Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses poisson non-homogen

(1)

ABSTRAK

WENTI ISMAYULIA. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Linear Suatu Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI.

Pada karya ilmiah ini dibahas pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen. Penduga yang disusun hanya menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik tersebut adalah diketahui.

(2)

ABSTRACT

WENTI ISMAYULIA. Estimation of the Periodic Component of an Intensity Function with a Form of Periodic Function Multiplied by a Linear Trend of a Non Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.

In this manuscript, estimation of the periodic component of an intensity function with a form of periodic function multiplied by a linear trend of a non homogeneous Poisson process is discussed. The estimator is constructed using a single realization of a Poisson process observed in the interval

It is assumed that the period of the periodic component is known.

(3)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Terdapat banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Permasalahan tersebut misalnya proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (bank, kantor, supermarket, dan sebagainya), proses kedatangan pengguna line telepon dengan periode satu hari atau juga banyaknya kendaraan yang melewati suatu jalan raya pada suatu interval waktu tertentu yang hanya bisa diamati sekali. Untuk itu, proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari-hari.

Proses stokastik ada dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Contoh dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik misalnya proses kedatangan nasabah ke suatu bank dalam periode satu hari. Fungsi intensitas lokal pada proses tersebut menyatakan laju kedatangan nasabah pada waktu s. Pada umumnya fungsi intensitas tidak diketahui tetapi banyak yang periodenya diketahui yaitu . Untuk menyusun penduga yang konsisten, diperlukan banyak data.

Diasumsikan fungsi intensitas tersebut adalah fungsi periodik agar data pengamatan di berbagai selang waktu yang berbeda dapat digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s. Fungsi intensitas pada hari berikutnya dapat diprediksi dengan menggunakan proses Poisson periodik.

Pada umumnya bentuk fungsi intensitas pada hari ini dan hari berikutnya hampir sama. Sedangkan jika pada hari berikutnya jumlah nasabahnya bertambah, maka fungsi intensitas akan lebih besar dibanding hari sebelumnya.

Ada beberapa fenomena yang kurang cocok dimodelkan dengan proses Poisson periodik tanpa memperhitungkan suatu tren. Untuk itu, fungsi intensitasnya perlu mengakomodasi adanya suatu tren. Pada kajian ini dibatasi pada fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear. Sehingga karya ilmiah ini mengkaji penduga fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

(i) Menentukan perumusan penduga komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen serta membuktikan kekonsistenan penduganya. (ii) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi

bias penduga.

(iii)Menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga.

(iv)Menentukan aproksimasi asimtotik bagi

MSE penduga.

(4)

II. LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak.

Definisi 1 (Ruang contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu peubah acak dan dinotasikan dengan Ω.

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 2 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian

dari ruang contoh Ω.

Definisi 3 (Kejadian saling lepas)

Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

.

Definisi 4 (Medan - )

Medan- adalah suatu himpunan _yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat

berikut: 1.

2. Jika , maka

1 i i

A

 

3. Jika , maka

(Hogg et al. 2005)

Jika , maka medan- disebut medan Borel. Anggota medan Borel disebut himpunan Borel.

Definisi 5 (Ukuran peluang)

Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu

percobaan dan _{adalah medan-} pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata , atau

disebut ukuran peluang jika 1. P tak negatif, yaitu untuk setiap

2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika

dengan

maka

 

1 1

P n = P n.

n n A A          



3. P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1.

Pasangan disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas.

(Hogg et al. 2005)

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian dan dikatakan saling bebas jika:

Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika:

untuk setiap himpunan bagian J dari I.

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak)

Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa

untuk setiap

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran.

Definisi 8 (Peubah acak diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.

Definisi 9 (Fungsi sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak adalah yang didefinisikan oleh

Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak X.

(5)

3

Definisi 10 (Peubah acak kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat ditulis sebagai

untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X.

Definisi 11 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh

Definisi 12 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter , jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh

untuk k=0,1,…

(Ross 2007)

Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan . Maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter

(Taylor & Karlin 1984)

Bukti : lihat Lampiran 1.

2.3 Nilai Harapan dan Ragam Definisi 13 (Nilai harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari X dinotasikan dengan E(X) adalah

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika X adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari X adalah

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005)

Definisi 14 (Ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan . Ragam dari X, dinotasikan dengan atau , adalah

Definisi 15 (Fungsi indikator)

Misalkan adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari adalah suatu fungsi

yang diberikan oleh

2.4 Kekonvergenan Peubah Acak

Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak.

Definisi 16 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang . Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan , jika untuk setiap berlaku

, untuk

Definisi 17 (Konvergen dalam sebaran)

Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang . Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis

, untuk jika

untuk , untuk semua titik x dimana fungsi sebaran adalah kontinu.

2.5 Penduga

Definisi 18 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(6)

Definisi 19 (Penduga)

Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter

dilambangkan dengan Bilamana nilai maka nilai disebut sebagai dugaan (estimate) bagi

Definisi 20 (Penduga tak bias)

(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yaitu

disebut penduga tak bias bagi (ii) Jika

maka disebut penduga tak bias asimtotik bagi

Definisi 21 (Penduga konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter disebut penduga konsisten bagi

Definisi 22 (MSE suatu penduga)

Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga untuk parameter adalah fungsi dari _{yang didefinisikan oleh} Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga dan parameter _{, yang dapat dihitung sebagai} berikut:

dengan (Cassela & Berger 1990)

2.6 Proses Stokastik

Definisi 23 (Proses stokastik)

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state

(Ross 2007)

Jadi untuk setiap pada himpunan indeks

adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan sebagai waktu dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu

Definisi 24 (Proses stokastik waktu kontinu)

Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika _berupa suatu interval.

(Ross 2007)

Definisi 25 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokatik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua

peubah acak

adalah bebas.

(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu _{disebut memiliki} inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 26 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai .

(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu _{disebut memiliki} inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.

2.7 Proses Poisson

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks _{adalah interval bilangan}real tak negatif yaitu

Definisi 27 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut:

(7)

5

(iii)Jika maka untuk

(iv)Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang

(Ross 2007)

Definisi 28 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju , jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) .

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan

Jadi untuk semua ,

dengan k=0,1,…

(Ross 2007)

Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat (iii) juga dapat diperoleh

Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu disebut proses Poisson homogen

(homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu , maka disebut proses Poisson tak homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas

harus memenuhi syarat untuk semua

Misalkan adalah proses Poisson dan adalah suatu selang bilangan nyata. Jika adalah proses Poisson homogen, maka

dengan adalah panjang selang , sedangkan menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang

Jika adalah proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas , maka

Dengan kata lain, jika adalah proses Poisson tak homogen maka memiliki sifat (i)

k=0,1,…

untuk setiap selang dengan (ii) Untuk setiap bilangan bulat positif

dan adalah selang-selang yang disjoint dengan

proses

merupakan peubah acak yang saling bebas.

Definisi 29 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas pada titik adalah yaitu nilai fungsi di .

(Cressie 1993)

Definisi 30 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi _{disebut periodik jika} berlaku untuk semua

dan . Konstanta terkecil _yang memenuhi persamaan di atas disebut periode fungsi tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 31 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001)

2.8 Beberapa Definisi dan Lema

Definisi 32 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas _{kita peroleh}

 

.

B

B s ds

 



  

(Dudley 1989)

Definisi 33 (O(.) dan o(.))

Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan _{menuju suatu} limit .

(i) Notasi menyatakan bahwa

(8)

(ii) Notasi menyatakan bahwa

untuk

(Serfling 1980)

Definisi 34 (Titik Lebesque)

Kita katakan adalah titik Lebesque dari jika berlaku

(Wheeden & Zygmund 1977)

Lema 2 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan memiliki turunan ke- yang berhingga pada suatu titik , maka

untuk

(Serfling 1980)

Bukti : lihat Serfling 1980.

Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev)

Jika _{adalah peubah acak dengan nilai} harapan dan ragam , maka untuk setiap

(Ross 2007)

(9)

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Perumusan Masalah

Misalkan adalah proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen yaitu komponen periodik atau komponen siklik dengan periode (diketahui) dikalikan komponen tren linear . Konstanta merupakan kemiringan dari tren linear dimana Dengan demikian, untuk sebarang titik fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut

dengan adalah fungsi periodik dengan periode Persamaan (1) juga dapat ditulis menjadi

dengan adalah fungsi periodik. Misalkan maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi

Karena adalah fungsi periodik dengan periode dan adalah konstanta, maka adalah fungsi periodik dengan periode sehingga persamaan

berlaku untuk setiap dan , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Berdasarkan persamaan (3), untuk menduga

cukup diduga Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka untuk menduga pada cukup diduga nilai pada

Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi untuk dengan menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval

Diasumsikan bahwa adalah titik Lebesque dari , yang secara otomatis berarti bahwa adalah titik Lebesque dari

3.2 Perumusan Penduga

Penduga bagi pada titik

dapat dirumuskan sebagai berikut

dengan menyatakan banyak kejadian pada interval , k merupakan suatu bilangan bulat dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol yaitu

untuk Pada penduga di atas disebut bandwidth.

Penduga pada (5) adalah bentuk khusus dari penduga yang dibahas pada Mangku (2011). Penduga pada (5) menggunakan kernel seragam, sedangkan penduga pada Mangku (2011) menggunakan fungsi kernel umum.

Berikut diuraikan ide tentang pembentukan dari penduga bagi

. Menurut persamaan (3) dan (4) diperoleh

Maka rata-rata nilai yang diduga

dengan menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan

Dari persamaan (8) diperoleh

(10)

Untuk melakukan pendekatan terhadap persamaan (9) diperlukan asumsi bahwa s

adalah titik Lebesque bagi dan asumsi (6) terpenuhi, sehingga persamaan (9) menjadi

Dengan mengganti dengan

yang merupakan padanan stokastiknya, maka dapat diaproksimasi

Sehingga diperoleh penduga bagi adalah

seperti pada persamaan (5).

Teorema 1 (Kekonvergenan MSE

penduga)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi dan maka

untuk asalkan s adalah titik Lebesgue bagi

Bukti:

Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22), Teorema 1 merupakan akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik dan Lema 5 mengenai kekonvergenan ragam.

Lema 4 (Ketakbiasan asimtotik)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi maka

untuk asalkan s adalah titik Lebesgue bagi . Dengan kata lain adalah penduga tak bias asimtotik bagi

Bukti:

Untuk membuktikan persamaan (11) akan diperlihatkan bahwa

Untuk menyelesaikan persamaan (12) dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut

Karena

tidak mengandung indeks k,

maka persamaan (13) dapat ditulis menjadi

Nilai harapan

pada persamaan (14) dapat diuraikan menjadi

Kita misalkan :

Maka pada persamaan (15) dilakukan pergantian peubah sehingga diperoleh

(11)

9

Dengan berpedoman pada persamaan (7), maka persamaan (16) dapat diubah menjadi

Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4), maka persamaan (17) dapat ditulis menjadi

Kemudian persamaan (18) disubstitusikan kembali ke persamaan (14) sehingga diperoleh

Lalu unsur yang memiliki indeks k

dikelompokkan sehingga diperoleh

Karena jika maka

untuk semua

Dari persamaan (20), maka persamaan (19) dapat ditulis sebagai

Dengan melakukan operasi perkalian pada ruas kanan, maka diperoleh

Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (22) dapat ditulis menjadi

Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (23) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar, yaitu

Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada persamaan (24) konvergen ke nol, jika atau dapat juga ditulis

Sedangkan suku kedua persamaan (23) adalah

Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka jika

(12)

Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (22) menjadi

untuk

Dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan suku kedua di atas maka diperoleh

untuk Dengan demikian Lema 4 terbukti.

Lema 5 (Kekonvergenan ragam)

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s

dan , maka

untuk

Bukti :

Karena jika maka untuk nilai n yang cukup besar, interval

dan untuk tidak tumpang tindih atau tidak overlap. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson (Definisi (25), diperoleh bahwa

dan

untuk adalah peubah acak bebas. Sehingga dapat ditentukan sebagai berikut

Karena

~ Poisson, maka sehingga persamaan (28) menjadi

(29) Dari persamaan (18) untuk sebarang k, kita bisa tuliskan

Dengan demikian persamaan (29) dapat ditulis menjadi

Dengan mengelompokan unsur yang memiliki indeks k, persamaan (30) dapat ditulis menjadi

Perhatikan bahwa, karena

maka persamaan (31) menjadi

Karena terbatas di sekitar , maka ada konstanta K sehingga untuk semua

(13)

11

jika Dengan demikian Lema 5 terbukti.

Berdasarkan kedua lema tersebut, yaitu (i) Lema 4 (ketakbiasan asimtotik)

, jika

maka (ii) Lema 5 (kekonvergenan ragam)

jika maka definisi MSE (Definisi 22) akan diperoleh, yaitu sebagai berikut

untuk Dengan demikian Teorema 1 terbukti.

3.3 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam dan MSE

Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias)

persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, dan memiliki turunan kedua berhingga pada

s, maka

untuk

Bukti :

Berdasarkan bukti Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik, maka nilai harapan dari dapat dituliskan sebagai berikut

Berdasarkan persamaan (19), maka diperoleh

Diperlukan asumsi memiliki turunan yang terhingga di s maka ada dan kontinu pada s, mengakibatkan memiliki nilai yang terbatas di sekitar s. Dengan Formula Young (Lema 2), maka diperoleh

untuk atau bila diuraikan menjadi

untuk

Misalkan maka persamaan (36) dapat ditulis menjadi

untuk Sehingga dapat dinyatakan

(14)

untuk n .

Karena menurut persamaan (20)

maka persamaan (35) akan menjadi

Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam)

Misalkan fungsi intensitas



memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s

dan maka

untuk Bukti:

Berdasarkan bukti dari Lema 5 (kekonvergenan ragam), maka ragam dari

dapat ditulis seperti pada persamaan (31)

Perhatikan persamaan (32)

Maka persamaan (31) menjadi

Dari persamaan (33) kita mempunyai

Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada (39) akan menuju nol jika

, atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan (38) adalah

Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka

(15)

13

Dengan demikian menurut persamaan (25) maka persamaan (33) dapat ditulis menjadi

untuk Dengan demikian Terorema 3 terbukti.

Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi

MSE)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi bagi dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka untuk

Bukti :

Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22), maka

dengan

Pada persamaan (34) diperoleh

Berdasarkan Teorema 3 diperoleh

Sehingga ruas kanan (42) dapat ditulis menjadi untuk

Karena mempunyai turunan kedua berhingga pada s, maka sehingga diperoleh persamaan (37). Dengan demikian Teorema 4 terbukti.

3.3 Penentuan Bandwidth Optimal Asimtotik

Ukuran terbaik dari suatu penduga relatif terhadap kesalahannya adalah penduga dengan MSE yang bernilai minimum. Misalkan yang merupakan fungsi dari , menyatakan suku utama dari

yaitu

Dapat diperoleh nilai yang meminimumkan untuk n tetap, dengan membuat turunan pertama sama dengan nol, sehingga diperoleh

Selanjutnya akan diperiksa apakah yang diperoleh meminimumkan dengan memeriksa turunan kedua , yaitu

Telah kita ketahui bahwa nilai dari

(16)

Dengan demikian yang diperoleh meminimumkan . Sehingga nilai

bandwidth yang optimal adalah

turunan pertama sama dengan nol

_{dan turunan kedua bernilai}

positif maka memenuhi syarat

minimum. Karena tidak diketahui,

sehingga bandwidth di atas bersifat

asimtotik.

turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua bernilai positif

_maka _memenuhi _syarat

(17)

IV. SIMPULAN

Pada tulisan ini dikaji masalah pendugaan fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear dari suatu proses Poisson non-homogen. Untuk sebarang titik

dan merupakan kemiringan dari tren linear, maka fungsi intensitasnya dapat dinyatakan sebagai berikut

Pada kajian ini ditentukan penduga bagi komponen periodik fungsi intensitas pada titik dari proses Poisson periodik dengan periode yang diamati pada interval .

Dari hasil pengkajian yang dilakukan dapat disimpulkan bahwa:

(i) Penduga komponen periodiknya adalah sebagai berikut

dimana menyatakan banyaknya kejadian pada interval [0,n], k merupakan suatu bilangan bulat dan adalah barisan bilangan real yang konvergen menuju nol yang disebut bandwidth.

adalah penduga yang tak bias asimtotik bagi , untuk _{sehingga diperoleh}

untuk

(ii) Aproksimasi asimtotik bagi bias adalah sebagai berikut

untuk

(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam

adalah sebagai berikut

untuk

(iv) Aproksimasi asimtotik bagi

untuk

(v) Bandwidth optimal asimtotik yang meminimumkan aproksimasi untuk

(18)

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR

SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN

WENTI ISMAYULIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(19)

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR

SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN

WENTI ISMAYULIA

(20)

ABSTRAK

WENTI ISMAYULIA. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Linear Suatu Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI.

Pada karya ilmiah ini dibahas pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen. Penduga yang disusun hanya menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik tersebut adalah diketahui.

(21)

ABSTRACT

WENTI ISMAYULIA. Estimation of the Periodic Component of an Intensity Function with a Form of Periodic Function Multiplied by a Linear Trend of a Non Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI.

In this manuscript, estimation of the periodic component of an intensity function with a form of periodic function multiplied by a linear trend of a non homogeneous Poisson process is discussed. The estimator is constructed using a single realization of a Poisson process observed in the interval

It is assumed that the period of the periodic component is known.

(22)

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR

SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN

WENTI ISMAYULIA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

(23)

Judul Sripsi : Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk

Fungsi Periodik Kali Tren Linear Suatu Proses Poisson

Non-Homogen.

Nama

: Wenti Ismayulia

NIM

: G54070024

Menyetujui,

Tanggal Lulus :

Pembimbing I

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP. 19620305 198703 1 001

Pembimbing II

Drs. Siswandi, M.Si.

NIP. 19640629 199103 1 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

(24)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc, selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

2. Drs. Siswandi, M.Si, selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran dan motivasinya).

3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS, selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).

4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Pak Bono, Bu Ade, Mas Heri, Bu Susi dan Mas Deni

(terima kasih atas bantuan dan motivasinya).

6. Keluargaku tercinta: Bapak, mama, mas yadi, om, tante, kakek, nenek (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasih sayangnya).

7. Agus Umriadi (terima kasih atas bantuan, doa dan dukungannya).

8. Teman-teman satu bimbingan : Anis, Nadiroh, Tita dan Pepi (terima kasih atas bantuan dan dukungannya).

9. Sahabat terdekat : Deva, Quro, Ndep, Titi, Lilis, Gigi, Didi, Echa, Fia, Iche, Evita (terima kasih atas bantuan, doa dan motivasinya).

10.Kakak-kakak Math 41, 42 dan 43 : Ka Nidya, Ka Destya, Ka Aini, Ka Putri, Ka Chopy, Ka

Resti, Ka Apri, Ka Tami, Ka Wira, Ka Cupit, Ka Ro’fah, Ka Lia, Ka Nanu, Ka Cumi dan

lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, doa dan dukungannya).

11.Teman-teman Math 44: Ruhiyat, Sri, Ayung, Rachma, Melon, Dian, Fajar, Tyas, Rofi, Della, Denda, Pandi, Abe, Ipul, Cita, Yanti, Ucu, Fani, Kodok, Wahyu, Ayum, Ririh, Imam, Aswin, Tanti, Arina, Lingga, Masay, Diana, Yogie, Lugina, Ncel, Iresa, Sari, Aqil, Iam, Fikri, Eka, Aje, Ali, Vianey, Nurus, Na’im, Dhika, Ima, Dora, Atik, Nunuy, Yuli, Indin, Sholih, Siska, Lili, Lina, Endro, Lukman, Puying, Tendhy, Ikhsan, Chopa, dan Zae (terima kasih atas dukungan, bantuan, doa dan kebersamaannya).

12.Teman-teman Math 45: Isna, Icha, Santi, Vivi, Gita, Bolo, Feni, Mega, Yunda, Anisa, Ade, Wulan, Aci, Fuka, Dono, Ari, Irwan, Beni, Ijun, Haryanto, Arbi, Heru, Bram, Kunedi, Ito, Khafidz, Herlan, Fikri, Prama dan lainnya (terima kasih atas dukungan, bantuan dan doanya). 13.Temen-temen 362 : Norvi, Uji dan Tania (terima kasih atas doa, dukungan dan

kebersamaannya).

14.Temen-temen A24 TPB : Gita, Pristy, Teguh, Pingkan, Andini, Dame, Ayu, Diki, Santi, Eko, Puji, Dati, Indra, Okti dan lainnya (terima kasih atas motivasi dan kebersamaannya).

15.Temen-temen kosan Puri Fikriyah : Icha, Dita, Vintya, Paul, Irma, Dewi, Yaya, Ka nita, Ka Sars, Ka Sadek, Ka Pewe, Ka Aci, Ka Cici, Riena, Metha, Marcha, Indri, Yulia, Yuni, Izha, Iis dan lainnya (terima kasih atas motivasi, doa dan kebersamaannya).

16.Teman-teman lain : Amboii, Pipit, Ranum, Dina, Ka Muad, Ara, Medya, Mba Tya, Mba Retno, Mas Dimas, Diki, Ka Iyo dan lainnya (terima kasih atas doa dan dukungannya).

17.Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, April 2011

(25)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 1 Juli 1989 sebagai anak kedua dari dua bersaudara. Anak dari pasangan Endy Rachmat dan Jamilah.

Tahun 2001 penulias lulus dari SDN Pulo Gebang 20 Pagi. Tahun 2004 penulis lulus dari SLTPN 138 Penggilingan. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 12 Jakarta Timur dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(26)

DAFTAR ISI

Halaman

(27)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Terdapat banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan suatu proses stokastik. Permasalahan tersebut misalnya proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (bank, kantor, supermarket, dan sebagainya), proses kedatangan pengguna line telepon dengan periode satu hari atau juga banyaknya kendaraan yang melewati suatu jalan raya pada suatu interval waktu tertentu yang hanya bisa diamati sekali. Untuk itu, proses stokastik mempunyai peranan cukup penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari-hari.

Proses stokastik ada dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Contoh dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik misalnya proses kedatangan nasabah ke suatu bank dalam periode satu hari. Fungsi intensitas lokal pada proses tersebut menyatakan laju kedatangan nasabah pada waktu s. Pada umumnya fungsi intensitas tidak diketahui tetapi banyak yang periodenya diketahui yaitu . Untuk menyusun penduga yang konsisten, diperlukan banyak data.

Diasumsikan fungsi intensitas tersebut adalah fungsi periodik agar data pengamatan di berbagai selang waktu yang berbeda dapat digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s. Fungsi intensitas pada hari berikutnya dapat diprediksi dengan menggunakan proses Poisson periodik.

Pada umumnya bentuk fungsi intensitas pada hari ini dan hari berikutnya hampir sama. Sedangkan jika pada hari berikutnya jumlah nasabahnya bertambah, maka fungsi intensitas akan lebih besar dibanding hari sebelumnya.

Ada beberapa fenomena yang kurang cocok dimodelkan dengan proses Poisson periodik tanpa memperhitungkan suatu tren. Untuk itu, fungsi intensitasnya perlu mengakomodasi adanya suatu tren. Pada kajian ini dibatasi pada fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear. Sehingga karya ilmiah ini mengkaji penduga fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

(i) Menentukan perumusan penduga komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen serta membuktikan kekonsistenan penduganya. (ii) Menentukan aproksimasi asimtotik bagi

bias penduga.

(iii)Menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga.

(iv)Menentukan aproksimasi asimtotik bagi

MSE penduga.

(28)

II. LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak.

Definisi 1 (Ruang contoh)

Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu peubah acak dan dinotasikan dengan Ω.

Definisi 2 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian

dari ruang contoh Ω.

Definisi 3 (Kejadian saling lepas)

Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong

.

Definisi 4 (Medan - )

Medan- adalah suatu himpunan _yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat

berikut: 1.

2. Jika , maka

1 i i

A

 

3. Jika , maka

(Hogg et al. 2005)

Jika , maka medan- disebut medan Borel. Anggota medan Borel disebut himpunan Borel.

Definisi 5 (Ukuran peluang)

Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu

percobaan dan _{adalah medan-} pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata , atau

disebut ukuran peluang jika 1. P tak negatif, yaitu untuk setiap

2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika

dengan

maka

 

1 1

P n = P n.

n n A A          



3. P bernorma satu, yaitu P(Ω)=1.

Pasangan disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas.

Definisi 6 (Kejadian saling bebas)

Kejadian dan dikatakan saling bebas jika:

Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika:

untuk setiap himpunan bagian J dari I.

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak)

Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Suatu peubah acak adalah suatu fungsi dengan sifat bahwa

untuk setiap

Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran.

Definisi 8 (Peubah acak diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.

Definisi 9 (Fungsi sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak adalah yang didefinisikan oleh

Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak X.

(29)

3

Definisi 10 (Peubah acak kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat ditulis sebagai

untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi X.

Definisi 11 (Fungsi massa peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh

Definisi 12 (Peubah acak Poisson)

Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter , jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh

untuk k=0,1,…

(Ross 2007)

Lema 1 (Jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan . Maka memiliki sebaran Poisson dengan parameter

(Taylor & Karlin 1984)

Bukti : lihat Lampiran 1.

2.3 Nilai Harapan dan Ragam Definisi 13 (Nilai harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari X dinotasikan dengan E(X) adalah

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Jika X adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari X adalah

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg et al. 2005)

Definisi 14 (Ragam)

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan . Ragam dari X, dinotasikan dengan atau , adalah

Definisi 15 (Fungsi indikator)

Misalkan adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari adalah suatu fungsi

yang diberikan oleh

2.4 Kekonvergenan Peubah Acak

Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak.

Definisi 16 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang . Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan , jika untuk setiap berlaku

, untuk

Definisi 17 (Konvergen dalam sebaran)

Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang . Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X, ditulis

, untuk jika

untuk , untuk semua titik x dimana fungsi sebaran adalah kontinu.

2.5 Penduga

Definisi 18 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(30)

Definisi 19 (Penduga)

Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter

dilambangkan dengan Bilamana nilai maka nilai disebut sebagai dugaan (estimate) bagi

Definisi 20 (Penduga tak bias)

(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yaitu

disebut penduga tak bias bagi (ii) Jika

maka disebut penduga tak bias asimtotik bagi

Definisi 21 (Penduga konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter disebut penduga konsisten bagi

Definisi 22 (MSE suatu penduga)

Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga untuk parameter adalah fungsi dari _{yang didefinisikan oleh} Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga dan parameter _{, yang dapat dihitung sebagai} berikut:

dengan (Cassela & Berger 1990)

2.6 Proses Stokastik

Definisi 23 (Proses stokastik)

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state

(Ross 2007)

Jadi untuk setiap pada himpunan indeks

adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan sebagai waktu dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu

Definisi 24 (Proses stokastik waktu kontinu)

Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika _berupa suatu interval.

(Ross 2007)

Definisi 25 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokatik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua

peubah acak

adalah bebas.

(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu _{disebut memiliki} inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 26 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai .

(Ross 2007)

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu _{disebut memiliki} inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.

2.7 Proses Poisson

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini, kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks _{adalah interval bilangan}real tak negatif yaitu

Definisi 27 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut:

(31)

5

(iii)Jika maka untuk

(iv)Untuk maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang

(Ross 2007)

Definisi 28 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju , jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) .

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan

Jadi untuk semua ,

dengan k=0,1,…

(Ross 2007)

Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang stasioner. Dari syarat (iii) juga dapat diperoleh

Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu disebut proses Poisson homogen

(homogeneous Poisson process). Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu , maka disebut proses Poisson tak homogen (inhomogeneous Poisson process). Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas

harus memenuhi syarat untuk semua

Misalkan adalah proses Poisson dan adalah suatu selang bilangan nyata. Jika adalah proses Poisson homogen, maka

dengan adalah panjang selang , sedangkan menyatakan banyaknya kejadian dari proses Poisson pada selang

Jika adalah proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas , maka

Dengan kata lain, jika adalah proses Poisson tak homogen maka memiliki sifat (i)

k=0,1,…

untuk setiap selang dengan (ii) Untuk setiap bilangan bulat positif

dan adalah selang-selang yang disjoint dengan

proses

merupakan peubah acak yang saling bebas.

Definisi 29 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen dengan fungsi intensitas pada titik adalah yaitu nilai fungsi di .

(Cressie 1993)

Definisi 30 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi _{disebut periodik jika} berlaku untuk semua

dan . Konstanta terkecil _yang memenuhi persamaan di atas disebut periode fungsi tersebut.

(Browder 1996)

Definisi 31 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Mangku 2001)

2.8 Beberapa Definisi dan Lema

Definisi 32 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas _{kita peroleh}

 

.

B

B s ds

 



  

(Dudley 1989)

Definisi 33 (O(.) dan o(.))

Simbol-simbol O(.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan _{menuju suatu} limit .

(i) Notasi menyatakan bahwa

(32)

(ii) Notasi menyatakan bahwa

untuk

(Serfling 1980)

Definisi 34 (Titik Lebesque)

Kita katakan adalah titik Lebesque dari jika berlaku

(Wheeden & Zygmund 1977)

Lema 2 (Formula Young dari Teorema Taylor)

Misalkan memiliki turunan ke- yang berhingga pada suatu titik , maka

untuk

(Serfling 1980)

Bukti : lihat Serfling 1980.

Lema 3 (Pertidaksamaan Chebyshev)

Jika _{adalah peubah acak dengan nilai} harapan dan ragam , maka untuk setiap

(Ross 2007)

(33)