ 𝜆𝑐(𝑠) 𝜏 0 𝑑𝑠.

Karena 𝜆𝑐 merupakan fungsi periodik, maka 𝜆𝑐(𝑠) = 𝜆𝑐(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) sehingga 1 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 1 𝜏∫ 𝜆𝑐(𝑠) 𝜏 0 𝑑𝑠 = _𝐿1 𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 1 𝜏∫ 𝜆𝑐(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝜏 0 𝑑𝑠 = _𝐿1 𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 1 𝜏∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) − 𝑎(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝜏 0 𝑑𝑠 = _𝐿1 𝑛𝜏∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 𝜏 0 − 𝑎 𝐿𝑛𝜏∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝜏 0 𝑑𝑠. Misalkan 𝑦 = 𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏 maka 1 𝐿𝑛𝜏∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 𝜏 0 − 𝑎 𝐿𝑛𝜏∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝜏 0 𝑑𝑠 = _𝐿1 𝑛𝜏∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑦)𝑑𝑦 𝑘𝜏 (𝑘−1)𝜏 − 𝑎 𝐿𝑛𝜏∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝑦 𝑘𝜏 (𝑘−1)𝜏 𝑑𝑦 =_𝐿1 𝑛𝜏∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 𝐿𝑛𝜏∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 (2𝑘−1)𝜏2 2 = _𝐿1 𝑛𝜏∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎𝜏 𝐿𝑛∑ 1 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 + 𝑎𝜏 2𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 =_𝐿1 𝑛𝜏∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏 𝐿𝑛 + 𝑎𝜏 2.

9

Karena 𝐿_𝑛 = ∑𝑘_𝑘=1𝑛,𝜏1_𝑘≈ ln(𝑘_𝑛,𝜏) dan 𝐸[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏])] diganti dengan padanan stokastiknya yaitu 𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]) sehingga diperoleh

𝜃̂_𝑛 = _{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)𝜏∑ 𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎̂𝑛(_{𝑙𝑛(𝑘}𝑘𝑛,𝜏𝜏 𝑛,𝜏)− 𝜏 2). Penduga 𝜦_𝒄(𝒕_𝒓)

Penduga 𝛬𝑐(𝑡𝑟) diperoleh dengan proses penjabaran sebagai berikut: Misalkan 𝐿_𝑛 = ∑𝑘𝑛,𝜏_𝑘1 𝑘=1 𝛬_𝑐(𝑡𝑟) = 𝐿_𝐿𝑛 𝑛𝛬𝑐(𝑡𝑟) = _𝐿1 𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=0 𝛬𝑐(𝑡𝑟) = 1 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆𝑐(𝑠) 𝑡𝑟 0 𝑑𝑠.

Karena 𝜆_𝑐 merupakan fungsi periodik, maka 𝜆_𝑐(𝑠) = 𝜆𝑐(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) sehingga 1 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆₀𝑡𝑟 𝑐(𝑠)𝑑𝑠 = _𝐿1 𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆₀𝑡𝑟 𝑐(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 = 1 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) − 𝑎(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏) 𝑡𝑟 0 𝑑𝑠 = _𝐿1 𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 𝑡𝑟 0 − 𝑎 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 𝑡𝑟 0 . Misalkan y = 𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏 maka 1 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 𝑡𝑟 0 − 𝑎 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ (𝑠 + (𝑘 − 1)𝜏)𝑑𝑠 𝑡𝑟 0 = _𝐿1 𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝜆(𝑦)𝑑𝑦 (𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 (𝑘−1)𝜏 − 𝑎 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 ∫ 𝑦𝑑𝑦 (𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 (𝑘−1)𝜏 = 1 𝐿𝑛∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 (2𝑘𝜏𝑡𝑟−2𝜏𝑡𝑟+𝑡𝑟2) 2 = _𝐿1 𝑛∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 2𝐿𝑛∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 (2𝑘𝜏𝑡𝑟+ 𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟) = _𝐿1 𝑛∑ 𝐸[𝑁([𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 𝐿𝑛∑ 𝜏𝑡𝑟 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 2𝐿𝑛∑ (𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 . Karena 𝐿𝑛 = ∑𝑘_𝑘=1𝑛,𝜏_𝑘1, maka 1 𝐿𝑛∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 𝐿𝑛∑ 𝜏𝑡𝑟 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 2𝐿𝑛∑ (𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 = _𝐿1 𝑛∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝐿𝑛 − 𝑎(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 2 = _𝐿1 𝑛∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎 ( 𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝐿𝑛 + (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ).

Karena 𝐿_𝑛 = ∑𝑘_𝑘=1𝑛,𝜏1_𝑘≈ ln(𝑘_𝑛,𝜏) dan 𝐸[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡_𝑟])] diganti dengan padanan stokastiknya yaitu 𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡_𝑟]) sehingga diperoleh 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) = _ln(k1 n,τ)∑ N([(k−1)τ,(k−1)τ+tr]) k kn,τ k=1 − 𝑎̂𝑛( 𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 ln(𝑘𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ).

BEBERAPA LEMA TEKNIS

Bagian ini memuat beberapa Lema teknis yang digunakan dalam penentuan pendekatan bias dan ragam asimtotik penduga.

Lema 1: Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan

lokal, maka

𝐸[𝜃̂_𝑛] = 𝜃 +2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾 2 𝑙𝑛(𝑘_𝑛,𝜏) + 𝑜 (

1 𝑙𝑛(𝑘_𝑛,𝜏))

untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Dengan kata lain 𝜃̂_𝑛 merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi 𝜃.

Bukti: 𝐸[𝜃̂_𝑛] = 𝐸 [_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)𝜏∑ 𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏]) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎̂𝑛(_{𝑙𝑛(𝑘}𝑘𝑛,𝜏𝜏 𝑛,𝜏)− 𝜏 2)] = _{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)𝜏∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − ( 𝑘𝑛,𝜏𝜏 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)− 𝜏 2) 𝐸[𝑎̂𝑛]. (13) Perhatikan bahwa 𝐸[𝑁[(𝑘 − 1)𝜏, 𝑘𝜏]] = ∫_{(𝑘−1)𝜏}𝑘𝜏 𝜆(𝑠)𝑑𝑠 = ∫_{(𝑘−1)𝜏}𝑘𝜏 (𝜆𝑐(𝑠) + 𝑎𝑠)𝑑𝑠 = ∫_{(𝑘−1)𝜏}𝑘𝜏 𝜆_𝑐(𝑠)𝑑𝑠 + ∫_{(𝑘−1)𝜏}𝑘𝜏 𝑎𝑠𝑑𝑠 = 𝜏1 𝜏∫ 𝜆𝑐(𝑠)𝑑𝑠 𝜏 0 + 𝑎 𝑠2 2|_{(𝑘−1)𝜏} 𝑘𝜏 = 𝜃𝜏 +𝑎(2𝑘−1)𝜏 2 2 . (14)

Berdasarkan persamaan (14) maka bagian pertama ruas kanan persamaan (13) menjadi 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)𝜏∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 (𝜃𝜏 + 𝑎(2𝑘−1)𝜏2 2 )

11 = 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)𝜏∑ 1 𝑘(𝜃𝜏 − 𝑎𝜏2 2 ) 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 + 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)𝜏∑ 𝑎𝜏 2 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 . Berdasarkan Lema L.1 maka

1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)𝜏∑ 1 𝑘(𝜃𝜏 − 𝑎𝜏2 2 ) 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 + 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)𝜏∑ 𝑎𝜏 2 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 = _{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)𝜏(𝜃𝜏 − 𝑎𝜏2 2 ) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝛾 + 𝑜(1)) + 𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) = 𝜃 −𝑎𝜏₂ +𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏+𝜃𝛾− 𝑎𝛾𝜏 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)), (15)

untuk 𝑛 → ∞. Substitusi persamaan (15) dan Lema L.2 pada persamaan (13) sehingga diperoleh 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)𝜏∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,𝑘𝜏])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − ( 𝑘𝑛,𝜏𝜏 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)− 𝜏 2) 𝐸[𝑎̂𝑛] = 𝜃 −𝑎𝜏₂ +𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏+𝜃𝛾− 𝑎𝛾𝜏 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) − ( 𝑘𝑛,𝜏𝜏 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)− 𝜏 2) (𝑎 + 2𝜃 𝑛 + 𝑂 ( 1 𝑛2)) = 𝜃 −𝑎𝜏₂ +𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏+𝜃𝛾− 𝑎𝛾𝜏 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) − 𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)− 2𝑘𝑛,𝜏𝜏𝜃 𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)+ 𝑎𝜏 2 + 𝜃 𝑛+ 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) = 𝜃 +_{2 𝑙𝑛(𝑘}2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾 𝑛,𝜏)+ 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)), untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

Lema 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 𝑉𝑎𝑟[𝜃̂_𝑛] = _{𝑙𝑛(𝑘}𝑎 𝑛,𝜏)+ 2𝜃𝜋2_{+𝑎(12𝜏𝛾−𝜏𝜋}2₎ 12𝜏(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))2 + 𝑜 ( 1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))2) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler.

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

Lema 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 𝐸[𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)] = 𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 2𝛾𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎𝛾(𝑡_𝑟2_{− 2𝜏𝑡} 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) )

untuk 𝑛 → ∞,dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Dengan kata lain 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi 𝛬𝑐(𝑡𝑟).

Bukti: 𝐸[𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)] = 𝐸 [_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)∑ 𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟]) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎̂𝑛(_{𝑙𝑛(𝑘}𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 )] = 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − ( 𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ) 𝐸[𝑎̂𝑛]. (16) Perhatikan bahwa

𝐸[𝑁([(𝑘 − 1)𝜏, (𝑘 − 1)𝜏+𝑡𝑟])]

= ∫_{(𝑘−1)𝜏}(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟𝜆(𝑠)𝑑𝑠

= ∫_{(𝑘−1)𝜏}(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟(𝜆_𝑐(𝑠) + 𝑎𝑠)𝑑𝑠

= ∫_{(𝑘−1)𝜏}(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟𝜆𝑐(𝑠)𝑑𝑠+ 𝑎 ∫_{(𝑘−1)𝜏}(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟𝑠 𝑑𝑠. Karena 𝜆_𝑐(𝑠) periodik maka

∫_{(𝑘−1)𝜏}(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟𝜆𝑐(𝑠)𝑑𝑠+ 𝑎 ∫_{(𝑘−1)𝜏}(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟𝑠 𝑑𝑠 = ∫ 𝜆₀𝑡𝑟 _𝑐(𝑠)𝑑𝑠+ 𝑎𝑠 2 2|_{(𝑘−1)𝜏} (𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟 = 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎𝑘𝜏𝑡_𝑟+ 𝑎𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟 2 . (17)

Berdasarkan persamaan (17) maka bagian pertama ruas kanan persamaan (16) menjadi 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 = 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 (𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝑘𝜏𝑡𝑟+ 𝑎 𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟 2 ) = _{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 (𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟 2 ) + 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)∑ 𝑎𝜏𝑡𝑟 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 .

Berdasarkan Lema L.1 maka 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)∑ 1 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 (𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎 𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟 2 ) + 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)∑ 𝑎𝜏𝑡𝑟 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 = _{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)(𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎 𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟 2 ) (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝛾 + 𝑜(1)) + 𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) = 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟 2 + 𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎𝛾𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟₂ 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)), (18) untuk 𝑛 → ∞. Substitusi persamaan (18) dan Lema L.2 pada persamaan (16) sehingga diperoleh 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)∑ 𝐸[𝑁([(𝑘−1)𝜏,(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟])] 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − ( 𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ) 𝐸[𝑎̂𝑛] = 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟 2 + 𝑎𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)+ 𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎𝛾𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟₂ 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) − ( 𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ) (𝑎 + 2𝜃 𝑛 + 𝑂 ( 1 𝑛2)) = 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎 (_{𝑙𝑛(𝑘}𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ) − 𝑎 ( 𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)+ (𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 2 ) + 𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)+ 𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) − 2𝜃𝑘𝑛,𝜏𝜏𝑡𝑟 𝑛 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)− 𝜃(𝑡𝑟2−2𝑡𝑟𝜏) 𝑛 + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) = 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) +2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)), untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

13

Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 𝑉𝑎𝑟[𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)] = _{𝑙𝑛(𝑘}𝑎𝜏𝑡𝑟 𝑛,𝜏)+ 2𝜋2𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝜋2(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)+12𝑎𝜏𝑡𝑟𝛾 12(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))2 + 𝑜 ( 1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))2) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler.

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

Lema 5: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

𝐸(𝜃̂_𝑛𝑎̂_𝑛) = 𝑎𝜃 +2𝑎𝜃𝛾−𝑎_{2 𝑙𝑛(𝑘} 2𝜏𝛾 𝑛,𝜏) + 𝑜 (

1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

𝐸(𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)𝑎̂_𝑛) = 𝑎𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) +(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎_{2 𝑙𝑛(𝑘}2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 𝑛,𝜏) + 𝑜 (

1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler.

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

Lema 7: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 𝐸 (𝜃̂_𝑛𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)) = 𝜃𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) +𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟))+2𝑎𝜏𝑡𝑟 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler.

Bukti: Misalkan: 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)𝐶 = _{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)∑ 𝑁([(𝑘−1)𝜏+𝑡𝑟,𝑘𝜏]) 𝑘 𝑘𝑛,𝜏 𝑘=1 − 𝑎̂𝑛( 𝑘𝑛,𝜏𝜏(𝜏−𝑡𝑟) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) − (𝜏−𝑡𝑟)2 2 ). Perhatikan bahwa: 𝜃̂𝑛 = 1 𝜏(𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) + 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)𝐶). Berdasarkan Lampiran 3, diperoleh:

𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡𝑟)𝐶, 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) = O (_(ln(k1

n,τ))2), (19) untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh

𝐸 (𝜃̂𝑛𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟))

= 𝐶𝑜𝑣 (𝜃̂𝑛, 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) + 𝐸(𝜃̂𝑛)𝐸 (𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟))

= 1_𝜏𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟), 𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)) +1_𝜏𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)𝐶, 𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)) + 𝐸(𝜃̂_𝑛)𝐸 (𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)) = 1_𝜏𝑉𝑎𝑟 (𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)) +1_𝜏𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)𝐶, 𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)) + 𝐸(𝜃̂_𝑛)𝐸 (𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)). (20)

Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Lema 4 serta persamaan (19) maka persamaan (20) menjadi 1 𝜏𝑉𝑎𝑟 (𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) + 1 𝜏𝐶𝑜𝑣 (𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) 𝐶_{, 𝛬̂} 𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) + 𝐸(𝜃̂𝑛)𝐸 (𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) =1 𝜏( 𝑎𝜏𝑡𝑟 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)+ 2𝜋2𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝜋2(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)+12𝑎𝜏𝑡𝑟𝛾 12(𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))2 + 𝑜 ( 1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))2)) + 𝑂 ( 1 (𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))2) + (𝜃 +_{2 𝑙𝑛(𝑘}2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾 𝑛,𝜏)+ 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) (𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) = 𝜃𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) +𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟))+2𝑎𝜏𝑡𝑟 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)), untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

Lema 8: Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan

lokal. Jika kondisi (2) dan (7) dipenuhi, maka dengan peluang 1,

N([0, n]) → ∞ (21) untuk 𝑛 → ∞. Bukti: 𝐸[𝑁([0, 𝑛])] = ∫ 𝜆(𝑠)𝑑𝑠₀𝑛 = ∫ (𝜆₀𝑛 _𝑐(𝑠) + 𝑎𝑠) 𝑑𝑠 = 𝜃𝑛 +𝑎𝑛 2 2 + 𝑂(1), (22)

untuk 𝑛 → ∞. Kemudian, berdasarkan Teorema L.2 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh (21). Bukti lengkap.

Berdasarkan Lema 1 dan 2, diperoleh Akibat berikut

Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

𝐸 ((𝜃̂𝑛)2) = 𝜃2+𝑎+2𝜃

2_{𝛾−𝑎𝜏𝜃𝛾} 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 (

1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler. Berdasarkan Lema 3 dan 4, diperoleh Akibat berikut

Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan

terintegralkan lokal, maka 𝐸 ((𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) 2 ) = (𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 2 +𝑎𝜏𝑡𝑟+2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟))2+𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler.

15

Berdasarkan Lema L.2 dan Lema L.3 diperoleh Akibat berikut

Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka

𝐸((𝑎̂_𝑛)2_{) = 𝑎}2 ₊4𝑎𝜃 𝑛 + 𝑂 (

1 𝑛2) untuk 𝑛 → ∞.

PENDEKATAN ASIMTOTIK BIAS DAN RAGAM PENDUGA

Pendekatan asimtotik bias dan ragam penduga disajikan ke dalam dua teorema, yakni Teorema 1 tentang bias asimtotik penduga dan Teorema 2 tentang ragam asimtotik penduga.

Teorema 1 (Bias Asimtotik Penduga):

Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika 𝑌(𝑡) memenuhi persamaan (3), maka

𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂_𝑛(𝑡)] = 𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 (

1

𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) (23) untuk 𝑛 → ∞, dengan 𝛾 = 0.577 … adalah konstanta Euler.

Bukti: Perhatikan 𝐸[𝜓̂𝑛(𝑡)] = 𝐸 [𝐸[𝜓̂𝑛(𝑡)|𝑁([0, 𝑛])]] = ∑∞_{𝑚= 0}𝐸[𝜓̂_𝑛(𝑡)|𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚]𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) = 𝐸[𝜓̂_𝑛(𝑡)|𝑁([0, 𝑛]) = 0]𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 0) + ∑∞ 𝐸[𝜓̂_𝑛(𝑡)|𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚] 𝑚= 1 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚).

Untuk 𝑁([0, 𝑛]) = 0 maka 𝜓̂_𝑛(𝑡) = 0. Sedangkan 𝑁([0, 𝑛]) ≥ 1 𝜓̂_𝑛(𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃̂𝑛+ 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) + 𝑎̂𝑛𝑡 2 2) 1 𝑁([0,𝑛])∑ 𝑋𝑖 𝑁([0,𝑛]) 𝑖= 1 . Sehingga diperoleh untuk 𝑚 ≥ 1

𝐸[𝜓̂𝑛(𝑡)] = ∑ 𝐸 (𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃̂_𝑛+ 𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡𝑟) + 𝑎̂𝑛𝑡 2 2) 𝐸 ( 1 𝑚∑ 𝑋𝑖 𝑚 𝑖=1 ) 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) ∞ 𝑚= 1 = ∑ (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝐸(𝜃̂𝑛) + 𝐸 (𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) + 𝐸(𝑎̂𝑛)𝑡 2 2) 𝐸 ( 1 𝑚∑ 𝑋𝑖 𝑚 𝑖=1 ) 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) ∞ 𝑚= 1 .

∑ (𝑘_𝑡,𝜏𝜏 (𝜃 +_{2 𝑙𝑛(𝑘}2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾 𝑛,𝜏)+ 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) + 𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + ∞ 𝑚= 1 𝑜 (_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)) + (𝑎 + 2𝜃 𝑛 + 𝑂 ( 1 𝑛2)) 𝑡2 2) 𝜇𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) = ∑ (𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) +𝑎𝑡2 2 ) ∞ 𝑚= 1 𝜇𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) + ∑ (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) ∞ 𝑚= 1 𝜇𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) = (𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) +𝑎𝑡 2 2 ) 𝜇 ∑ 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) ∞ 𝑚=1 + (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) 𝜇 ∑ 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) ∞ 𝑚=1 = 𝜓(𝑡)(1 − 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 0)) + (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 (_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏))) 𝜇(1 − 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 0)) = (𝜓(𝑡) + (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) 𝜇) (1 − 𝑒 −𝛬(𝑛)_).

untuk 𝑛 → ∞. Dengan perhitungan sederhana, diperoleh 𝛬(𝑛) = 𝐸[𝑁(0, 𝑛)] = 𝜃𝑛 +𝑎𝑛₂2+ 𝑂(1) untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh

(𝜓(𝑡) + (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) 𝜇) (1 − 𝑒 −𝛬(𝑛)₎ = (𝜓(𝑡) + (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) 𝜇) (1 − 𝑒−(𝜃𝑛+ 𝑎𝑛2 2 +𝑂(1))₎ = 𝜓(𝑡) +𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)), (24) untuk 𝑛 → ∞. Dengan persamaan (24) diperoleh

𝑏𝑖𝑎𝑠[𝜓̂𝑛(𝑡)] = 𝐸[𝜓̂𝑛(𝑡)] − 𝜓(𝑡) = 𝜓(𝑡) +𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) − 𝜓(𝑡) =𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟 2_−2𝜏𝑡 𝑟) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) untuk 𝑛 → ∞. Bukti lengkap.

17

Teorema 2 (Ragam Asimtotik Penduga)

Misalkan fungsi intensitas 𝜆 memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika 𝑌(𝑡) memenuhi persamaan (3), maka

𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛(𝑡)] = 𝜇 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡} 𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 2 + 𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘𝑡,𝜏𝜏 ( 𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟 2 ) + 𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 𝑡2( (2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 ) − 𝜓(𝑡) 𝜇 (𝑘𝑡,𝜏𝜏(2𝜃𝛾 − 𝑎𝜏𝛾) + 2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝛾(𝑡𝑟2 − 2𝜏𝑡𝑟))) + 𝑜 (_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)), (25) untuk 𝑛 → ∞. Bukti:

Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut:

𝑣𝑎𝑟[𝜓̂𝑛(𝑡)] = 𝐸 [(𝜓̂𝑛(𝑡)) 2

] − (𝐸[𝜓̂𝑛(𝑡)])2. (26) Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (26) telah diperoleh pada persamaan (24), sehingga diperoleh tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut:

𝐸 [(𝜓̂_𝑛(𝑡))2] = 𝐸 [𝐸 [(𝜓̂𝑛(𝑡)) 2 |𝑁([0, 𝑛])]] = ∑ 𝐸 [(𝜓̂𝑛(𝑡)) 2 |𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚] 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) ∞ 𝑚= 0 = [(𝜓̂_𝑛(𝑡))2|𝑁([0, 𝑛]) = 0] 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 0) + ∑∞ 𝐸 [(𝜓̂_𝑛(𝑡))2|𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚] 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) 𝑚= 1 .

Untuk 𝑁([0, 𝑛]) = 0 maka 𝜓̂𝑛(𝑡) = 0. Sedangkan untuk 𝑁([0, 𝑛]) ≥ 1 𝜓̂𝑛(𝑡) = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃̂𝑛+ 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) + 𝑎̂𝑛 𝑡 2 2) 1 𝑁([0,𝑛])∑ 𝑋𝑖 𝑁([0,𝑛]) 𝑖= 1 .

Sehingga diperoleh untuk 𝑚 ≥ 1 𝐸 [(𝜓̂𝑛) 2 ] = ∑ 𝐸 [(𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃̂𝑛+ 𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟) + 𝑎̂𝑛𝑡 2 2) 2 ] 𝐸 (_𝑚1∑𝑚 𝑋_𝑖 𝑖= 1 ) 2 ∞ 𝑚= 1 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚). (27) Pertama, dihitung 𝐸 [(𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃̂_𝑛+ 𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟) + 𝑎̂_𝑛𝑡2₎2_]

= (𝑘_𝑡,𝜏𝜏)2𝐸 ((𝜃̂_𝑛)2) + 𝐸 ((𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟))

2

) +𝑡₄4𝐸((𝑎̂_𝑛)2_{) + 2𝑘}

𝑡,𝜏𝜏𝐸 (𝜃̂𝑛𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) +

𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2𝐸(𝜃̂_𝑛𝑎̂_𝑛) + 𝑡2𝐸(𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟)𝑎̂_𝑛)

Berdasarkan Akibat 1 – Akibat 3 dan Lema 5 – Lema 7 maka diperoleh (𝑘_𝑡,𝜏𝜏)2𝐸 ((𝜃̂_𝑛)2) + 𝐸 ((𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) 2 ) +𝑡₄4𝐸((𝑎̂_𝑛)2_{) + 2𝑘} 𝑡,𝜏𝜏𝐸 (𝜃̂𝑛𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)) + 𝑘𝑡,𝜏𝜏𝑡2𝐸(𝜃̂𝑛𝑎̂𝑛) + 𝑡2𝐸(𝛬̂𝑐,𝑛(𝑡𝑟)𝑎̂𝑛) = (𝑘_𝑡,𝜏𝜏)2(𝜃2+𝑎+2𝜃 2_{𝛾−𝑎𝜏𝜃𝛾} 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) + ((𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 2 + 𝑎𝜏𝑡𝑟+2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟))2+𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟) 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) + 𝑡4 4 (𝑎 2 ₊4𝑎𝜃 𝑛 + 𝑂 ( 1 𝑛2)) + 2𝑘𝑡,𝜏𝜏 (𝜃𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) + 𝑘𝑡,𝜏𝜏𝑡2(𝑎𝜃 +2𝑎𝜃𝛾−𝑎 2_𝜏𝛾 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) + 𝑡 2_(𝑎𝛬 𝑐(𝑡𝑟) + (2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏))) = (𝑘_𝑡,𝜏𝜏)2𝜃2+ (𝛬_𝑐(𝑡_𝑟))2+ 𝑎2 𝑡 4 4 + 2𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑘𝑡,𝜏𝜏𝑡 2_{𝜃𝑎 + 𝑡}2_𝛬 𝑐(𝑡𝑟)𝑎 + 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡} 𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 2 + 𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘𝑡,𝜏𝜏 ( 𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟 2 ) + 𝑘𝑡,𝜏𝜏𝑡2(2𝑎𝜃𝛾−𝑎 2_𝜏𝛾 2 ) + 𝑡 2₍(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 )) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)) = (𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝑡 2 2) 2 +_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) +} (𝑎𝜏𝑡𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟))2+ 𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘_𝑡,𝜏𝜏 (𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬₂𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟) + 𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 𝑡2₍(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 )) + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)), (28) untuk 𝑛 → ∞. Kedua, dihitung 𝐸 [(_𝑚1 ∑𝑚 𝑋_𝑖 𝑖= 1 ) 2 ] = _𝑚1₂𝐸[(∑𝑚_{𝑖= 1}𝑋_𝑖)2]

19 = 1 𝑚2𝐸[∑ 𝑋𝑖 2_{+ ∑ ∑ 𝑋} 𝑖𝑋𝑗 𝑚 𝑗= 1,𝑗≠𝑖 𝑚 𝑖= 1 𝑚 𝑖= 1 ] = _𝑚1₂(∑𝑚𝑖= 1𝐸(𝑋𝑖2) + ∑𝑚𝑖= 1∑𝑚𝑗= 1,𝑗≠𝑖𝐸(𝑋𝑖)𝐸(𝑋𝑗)) = _𝑚1₂(𝑚𝐸(𝑋𝑖2) + (𝑚2− 𝑚)𝐸(𝑋𝑖)𝐸(𝑋𝑗)) = _𝑚1 (𝜇2+ 𝜎2) + (1 −_𝑚1) 𝜇2 = 𝜇2+𝜎 2 𝑚. (29)

Berdasarkan persamaan (28), dan persamaan (29) maka untuk 𝑚 ≥ 1 persamaan (27) menjadi 𝐸 [(𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃̂_𝑛+ 𝛬̂_𝑐,𝑛(𝑡_𝑟) + 𝑎̂_𝑛𝑡₂2)2] 𝐸 (_𝑚1 ∑𝑚 𝑋_𝑖 𝑖= 1 ) 2 = ((𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎𝑡 2 2) 2 +_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) +} (𝑎𝜏𝑡_𝑟+ 2𝛾(𝛬_𝑐(𝑡_𝑟))2+ 𝑎𝛾𝛬_𝑐(𝑡_𝑟)(𝑡_𝑟2_{− 2𝜏𝑡} 𝑟)) + 2𝑘_𝑡,𝜏𝜏 (𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐₂(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡2𝑟−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟) + 𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 𝑡2₍(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 ))) (𝜇2+ 𝜎2 𝑚) = ((𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎𝑡 2 2) 𝜇) 2 +_{𝑙𝑛(𝑘}𝜇2 𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) +} (𝑎𝜏𝑡_𝑟+ 2𝛾(𝛬_𝑐(𝑡𝑟)) 2 + 𝑎𝛾𝛬_𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘_𝑡,𝜏𝜏 (𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐₂(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡2𝑟−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟) + 𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 𝑡2₍(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 )) + ((𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎 𝑡2 2) 2 + 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡} 𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 2 + 𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘𝑡,𝜏𝜏 ( 𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟 2 ) + 𝑘𝑡,𝜏𝜏𝑡2(2𝑎𝜃𝛾−𝑎 2_𝜏𝛾 2 ) + 𝑡 2₍(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 ))) 𝜎2 𝑚 + 𝑜 ( 1 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)), untuk 𝑛 → ∞. Jadi diperoleh

𝐸 [(𝜓̂_𝑛(𝑡))2] = (((𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬_𝑐(𝑡_𝑟) + 𝑎𝑡 2 2) 𝜇) 2 +_{𝑙𝑛(𝑘}𝜇2 𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) +} (𝑎𝜏𝑡𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟))2+ 𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘_𝑡,𝜏𝜏 (𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬₂𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟) + 𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 𝑡2₍(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 ))) (∑ 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) ∞ 𝑚= 1 ) + ((𝑘𝑡,𝜏𝜏𝜃 + 𝛬𝑐(𝑡𝑟) + 𝑎𝑡 2 2) 2 +_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡} 𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟))2+ 𝑎𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)(𝑡𝑟2− 2𝜏𝑡𝑟)) + 2𝑘_𝑡,𝜏𝜏 (𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬₂𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟) + 𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 𝑡2₍(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 ))) 𝜎2 𝑚(∑ 1 𝑚𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) ∞ 𝑚= 1 ) + 𝑜 (_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)) (∑ 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚) ∞ 𝑚= 1 + ∑∞𝑚= 1_𝑚1𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚)), untuk 𝑛 → ∞. Berdasarkan bukti dalam Teorema 1, diperoleh

∑∞ 𝑃(𝑁([0, 𝑛]) = 𝑚)

𝑚= 1 = 1 + 𝑂(𝑒−𝑛)

untuk 𝑛 → ∞. Terakhir berdasarkan Lampiran 3, diperoleh ∑∞_{m= 1m}1 P(N([0, n]) = m)= 1

θn+an2₂ + O ( 1

n2) (30) untuk 𝑛 → ∞. Sehingga diperoleh

𝐸 [(𝜓̂_𝑛(𝑡))2] = ((𝜓(𝑡))2+ 𝜇 2 𝑙𝑛(𝑘𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡} 𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟)) 2 + 𝑎𝛾𝛬_𝑐(𝑡_𝑟)(𝑡_𝑟2_{− 2𝜏𝑡} 𝑟)) + 2𝑘𝑡,𝜏𝜏 ( 𝛬𝑐(𝑡𝑟)(2𝜃𝛾−𝑎𝜏𝛾)+𝜃(2𝛾𝛬𝑐(𝑡𝑟)+𝑎𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟))+2𝑎𝑡𝑟 2 ) + 𝑘_𝑡,𝜏𝜏𝑡2₍2𝑎𝜃𝛾−𝑎2𝜏𝛾 2 ) + 𝑡 2₍(2𝑎𝛬𝑐(𝑡𝑟)𝛾+𝑎2𝛾(𝑡𝑟2−2𝜏𝑡𝑟)) 2 ))) (1 + 𝑂(𝑒 −𝑛_{)) +} ((𝜓(𝑡))2+_{𝑙𝑛(𝑘}1 𝑛,𝜏)((𝑘𝑡,𝜏𝜏) 2 (𝑎 + 2𝜃2_{𝛾 − 𝑎𝜏𝜃𝛾) + (𝑎𝜏𝑡} 𝑟+ 2𝛾(𝛬𝑐(𝑡𝑟))2+