BONNO ANDRI WIBOWO
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Penduga Fungsi Nilai Harapan Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWADI.
Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di bidang asuransi dan keuangan, fisika, demografi, geologi, serta biologi. Pengembangan model proses Poisson majemuk telah dimulai dengan menggunakan model proses Poisson periodik majemuk. Penelitian terakhir dengan menambahkan tren linear pada model tersebut. Hasil terakhirnya diperoleh penduga yang konsisten (lemah) bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear.
Penelitian lanjutan ini memiliki dua tujuan, yaitu: (1) Menentukan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear; (2) Meneliti keakuratan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga untuk kasus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangkitan.
Misalkan {� , ≥ } adalah suatu proses dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal (tidak diketahui) . Kita asumsikan mempunyai dua komponen, sebuah komponen periodik � dengan periode (diketahui) � > dan sebuah komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap > 0, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut:
= � + ,
dengan � adalah sebuah fungsi periodik dengan periode � dan melambangkan kemiringan dari tren linear dengan > . Kita tidak mengasumsikan bentuk parametrik apapun dari � kecuali bentuk periodik yang dapat ditulis sebagai berikut:
� = � + ��
untuk setiap ≥ 0 dan � ∈ ℕ, dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli. Misalkan { , ≥ } adalah suatu proses dengan
=∑� ��= �
di mana { �, � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas terhadap {� , ≥ }. Nilai harapan dari adalah
= �[ ] = ��,��� + �� � + �2 dengan
��,�= �� , �= − ��,��,
� = ��� �
dimana untuk setiap bilangan real x, � melambangkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. � merupakan fungsi intensitas dari proses
{� , ≥ }. Diasumsikan � > .
Misalkan untuk suatu ∈ Ω, suatu realisasi tunggal � dari proses
{� , ≥ } yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω, ℱ,P diamati pada suatu interval terbatas [ , ]. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi
� ∩ [ , ] yang diamati, misalkan titik data ke-�, � =1, 2, ..., �[ , ], peubah acak � yang bersesuaian juga diamati.
Misalkan ��,� = �
� , penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:
̂� = ��,���̂�+ �̂�,� � + ̂��2 ̂�, dengan
̂�= �[ ,�]�2 ,
�̂� =ln(��,�)�∑��=�,�� [ �− �,��]� − ̂�(ln(���,��,��)−�),
�̂�,� � =ln(��,�)∑��=�,�� [ �− �, �− �+�� �] − ̂�(ln(���,����,��)+(��
2− ���)
),
dan
̂�=� [ ,�] ∑� [ ,�]�= �,
dengan ̂� = saat � [ , ] = berimplikasi ̂� = saat � [ , ] = . Bias asimtotik penduga adalah
� [ ̂� ] =��,�� ��−��� + ����� +��(��
2− ���)
ln(��,�) + (ln(��,�))
dan ragam asimtotik penduga adalah
� [ ̂� ] = �
2
ln(��,�)((��,��) + � � − ��� + ( � �+ �(�� � ) +
��� � � − � � ) + ��,�� �� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ���
+
��,�� ���−�
2��
+ ����� �+�2�(��2− ���) −� �� ��,�� �� − �� +
��� � + � � − � � ) + (ln(��,�))
untuk → ∞. Simulasi model memberikan visualisasi mengenai proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Bias dan ragam penduga akan semakin menuju 0 seiring memanjangnya interval pengamatan.
Variance of an Estimator for the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWADI.
A stochastic process has an important role in modeling various real phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson process. Many phenomena in different fields have been modeled as a compound Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and finance, physics, demography, geology, and biology. A compound Poisson process model have been extended by using compound cyclic Poisson process model. The last research is adding linear trend to the model, and the result is getting formula for an estimator of the mean function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend and it has been proved (weakly) consistent.
This further reseacrh has two objectives as follows: (1) to determine asymptotic approximations to the bias and variance of an estimator for the mean function of a compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend; (2) to study asymptotic approximations in the case of bounded observation time interval, using simulation with generated data.
Let {� , ≥ } be a cyclic Poisson process with (unknown) locally integrable intensity function . We assume has two components, a cyclic compunent � with (known) period � > and a linear trend. In other words, for any > , the intensity function can be written as:
= � + ,
with � be a periodic function with period � and be the slope of the linear trend with > . We do not assume any (parametric) form of � except that it is periodic, that is, the equality
� = � + ��
holds for all ≥ 0 and � ∈ ℕ, with ℕ be the set of natural numbers. Let { , ≥
} be process where
= ∑� ��= �
with { �, � ≥ } is a sequence of independent and identically distributed random variables having mean < ∞ and variance � < ∞, which is also independet of the process {� , ≥ }. The mean function of is given by
= �[ ] = ��,��� + �� � + �2 where
��,�= �� , �= − ��,��,
�� = ∫� � � , and
where for any real numbers �, � denotes the biggest integer which is less than or equal to �. � is the global intensity of the process {� , ≥ }. We also assume that � > .
Suppose that, for some ∈ Ω, a single realization � of the process
{� , ≥ } defined on a probability space Ω, ℱ,P is observed, though only within a bounded interval [ , ]. Futhermore, suppose that for each data point in the observed realization � ∩ [ , ], say �-th data point, � =1, 2, ..., �[ , ], its corresponding random variable � is also observed.
Let ��,� = �
� , the estimator of the mean function is given by
̂� = ��,���̂�+ �̂�,� � + ̂��2 ̂�, where
̂�= �[ ,�]�2 ,
�̂� =ln(��,�)�∑��=�,�� [ �− �,��]� − ̂�(ln(���,��,��)−�),
�̂�,� � =ln(��,�)∑��=�,�� [ �− �, �− �+�� �] − ̂�(ln(���,����,��)+(��
2− ���)
),
and
̂�=� [ ,�] ∑� [ ,�]�= �,
with the understanding that ̂� = when � [ , ] = , implies ̂� = when
� [ , ] = .
Asymptotic approximation to the bias of the estimator is
� [ ̂� ] =��,�� ��−��� + ����� +��(��
2− ���)
ln(��,�) + (ln(��,�))
and asymptotic approximation to the variance of the estimator is
� [ ̂� ] = �
2
ln(��,�)((��,��) + � � − ��� + ( � �+ �(�� � ) +
��� � � − � � ) + ��,�� �� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ���
+
��,�� ���−�
2��
+ ����� �+�2�(��2− ���) −� �� ��,�� �� − �� +
��� � + � � − � � ) + (ln(��,�))
as → ∞. Simulation provides visualization about compound cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Bias and variance of the estimator will to zero as the length of observation interval goes to infinity.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang – Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM
PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PROSES POISSON
PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN LINEAR
BONNO ANDRI WIBOWO
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MAppSc selaku Ketua Komisi Pembimbing dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc. selaku Anggota Komisi Pembimbing atas semua perhatian, ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu (you are my superwomen in my life), Lukman, Adi, Widi atas segala doa dan kasih sayangnya. Serta taklupa, saya ucapkan terima kasih kepada Dikti atas beasiswa fresh graduate yang penulis terima selama perkuliahan. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman–teman Matematika 47, Gumapastika, dan Matematika Terapan angkatan 50 serta rekan–rekan di PT Asuransi Jiwa Manulife Indonesia yang telah memberikan kesempatan saya belajar banyak hal selama masa internship.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitan 2
Manfaat Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
Proses Stokastik 2
Proses Poisson 3
Proses Poisson Majemuk 3
Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk 3 Kekonsistenan Penduga Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk dengan Tren Linear 5
PERUMUSAN PENDUGA 7
Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 7
Ide Penduga Modifikasi 8
BEBERAPA LEMA TEKNIS 10
PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS DAN RAGAM PENDUGA 15
SIMULASI MODEL 22
SIMPULAN 25
DAFTAR PUSTAKA 26
LAMPIRAN 27
1 Bias dan Ragam ̂� 24
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik dan ̂� 23
2 Grafik selisih (%) antara dan ̂� 24
DAFTAR LAMPIRAN
1 Beberapa Lema dan Teorema Teknis 28
2 Bukti beberapa Lema teknis 30
3 Bukti beberapa persamaan 41
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini dapat digunakan untuk memodelkan fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh karena itu, untuk memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan datang diperlukan suatu peramalan. Peramalan tersebut berguna untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang.
Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk. Proses Poisson majemuk dapat digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat terhadap suatu perusahaan asuransi, sehingga perusahaan tersebut dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (�̈zel 2011) dan biologi (Puig dan Barquinero 2011).
Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan, asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi tak konstan dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Mangku et al. 2014). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena yang terjadi secara periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti jumlah klaim agregat dari suatu produk asuransi.
lanjutan ini dilakukan penentuan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga tersebut dan mempelajari perilaku penduga tersebut melalui simulasi menggunakan bangkitan data bangkitan.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan sebagai berikut:
1. Menentukan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear.
2. Meneliti keakuratan pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga untuk kasus panjang interval pengamatan yang terbatas melalui simulasi dengan data bangkitan.
Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi mengenai bias dan ragam penduga dan penggunaan model pada data yang diperoleh sehingga dapat menjadi pertimbangan bagi pengguna model matematika yang berkaitan dengan proses Poisson.
TINJAUAN PUSTAKA
Proses Stokastik
Proses stokastik = { , ∈ �} adalah suatu himpunan dari peubah acak. Indeks t sering kali diinterpretasikan sebagai waktu dan sebagai state dari proses di waktu t. Himpunan T himpunan indeks dari proses. Ketika T merupakan himpunan terhitung maka proses stokastiknya disebut dengan proses dengan waktu diskret, sedangkan jika T merupakan interval dari rentang waktu tertentu, proses stokastik disebut proses dengan waktu kontinu (Ross 2010).
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { , ∈ �} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua < < < ⋯ < �, peubah acak −
, − , … , � − �− adalah saling bebas (Ross 2010). Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { , ∈ �} disebut memiliki inkremen stasioner jika + − memiliki sebaran yang sama untuk semua (Ross 2010).
Suatu proses stokastik { , ≥ } disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu . Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut (Ross 2010):
1. ≥ untuk setiap ∈ [ , ∞ . 2. Nilai adalah integer.
3. Jika < maka di mana , ∈ [ , ∞ .
3
Proses Poisson
Suatu proses pencacahan {� , ≥ } disebut proses Poisson homogen dengan laju , > , jika memenuhi tiga syarat berikut (Ross 2010):
1. � = .
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi, untuk semua t,s ≥ ,
� + − � = � = − ��! , � = , , …
Dari syarat 3 bisa diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner serta diperoleh bahwa �(� ) = .
Suatu proses pencacahan {� , ≥ } disebut proses Poisson non-homogen dengan fungsi intensitas , > , jika (Ross 2010):
1. � = .
2. {� , ≥ } memiliki inkremen bebas.
3. P{� + − � ≥ } =
4. P{� + − � = } = + , untuk → .
Laju dari suatu proses Poisson non-homogen {� , ≥ }, yaitu disebut fungsi intensitas proses tersebut (Ross 2010). Intensitas lokal dari suatu proses Poisson non-homogen � dengan fungsi intensitas pada titik ∈ adalah
, yaitu nilai fungsi di (Cressie 1993).
Proses Poisson Majemuk
Misalkan { , ≥ } adalah suatu proses dengan = ∑� ��= �
di mana { �, � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas terhadap {� , ≥ }. Proses { , ≥ } disebut dengan proses Poisson majemuk.
Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk
Misalkan {�� , ≥ } adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas � terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
�(s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi
� = � + �� ,
untuk setiap ≥ 0 dan � ∈ ℕ, dengan ℕ menyatakan himpunan bilangan asli. Nilai harapan dari proses {�� , ≥ } adalah
kt,τ= ⌊τ⌋,t
di mana untuk setiap bilangan real , menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan , �= − ��,��,
�� � = ∫ � ��
� , dan
� = � �� � ,
yaitu fungsi intensitas global dari proses {�� , ≥ }. Diasumsikan bahwa � > .
Selanjutnya, misalkan { � , ≥ } adalah suatu proses dengan � = ∑��= �� �,
di mana { �, � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas terhadap proses {�� , ≥ }. Proses { � , ≥ } disebut dengan proses Poisson periodik majemuk.
Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:
� = �[ � ] = ��,��� + �� � .
Penduga bagi fungsi nilai harapan � dirumuskan sebagai berikut: ̂�,� = ��,���̂�,�+ �̂∗∗�,�
� ̂�,�, dengan
�̂�,�= ��[ ,�]� ,
�̂∗∗�,� � =��∑∞= �� [��, �� + �] ∩ [ , �] , ̂�,� = ��[ ,�] ∑��= � [ ,�] �,
dengan ̂�,� = saat �� [ , �] = . Penduga nilai harapan tersebut telah dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Ruhiyat (2013) telah menentukan laju kekonvergenan bias dan ragam serta mean square error (MSE) dari ̂�,� sebesar
� , untuk � → ∞.
Mangku et al. (2014) melakukan modifikasi terhadap penduga �̂�,� dan �̂�,�∗∗ � berturut-turut sebagai berikut:
�̂�,� = ,��∑ = ,�− �� [��, �� + �] ,
�̂∗∗�,� � = ,�∑ = ,�− �� [��, �� + �] .
5
�� [ ̂�,� ] = − ��� + −� ,
�� [ ̂�,� ] = � �� �,��� + �� � ( + ��,�) +��� ��,��� + �� �
+ (� ) untuk � → ∞.
Kekonsistenan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear
Misalkan {� , ≥ } adalah suatu proses dengan fungsi intensitas terintegralkan lokal (tidak diketahui) . Kita asumsikan mempunyai dua komponen, sebuah komponen periodik � dengan periode (diketahui) � > dan sebuah komponen tren linear. Dengan kata lain, untuk setiap > 0, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut:
= � + � ,
dengan � adalah sebuah fungsi periodik dengan periode � dan � melambangkan kemiringan dari tren linear dengan � > .
Misalkan { , ≥ } adalah suatu proses dengan = ∑� ��= �
di mana { �, � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas terhadap {� , ≥ }. Proses { , ≥ } disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear.
Nilai harapan dari , dinotasikan dengan , sebagai berikut: = �[� ]�[ ] = �
dengan � = ∫� � .
Misalkan � = − �� �, dimana untuk setiap bilangan real x, melambangkan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, dan misalkan pula ��,� = �
� . Kemudian, untuk setiap bilangan positif , = ��,�� + �, dengan � < . Misalkan
�� = ∫ �
�
� serta
� = � �� �
� = ��,��� + �� � + � .
Akhirnya, fungsi nilai harapan dari dapat dituliskan menjadi = ��,��� + �� � + � .
Pendugaan fungsi nilai harapan pada persamaan tersebut dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan � yang merupakan slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global �, dan pendugaan �� � yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu [ , �].
Penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut: ̂� = ��,���̂�∗+ �̂
�,� ∗
� + �̂� ̂�, dimana
�̂� = � [ , �]� ,
�̂�∗ = � � �⁄ ∑∞= � [ �, + �]∩[ ,�]� − �̂� �+ � � ��⁄ ,
�̂�,�∗ � = � � �⁄ ∑ � [ �, �+��]∩[ ,�] − �̂� �� 2
+ ��� � � �⁄ ∞
= ,
dan
̂� =� [ ,�] ∑� [ ,�]�= �,
dengan ̂� = saat � [ , �] = berimplikasi ̂� = saat � [ , �] = . Penduga bagi tingkat kemiringan � telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global � telah dikaji pada Mangku (2005) untuk tujuan berbeda dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian �� � telah dikaji pada Mangku (2010) untuk tujuan berbeda.
Wibowo (2014) telah membuktikan bahwa penduga nilai harapan tersebut kekonsistenan lemah, yakni
̂� →
PERUMUSAN PENDUGA
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear
Misalkan {� , ≥ } adalah suatu proses Poisson takhomogen. Fungsi intensitas diasumsikan berbentuk
= � + � , (1)
dengan � adalah sebuah fungsi periodik dengan periode � dan � melambangkan kemiringan dari tren linear dengan
� > . (2)
Proses { , ≥ } disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear jika
= ∑� ��= � (3)
di mana { �, � ≥ } adalah barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan < ∞ dan ragam � < ∞, yang juga bebas terhadap {� , ≥ }.
Misalkan untuk suatu ∈ Ω, suatu realisasi tunggal � dari proses {� , ≥ } yang terdefinisi pada suatu ruang peluang Ω, ℱ, � diamati pada suatu interval terbatas [ , �]. Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi � ∩ [ , �] yang diamati, misalkan titik data ke-i, i= 1, 2, ... , � [ , �] , peubah acak � yang bersesuaian juga diamati.
Fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear:
= �[ ] = ��,��� + �� � + ��2 . (4)
dengan
��,� = ⌊�⌋,
� = − ��,��,
�� = ∫� � � (5)
serta
� =��� � (6)
yaitu fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {� , ≥ }. Kita asumsikan bahwa
� > . (7)
Misalkan ��,� = �
� , penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:
̂� = ��,���̂�+ �̂�,� � + �̂��2
̂� (8) dengan
θ̂n= n( Penduga bagi tingkat kemiringan � telah dikaji pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global � merupakan modifikasi dari �̂� pada Mangku (2005) dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian �� � merupakan modifikasi dari �̂�,� � pada Mangku (2010).
Ide Penduga Modifikasi Penduga �
9
Karena � = ∑ =,� ≈ ln(��,�) dan �[� [ � − �, ��] ] diganti dengan padanan stokastiknya yaitu � [ � − �, ��] sehingga diperoleh
�̂�= �( ,�)�∑ =,�� [ − �, �] − �̂�(�( ,��,�)−�).
Penduga �� ��
Karena � = ∑ =,� ≈ ln(��,�) dan �[� [ � − �, � − �+ �] ] diganti dengan padanan stokastiknya yaitu � [ � − �, � − �+ �] sehingga diperoleh
�̂�,� � = n( ,τ)∑ =,τN [ − τ, − τ+tr] − �̂�(n(,���,��)+(�� 2− ���)
).
BEBERAPA LEMA TEKNIS
Bagian ini memuat beberapa Lema teknis yang digunakan dalam penentuan pendekatan bias dan ragam asimtotik penduga.
Lema 1: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
�[�̂�] = � + �� − ����(�
�,�) + �(��,�)
untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler. Dengan kata lain �̂� merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi �.
Bukti:
�[�̂�]
= � [
�( ,�)�∑
� [ − �, �] ,�
= − �̂�(�( ,��,�)−�)]
=
�( ,�)�∑
�[� [ − �, �] ] ,�
= − (�( ,��,�)−�) �[�̂�]. (13)
Perhatikan bahwa �[�[ � − �, ��]]
= ∫ �− � �
= ∫ �− � � + � �
= ∫ �− � � � + ∫ �− �� �
= �
�∫ � � �
+ � 2| − � �
= �� +� − �2. (14)
Berdasarkan persamaan (14) maka bagian pertama ruas kanan persamaan (13) menjadi
�( ,�)�∑ ,�
11
Berdasarkan Lema L.1 maka �( ,�)�∑ �� −
Lema 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
�� [�̂�] = �(� ,�)+ ��
2+�( ��−��2)
�( �( ,�))2 + (( �( ,�))2) untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.
Lema 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
�[� [ � − �, � − �+ �] ]
13
Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
�� [�̂�,� � ] = �(����,�)+ �
2����+��2(��2− ���)+ �����
( �( ,�))2 + (( �( ,�))2) untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.
Lema 5: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka
�(�̂��̂�) = �� + ���−� 2��
�( ,�) + (�( ,�)) untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.
Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
�(�̂�,� � �̂�) = ��� � +
��� �� �+�2�(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler.
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.
Lema 7: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka � �̂��̂�,� �
= ��� � +�� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ����
�( ,�) + (�( ,�)) untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler.
Bukti:
Misalkan:
�̂�,� � � = �( ,�)∑ =,�� [ − �+��, �] − �̂�( �(,�� �−�,�)� − �−�� 2
).
Perhatikan bahwa:
�̂� = � (�̂�,� � + �̂�,� � �). Berdasarkan Lampiran 3, diperoleh:
� �̂�,� � �, �̂�,� � = � (
( n( ,τ))2), (19) untuk � → ∞. Sehingga diperoleh
� �̂��̂�,� �
= � �̂�, �̂�,� � + �(�̂�)� �̂�,� �
= � (
=
� � �̂�,� � , �̂�,� � +� � �̂�,� � �, �̂�,� � + �(�̂�)� �̂�,� �
=
��� �̂�,� � +� � �̂�,� � �, �̂�,� � + �(�̂�)� �̂�,� � . (20) Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Lema 4 serta persamaan (19) maka persamaan (20) menjadi
��� �̂�,� � +� � �̂�,� � �, �̂�,� � + �(�̂�)� �̂�,� �
= �
���� �( ,�)+
�2�� �� +��2(��2− ���)+ �����
( �( ,�))2 + (( �( ,�))2) + (( �( ,�))2) +
� + ��−����(
,�)+ (�( ,�)) �� � +
����� +��(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�))
= ��� � +�� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ����
�( ,�) + (�( ,�)), untuk � → ∞. Bukti lengkap.
Lema 8: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika kondisi (2) dan (7) dipenuhi, maka dengan peluang 1,
N [ , n] → ∞ (21)
untuk � → ∞.
Bukti:
�[� [ , �] ] = ∫� �
= ∫� � + � �
= �� +��2+ , (22)
untuk � → ∞. Kemudian, berdasarkan Teorema L.2 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh (21). Bukti lengkap.
Berdasarkan Lema 1 dan 2, diperoleh Akibat berikut
Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
� (�̂�) = � +�+ �
2�−����
�( ,�) + (�( ,�)) untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler. Berdasarkan Lema 3 dan 4, diperoleh Akibat berikut
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
� ( �̂�,� � ) = (�� � ) +����+ �(����) 2
+���� �� (��2− ���)
15
Berdasarkan Lema L.2 dan Lema L.3 diperoleh Akibat berikut
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
� �̂� = � + ��� + (� )
untuk � → ∞.
PENDEKATAN ASIMTOTIK BIAS DAN RAGAM PENDUGA
Pendekatan asimtotik bias dan ragam penduga disajikan ke dalam dua teorema, yakni Teorema 1 tentang bias asimtotik penduga dan Teorema 2 tentang ragam asimtotik penduga.
Teorema 1 (Bias Asimtotik Penduga):
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3), maka
�� [ ̂� ] = �,�� ��−��� + ��� �� +��(�� 2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) (23) untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler.
Bukti:
Perhatikan �[ ̂� ]
= � [�[ ̂� |� [ , �] ]]
= ∑∞= �[ ̂� |� [ , �] = ] � [ , �] =
= �[ ̂� |� [ , �] = ] � [ , �] = +
∑∞= �[ ̂� |� [ , �] = ] � [ , �] = .
Untuk � [ , �] = maka ̂� = . Sedangkan � [ , �] ≥ ̂� = ��,���̂�+ �̂�,� � + �̂��2
� [ ,�] ∑ � � [ ,�]
�= .
Sehingga diperoleh untuk ≥ �[ ̂� ]
= ∑ � ��,���̂�+ �̂�,� � + �̂�� 2
� ∑�= � � [ , �] = ∞
=
= ∑∞= ��,���(�̂�) + � �̂�,� � + � �̂� �2 � ∑�= � � [ , �] = .
∑ ��,�� � + ��−����( ,�)+ (�( ,�)) + �� � + ����� +��(�� 2− ���) �( ,�) + ∞
=
(�(
,�)) + (� + �
� + �2 ) �2
� [ , �] =
= ∑∞= ��,��� + �� � +��2 � [ , �] = +
∑ �,�� ��−��� + ����� +��(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) ∞
= � [ , �] =
= ��,��� + �� � +��2 ∑∞= � [ , �] = +
�,�� ��−��� + ��� �� +��(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) ∑ � [ , �] =
∞ =
= ( − � [ , �] = ) + �,�� ��−��� + ��� �� +��(��2− ���)
�( ,�) +
(�(
,�)) ( − � [ , �] = )
= + �,�� ��−��� + ��� �� +��(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) ( −
−� � ).
untuk � → ∞. Dengan perhitungan sederhana, diperoleh � � = �[� , � ] = �� +��2+ untuk � → ∞. Sehingga diperoleh
+ �,�� ��−��� + ����� +��(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) ( −
−� � )
= + �,�� ��−��� + ��� �� +��(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�))
( − − ��+ � 2
2 + )
= + �,�� ��−��� + ����� +��(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)), (24)
untuk � → ∞. Dengan persamaan (24) diperoleh �� [ ̂� ] = �[ ̂� ] −
= + �,�� ��−��� + ��� �� +��(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) −
= �,�� ��−��� + ����� +��(��2− ���)
17
Teorema 2 (Ragam Asimtotik Penduga)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3), maka
�� [ ̂� ] = 2
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+ �(�� � ) +
���� � � − � � ) + ��,�� �� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ��� +
��,�� ���−� 2��
+ ����� �+�2�(��2− ���) −� � ��,�� �� − ��� +
��� � + �� � − � � ) + (�( ,�)), (25)
untuk � → ∞.
Bukti:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut:
�� [ ̂� ] = � [ ̂� ] − (�[ ̂� ]) . (26)
Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (26) telah diperoleh pada persamaan (24), sehingga diperoleh tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut:
� [ ̂� ]
= � [� [ ̂� |� [ , �] ]]
= ∑∞= � [ ̂� |� [ , �] = ] � [ , �] =
= [ ̂� |� [ , �] = ] � [ , �] = +
∑∞= � [ ̂� |� [ , �] = ] � [ , �] = .
Untuk � [ , �] = maka ̂� = . Sedangkan untuk � [ , �] ≥ ̂� = ��,���̂�+ �̂�,� � + �̂� �2
� [ ,�] ∑ � � [ ,�] �= .
Sehingga diperoleh untuk ≥
� [( ̂�) ] = ∑ � [ ��,���̂�+ �̂�,� � + �̂��
2
] � ∑�= �
∞ =
� [ , �] = .
(27)
Pertama, dihitung
= (��,��) � (�̂�) + � ( �̂�,� � ) +� � �̂� + ��,��� �̂��̂�,� � +
��,�� �(�̂��̂�) + �(�̂�,� � �̂�)
Berdasarkan Akibat 1 – Akibat 3 dan Lema 5 – Lema 7 maka diperoleh
(��,��) � (�̂�) + � ( �̂�,� � ) +� � �̂� + ��,��� �̂��̂�,� � +
��,�� �(�̂��̂�) + �(�̂�,� � �̂�)
= (��,��) � +�+ �2�−����
�( ,�) + (�( ,�)) + (�� � ) +
����+ �(�� �� )2+������ (��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) + �
(� + ��� + �2 ) +
��,�� (��� � +�� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ���
�( ,�) + (�( ,�))) +
��,�� �� + ���−� 2��
�( ,�) + (�( ,�)) + (��� � +
����� �+�2�(��2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)))
= (��,��) � + (�� � ) + � � + ��,����� � + ��,�� �� + �� � � +
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+ �(�� � ) + ���� � � −
� � ) + ��,�� �� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ��� +
��,�� ���−� 2��
+ ��� �� �+�2�(��2− ���) ) + (�( ,�))
= ��,��� + �� � + ��2 +
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� +
(�� �+ �(�� � ) + ���� � � − � � ) +
��,��
���� ��−��� +� ����� +��(��2− ���) + ���
+ ��,�� ���−� 2��
+
��� ���+�2�(��2− ���)
) + (�(
,�)), (28)
untuk � → ∞.
Kedua, dihitung � [ ∑�= � ]
19
= 2�[∑�= � + ∑�= ∑ = , ≠� � ]
= 2(∑�= �( � ) + ∑�= ∑ = , ≠�� � �( ))
= 2 �( � ) + − � � �( )
= + � + −
= +�2. (29)
Berdasarkan persamaan (28), dan persamaan (29) maka untuk ≥ persamaan (27) menjadi
� [ ��,���̂�+ �̂�,� � + �̂�� 2
] � ∑�= �
= ��,��� + �� � + ��2 +
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� +
(�� �+ �(�� � ) + ���� � � − � � ) +
��,�� �� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ���
+ ��,�� ���−� 2��
+
����� �+�2�(��2− ���)
) +�2
= ��,��� + �� � + ��2 + 2
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� +
(�� �+ �(�� � ) + ���� � � − � � ) +
��,��
�� �� ��−��� +� ��� �� +��(��2− ���) + ���
+ ��,�� ���−� 2��
+
����� �+�2�(��2− ���)
) + ��,��� + �� � + �� 2
+
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+ �(�� � ) + ���� � � −
� � ) + ��,�� ���� ��−��� +� �����+��(��
2− ���) + ��� +
��,�� ���−� 2��
+ ����� �+�2�(��2− ���) ) �2+ (�( ,�)),
� [ ̂� ]
= ��,��� + �� � + ��2 + 2
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� +
(�� �+ �(�� � ) + ���� � � − � � ) +
��,��
���� ��−��� +� ����� +��(��2− ���) + ���
+ ��,�� ���−� 2��
+
��� ���+�2�(��2− ���)
) ∑∞ � [ , �] =
= + ��,��� +
�� � + �� 2
+ �(
,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+
�(�� � ) + ���� � � − � � ) +
��,�� ���� ��−��� +� ����� +��(��
2− ���) + ���
+ ��,�� ���−� 2��
+
��� ���+�2�(��2− ���)
) �2 ∑∞ � [ , �] =
= +
(�(
,�)) ∑ � [ , �] = ∞
= + ∑∞= � [ , �] = ,
untuk � → ∞. Berdasarkan bukti dalam Teorema 1, diperoleh ∑∞ � [ , �] =
= = + −�
untuk � → ∞. Terakhir berdasarkan Lampiran 3, diperoleh ∑∞= � N [ , n] = m =
θn+a 22 + � n2 (30) untuk � → ∞. Sehingga diperoleh
� [ ̂� ]
= ( ) + 2
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+ �(�� � ) +
���� � � − � � ) + ��,��
���� ��−��� +� ����� +��(��2− ���) + ��� +
��,�� ���−� 2��
+ ��� �� �+�2�(��2− ���) ) ( + −� ) +
( ) + �(
21
���� � � − � � ) + ��,��
�� �� ��−��� +� ��� �� +��(��2− ���) + ��� +
��,�� ���−� 2��
+ ����� �+�2�(��2− ���) ) �
��+� 22 + �2 +
(�(
,�)) +
−� +
��+� 22 + �2
= ( ) + 2
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+ �(�� � ) +
���� � � − � � ) + ��,�� �� �� ��−��� +� ��� �� +��(�� 2− ��
�) + ��� +
��,�� ���−� 2��
+ ����� �+�2�(��2− ���) ) + (�(
,�)), (31) untuk � → ∞.
Berdasarkan persamaan (24) maka (�[ ̂� ])
= + ( �,�� ��−��� + ��� �� +��(��2− ���)
�( ,�) ) + (�( ,�))
= ( ) + ( �,�� ��−��� + ����� +��(��2− ���)
�( ,�) ) + (�( ,�)), (32) untuk � → ∞.
Jadi dengan substitusi persamaan (31) dan persamaan (32) pada persamaan (26) maka diperoleh
�� [ ̂� ]
= ( ) + 2
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+ �(�� � ) +
���� � � − � � ) + ��,�� �� �� ��−��� +� ��� �� +��(��
2− ���) + ��� +
��,�� ���−� 2��
+ ����� �+�2�(��2− ���) ) + (�(
,�)) −
( ) + ( �+ �−���+ ��� �� +��(��2− ���)− ���
�( ,�) ) + (�( ,�))
= 2
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+ �(�� � ) + ���� � � −
� � ) + ��,�� ���� ��−��� +� �����+��(��
��,�� ���−� 2��
+ ��� �� �+�2�(��2− ���) −� � ��,�� �� − ��� +
��� � + �� � − � � ) + (�( ,�)),
untuk � → ∞. Bukti lengkap.
SIMULASI MODEL
Simulasi model dilakukan dengan membuat program pada perangkat lunak Scilab. Simulasi model ini dilakukan dalam dua tahapan, yaitu tahapan pembuatan program dan tahapan analisis data bangkitan.
A. Tahapan pembuatan program:
1. Mendefinisikan variabel input dan variabel ouput. Variabel inputnya, yaitu u (banyaknya pengulangan), � (banyaknya barisan), � (periode), dan (panjang titik waktu). Variabel outputnya, yaitu P, S, dan T. Variabel P berbentuk matriks berukuran 2 X 5. Baris matriks P menyatakan nilai sebenarnya dari suatu parameter dan pendugaannya, sedangkan kolom matriks P terdiri dari nilai , �,�� � , �, dan . Variabel S berbentuk matriks berukuran 2 X 5. Baris matriks S terdiri dari bias dan ragam penduga, sedangkan kolom matriks S menyatakan nilai bias dan ragam dari tiap penduga parameter (̂� , �̂�, �̂�,� � , �̂�, dan ̂�). Variabel T berbentuk matriks berukuran 301 X 5. Baris matriks T terdiri dari partisi 0 sampai t dengan interval 0.1, sedangkan kolom matriks T menyatakan hasil partisi t, nilai , nilai rataan dari ulangan ̂� , nilai �� � dan nilai rataan dari ulangan �̂�,� � .
2. Membangkitkan data proses Poisson �. Pembangkitan data tersebut menggunakan distribusi Poisson dengan parameternya adalah E(N).
3. Membangkitan data � sebanyak � � kali. Pembangkitan data tersebut menggunakan distribusi eksponen dengan nilai rata-rata 5.
4. Menghitung nilai dari �̂�, �̂�,�̂�,� � , dan ̂� menggunakan rumusan secara berturut-turut pada persamaan (9), (10), (11), dan (12).
5. Menghitung nilai ̂� menggunakan rumusan pada persamaan (8). 6. Ulangi langkah 2-5 sebanyak 500 kali.
7. Nilai ̂� , �̂�, �̂�, �̂�,� � dan ̂� ditentukan dari perhitungan rataan ulangan u kali.
8. Menghitung nilai dari �, �� � menggunakan rumusan secara berturut-turut pada persamaan (6), dan (5). Sementara itu nilai � = . dan = .
9. Menghitung nilai menggunakan rumusan pada persamaan (4).
23
B. Tahapan analisis data bangkitan:
1. Menjalankan program yang telah diperoleh pada tahapan A secara berulang kali sesuai dengan banyaknya nilai n yang di-update. Nilai � yang digunakan pada penelitian ini ialah � ={1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000}. 2. Membandingkan hasil dari tiap � yang digunakan. Perbandingan yang
dilakukan terbagi menjadi 2 grafik, yaitu perbandingan grafik dengan ̂� dan perbandingan grafik % selisih antara dengan ̂� untuk tiap �.
3. Membandingkan bias dan ragam tiap penduga secara teori dengan simulasi. Simulasi ini dilakukan untuk mengamati perilaku penduga untuk kasus panjang interval waktu pengamatan yang terbatas. Simulasi ini menggunakan proses Poisson periodik dengan rumusan fungsi intensitas
= cos ( � ) + + . .
Proses Poisson periodik dengan fungsi intensitas demikian memiliki periode � = dan nilai tren linear � = 0.001 . Berdasarkan tahapan pembuatan program nomer 3, diperoleh nilai yang digunakan adalah =5. Adapun fungsi intensitas globalnya (�) dan fungsi intensitas sebagian (�� � ) dihitung dalam program menggunakan perangkat lunak Scilab.
Hasil simulasi model dengan data bangkitan disajikan dalam bentuk perbandingan grafik dan ̂� . Perbandingan tersebut disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1 menunjukkan perbandingan grafik antara dengan ̂� untuk setiap nilai � yang digunakan. Sumbu x menyatakan panjang waktu pengamatan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear sedangkan sumbu y menyatakan nilai harapan dari proses tersebut pada saat . Pada Gambar 1 terlihat pada grafik ̂� yang paling jauh dengan grafik saat n = 1000 sedangkan grafik ̂� yang paling dekat dengan grafik saat n = 7000. Secara umum, grafik ̂� akan semakin mendekati grafik seiring meningkatnya nilai �. Perbedaan persentase selisih antara ̂� dengan disajikan pada Gambar 2.
Gambar 2. Grafik selisih (%) antara dan ̂�
Gambar 2 menunjukkan persentase selisih antara dengan ̂� . Sumbu x menyatakan panjang waktu pengamatan proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear sedangkan sumbu y menyatakan persentase selisih nilai antara dan ̂� pada saat t untuk setiap n yang digunakan. Pada Gambar 2 terlihat pada grafik yang memiliki persentase paling besar saat n = 1000 sedangkan grafik yang memiliki persentase paling kecil saat n = 7000. Secara umum, grafik memiliki nilai yang cukup kecil untuk setiap panjang waktu dan grafik akan memiki persentase yang makin mengecil seiring meningkatnya nilai �. Perbandingan nilai bias dan ragam asimtotik penduga secara simulasi dengan teori disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Bias dan Ragam Asimtotik Penduga
Interval waktu pengamatan n
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Bias Teori 5.90 5.18 4.83 4.61 4.45 4.33 4.24
Bias Simulasi -55.73 -54.68 -53.74 -51.81 -49.97 -49.84 -49.70
Absolut Error Bias 61.63 59.86 58.57 56.42 54.42 54.17 53.94
Ragam Teori 381.66 334.62 312.17 297.99 287.85 280.07 273.82
Ragam Simulasi 635.34 458.29 369.60 348.49 346.16 326.38 303.37
25
Tabel 1 menunjukkan bahwa ̂� memiliki error bias dan ragam penduga yang semakin mengecil. Perbedaan nilai teori dan simulasi dikarenakan perlunya kajian teori yang lebih mendalam, yaitu dengan menghitung bias dan ragam sampai second order.
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk adalah
̂� = ��,���̂�+ �̂�,� � + �̂� ̂�
dengan
�̂�= �[ ,�]�2 ,
�̂�= �( ,�)�∑ =,�� [ − �, �] − �̂�(�( ,��,�)−�)
�̂�,� � = �( ,�)∑ =,�� [ − �, − �+��] − �̂�(�(,���,��)+(�� 2− ���)
), dan
̂�=� [ ,�] ∑� [ ,�]�= �,
dengan ̂� = saat � [ , �] = . Kemudian, ̂� = saat � [ , �] = . Bias asimtotik penduga adalah
�� [ ̂� ] = �,�� ��−��� + ����� +��(�� 2− ���)
�( ,�) + (�( ,�)) dan ragam asimtotik penduga adalah
�� [ ̂� ] = 2
�( ,�)((��,��) � + � � − ���� + (�� �+ �(�� � ) +
���� � � − � � ) + ��,��
�� �� ��−��� +� ��� �� +��(��2− ���) + ��� +
��,�� ���−� 2��
+ ����� �+�2�(��2− ���) −� � ��,�� �� − ��� +
��� � + �� � − � � ) + (�( ,�)),
untuk � → ∞.
DAFTAR PUSTAKA
Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in statistical physics. Physica. 41:575-587.
Capiński M, Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. ��Ed. New York (US): Springer.
Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Rev Ed. New York (US): John Wiley & Sons.
DasGupta A. 2011. Probability for Statistics and Machine Learning Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.
Ghahramani S. 2003. Fundamentals of Probability. ��Ed. New Jersey (US): Prentice Hall.
Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical Mathematics. 61:599-628.
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6�ℎEd. New Jersey (US): Prentice Hall.
Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations. 4(1):1-9.
Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Application. 4(2):1-12
Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far East Journal of Theoretical Statistics. 33(1): 81-91
Mangku IW, Ruhiyat, Purnaba IGP. 2014. Statistical properties of an estimator for the mean function of a compound cyclic Poisson process. Far East Journal of Mathematical Sciences. 82(2):227-237.
Özel G. 2011. On certain properties of a class of bivariate compound Poisson distribution and an application to earthquake data. Revista Columbiana de Estad�́stica. 34(3):545-566.
Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 467(2127):897-910.
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. 10th Ed. New York (US): John Wiley & Sons.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (GB): Oxford University Press.
Lampiran 1: Beberapa Lema dan Teorema teknis
Lema L.1
Misalkan k, � adalah konstanta maka berlaku 1.
∑
,�
=
= ��,�
2.
∑ �
,�
=
= �(��,�) + � +
3.
∑ �
,�
=
=�6 +
untuk � → ∞, dengan � = . … adalah konstanta Euler. Bukti dapat dilihat pada Titchmarsh (1960).
Lema L.2: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
�[�̂�] = � + � + (� )�
untuk � → ∞. Dengan kata lain �̂� merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi �.
Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).
Lema L.3: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
�� [�̂�] = � +� � + (� )�
untuk � → ∞. Dengan kata lain �̂� merupakan penduga yang takbias asimtotik bagi �.
Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009). Teorema L.1 (Hukum Lemah bilangan besar)
Misalkan { �, � ≥ } adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan dan ragam � < ∞, maka
�∑��= � → untuk � → ∞.
29
Teorema L.2 (Lema Borel-Cantelli)
Misalkan { �} adalah barisan kejadian pada ruang contoh Ω. Jika ∑∞�= � � < ∞,
maka
� ∞= ∞�= � = �→∞� �, ∀� ≥ = . Jika { �} adalah barisan kejadian yang saling bebas dan
∑∞�= � � = ∞, maka
� ∞= ∞�= � = �→∞� �, ∀� ≥ = .
untuk � → ∞.
Lampiran 2: Bukti beberapa Lema teknis [��, � + �] tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga diperoleh � [ �, + �] dan � [��, � + �] adalah bebas, untuk ≠ �.
Berdasarkan persamaan (14) maka ( �( ,�)�)2∑ 2�[� [��, � + �] ]
31
= ( ,��
�2( �( ,�))2�−�2 �( ,�)) ∑
�(� [ �, + �] ) ,�
= .
Berdasarkan persamaan (14) maka
( ,��
Berdasarkan Lema L.1 maka
( ,��
33
Berdasarkan persamaan (17) maka
( �( ,�))2∑ 2�[� [ � − �, � − �+ �] ]
Berdasarkan Lema L.1 maka ( �( ,�))2∑ 2 �� � + �
��2− ��� ,�
=
35
Berdasarkan persamaan (17) maka ( ,���� Berdasarkan Lema L.1 maka
= ,���� �� �� +�(��
Berdasarkan persamaan (38)-(40) maka persamaan (37) �� [�̂�,� � ] seperti pada pembuktian Lema 2. Perhatikan
