Analisis Sistem Kontrol
Dalam Keadaan Mantap
Ermanu A. Hakim
Teknik Elektro Fakultas Teknik
Universitas Muhammadiyah Malang
MK Sistem Kontrol - TE UMM 2
Struktur Sistem Kontrol
Sensor Kontroler Plant
Gc(s) Gp(s)
H(s)
R(s) E(s) C(s)
Fungsi Alih :
H(s) (s) G (s) G 1
(s) G (s) G
R(s) C(s) (s)
p c
p c + = = T
MK Sistem Kontrol - TE UMM 3
Dengan G(s)= Gc(s)Gp(s), maka diperoleh fungsi alih
H(s) G(s) 1
G(s) R(s) C(s) T(s)
+ = =
Persamaan yaitu
0
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
=
Disebut sebagaipersamaan karakteristik sistem.Akar-akar persamaan karakteristik diatas sering disebut sebagaiakar sistemataupole sistem.
MK Sistem Kontrol - TE UMM 4
) ( ) ( ) ( ) )( (
) ( )
( ) ( ) (
2 2
1 1
2 1
s C p s
k p s
k p s
k
s R p s p s p s a
s P s
R s T s C
r n n
n n
+ − + + − + − =
− − − = =
" " Misalkan keluaran sistem diuraikan sebagai
Maka
)
(
)
(
t
k
e
k
e
k
e
c
t
c
rt p n t p t
p
+
+
+
n+
=
1 2"
2 1
Sistem stabil memiliki pole p1, p2, …, danpnberharganegatif
MK Sistem Kontrol - TE UMM 5
Stabilitas
Stabilitas merupakan karakteristik sangat penting dari sistem kontrol dan didefinisikan sebagaikemampuan suatu sistem untuk mencapai keadaan mantap atau keseimbangan saat mendapat masukan atau gangguan
Sistem Stabil Sistem Stabil kritis Sistem Tak Stabil
MK Sistem Kontrol - TE UMM 6
Kepekaan
Karakteristik sistem yang berubah sebagai akibat variasi parameter sistem disebutkepekaan.
Kepekaan didefinisikan sebagai perbandingan persentase perubahan fungsi alih sistem terhadap persentase perubahan parameter b. Kepekaan (S)ditulis
)
(
/
)
(
/
)
(
s
T
b
b
T
b
b
s
T
s
T
S
Δ
Δ
=
Δ
Δ
=
Sedangkanfungsi kepekaan adalah
)
(
)
(
)
(
lim
0
T
s
b
b
T
s
T
b
b
s
T
S
b T
b
∂
∂
=
Δ
Δ
=
MK Sistem Kontrol - TE UMM 7
Contoh :
Kp Gp(s)
Hk
-Fungsi alih sistem adalah
k p p
p p
H s G K
s G K s R
s C s T
) (
) ( ) (
) ( ) (
+ = =
1
maka kepekaan sistem adalah
k P P p
p T
K
H s G K T K K G G
T T K K T S
) ( 1
1 + = ∂ ∂ ∂
∂ = ∂ ∂ =
MK Sistem Kontrol - TE UMM 8
Tipe Sistem
Tinjau fungsi alih lup terbuka G(s)H(s) berikut:
) (
) ( ) ( ) (
1 1
i n
i N
i m
i
p s s
z s K s H s G
+ ∏
+ ∏ =
= =
Fungsi alih lup terbuka persamaan ini disebut sistembertipeN. denganK adalah konstanta, m ≤n, dan –zi dan –pi masing-masing adalahzerodanpoledari G(s)H(s) selain pole di titik nol sejumlah N
MK Sistem Kontrol - TE UMM 9
Contoh
- ( 2)( 3)
) 1 ( 3
3 + +
+ s s s
s
Adalah sebuahsistem bertipe 3
- ( 2)( 3)
10
+
+ s
s
s
1
Adalah sebuahsistem bertipe 1
MK Sistem Kontrol - TE UMM 10
Kesalahan Keadaan Mantap
Sistem Umpan Balik :
G(s)
H(s)
-R(s) E(s) C(s)
E(s)=R(s)-C(s)H(s)
) ( ) (
) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
s H s G
s R
s H s H s G
s G s R s E
+ =
+ − =
1 1
Kesalahan :
MK Sistem Kontrol - TE UMM 11
Jadi Kesalahan keadaan mantap :
) ( ) ( 1
) ( lim ) ( lim
0 GsHs
s sR t
e e
s t ss
+ = =
→ ∞ →
• Kesalahan keadaan mantap sistem untuk masukan langkah satuan (step function) adalah
P s
s s ss
K s H s G
s H s G
s s H s G
s e
+ = +
= + =
+ =
→ → →
1 1 ) ( ) ( lim 1
1 ) ( ) ( 1
1 lim
1 ) ( ) ( 1 lim
0 0
0 lim () () (0) (0)
0GsHs G H
K s
P=→ =
dengan
Konstanta Kesalahan Posisi
MK Sistem Kontrol - TE UMM 12
Untuk sistem bertipe 0 :
K
p
p
p
z
z
z
K
p
s
p
s
p
s
z
s
z
s
z
s
K
K
n m n
m s
P
+
+
+
=
=
+
+
+
=
→
"
"
"
"
2 1
2 1 1
2 1
2 1 1
0
(
)(
)
(
)
)
(
)
)(
(
lim
Untuk sistem bertipe 1 atau lebih :
∞
=
+
+
+
+
+
+
=
→
(
)(
)
(
)
)
(
)
)(
(
lim
2 1
2 1 1
0
n N
m s
P
p
s
p
s
p
s
s
z
s
z
s
z
s
K
K
MK Sistem Kontrol - TE UMM 13
Konstanta kesalahan kecepatan
Kesalahan keadaan mantap sistem saat masukan berupa fungsi tanjak satuan dinyatakan :
v s
s s ss
K s H s sG s H s sG s
s s H s G
s e
1 ) ( ) ( lim
1 ) ( ) ( 1 lim
1 ) ( ) ( 1 lim
0 0
2 0
= =
+ =
+ =
→ →
→
dengan Kv= konstanta kesalahan kecepatan, yang didefinisikan sebagai
)
(
)
(
lim
0
sG
s
H
s
K
s v
=
→MK Sistem Kontrol - TE UMM 14
Untuk sistem bertipe 0 :
0 ) ( ) )( (
) ( ) )( ( lim
2 1
2 1 1
0 + + + =
+ + + =
→
n m
s v
p s p s p s
z s z s z s K s K
" "
Untuk sistem bertipe 1 :
K p p p
z z z K p s p s p s s
z s z s z s K s K
n m
n m
s
v + + + = =
+ + + =
→ "
" "
"
2 1
2 1 1
2 1
2 1 1
0 ( )( ) ( ) ) ( ) )( ( lim
Untuk sistem bertipe 2 atau lebih :
∞ = + + +
+ + + =
→ ( )( ) ( )
) ( ) )( ( lim
2 1
2 1 1 0
n N
m
s v
p s p s p s s
z s z s z s K s K
"
" untuk N≥2
MK Sistem Kontrol - TE UMM 15
Konstanta kesalahan percepatan
Kesalahan keadaan mantap saat masukan parabolik satuan :
a s
s s ss
K s H s G s
s H s G s s
s s H s G
s e
1 ) ( ) ( lim
1
) ( ) ( 1 lim
1 ) ( ) ( 1 lim
2 0
2 2 0
3 0
= =
+ =
+ =
