Penerapan Algoritma Prim Pada Jaringan Listrik Perumahan PT Inalum

(1)

PENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN

LISTRIK PERUMAHAN PT INALUM

(Studi Kasus)

SKRIPSI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2009

RAYI SYAHFITRI 040803028

(2)

PENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN LISTRIK PERUMAHAN PT INALUM

(Studi Kasus)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

RAYI SYAHFITRI 040803028

MURNI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : PENERAPAN ALGORITMA PRIM

PADA

JARINGAN LISTRIK PERUMAHAN PT INALUM (Studi Kasus)

Kategori : SKRIPSI

Nama : RAYI SYAHFITRI

Nomor Induk Mahasiswa : 040803028

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : FAKULTAS MATEMATIKA DAN

ILMU

PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan, 27 Februari 2009

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Pangarapen Bangun, M.Si Drs. Ujian Sinulingga,

M.Si

NIP. 131474680 NIP. 131757011

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(4)

PERNYATAAN

PENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN LISTRIK PERUMAHAN PT INALUM

(Studi Kasus)

SKRIPSI

Penulis mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja penulis sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

RAYI SYAHFITRI 040803028

(5)

PENGHARGAAN

Alhamdulillahirabbil’alamin, segala puji syukur kehadirat ALLAH SWT

yang telah memberikan berbagai rahmat dan nikmat-Nya kepada seluruh

makhluk hidup, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan

sebaik-baiknya, dan tidak lupa salawat dan salam untuk Nabi besar Muhammad

SAW.

Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus

diselesaikan oleh seluruh mahasiswa/i Departemen Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Pada

Skripsi ini penulis melakukan studi kasus tentang Perbandingan Keoptimalan

Antara Jaringan Listrik Yang Telah Terpasang Di Perumahan PT Inalum

Dengan Metode Pemasangan Jaringan Listrik Menggunakan Algoritma Prim.

Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Dr. Eddy Marlianto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU. Bapak Dr.

Saib Suwilo, M.Sc dan Bapak Drs. Henry Sitepu, M.Si selaku Ketua dan

Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU.

2. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku pembimbing I penulis dan Bapak

Drs. Pangarapen Bangun, M.Si selaku pembimbing II penulis yang telah

membimbing dan mengarahkan penulis serta kebaikkannya untuk meluangkan

waktu, tenaga, pikiran dan bantuannya sehingga skripsi penulis ini dapat selesai

tepat waktu.

3. Bapak Drs. H Haluddin Panjaitan, M.Si dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu,

M.Si selaku penguji skripsi.

4. Seluruh Staf Pengajar Matematika di FMIPA USU

5. Seluruh Pegawai departemen Matematika FMIPA USU.

6. Ayahanda dan Ibunda tercinta yang telah memberikan dukungan penuh

kepada penulis.

(6)

7. Nenek tercinta, abang, dan adik-adik penulis yang telah membantu dalam

bentuk apapun.

8. Taufiq Afandi yang selalu mendampingi penulis di kampus tanpa lelah

dalam menyelesaikan skripsi ini.

9. Etika, Fitrie, Noya dan teman-teman yang lainnya.

Insya’Allah segala bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan yang

jauh lebih baik dari ALLAH SWT.

Sebagai seorang mahasiswa yang menyadari bahwa masih banyak

terdapat kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu kritik dan

saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikkan tulisan ini.

Penulis

Rayi Syahfitri

(7)

ABSTRAK

Skripsi ini bersifat studi kasus sebagai penerapan algoritma Prim pada

suatu jaringan listrik disebuah perumahan Kabupaten Asahan, yaitu perumahan

PT Inalum khususnya blok-P. Permasalahan yang akan diulas disini adalah

panjang kabel listrik yang telah terpasang di blok-P adalah 4331.95 meter dan

panjang kabel listrik yang diperoleh dengan menggunakan algoritma Prim

adalah 3862.04 meter. Keoptimalan panjang kabel yang terpasang inilah yang

akan lebih dititikberatkan dalam skripsi ini. Jaringan listrik akan

direpresentasikan sebagai connected, weighted dan undirected graph. Untuk

(8)

ABSTRACT

This Skripsi have the character of case study as applying of algorithm

Prim at one particular electrics network a housing of Grindings Regency, that is

housing of PT Inalum specially blok-P. Comparison to be commented here is

length of power cable which have been attached in blok-P is 4331.95 metre and

length of power cable obtained by using algorithm Prim is 3862.04 metre.

Optimal of cable length attached this will be more dititikberatkan in this skripsi.

Electrics network of direpresentasikan as connected, weighted and undirected

graph. For the theory of graph and some its supporter will be explained in this

skripsi.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB

1. PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang Masalah 1

1.2. Perumusan Masalah 2

1.3. Batasan Masalah 2

1.4. Tinjauan Pustaka 2

1.5. Tujuan Penelitian 3

1.6. Manfaat Penelitian 3

1.7. Metode Penelitian 3

2. LANDASAN TEORI 5

(10)

2.1. Representasi Visual 5

2.2. Connected Graph 6

2.3. Undirected Graph 8

2.4. Weighted Graph 11

2.5. Tree 12

2.6. Spanning Tree 13

2.7. Algoritma Prim 15

3. PEMBAHASAN 17

3.1. Jaringan Listrik Yang Terpasang di Perumahan Blok-P

PT Inalum 18

3.2. Penentuan Minimum Spanning Tree 20

4. KESIMPULAN DAN SARAN 37

4.1. Kesimpulan 37

4.2. Saran 37

DAFTAR PUSTAKA x

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Graph yang memuat 3 verteks dan 3 edge 6

Gambar 2.2 (a) Connected graph, (b) Bukan connected graph 7

Gambar 2.3 Representasi grafis dari undigraph 9

Gambar 2.4 Undigraph yang memuat path, cycle, loop,

hamilton path dan sirkuit 10

Gambar 2.5 Graph yang memuat multiple edge dan loop 11

Gambar 2.6 Subgraph 11

Gambar 2.7 Weighted graph 12

Gambar 2.8 Labeled graph 12

Gambar 2.9 Representasi Tree 13

Gambar 2.10 Graph G yang memuat spaning tree 14

Gambar 2.11 Hubungan antara Graph G dengan spaning treenya 14

Gambar 2.12 Graph G yang memuat minimum spanning tree 15

Gambar 3.1 Weighted, undirected dan connected graph G(11,18) 17

Gambar 3.2 Minimum spanning tree T dari G(11,18) menggunakan

algoritma prim 18

Gambar 3.3 Jaringan listrik yang terpasang di blok-P Inalum G(253,242) 19

Gambar 3.4 Graph G(253,393) 23

Gambar 3.5 Representasi Algoritma Prim 32

Gambar 3.6 Minimum Spanning Tree dari G(253,393) 33

(12)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Zaman kini sudah berkembang begitu pesatnya. Perkembangan ilmu

pengetahuan matematika sekarang ini juga tidak ketinggalan menciptakan

aplikasi-aplikasi baru yang lebih efisien dalam segi produktifitas dan biayanya.

Sehubung dengan semakin banyaknya wirausaha yang membangun komplek

perumahan dengan unit yang cukup besar, sehingga memunculkan banyak segi

yang harus diminimumkan tanpa mengurangi fungsinya. Semakin berkembang

suatu zaman, semakin banyak permasalahan yang dihadapi. Permasalahan timbul

karena orang menginginkan kenyamanan dan keuntungan yang lebih. Misalnya

saja kabel jaringan listrik yang akan dipasang haruslah optimal, dalam arti

panjang kabel yang terpasang haruslah minimal dan dapat mengalirkan listrik

keseluruh rumah yang terbangun. Perumahan yang diteliti adalah perumahan

Inalum. Perusahaan PT Inalum didirikan sejak 6 Januari 1976, dan proyek

Asahan yaitu pembangunan perumahan PT Inalum diatas tanah seluas 200ha

dimulai pada November 1977. Dalam hal ini dapat digunakan salah satu cabang

ilmu matematika yaitu teori graph. Jaringan kabel listrik yang terpasang di

perumahan blok-P Inalum dapat direpresentasikan ke dalam bentuk graph

terhubung, tak berarah dan berbobot (Connected, Undirected dan Weighted

Graph). Di sini rumah dan tiang listrik direpresentasikan dengan verteks V.

Sedangkan jalur kabel tiang listrik yang terpasang untuk mengalirkan listrik di

(13)

Salah satu metode meminimumkan panjang kabel yang terpasang di

perumahan Inalum adalah dengan minimum spanning tree. Misalkan G adalah

suatu simple graph dan G disebut tree jika dan hanya jika G tidak memuat sirkuit

dan terhubung. Spanning tree T merupakan subgraf G yang merupakan tree yang

memuat semua verteks di G. Minimum spanning tree dapat diperoleh dari

pendaftaran seluruh spanning tree yang terbentuk dari weighted graph G.

Sehingga pada akhirnya diperoleh yang mana spanning tree yang paling

minimum. Cara ini cukup sulit untuk graph yang besar. Pada tahun 1956, Prim

berhasil menyusun algoritma untuk membuat minimum spanning tree secara

efisien yaitu algoritma prim. Algoritma prim membentuk minimum spanning tree

dengan langkah per langkah. Pada setiap langkah kita mengambil edge G yang

memiliki bobot minimum tapi yang terhubung dengan spanning tree T yang telah

terbentuk mulai dari langkah awalnya. Sehingga akan terbentuk hingga langkah

terakhir spanning tree dengan masing-masing edge yang termuat di T adalah

minimum.

Jadi, bagaimanakah menentukan keoptimalan panjang kabel yang

terpasang di perumahan blok-P Inalum menggu nakan algoritma Prim ?.

1.2 Perumusan Masalah

Yang menjadi masalah dalam studi kasus ini adalah apakah panjang kabel

yang terpasang di perumahan PT Inalum sudah optimal.

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah yang tertera didalam penulisan ini diharapkan dapat

membatasi ruang lingkup permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini,

antara lain: hanya meneliti Blok-P perumahan PT Inalum. Tidak menggunakan

program dalam penyelesaian. Dalam penulisan ini tidak memperhitungkan

kualitas dari jaringan listrik yang terpasang dengan menggunakan algoritma Prim.

Konsep graph yang diuraikan dalam tulisan ini hanya menyangkut undirected

graph.

1.4 Tinjauan Pustaka

1

(14)

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, maka penulis

menggunakan beberapa pustaka antara lain :

1. Johnsonbaugh, Richard, 5th ed (2001). Discrete Mathematics, 263-296,

323-343. Menyatakan bahwa, Suatu graph terhubung G atau sering disebut

Connected Graph G. Graph G=

( )

V,E , dimana V =

(

v1,v2,,vn

)

dan

(

e e en

)

E= ₁, ₂,, dikatakan connected (terhubung) jika dan hanya jika setiap 2

verteks dalam G connected oleh edge elemen dari G.

2. Grimaldi, Ralph P. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics, An

Apllied Introduction, fifth edition. Rose-Hulman Institute Of Technology.

Menyatakan bahwa, suatu walk di G dengan panjang m yang menghubungkan

vetex u dan v adalah barisan edge di G dengan bentuk

(

v v

) (

v v

) (

v v

)

w v= 0, 1 , 1, 2 ,, n−1, n =

Panjang dari suatu walk adalah banyaknya edge yang termuat di dalam walk

tersebut. Suatu path di G adalah suatu walk dengan semua verteksnya berbeda

kecuali verteks awal dan verteks akhir. Dua buah verteks adjacent jika kedua

verteks tersebut dihubungkan oleh sebuah edge.

1.5 Tujuan Penelitian

Penulis berharap dapat menyelesaikan tugas akhir dengan hasil yang

memuaskan dan memperkaya literature dalam bidang graph. Dan hasil penelitian

ini juga dapat menambah wawasan terutama tentang aplikasi graph dalam

kehidupan sehari-hari, dengan menerapkan teori minimum spanning tree

menggunakan algoritma prim pada jaringan listrik di perumahan PT Inalum.

1.6 Manfaat Penelitian

Manfaat yang dicapai oleh penulis adalah minimum spanning tree dari

pada panjang kabel listrik yang terpasang di perumahan blok-P PT Inalum,

dengan menggunakan algoritma Prim. Sehingga penulis dapat mengetahui

apakah panjang kabel yang terpasang di perumahan tersebut sudah optimal atau

belum.

1.7 Metode Penelitian

(15)

Penelitian ini bersifat studi kasus yang disusun berdasarkan rujukan

pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah-1 : Menjelaskan beberapa definisi yang

berkaitan dengan masalah yang diangkat.

Langkah- 2 : Mencari data nyata tentang kabel listrik yang telah

diperoleh dari perusahaan PT Inalum.

Langkah- 3 : Mencari data dari hasil pengukuran penulis.

Langkah- 4 : Menjelaskan penyelesaian masalah yang diangkat dari

jaringan listrik blok-P PT Inalum menggunakan metode

minimum spanning tree yaitu menggunakan algoritma

prim.

(16)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar yang akan digunakan sebagai

landasan berpikir seperti definisi dan contoh yang berkaitan dengan penelitian

ini. Dengan begitu akan mempermudah dalam hal pembahasan pada bab

berikutnya.

2.1 Representasi visual

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak persoalan yang dapat disimpulkan

sebagai persoalan yang berhubungan dengan himpunan, yang mana logika dari

persoalan tersebut sering kali dapat digambarkan dengan sebuah graph. Graph

digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara

objek-objek tersebut. Representasi visual dari graph dinyatakan berupa objek

sebagai verteks, noktah (titik) atau bulatan, sedangkan hubungan antara

objek-objek dinyatakan dengan edge. Penggunaan Teori graph banyak memberikan

solusi untuk menyelesaikan permasalahan yang terjadi di dalam masyarakat.

Contoh umum dari teori graph adalah penggunaan minimum spanning tree

dengan menggunakan Algoritma Prim. Salah satu penggunaan Algoritma dalam

memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari adalah pengoptimalisasian

jaringan listrik dengan menggunakan algoritma tersebut. Jaringan listrik dapat

direpresentasikan sebagai graph, dimana tiang listrik dan rumah sebagai verteks

(17)

(dengan panjang kabel terpendek) maka diperlukan suatu metode atau

algoritma. Dalam menyelesaikan masalah tersebut dapat digunakan Algoritma

Prim yang merupakan algoritma untuk mencari minimum spanning tree.

Berdasarkan data yang diperoleh dari Perusahaan Inalum Asahan dapat

diketahui bahwa panjang kabel total yang terpasang di Perumahan Inalum

Blok-P adalah sepanjang 4331.95 meter. Untuk melakukan analisis dengan

menggunakan Algoritma Prim terhadap jaringan listrik yang terpasang di

Perumahan Inalum Asahan, maka harus dilakukan penelitian lebih lanjut, yaitu

dengan cara melakukan pengukuran jarak antar rumah, antar tiang listrik dan

antara rumah dan tiang listrik. Setelah dilakukan pengukuran, data yang

diperoleh dari Perusahaan Inalum dan data hasil pengukuran direpresentasikan

dalam graph, yang mana graph hasil representasi tersebut akan dianalisis

dengan menggunakan Algoritma Prim.

2.2Graph Terhubung (Connected Graph)

Suatu graph G adalah merupakan suatu pasangan {E(G),V(G)} dimana :

V(G) merupakan sebuah himpunan berhingga yang tidak kosong(non empty

finite set) yang elemennya disebut verteks(point/ simpul/ lingkaran kecil),

dinotasikan v₁,v₂ ∈V(G). Sedangkan, E(G) merupakan suatu family dengan

elemen-elemennya adalah pasangan yang tidak berurut dari elemen-elemen

verteks V(G) yang disebut dengan edge(arc/ line), dinotasikan (v₁,v₂)∈E(G)

atau dapat ditulis ei∈E(G). Edge direpresentasikan berupa garis lurus atau

garis melengkung.

Contoh 1. Diberikan graph sebagai berikut

Gambar 2.1 Graph yang memuat 3 verteks dan 3 edge v3

v2

v1 e1

e2 e2

5

(18)

Berdasarkan Gambar 2.1 di atas dapat diberikan contoh dari verteks dan edge

sebagai berikut, v₁,v₂ dan v₃ merupakan verteks dan

(

v₁,v₂

) (

, v₁,v₃

) (

dan v₂,v₃

)

merupakan edge.

Suatu graph G =

( )

V,E dikatakan terhubung atau sering disebut

Connected Graph G, dimana terdapat V =

(

v1,v2,,vn

)

dan E=

(

e1,e2,,en

)

jika dan hanya jika setiap 2 verteks yang terdapat di dalam G terhubung oleh

edge.

Dua buah verteks v₁,v₂∈V(G) dikatakan adjacent(berdekatan), jika

) ( , ₂

1 v V G

v ∈ keduanya merupakan verteks ujung dari pada edge

e-1∈E(G)maka v1dan v2disebut incidency terhadap edge e1 tersebut. Dan

apabila dua buah edge e₁,e₂∈E(G) yang berbeda (non pararel edge) incidency

terhadap verteks sekutu maka kedua edge tersebut dikatakan adjacent edge.

Contoh 2. Diberikan graph sebagai berikut

Gambar 2.2 (a) Connected graph, (b) Disconnected graph

Dari Gambar 2.2 dapat kita lihat, sebagai berikut:

Gambar 2.2.(a)

Adjacent verteks Incidency Adjacent edge

v1 v2

v3

v4

e1 e4

e5

e2

e3

v5

v1 v2

v3

v4

e1 e4

e5

e2

e3

(a) (b)

v6

e6

(19)

v1 dan v2

v1 dan v4

v1 dan v3

v2 dan v3

v4 dan v3

v1, v2 incidency terhadap e2

e1, e2 dane3

e3, e4 dane5

e2 dane4

e1 dane5

Gambar 2.2.(b) merupakan disconnected graph karena tidak setiap 2 verteks di

dalam G terhubung dengan edge, yaitu verteks v5 dan v6

Degree atau derajat suatu verteks adalah jumlah edge yang incidency

atau bersisian dengan verteks tersebut, dinotasikan dengan d(vi).

Tinjau gambar 2.2.(a) : d(v1) = d(v3) = 3

d(v2) = d(v4) = 2.

2.3Graph Tak Berarah (Undirected Graph)

Suatu graph G adalah suatu kumpulan verteks, titik atau lingkaran kecil

yang dihubungkan oleh garis, sisi atau edge, dan jika edge yang

menghubungkan verteks tersebut berarah maka graph tersebut disebut dengan

graph berarah (directed graph) atau disebut juga dengan istilah digraph. Dan

sebaliknya graph yang setiap verteksnya dihubungi dengan edge tanpa arah,

maka graph tersebut disebut graph tak berarah atau sering disebut undirected

graph atau undigraph.

Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga tak kosong. Sebuah

graph tak berarah U adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan

{

v v vn

}

V = ₁, ₂,, yang unsurnya disebut verteks dari U, bersama dengan

himpunan E yang terdiri dari pasangan berurut verteks di V. Setiap pasangan

berurut dari verteks di V disebut dengan edge. Jika diberikan

(

v v

)

E V

v

v1, 2∈ dengan 1, 2 ∈ , maka terdapat edge yang menghubungkan verteks

di dan 2

1 v

v undigraph U.

Contoh 3. Himpunan verteks V = {v₁,v₂,v₃,v₄,v₅} bersama dengan himpunan

edge E=

{

(

v₁,v₃

) (

, v₁,v₄

) (

, v₁,v₅

) (

, v₂,v₁

) (

, v₂,v₄

) (

, v₃,v₂

) (

, v₄,v₃

) (

, v₅,v₄

)

}

adalah

suatu undigraph dengan 5 verteks dan 8 edge.

Suatu undigraph dapat direpresentasikan secara grafis, yakni setiap

(20)

v5

v4

v3

v2

v1

menghubungkan kedua verteksnya direpresentasikan sebagai garis tak berarah

yang menghubungkan suatu verteks dengan verteks lainnya.

Representasi undigraph pada contoh 3 diperlihatkan pada gambar 2.3 berikut,

pada halaman 9.

Gambar 2.3 Representasi grafis dari undigraph

Suatu walk dari a ke b yang panjangnya n adalah suatu barisan edge

dalam bentuk

a = v0−v1−v2 −−vn−1−vn = b

Dari definisi walk di atas, panjang dari suatu walk adalah banyaknya edge yang

terdapat di walk tersebut.

Suatu walk w dengan verteks awal a dan dengan verteks akhir b disebut

sebagai ab-walk dinotasikan dengan wab. Suatu walk dikatakan terbuka jika

. jika tertutup dikatakan

dan a b

b

a≠ = Panjang dari walk wab dinyatakan

dengan 

( )

w_ab .

Dari Gambar 2.3, diperoleh

(21)

1 2 3 4 5

1 v v v v v

v − − − − −

yang merupakan suatu walk tertutup dengan panjang 5. Sedangkan

2 3 4 5

1 v v v v

v − − − −

merupakan suatu walk terbuka dengan panjang 3.

Path adalah walk yang memuat verteks-verteks yang berbeda kecuali

mungkin verteks awal dan verteks akhir. Cycle adalah suatu path tertutup dan

loop adalah suatu cycle dengan panjang satu (vi= vi). Suatu hamilton path di

graph G adalah suatu path yang memuat seluruh verteks di G. Sirkuit dengan

panjang n adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan verteks yang sama.

Contoh 4. Diberikan undigraph sebagai berikut:

Gambar 2.4 Undigraph yang memuat path, cycle, loop, hamilton path dan

sirkuit

Berdasarkan gambar 2.4 di atas dapat di tunjukkan contoh daripada path, cycle

dan hamilton path, yaitu :

6 2 3 4 5

1 v v v v v

v − − − − −

merupakan salah satu path dengan panjang 5,

merupakan salah satu cycle dengan panjang 5,

v5

v4

v3

v2

v1

v6

1 2 3 4 5

1 v v v v v

v − − − − −

(22)

5

5 v

v −

merupakan suatu loop,

4 5 1 2 3

6 v v v v v

v − − − − −

merupakan salah satu hamilton path, dan

6 5 4 3 1 2

6 v v v v v v

v − − − − − −

merupakan salah satu sirkuit.

Suatu graph G dikatakan Simple graph atau graf sederhana jika dan

hanya jika didalam graph G tidak terdapat loop dan multiple edge (edge ganda).

Contoh 5. Diberikan graph yang bukan merupakan simple graph sebagai

berikut:

Gambar 2.5 Graph yang memuat multiple edge dan loop

Dari gambar 2.5 diketahui bahwa graph bukan merupakan simple graph karena

memuat loop yaitu v₂−v₂ dan multiple egde yaitu e1 dan e2.

Himpunan yang terdapat didalam graph disini berupa himpunan dari

verteks dan edge. Maka S dikatakan subgraph dari graph G jika dan hanya jika

verteks dan edge yang berada di S merupakan yang berada di G. Sedangkan

suatu subgraph yang memuat seluruh verteks dari graph G dikatakan spanning

subgraph (subgraph merentang).

Contoh 6. Diberikan graph G dan subgraph

v1 v2

v3

e1

e2

e3 e4

(a) (b)

(23)

Gambar 2.6 Subgraph

Dari gambar 2.6 diterangkan bahwa,

Gambar 2.6.(b) merupakan spanning subgraph dari Gambar 2.6.(a).

2.4Graph Berbobot (Weighted Graph) dan Berlabel (Labeled Graph)

Graph berbobot adalah graph yang setiap edgenya mempunyai nilai

berupa bilangan non negatif.

Contoh 7. Diberikan weighted graph

Gambar 2.7 Weighted graph

Dari gambar 2.7 dapat dijelaskan bobot dari masing-masing edge, yaitu:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

19

13 , 2 , 3 , 2 , 4 , 3 , 8 7 5 3 4 3 4 2 3 2 3 1 2 1 = = = = = = = v v v v v v v v v v v v v

v

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

8

3 , 3 , 6 , 12 , 2 , 8 6 7 6 7 5 7 4 4 6 5 4 = = = = = = v v v v v v v v v v v v

Sedangkan labeled graph yaitu disetiap edgenya hanya ditandai dengan

simbol yang bukan merupakan bilangan non-negatif.

v2 v4 v6

v3 v5 v7

(24)

Contoh 8. Diberikan labeled graph

Gambar 2.8 Labeled graph

2.5Tree

Tree adalah suatu connected graph yang tidak memuat cycle, loop dan

multiple edge. Pada sebuah tree hanya terdapat satu path antara setiap pasangan

verteksnya. Tree yang hanya terdiri dari 1 verteks disebut tree yang menyusut

atau tree yang mengalami degenerasi. Forest adalah himpunan dari paling

sedikit 2 tree atau lebih.

Contoh 9. Diberikan beberapa contoh tree

Gambar 2.9 Representasi Tree

Dari gambar 2.9 dapat dilihat,

Gambar 2.9.(a) merupakan tree yang menyusut

Gambar 2.9.(b) merupakan tree dengan 5 verteks dan 4 edge

Gambar 2.9.(c) merupakan forest yang memuat 4 komponen tree.

Sifat-sifat tree, Misalkan G = (V, E) adalah graph tak-berarah sederhana

dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen:

- G adalah tree.

v1 v2

e2

e1

(a) (b) (c)

(25)

- Setiap pasang verteks di dalam G terhubung dengan edge tunggal.

- G terhubung dan memiliki m=

( )

n−1 edge.

- G tidak mengandung cycle (acyclic) dan memiliki m=

( )

n−1 edge.

- G tidak mengandung cycle (acyclic) dan multiple edge.

- G terhubung dan setiap edge-nya adalah bridge(jembatan/ penghubung).

(jurnal: Universitas Gunadharma)

2.6Spanning Tree

Spanning tree T atau pohon rentangan dari suatu connected graph

adalah suatu subgraph dari graph G yang mengandung semua verteks dari G,

dan merupakan suatu tree. Edge pada suatu spanning tree T biasa disebut

branch (cabang). Dan edge di G yang tidak terdapat di spanning tree T disebut

chord (tali).

Contoh 10. Diberikan graph G yang memuat spanning tree

Gambar 2.10 Graph G yang memuat spanning tree

Dari gambar 2.10 dapat dilihat bahwa salah satu spanning tree yang merupakan

subgraph G ditandai oleh yang bergaris tebal. Sehingga dapat dilihat juga

bahwa e1, e13,e11, e15, e6, e5 dan e3 merupakan branch-branch yang termuat

pada spanning tree tersebut. Dan e2, e14, e9, e8, e4, e10 dan e7 merupakan chord.

v3

v1 v2

v8 v₄

v5

v6

v7

e1 e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8

e9

e10

e11

e13

e14

e15

(26)

Pada gambar 2.11 berikut menunjukkan hubungan dari graph G dengan

spanning treenya. (jurnal: Universitas Gunadharma)

Gambar 2.11 Hubungan antara Graph G dengan spanning tree-nya

Jika T merupakan spanning tree didalam suatu weighted graph G maka

bobot dari suatu spanning tree didefinisikan sebagai berikut: bobot dari suatu

spanning tree adalah jumlah dari semua bobot yang terdapat pada branch di tree

tersebut, dinotasikan sebagai berikut:

∑

_∈

=

T y x

y x T

W

,

) , ( ) (

Secara umum untuk spanning tree yang berbeda pada graph G akan mempunyai

bobot yang berbeda pula, karena pada suatu connected graph G mungkin

mempunyai banyak spanning tree dengan total bobot yang masing-masing

mungkin berbeda. Sehingga karena persoalan ini pula dapat dipilih satu

spanning tree yang memiliki total bobot yang paling minimum disebut sebagai

minimum spanning tree(MST) atau pohon merentang minimum.

Contoh 11. Diberikan graph G yang memuat minimum spanning tree

Graph G Spanning tree

n verteks n verteks

m edge n−1 edge

m−

( )

n−1 edge

BRANCH (CABANG)

CHORD

3 ₃

1

2

1 ₁

1

2 10

3 3

1

1 1

10

4 4

5

(27)

Gambar 2.12 Graph G yang memuat minimum spanning tree

Pada gambar 2.12 minimum spanning tree ditandai dengan garis tebal, dimana

total bobotnya adalah 3+1+3+1+1+2+1+2+1+1+3+1+3=23.

Minimum spanning tree ini merupakan spanning tree yang paling penting.

Sehingga lebih dari satu algoritma yang muncul untuk menyelesaikan persoalan

minimum spanning tree.

2.7Algoritma Prim

Salah satu algoritma yang sering digunakan untuk menyelesaikan

persoalan minimum spanning tree adalah algoritma Prim. Algoritma ini

ditemukan oleh Robert C.Prim. Algoritma-algoritma selain Prim, yaitu:

algoritma Greedy, Boruvka, Kruskal, Bernard Chazell dan Waktu Linier.

Berbeda dengan Kruskal yang dimulai dengan graph tanpa edge, algoritma

Prim dimulai dari graph kosong. Algoritma Prim membentuk pohon merentang

minimum langkah per langkah. Pada setiap langkah kita mengambil edge dari

graph G yang mempunyai bobot paling minimum dengan mengambil

verteks-verteks yang incidency terhadap edge tersebut, namun pada pemilihan edge

berikutnya selalu terhubung dengan minimum spanning tree T yang telah

terbentuk.

Jika G merupakan suatu weighted dan connected graph, maka dengan algoritma

Prim dapat diperoleh minimum spanning tree-nya dengan langkah-langkahnya

sebagai berikut:

Langkah 1 : Ambil edge dari graph G yang berbobot minimum, masukkan ke

dalam T.

Langkah 2 : Pilih edge (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian

dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T.

Tambahkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3 : Ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali. Jumlah langkah

seluruhnya

(28)

didalam algoritma Prim adalah 1+

(

n−2

)

=n−1, yaitu sebanyak

jumlah sisi di dalam pohon merentang dengan n buah simpul.

BAB 3

PEMBAHASAN

Pada Bab sebelumnya telah dipaparkan algoritma Prim yang digunakan

dalam menyelesaikan permasalahan minimum spanning tree. Pada Bab ini akan

diperlihatkan algoritma prim untuk mengoptimalkan panjang kabel yang

terpasang di perumahan blok-P PT Inalum.

Dan sebelum memulai pembahasan penemuan minimum spanning tree pada

jaringan listrik di perumahan blok-P PT Inalum, akan diperlihatkan secara

lengkap contoh penyelesaian masalah minimum spanning tree menggunakan

algoritma Prim.

Contoh 3.1 Diberikan undirected, weighted dan connected graph G, sebagai

berikut:

4

2 2

7

5 5

3

3 6

6 v1

v2

v3

v5

v6

v8

(29)

Gambar 3.1 Weighted, undirected dan connected graph G(11,18)

Dari gambar 3.1 dapat kita peroleh minimum spanning tree menggunakan

algoritma prim dengan melalui beberapa tahapan, yaitu:

- (1)Pilih edge yang memiliki bobot paling minimum dari graph G dan

masukkan ke dalam T, yaitu 2 dengan edge (v1,v3).

- (2)Pilih edge (v3,v4) yang incidency dengan salah satu verteks ujung dari

tree yang telah terbentuk dan memiliki bobot paling minimum, yaitu 3.

- (7)Pilih edge (v7,v10) yang incidency dengan salah satu verteks ujung

dari tree yang telah terbentuk dan memiliki bobot paling minimum,

yaitu 4.

yaitu 2.

17

(30)

yaitu 3.

Sehingga minimum spanning tree dari graph G(11,18) adalah

32 3 2 5 4 4 2 2 5 3 2 ) ,

(vi vj = + + + + + + + + + =

W

[image:30.595.148.499.235.444.2]

Tahapan dan algoritma prim diatas dapat direpresentasikan pada graph berikut:

Gambar 3.2 Minimum spanning tree T dari G(11,18) menggunakan

algoritma prim

3.1Jaringan listrik yang terpasang di perumahan blok-P PT Inalum.

Hasil pengukuran panjang kabel dari jaringan listrik yang terpasang di

blok-P Inalum dapat direpresentasikan sebagai graph terhubung, tak berarah dan

berbobot (Connected, Undirected dan Weighted Graph).

Suatu undigraph G dengan himpunan verteks V dan edge E dinotasikan

dengan G={V,E}, dengan rumah dan tiang listrik direpresentasikan sebagai

verteks yang dinotasikan dengan v∈V. Sedangkan jalur-jalur kabel tiang listrik

yang terpasang untuk mengalirkan listrik di-blok-P Inalum direpresentasikan

dengan edge yang dinotasikan dengan e∈E. (6)

(1) (9)

(4) (5)

(7) (3)

(2)

(10)

(8) v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8

v9

v10

v11

(31)

[image:31.595.123.505.117.462.2]

Data yang diperoleh dari PT Inalum,

Gambar 3.3 Jaringan listrik yang terpasang di blok-P Inalum G(253,242)

3.2Penentuan Minimum Spanning Tree

Selanjutnya membuat langkah-langkah untuk menentukan minimum

spanning tree dari graph yang diambil di perumahan blok-P PT Inalum, yaitu:

Diketahui bahwa G=

{ }

V,E

- Mengetahui jumlah verteks yang termuat pada graph G(253,393), yaitu:

( )

, =1,2,3,,253

∈V G i

i .

(32)

- Mengetahui seluruh edge yang termuat pada graph G(253,393), dinotasikan

sebagai

( ) ( )

j ∈E G ,j=1,2,3,,393 dengan masing-masing bobot(dalam

satuan meter) sebagai berikut:

edge bobot edge bobot edge bobot edge bobot edge bobot

(1) 2 (22) 39.2 (43) 4.8 (64) 21.8 (85) 3.6

(2) 3 (23) 32.1 (44) 4.7 (65) 6.2 (86) 4.35

(3) 5 (24) 14.1 (45) 16.4 (66) 8.7 (87) 4.2

(4) 5.4 (25) 12.6 (46) 15.6 (67) 18.4 (88) 3.6

(5) 3.6 (26) 2.8 (47) 4.2 (68) 6.5 (89) 4.6

(6) 13 (27) 3.3 (48) 4.2 (69) 4.7 (90) 4.7

(7) 31.45 (28) 7 (49) 3.9 (70) 5.5 (91) 4.8

(8) 31.4 (29) 2.6 (50) 16.69 (71) 6.8 (92) 18.6

(9) 35.6 (30) 3.3 (51) 17.7 (72) 19 (93) 4.5

(10) 38.5 (31) 6.8 (52) 19 (73) 12.6 (94) 4.6

(11) 39.1 (32) 2.7 (53) 17.8 (74) 4 (95) 3.2

(12) 16.2 (33) 3.1 (54) 20.8 (75) 4.2 (96) 4.7

(13) 5.5 (34) 3.4 (55) 4.2 (76) 4.5 (97) 5.1

(14) 5.6 (35) 5 (56) 4.2 (77) 4.6 (98) 19

(15) 18 (36) 5.1 (57) 21.3 (78) 4.8 (99) 20

(16) 7.1 (37) 6.7 (58) 4.9 (79) 14 (100) 4.1

(17) 19 (38) 5.4 (59) 5 (80) 15.4 (101) 21.8

(18) 35.7 (39) 4.8 (60) 30 (81) 4.8 (102) 4.3

(19) 36.7 (40) 8.9 (61) 31.7 (82) 4 (103) 3.8

(20) 23.7 (41) 41 (62) 3.8 (83) 3.6 (104) 22.5

(21) 5 (42) 5.2 (63) 3.5 (84) 4.5 (105) 18

edge bobot edge bobot edge bobot edge bobot edge bobot

(106) 18.9 (137) 6.6 (168) 15.4 (199) 29.4 (230) 19.5

(107) 16.9 (138) 18 (169) 9.2 (200) 19.7 (231) 5.6

(108) 8.9 (139) 14.8 (170) 3.7 (201) 10.9 (232) 34

(109) 17 (140) 3.9 (171) 22.9 (202) 17.85 (233) 36

(33)

(110) 5.6 (141) 16.8 (172) 24.2 (203) 19.5 (234) 35.6

(111) 25 (142) 22.8 (173) 19.1 (204) 7.4 (235) 37.8

(112) 25.5 (143) 12.4 (174) 3.4 (205) 17.6 (236) 38

(113) 6.9 (144) 5.1 (175) 10.5 (206) 26.4 (237) 38.3

(114) 9.4 (145) 19.4 (176) 18 (207) 31.1 (238) 39.1

(115) 18.9 (146) 20.4 (177) 6 (208) 31.1 (239) 38.9

(116) 6.3 (147) 6.2 (178) 7.2 (209) 34.2 (240) 39.4

(117) 5 (148) 20.4 (179) 22.1 (210) 26.9 (241) 21.9

(118) 23.8 (149) 25.6 (180) 6 (211) 28.3 (242) 23.7

(119) 16.8 (150) 6.75 (181) 18.6 (212) 27.2 (243) 28.85

(120) 20 (151) 26 (182) 7.45 (213) 35.2 (244) 7.6

(121) 4.8 (152) 18.1 (183) 24.9 (214) 35.4 (245) 16.1

(122) 6.9 (153) 16.7 (184) 17.6 (215) 36 (246) 23.2

(123) 22.1 (154) 6.5 (185) 20.9 (216) 36.3 (247) 4.5

(124) 4.9 (155) 16 (186) 6.6 (217) 36.5 (248) 10.9

(125) 6.4 (156) 5.9 (187) 8.7 (218) 33.4 (249) 9.95

(126) 21.6 (157) 14 (188) 21.5 (219) 35.4 (250) 6.2

(127) 25.1 (158) 4 (189) 7.4 (220) 5.9 (251) 39.8

(128) 16.8 (159) 19.5 (190) 9.2 (221) 15.9 (252) 41.1

(129) 19.4 (160) 4.2 (191) 21.7 (222) 16.4 (253) 40

(130) 3.4 (161) 6.2 (192) 24.7 (223) 8.7 (254) 39.9

(131) 7.1 (162) 15.3 (193) 5.6 (224) 18.5 (255) 18

(132) 20.4 (163) 10 (194) 16.3 (225) 21.8 (256) 17.4

(133) 5.7 (164) 5 (195) 27.4 (226) 26.4 (257) 45.8

(134) 8.1 (165) 21.45 (196) 28.45 (227) 23.4 (258) 38.85

(135) 19.4 (166) 3.7 (197) 28.7 (228) 13 (259) 37.4

(136) 16.1 (167) 6.1 (198) 28.7 (229) 4.6 (260) 41.4

edge bobot edge bobot edge bobot edge bobot edge bobot

(261) 40 (292) 52 (323) 41.2 (354) 18.75 (385) 25.1

(262) 40 (293) 120 (324) 52.42 (355) 19 (386) 19

(263) 18.4 (294) 35.8 (325) 30.6 (356) 4.4 (387) 8

(34)

(264) 25.9 (295) 41 (326) 41.1 (357) 9.4 (388) 5

(265) 76.8 (296) 95 (327) 24.1 (358) 23.8 (389) 21

(266) 25.1 (297) 38.8 (328) 23 (359) 29.1 (390) 16.9

(267) 39.6 (298) 39.1 (329) 32.8 (360) 18.85 (391) 20.4

(268) 36.8 (299) 52.2 (330) 30.46 (361) 25.6 (392) 7.3

(269) 36.6 (300) 41 (331) 24 (362) 26.1 (393) 35.4

(270) 41.2 (301) 54.2 (332) 32.8 (363) 20.9

(271) 17 (302) 25 (333) 80 (364) 39.4

(272) 37.1 (303) 22.2 (334) 58.8 (365) 38.9

(273) 15.3 (304) 31.5 (335) 40 (366) 36.35

(274) 35.9 (305) 23.1 (336) 39.5 (367) 40.1

(275) 47.1 (306) 26.2 (337) 36.2 (368) 36.2

(276) 46.85 (307) 39.4 (338) 40 (369) 40.2

(277) 40.7 (308) 41.6 (339) 25.6 (370) 40.2

(278) 35 (309) 54.45 (340) 38.6 (371) 80

(279) 26.3 (310) 66 (341) 30.6 (372) 30

(280) 25.2 (311) 64.9 (342) 19.2 (373) 4.9

(281) 24.9 (312) 52.8 (343) 32 (374) 22.3

(282) 27.7 (313) 38 (344) 31 (375) 19

(283) 26.2 (314) 80 (345) 29.2 (376) 4.8

(284) 18.3 (315) 60.1 (346) 28.3 (377) 4.9

(285) 86.7 (316) 36.2 (347) 21.6 (378) 26.8

(286) 85.6 (317) 25.2 (348) 20.4 (379) 30.8

(287) 28.4 (318) 28.2 (349) 7.5 (380) 20.4

(288) 38.5 (319) 79.85 (350) 21.2 (381) 20.5

(289) 40.7 (320) 82.2 (351) 16.8 (382) 25

(290) 48.1 (321) 78 (352) 27 (383) 6

(291) 49.4 (322) 76.7 (353) 16.8 (384) 4.9

- Merepresentasikan jaringan listrik di blok-P Inalum dari gabungan data

perusahaan dan pengukuran, yaitu graph G(253,393).

(35)

[image:35.595.132.497.119.560.2]

Gambar 3.4 Graph G(253,393)

39,6 (267)

37.8 (235)

38 (236) 39.8 (251)

36.3 (216) 28 .7 (1 98 ) 28 .7 (1 97 ) 25(111) 17(109) 40 (253) 36.8 (268) 38 .5( 28 8) 17.6(184) 6.6 (186) 8.7 (187) 20.9 (185) 39 .9( 25 4)

36.6 (269) 5.6(

11 0) 8.9(108) 18 (2 55 ) 16.9 18.9(106) (107) 17.4 (256) 37 .4 (2 59 ) 38 .8 5 (2 58 ) 45.8 (257) 27 .4 (1 95 ) 20 .4 (1 48

) (119.4 45

) 20.4 (146) 12.4 (143) 6.2 (147) 5.1 (144) 28 .4 5( 19 6) 37.1(272) (141) 16.8 22 .8 (1 42 )

3.9(140) 14.8(139) 15.3 (273) 17 (2 71 ) 41 .2 (2 70 ) 18(138) 6.6(137)

16 .1( 13 6) 19.4(135) 5.7

(133) 20.4 (132) 8. 1 (1 34 ) 3.4 (130) 19.4 (129) 7. 1 (1 31

) 16.8

16.8

(128) (127) 25.1 41 .4( 26 0) 40 (2 61 ) 22.5 (104) 18 (105) 18 .4 (2 63 ) (1 01 ) 21 .8 3. 8 (1 03 ) 4.3 (102) 4.1 (100) 20 (9 9) 76

.8( 26 5) 8. 7 (6 6) 25.5 (112) 35.6 (234) 36 (2 33 ) 34 (2 32 ) 41(295) 35.8(294) 35 .4( 39 3) 33 .4( 21 8) 36 .5( 21 7) 31 .1( 20 8) 36 .2( 31 6) 34 .2( 20 9) 26 .9( 21 0) 28 .3( 21 1) 27 .2( 21 2) 38.3(237) 39.1(238)

38.9(239) _41.1(252) _41.1(326)

25.9(264) 40(262) 25 .1( 26 6) 9. 4( 11 4) 6.9(113) 6.2(65) 4. 6 (2 29 ) 38.8(297) 35.4(219) 5.9 (220)

8.7 (223) 5.6 (231) 19.5 (230) 16.4 (222) 13 (228) 15.9 (221) 21.8 (225)

(224) 18.5 (226) 26.4

(227) 23.4 95(296) 16

.3( 19 4) 12 0( 29 3) 5. 6( 19 3) 24 .7 (1 92 ) 52(292) 49.4(291) 48 .1( 29 0) 40

.7( 28 9) 40 .7( 27 7) 46.85(276) 47.1(275) (119) 20 (120) 4.8 (121) (123)

22.1 6.9 (122) 6.4 (125)

4.9 (124) 21.6 (126) (282) 27.7

6.75 (150) 25 .6( 14 9) 35 .9( 27 4)

39.4(240) 39.5(364) 21.9 (241) 23.7 (242) 28.85 (243) 7.6 (244) 4.5 (247) 6.2 (250) 16.1 23.2 10.9 9.95 (249) (248) (246) (245) 52.42(324) 30.6(325) 76 .7( 32 2) 78 (3 21 ) 82 .2( 32 0) 41 .2( 32 3) ₄₀

(3 35 ) 39 .5( 33 6) 41 .6( 30 8) (1 75 ) 10 .5 (173) 19.1 3.45 (174) (1 77 ) 6 7.2 (178) 31.1(207) 26.4(206) 17 .6( 20 5)

60.1(315) 80(314) 17 .8 5 (2 02 ) 7.4 (204) 10.9 (201) 19 .7 (2 00 ) 19 .5 (2 03 ) 25.2(317) 28.2(318) (199) 29.4 79.85 (319) 38(313) (180) 6 (181) 18.6 (1 82 ) 7. 45 (179) 22.1

(312) 52.8 54 .4 5( 30 9) 64 .9( 31 1) 66 (3 10 )

(191) 21.7 (188) 21.5 7.4(189) 9. 2 (1 90 ) 39 .1( 29 8) 52.2(299) 54.2(301) 41 (3 00 ) 5( 21 ) 23 .7( 20 ) 36.7(19) 35.7(18) 36.2(337) 39.1(11) 35.6(9) 38.6(340) 31 .4( 8) 31 .4 5( 7) 38.5(10) 39 .2( 22 ) 32 .1( 23 ) 35 (2 78 ) 24.2(172) 18 .9( 11 5) 25.2(280) 24 .9( 28 1) 23.8 (118) (116) 6,3

18.4 (167) 6.5

(68) 4. 7 (6 9) 5.5 (70) 6.8 (71) ₁₉20.5 (381)

(72) 12_.6( 73

) 25(302) 20.4(348) 30.8(379) 40.2(370) 21 .8( 64 ) 3. 5( 63 ) 3. 8( 62 ) 40 .2( 36 9) 2(1) 3( 2) 5(3) 25.6 (339) 13 (6) 40(338) 3. 6( 5) 5.4(4) 5.6(14) 5. 5( 13 ) 16.2(12) 18 (15) 7.1 (16) 19(17) 58 .8( 33 4) 32.8(329) 30.46(330) 80(333) 4(158) 14(157) 24(331) 32.8(332) 22.9 (171)

5 (164) 3.7 (170)

9.2 (169) 10 (163)

5.9 (156) 24.1 (327) 23 (3 28 ) 15 .4( 16 8) 15_.3(

16 2) 16(1

55 ) 31.5(304) 23.1(305)

6.5(154) 6.2 (161) 19.5(159)

16.7 (153) 26.6(306) 21.45 (165) 22.2(303) 4.2 (160) 3.7 (166) 6.1 (167) 24.9(183) 26 .2( 28 3) 25(382) 28.4(287) 27(3

52 ) 26

(1 51 ) 31 .7( 61 ) 18.1(152) 18 .3 (2 84 ) 26.3(279) 86.7 (285) 85.6 (286) 21 .3 (5 7) 4.9(58) 5(59) 36.35 (366) 36 .2 (3₆₈

) 4.7(44) 4.8(43) 20 .9( 36 3) 5.2(42) 4.8 (41) 23.8(358) 8.9 (40) 4.8 (39) 5. 4 (3 8) 6.7 (37) 9. 4 (3 57

) 5(35) 5. 1( 36 ) 19 (5 2) 38 .9( 36 5) 35

.4( 21 4) 17 .8 (5 3) 3.4 (34) 4.4(356) 18.75 (354) 16.8 (353) 20.4 (380) 2.8 (26) 19(375) 16.9(390) 3.1(33) 6. 8( 31 ) 2.6(29) 7( 28 ) 21.6(347) _12.6(25)

3. 3( 2 7) 3. 3( 3 0) 2. 7( 32 ) 7.5(349) 29.1 (359) 26 .1 (3 62 ) 18.85 (360)

25.6(361) 28.3(346) 29.2(345) 32(343) 21.2(350) 16.8(351) 30.6(341) 30 (6 0) 14 .1( 24 ) 16.4(45) 16.9(50) 1 7. 7( 5 1) 15,6(46) 4. 2( 47 ) 4.2(48) 4. 2( 5 5) 4.2(56) 20.8(54) 19.2(342) 31 (3 44 ) 3. 9( 49 ) 80 (3 71 ) 30(372) 40 .1( 36 7) 5.1(97) 3. 2( 9 5) 5( 38 8) 4.6(94) 8( 3 8 7) 19 (3 86 ) 18 .6 (9 2) 21 (3 89 ) 20 .4 (3 91 ) 6( 3 8 3) 4. 5( 93 ) 4. 7( 96 ) 39 .4 (3 07 ) 3. 6( 8 8) 4.6(89)

4. 9( 37 7) 4.2(87) 36(215) 22 .3 (3 7 4) 4.8(91) 4.7(90) 3.6(85) 4.35(86) 19 (3 55 ) 4.8(376) 4.9(373) 3.6(83) 4.5(84) 26 .8 (3 78 ) 3 5. 2( 2 1 4(82) 4.8(81) 15 .4 (8 0) 14(79) 4( 7 4) 4.8(78) 19(98) 4.2(75)

4.5(76) 4.6(77) 25 .1 (3 85 ) 4.

9( 38 4)

5(117)

7.3(392)

(176) 18

(36)

Langkah-langkah menemukan minimum spanning tree pada graph yang

merupakan representasi jaringan listrik yang terpasang di perumahan blok-P

PT Inalum, menggunakan algoritma Prim, yaitu sebanyak (n-1) dengan n

banyaknya verteks.

Langkah Pemilihan edge

(1)* Pilih edge yang memiliki bobot paling minimum diantara

edge-edge dari graph Blok-P dan masukkan ke dalam T,

yaitu 2 pada edge (1).

(2)* Pilih edge yang incidency dengan salah satu verteks ujung

dari tree yang telah terbentuk dan memiliki bobot paling

minimum, yaitu 3 pada edge (2).

(3)* Pilih edge dengan cara yang sama, yaitu 5 pada edge (3).

(4)* 5.4 pada edge (4).

(5)* 3.6 pada edge (5).

(6)* 13 pada edge (6).

(7)* 31.45 pada edge (7).

(8)* 31.4 pada edge (8).

(9)* 35.6 pada edge (9).

(10)* 38.5 pada edge (10).

(11)* 39.1 pada edge (11).

(12)* 16.2 pada edge (12).

(13)* 5.5 pada edge (13).

(14)* 5.6 pada edge (14).

(15)* 18 pada edge (15).

(16)* 7.1 pada edge (16).

(17)* 19 pada edge (17).

(18)* 35.7 pada edge (18).

(19)* 36.7 pada edge (19).

(20)* 23.7 pada edge (20).

(21)* 5 pada edge (21).

(22)* 39.2 pada edge (22).

(37)

(23)* 32.1 pada edge (23).

(24)* 14.1 pada edge (24).

(25)* 12.6 pada edge (25).

(26)* 2.8 pada edge (26).

(27)* 3.3 pada edge (27).

(28)* 7 pada edge (28).

(29)* 2.6 pada edge (29).

(30)* 3.3 pada edge (30).

(31)* 6.8 pada edge (31).

(32)* 2.7 pada edge (32).

(33)* 3.1 pada edge (33).

(34)* 3.4 pada edge (34).

(35)* 5 pada edge (35).

(36)* 5.1 pada edge (36).

(37)* 6.7 pada edge (37).

(38)* 5.4 pada edge (38).

(39)* 4.8 pada edge (39).

(40)* 8.9 pada edge (40).

(41)* 41 pada edge (41).

(42)* 5.2 pada edge (42).

(43)* 4.8 pada edge (43).

(44)* 4.7 pada edge (44).

(45)* 16.4 pada edge (45).

(46)* 15.6 pada edge (46).

(47)* 4.2 pada edge (47).

(48)* 4.2 pada edge (48).

(49)* 3.9 pada edge (49).

(50)* 16.69 pada edge (50).

(51)* 17.7 pada edge (51).

(52)* 19 pada edge (52).

(38)

(54)* 20.8 pada edge (54).

(55)* 4.2 pada edge (55).

(56)* 4.2 pada edge (56).

(57)* 21.3 pada edge (57).

(58)* 4.9 pada edge (58).

(59)* 5 pada edge (59).

(60)* 30 pada edge (60).

(61)* 31.7 pada edge (61).

(62)* 3.8 pada edge (62).

(63)* 3.5 pada edge (63).

(64)* 21.8 pada edge (64).

(65)* 6.2 pada edge (65).

(66)* 8.7 pada edge (66).

(67)* 18.4 pada edge (67).

(68)* 6.5 pada edge (68).

(69)* 4.7 pada edge (69).

(70)* 5.5 pada edge (70).

(71)* 6.8 pada edge (71).

(72)* 19 pada edge (72).

(73)* 12.6 pada edge (73).

(74)* 4 pada edge (74).

(75)* 4.2 pada edge (75).

(76)* 4.5 pada edge (76).

(77)* 4.6 pada edge (77).

(78)* 4.8 pada edge (78).

(79)* 14 pada edge (79).

(80)* 15.4 pada edge (80).

(81)* 4.8 pada edge (81).

(82)* 4 pada edge (82).

(83)* 3.6 pada edge (83).

(84)* 4.5 pada edge (84).

(39)

(85)* 3.6 pada edge (85).

(86)* 4.35 pada edge (86).

(87)* 4.2 pada edge (87).

(88)* 3.6 pada edge (88).

(89)* 4.6 pada edge (89).

(90)* 4.7 pada edge (90).

(91)* 4.8 pada edge (91).

(92)* 18.6 pada edge (92).

(93)* 4.5 pada edge (93).

(94)* 4.6 pada edge (94).

(95)* 3.2 pada edgen(95).

(96)* 4.7 pada edge (96).

(97)* 5.1 pada edge (97).

(98)* 19 pada edge (98).

(99)* 20 pada edge (99).

(100)* 4.1 pada edge (100).

(101)* 21.8 pada edge (101).

(102)* 4.3 pada edge (102).

(103)* 3.8 pada edge (103).

(104)* 22.5 pada edge (104).

(105)* 18 pada edge (105).

(106)* 18.9 pada edge (106).

(107)* 16.9 pada edge (107).

(108)* 8.9 pada edge (108).

(109)* 17 pada edge (109).

(110)* 5.6 pada edge (110).

(111)* 25 pada edge (111).

(112)* 25.5 pada edge (112).

(113)* 6.9 pada edge (113).

(114)* 9.4 pada edge (114).

(115)* 18.9 pada edge (115).

(40)

(116)* 6.3 pada edge (116).

(117)* 5 pada edge (117).

(118)* 23.8 pada edge (118).

(119)* 16.8 pada edge (119).

(120)* 20 pada edge (120).

(121)* 4.8 pada edge (121).

(122)* 6.9 pada edge (122).

(123)* 22.1 pada edge (123).

(124)* 4.9 pada edge (124).

(125)* 6.4 pada edge (125).

(126)* 21.6 pada edge (126).

(127)* 25.1 pada edge (127).

(128)* 16.8 pada edge (128).

(129)* 19.4 pada edge (129).

(130)* 3.4 pada edge (130).

(131)* 7.1 pada edge (131).

(132)* 20.4 pada edge (132).

(133)* 5.7 pada edge (133).

(134)* 8.1 pada edge (134).

(135)* 19.4 pada edge (135).

(136)* 16.1 pada edge (136).

(137)* 6.6 pada edge (137).

(138)* 18 pada edge (138).

(139)* 14.8 pada edge (139).

(140)* 3.9 pada edge (140).

(141)* 16.8 pada edge (141).

(142)* 22.8 pada edge (142).

(143)* 12.4 pada edge (143).

(144)* 5.1 pada edge (144).

(145)* 19.4 pada edge (145).

(146)* 20.4 pada edge (146).

(41)

(147)* 6.2 pada edge (147).

(148)* 20.4 pada edge (148).

(149)* 25.6 pada edge (149).

(150)* 6.75 pada edge (150).

(151)* 26 pada edge (151).

(152)* 18.1 pada edge (152).

(153)* 16.7 pada edge (153).

(154)* 6.5 pada edge (154).

(155)* 16 pada edge (155).

(156)* 5.9 pada edge (156).

(157)* 14 pada edge (157).

(158)* 4 pada edge (158).

(159)* 19.5 pada edge (159).

(160)* 4.2 pada edge (160).

(161)* 6.2 pada edge (161).

(162)* 15.3 pada edge (162).

(163)* 10 pada edge (163).

(164)* 5 pada edge (164).

(165)* 21.45 pada edge (165).

(166)* 3.7 pada edge (166).

(167)* 6.1 pada edge (167).

(168)* 15.4 pada edge (168).

(169)* 9.2 pada edge (169).

(170)* 3.7 pada edge (170).

(171)* 22.9 pada edge (171).

(172)* 24.2 pada edge (172).

(173)* 19.1 pada edge (173).

(174)* 3.4 pada edge (174).

(175)* 10.5 pada edge (175).

(176)* 18 pada edge (176).

(177)* 6 pada edge (177).

(42)

(178)* 7.2 pada edge (178).

(179)* 22.1 pada edge (179).

(180)* 6 pada edge (180).

(181)* 18.6 pada edge (181).

(182)* 7.45 pada edge (182).

(183)* 24.9 pada edge (183).

(184)* 17.6 pada edge (184).

(185)* 20.9 pada edge (185).

(186)* 6.6 pada edge (186).

(187)* 8.7 pada edge (187).

(188)* 21.5 pada edge (188).

(189)* 7.4 pada edge (189).

(190)* 9.2 pada edge (190).

(191)* 21.7 pada edge (191).

(192)* 24.7 pada edge (192).

(193)* 5.6 pada edge (193).

(194)* 16.3 pada edge (194).

(195)* 27.4 pada edge (195).

(196)* 28.45 pada edge (196).

(197)* 28.7 pada edge (197).

(198)* 28.7 pada edge (198).

(199)* 29.4 pada edge (199).

(200)* 19.7 pada edge (200).

(201)* 10.9 pada edge (201).

(202)* 17.85 pada edge (202).

(203)* 19.5 pada edge (203).

(204)* 7.4 pada edge (204).

(205)* 17.6 pada edge (205).

(206)* 26.4 pada edge (206).

(207)* 31.1 pada edge (207).

(208)* 31.1 pada edge (208).

(43)

(209)* 34.2 pada edge (209).

(210)* 26.9 pada edge (210).

(211)* 28.3 pada edge (211).

(212)* 27.2 pada edge (212).

(213)* 35.2 pada edge (213).

(214)* 35.4 pada edge (214).

(215)* 36 pada edge (215).

(216)* 36.3 pada edge (216).

(217)* 36.5 pada edge (217).

(218)* 33.4 pada edge (218).

(219)* 35.4 pada edge (219).

(220)* 5.9 pada edge (220).

(221)* 15.9 pada edge (221).

(222)* 16.4 pada edge (222).

(223)* 8.7 pada edge (223).

(224)* 18.5 pada edge (224).

(225)* 21.8 pada edge (225).

(226)* 26.4 pada edge (226).

(227)* 23.4 pada edge (227).

(228)* 13 pada edge (228).

(229)* 4.6 pada edge (229).

(230)* 19.5 pada edge (230).

(231)* 5.6 pada edge (231).

(232)* 34 pada edge (232).

(233)* 36 pada edge (233).

(234)* 35.6 pada edge (234).

(235)* 37.8 pada edge (235).

(236)* 38 pada edge (236).

(237)* 38.3 pada edge (237).

(238)* 39.1 pada edge (238).

(239)* 38.9 pada edge (239).

(44)

(267)

(235)*

(236)* (251)*

(216)*