ABSTRAK
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIKHAZARD RATE DISTRIBUSIGENERALIZED EXPONENTIAL
Oleh
Merda Gustina
Analisis survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisis kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup terdiri dari tiga fungsi yaitu Fungsi Kepekatan Peluang (fkp), Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function), dan Fungsi Kegagalan (Hazard). Dari ketiganya dapat dikaji bentukHazard Ratepada distribusi Generalized Exponential menggunakan aturan Glaser. Distribusi Generalized Exponential mempunyai empat bentuk hazard rate yaitu meningkat (increasing), menurun (decreasing), konstan, danupside-down bathtub.
ABSTRACT
IDENTIFICATION CHARACTERISTIC HAZARD RATE GENERALIZED EXPONENTIAL DISTRIBUTION
By
Merda Gustina
Survival Analysis is commonly used in predicting the probability of survival, recurrence of disease, death and others event until a certain time period. Survival time is the data that measure time to a certain event. The distribution of survival times is usually described or characterized by three functions: the probability density function, the survival function, and the hazard function. Therefore, Of the three can be studied form of Hazard Rate on Generalized Exponential distribution using rules Glaser. The characteristic Hazard Rate Generalized Exponential distribution are increasing, decreasing, constant and upside-down bathtub.
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSIGENERALIZED EXPONENTIAL
(Skripsi)
Oleh
MERDA GUSTINA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIKHAZARD RATE DISTRIBUSIGENERALIZED EXPONENTIAL
Oleh
Merda Gustina
Analisis survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisis kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup terdiri dari tiga fungsi yaitu Fungsi Kepekatan Peluang (fkp), Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function), dan Fungsi Kegagalan (Hazard). Dari ketiganya dapat dikaji bentukHazard Ratepada distribusi Generalized Exponential menggunakan aturan Glaser. Distribusi Generalized Exponential mempunyai empat bentuk hazard rate yaitu meningkat (increasing), menurun (decreasing), konstan, danupside-down bathtub.
ABSTRACT
IDENTIFICATION CHARACTERISTIC HAZARD RATE GENERALIZED EXPONENTIAL DISTRIBUTION
By
Merda Gustina
Survival Analysis is commonly used in predicting the probability of survival, recurrence of disease, death and others event until a certain time period. Survival time is the data that measure time to a certain event. The distribution of survival times is usually described or characterized by three functions: the probability density function, the survival function, and the hazard function. Therefore, Of the three can be studied form of Hazard Rate on Generalized Exponential distribution using rules Glaser. The characteristic Hazard Rate Generalized Exponential distribution are increasing, decreasing, constant and upside-down bathtub.
IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSIGENERALIZED EXPONENTIAL
Oleh
MERDA GUSTINA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis di lahirkan di Tanjung Karang, Bandar Lampung tepatnya pada tanggal 26 Agustus 1994, sebagai putri ke pertama dari pasangan Bapak Marzuki dan Ibu Siti Sundari.
Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Al-Azhar 2 Bandar Lampung pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 08 Bandar Lampung pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 13 Bandar Lampung pada tahun 2012.
Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika, melalui jalur SNMPTN Tulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan sebagai Anggota Kesekretariatan periode 2013-2014 dan Himpunan NATURAL yang diamanahkan sebagai Anggota Kaderisasi periode 2013-2014.
KATA INSPIRASI
Do the best, be good, then you will be the best
Lakukan yang terbaik, bersikaplah yang baik maka kau akan
menjadi orang yang terbaik
Andai kegagalan adalah bagaikan hujan, dan kesuksesan
bagaikan matahari, maka kita butuh keduanya untuk bisa
melihat pelangi.
Jika kita memang harus kalah, jangan lebih dari sehari.
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamdulillahirobil’alamin serta dengan segala syukur, rahmat, dan hidayah serta karunia Allah SWT dapat memberikanku kesempatan untuk menuntut ilmu di Universitas Lampung.
Teruntuk Ayah dan Bunda ku tercinta
Setulus hatimu Bunda, searif arahanmu Ayah
Doamu hadirkan keridhaan untukku, petuahmu tuntunkan jalanku
Pelukmu berkahi hidupku, diantara perjuangan dan tetesan doa malam mu Dan sebait doa telah merangkul diriku, menuju hari depan yang cerah Kini diriku telah selesai dalam studi sarjana
Dengan kerendahan hati yang tulus, bersama keridhaan-Mu ya Allah,
Kupersembahkan karya tulis ini untuk yang termulia, Ayah... Bunda...Mungkin tak dapat selalu terucap, namun hati ini selalu bicara,sungguh ku sayang kalian
Dan yang terkasih adikku (Rido Kurniawan) walaupun sering bertengkar namun hal itu akan selalu menjadi warna yang tak tergantikan dan terima kasih dukungan yang selalu diberikan untukku.
SANWACANA
Alhamdulilahirabbil’alamin dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT serta rahmat dan karunia Nya skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul “IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSI GENERALIZED EXPONENTIAL” disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) di Universitas Lampung. Selesainya skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan banyak terima kasih kepada:
1. Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing 1 yang telah meluangkan waktu dan membimbing penulis selama menyusun skripsi. 2. Bapak Warsono Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 2 yang telah memberi
banyak masukan dan arahan kepada penulis selama menyusun skripsi.
3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si, selaku Dosen Pembahas yang memberi masukan dan evaluasi kepada penulis selama menyusun skripsi.
4. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik yang telah mengarahkan penulis dari awal sampai lulus kuliah.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas lampung
7. Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis.
8. Ayah, Bunda dan Adik ku tersayang yang telah memberikan motivasi, do’a, dan kasih sayang yang begitu besar serta dukungan moril maupun materil kepada penulis.
9. Sahabat yang sudah seperti keluarga Lina Nur Baiti, Anisa Rahmawati, Grita Tumpi Nagari, Naelu Rasyida, Hana Ayu Masha, Sella Nofriska dan Citra Anggana yang selalu ada dan setia menemani saat suka maupun duka penulis saat menempuh pendidikan di Universitas Lampung.
10. Sahabat sedari dulu hingga sekarang Anisa Rahmawati, Nina Rosita, Rizky Samty, Devi Anggraini, Nida Amalia yang selalu memberikan motivasi kepada penulis.
11. Sahabat sekaligus teman seperjuanganku selama mengerjakan skripsi Mutia Adillah atas kebersamaan dalam susah senang disaat proses pembuatan skripsi. 12. Sahabatku Maria Reni Harnani dan Putri Mulia Lestari yang selalu
memberikan dukungan baik suka maupun duka selama menyelesaikan skripsi ini.
13. Teman-teman angkatan 2012 yaitu Gery, Yefta, Ernia, Putri, Elva, Dwi, Erni serta teman-teman yang lain yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang selalu memberikan motivasi dan dukungan dalam menyelesaikan skripsi ini. 14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kata sempurna, sehingga kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat berguna bagi pembaca sebagai acuan di penelitian selanjutnya.
Bandar Lampung, 28 April 2016 Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR... iii
I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Masalah ... 1
1.2. Tujuan Penelitian... 2
1.3. Batasan Masalah... 3
1.4. Manfaat Penelitian... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 AnalisisSurvival... 4
2.2 Fungsi Kepekatan Peluang ... 4
2.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)... 5
2.4 Fungsi Laju Kegagalan (Hazard Rate)... 6
2.5 Distribusi Eksponensial... 10
2.6 Sifat-sifat Distribusi Eksponensial ... 11
2.7 DistribusiGeneralized Exponential... 12
2.7.1 Nilai Harapan DistibusiGeneralized Exponential... 13
2.7.2 Ragam DistribusiGeneralized Exponential... 14
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 16
3.2 Metode Penelitian... 16
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penentuan Nilai Turunan Pertama Fungsi KepekatanGeneralized Exponential... 18
4.2 Mencari Nilai ( )dan ( )... 19
ii
4.4 Analisa Bentuk KurvaHazard Rate... 22 4.5 Grafik FungsiHazard RateDistribusiGeneralized
Exponential... 25
V. KESIMPULAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik FungsiHazard RateDistribusiGeneralized Exponential saat = 1,1danλ> 0... 25 2. Grafik FungsiHazard RateDistribusiGeneralized Exponential
saat = 2danλ> 0... 26 3. Grafik FungsiHazard RateDistribusiGeneralized Exponential
saat = 0,1danλ> 0... 27 4. Grafik FungsiHazard RateDistribusiGeneralized Exponential
saat = 0,9danλ> 0... 28 5. Grafik FungsiHazard RateDistribusiGeneralized Exponential
saat = 1danλ> 0... 29 6. Grafik FungsiHazard RateDistribusiGeneralized Exponential
saat = 6danλ> 0... 30 7. Grafik FungsiHazard RateDistribusiGeneralized Exponential
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Setiap kehidupan pastinya terdapat masalah yang berhubungan dengan waktu ketahanan hidup, seperti waktu kematian atau kesembuhan penyakit seseorang. Dalam statistika, masalah ketahanan hidup disebut juga analisis survival. Analisis survival (survival analysis) atau kelangsungan hidup atau analisis kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Analisis survival juga terdiri dari fungsisurvivaldanhazard rate.
2
Salah satunya yaitu fungsi distribusi Generalized Exponential. Distribusi Generalized Exponential merupakan perluasan dari distribusi Exponential yang memiliki bentuk kurva hazard konstan. Sedangkan distribusi Generalized Exponentialmempunyai bentuk kurva yang spesifik, kurva naik dari nol mencapai titik maksimum kemudian turun dan pada saat tertentu relatif konstan mendekati nol. Fungsi ini dapat dipergunakan untuk menggambarkan model kurva pertumbuhan. Gupta dan Kundu (1999) memperkenalkan distribusi eksponensial tergeneral(Generalized Exponential / GE)sebagai alternatif dari distribusi gamma atau weibull. Fungsi distribusi dari eksponensial tergeneral adalah :
( ; , ) = (1 )
dengan merupakan parameter bentuk dan merupakan parameter skala.
Berdasarkan latar belakang diatas akan dikaji lebih mendalam bagaimana bentuk kurvahazard ratepada distribusiGeneralized Exponential.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mendapatkan fungsi kelangsungan hidup distribusiGeneralized Exponentialdan fungsihazarddistribusiGeneralized Exponential 2. Mengidentifikasi karakteristikhazard ratedalam bentukincreasing,
decreasing, bathtub, upside-down bathtubatau yang terjadi pada distribusiGeneralized Exponential
3
1.3 Batasan Masalah
Agar tidak memperluas pembahasan maka penelitian ini dibatasi pada hal-hal berikut:
1. Distibusi yang digunakan adalah distribusi Generalized Exponential dengan 2 parameter ( , ).
2. Mencari karakterisik dari hazard rate yang meliputi increasing, decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan pada distribusi Generalized Exponentialmenggunakan aturan Glaser.
1.4 Manfaat Penelitian
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 AnalisisSurvival
Analisis survival adalah salah satu metode statistik yang digunakan untuk menjawab pertanyaan apakah dan kapan suatu kejadian (event) menarik terjadi. Analisis survival (survival analysis) atau waktu kelangsungan hidup atau analisis kesintasan bertujuan menaksir probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan, kematian, dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.
Distribusi dari waktu kelangsungan hidup biasanya digambarkan dan difokuskan pada tiga fungsi yaitu:
1. Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function) 2. Fungsi Kepekatan Peluang (fkp)
3. FungsiHazard
Ketiga fungsi ini equivalen, artinya jika satu dari ketiganya diberikan maka dua lainnya bias diperoleh. (Xian Liu, 2012)
2.2 Fungsi Kepekatan Peluang
5
suatu individu yang gagal dalam interval pendek t ke t + , atau peluang kegagalan dalam interval kecil per satuan waktu. Hal itu dapat dijelaskan sebagai:
( ) = lim ( ( , + )
= lim Pr( < < + )
(2.1)
( )adalah fungsi non negatif, yaitu:
( ) 0 untuk semuat 0 = 0 untukt< 0
(Xian Liu, 2012)
2.3 Fungsi Kelangsungan Hidup (Survival Function)
Fungsi survival adalah probabilitas bahwa suatu individu akan tetap hidup sampai waktu t ( > 0). Jadi jika x variabel random yang menotasikan waktu bertahan hidup dari seorang individu, maka ( ) adalah probabilitas bahwa T lebih besar dari . Dalam statistik fungsi kumulatif distribusi ( )didefinisikan:
( ) = ( )
= ( )
Karena > 0maka ( ) = ( ) (2.2)
Fungsi kelangsungan hidup menyatakan peluang suatu sistem tidak mengalami kegagalan sampai batas waktu t. Fungsi ini didefinisikan sebagai:
6
= P( > )
= ( )
(2.3) Dengan menggunakan definisi fungsi distribusi kumulatif ( ) = ( ), maka fungsisurvivaldapat dituliskan sebagai berikut :
( ) = ( > )
= 1 ( )
= 1 ( ) (2.4)
Sifat-sifat dari kelangsungan hidup S(t):
1. Fungsi tidak naik (non-increasing) dengan ( ) = 0 dan (0) = 1
Yaitu bahwa probabilitas suatu individu bertahan hidup pada waktu 0 adalah 1 dan probabilitas bertahan hidup sampai waktu mendekati tak berhingga adalah nol.
2. Jika T peubah acak kontinu, maka S(t) kontinu. (Xian Liu, 2012)
2.4 Fungsi Laju Kegagalan (Hazard Rate)
Laju kegagalan (Hazard Rate) atau fungsi hazard menyatakan peluang sesaat kemudian (next-instan) antara (t,t + ), kemudian diketahui bahwa suatu sistem telah berumur t. Hazarddidefinisikan sebagai:
( ) = lim Pr( < < + | )
7
dimana f(t) adalah fungsi kepekatan (density function) dan s(t) adalah fungsi kelangsungan hidup (survival function).
Dari persamaan ( ) = Pr( ) = ( ) , karena:
( ) = ( ) = [1 ( )] = ( )
Maka persamaan (2.5) dapat diperoleh:
( ) = ( )
Dan diperoleh persamaan untuk fungsi kelangsungan hidup yaitu:
8
Dimana,s(t): Fungsi kelangsungan hidup(survival function) h(t): Fungsihazard (hazard rate/ hazard function)
Hazard rate h(t)untuk model distribusi laju kegagalan kontinu mempunyai sifat : a. h(t)> 0
b. ( ) =
Dari persamaan (2.5) dihubungkan dengan persamaan (2.6) akan diperoleh :
( ) = ( ) ( ) ; 0 (2.7)
(John and Melvin, 2005)
Menurut McDonald dan Richard (1987) untuk mengetahui karakteristik fungsi hazardnyah(t)diturunkan terhadap t sehingga:
( )
Setelah diperoleh turunan pertama dari h(t), untuk mengetahui kapan h(t) naik, turun atau konstan maka langkah selanjutnya adalah membuat,
9
Dari persamaan di atas sekarang dapat diketahui bahwa sebuah distribusi akan
1. Memiliki lajuhazardnaik(increasing)jika ( )( )> ( ),
2. Memiliki lajuhazardturun(decreasing)jika ( )
( ) < ( )
3. Memiliki lajuhazardkonstan jika ( )( )= ( ).
Syarat cukup sebuah fungsi kepekatan bukan merupakan suatu kondisi yang diperlukan untuk menentukan karakteristik lajuhazardnya.
Menurut Glaser (1980) untuk menentukan bentuk laju hazard dengan menggunakan metode satu turning point (titik belok). Dalam metodenya, Glaser menggunakan fungsi kepekatan peluang. Titik belok (turning point) dari suatu fungsi adalah suatu titik maksimum atau minimum dalam suatu fungsi atau kurva dan didefinisikan sebagaiberikut :
( ) = ( )( ) (2.8)
Fungsi ini memiliki peranan penting dalam mengkaji karakteristik fungsi dan bentuk lajuhazard. Aturan Glaser (1980) sendiri adalah sebagai berikut :
10
Jikalim ( ) = 0, makaupside-down bathub(∩)
Jikalim ( ) , makadecreasing(D)
2.5 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi kontinu pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi eksponensial adalah suatu fungsi special dari distribusi gamma yang berperan penting dalam statistika. Berikut akan dijelaskan definisi PDF (Probability Density Function) distribusi eksponensial.
Definisi 2.5.1(Probability Density Function) PDFdistribusi eksponensial
Suatu peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial dengan peubah acak eksponensial jika dan hanya jika kepekatan peluang (probability density), mempunyai fungsi kepekatan peluang dalam bentuk:
( ) = , > 0, > 0
0, (2.9)
Dengan merupakan parameter skala.
Sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya adalah:
( ; ) = 1 , > 0 (2.10)
(Gupta dan Kundu, 1999)
11
Adapun sifat-sifat distribusi eksponensial menurut Gupta dan Kundu pada tahun 1999 sebagai berikut:
1) ( ) = lim e =
Bukti :
( ) = lim e = lim e
= lim e + 1e
= lim te + e
= lim te 1e |
= lim 0 1e 1
= 1
2) ( ) = ( ) ( ( ))
= lim e 1
= lim e 1
= lim + 1e 2 1
12
Distribusi Eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi Eksponensial diambil dari salah satu fungsi distribusi kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk, yang didefinisikan sebagai berikut:
( ) = (1 ) (2.11)
13
( ; , ) = (1 ) (2.12)
dari turunan fungsi distribusi kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepekatan peluangnya (fkp) adalah sebagai berikut:
( ; , ) = (1 ) (2.13)
skala. Jika α = 1merupakan distribusi eksponensial. Maka pada kajian parameter
α dan λ = 1 merupakan distribusi Generalized Exponential dengan parameter bentuk di notasikan dengan GE (α).(Dobson, 2002)
2.7.1 Nilai Harapan distribusiGeneralized Exponential( ,λ)
Nilai harapan dari suatu distribusi akan dijelaskan pada definisi 2.1 yaitu: Definisi 2.1 (Nilai Harapan)
Misalkan x variabel acak, jika x variabel acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f(x) dan
| | ( ) <
Maka nilai harapan x adalah :
14
(2.14)
(Hogg and Craig, 1995) Adapun nilai harapan distribusi Generalized Exponential ( , λ) menurut Gupta dan Kundu tahun 2003 adalah:
( ) = ( ( + 1) ( (1)) (2.15)
Dimana adalah fungsi digamma.
2.7.2 Ragam DistribusiGeneralized Exponential( ,λ)
Sebaran dari distribusi Generalized Eksponentialditentukan oleh standar deviasi, .Kuadrat dari standar deviasi merupakan ragam dari distribusi GE. Definisi dan bentuk rumus umum dari nilai ragam adapun penjelasannya sebagai berikut:
Definisi 2.2 ragam
Misalkan x merupakan sampel acak dengan rata-rata terbatas dan sedemikian sehingga ([ ] )terbatas, maka ragam dari X didefinisikan sebagai ([
] ). ([ ] )dinotasikan dengan atau Var (X) Sehingga didefinisikan sebgai berikut :
15
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian dilakukan di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung tahun ajaran 2015/2016.
3.2 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mencari turunan pertama dan fungsi kepekatan distribusi Generalized
Exponential
2. Mencari nilai η(t) =
dan turunan pertama dari distribusi Generalized
Exponential
3. Mencari fungsi kelangsungan hidup dari distribusi Generalized Exponential 4. Mencari fungsi hazard dari distribusi Generalized Exponential
5. Melakukan analisis fungsi hazard dengan dengan menggunakan aturan Glaser (1980) sebagai berikut:
17
b. Jika untuk semua t > 0, maka decreasing (D)
c. Misalkan terdapat sehingga untuk semua untuk semua dan
- Jika , maka increasing (I) - Jika , maka bathtub ( )
d. Misalkan terdapat sehingga untuk semua untuk semua dan
- Jika , maka upside-down bathtub - Jika , maka decreasing (D)
Dimana:
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Fungsi Kelangsungan hidup distribusi Generalized Exponential adalah (✁
✄
) sedangkan fungsi hazard distribusi Generalized Exponential adalah ✂✄ 3. Hazard rateberbentukincreasing (I) atau naik untuk < < 2,2 dan λ > 0
untuk semua > 0
4. Hazard rate berbentukdecreasing(D) atau turun untuk 0 < < 1danλ > 0 untuk semua > 0
5. Hazard rateberbentukupside-down bathtub( )untuk > 3danλ > 0 untuk semua > 0
DAFTAR PUSTAKA
John P. Klein and Melvin L.M.. 2005. Survival Analysis : Techniques for Censored and Truncated Data. Second edition. Springer, New York.
Glaser,R.E. 1980. Bathtub and Related Failur Rate Characterizations. J. American Statistical Association, Vol75, pp 667-672.
Dobson, A.J. 2002. An Introduction to Generalized Linear Models. Chapman & Hall, USA.
Mc. Donald, J.B and Richards, D.O. 1987. Hazard Rate and Generalized Beta Distribution. IEEE Transaction Realibility.R-36, 463-466.
Gupta, R.D., Kundu, D., 1999. Generalized Exponential Distributions. Austral. New Zealand J. Statist. 41 (2), 173–188.
Gupta, R. D. and Kundu, D. 2003. Discriminating between the Weibull and the GE distributions. Computational Statistics and Data Analysis, vol. 43, 179 -196.
Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth edition. Prentice-hall Inc., New Jersey.
Liu, Xian. 2012. Survival Analysis : Models and Applications. First edition.
