oleh
NANANGMUALIM
NIM. M 0105053
SKRIPSI
ditulis dan diajukanuntuk memenuhi sebagianpersyaratan
memperoleh gelar SarjanaSains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
MODEL SIR DENGAN IMIGRAN DAN VAKSINASI
yang disusun oleh
NANANGMUALIM
NIM. M0105053
dibimbing oleh
Pembimbing I Pembimbing II
Dra. PurnamiWidyaningsih, M.App.S. Drs. Siswanto, M.Si.
NIP. 131 695 204 NIP. 132 000 805
telah dipertahankandi depan DewanPenguji
pada hari Jumat, tanggal23Januari 2009
dan dinyatakantelah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji TandaTangan
1. SriKuntari, M.Si. 1. ...
NIP. 132 240 173
2. Dr. Sutanto,DEA 2. ...
NIP. 132 149 079
3. Dra. Etik Zukhronah, M.Si. 3. ...
NIP. 132 000 009
Disahkanoleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan Ketua Jurusan Matematika
Prof. Drs. Sutarno, M.S, Ph.D Drs. Kartiko, M.Si.
Untuk Ayahdan Ibu terinta
Semoga dengansegala yang telah terapaidapat menjadi kebahagiaan atas
Nanang Mualim, 2009. MODEL SIR DENGAN IMIGRAN DAN V
AK-SINASI. Fakultas Matematika dan IlmuPengetahuan Alam,UniversitasSebelas
Maret.
Model SIR merupakan model matematika yang dapat digunakan untuk
menggambarkanpenyebaran penyakit infeksi. Ada dua model SIR klasik, yaitu
model SIR epidemik dan endemik. Kedua model SIR klasik digunakan untuk
menggambarkan penyebaran penyakit pada suatu wilayah dengan populasi
ter-tutupsehinggafaktor imigrandiabaikan. Namun, padakota-kota besar, imigran
turut memberikan pengaruh dalam penyebaran penyakit infeksi. Penyebaran
penyakit inidapat diegahmelalui programvaksinasi.
Tujuan daripenulisaniniadalahmenurunkan ulangmodelSIR dengan
pe-ngaruhimigrandanvaksinasi,sertamenentukantitikkesetimbangandananalisis
kestabilan (interpretasi model). Metode yang digunakan pada penulisan skripsi
iniadalah studi literatur.
Model SIR merupakan sistem autonomous, berbentuk sistem persamaan
diferensialnonlinearordesatu. Untukmengamatiperilakusistemdiperlukan
kon-sep kestabilandititik kesetimbangan. Dengan metode linearisasi,kestabilan
sis-temdapatditentukanberdasarkankriterianilaieigendarimatriksJaobian. Ada
dua maam titikkesetimbanganpada model SIR denganimigran dan vaksinasi,
yaitutitikkesetimbangan bebaspenyakit danendemik. Titikkesetimbangan
be-bas penyakit diperoleh jika tidak terdapat individu yang terinfeksi ketika laju
perubahannya nol. Sedangkantitikkesetimbangan endemikdiperolehjika
terda-pat individu yang terinfeksi dalam populasi saat laju perubahannya nol. Pada
ontoh kasus, titikkesetimbanganyang diperolehadalahtitikkesetimbangan
en-demik. Keparahandaripenyakitdiukurberdasarkanpunakendemik,yaitu
jum-lahmaksimalindividuyangterinfeksi. Eksperimennumerikmenunjukkanbahwa
punak endemik dapat diturunkan dengan menurunkan laju kontak, menaikkan
Nanang Mualim, 2009. SIR WITH IMMIGRANT MODEL AND V
ACCI-NATION. Faulty of Mathematis and Natural Sienes, Sebelas Maret
Univer-sity.
Thespreading ofinfetious diseasesan beexplained bymathematial
mo-dels. Themodels usedare SIRmodels. Thereare2SIR lassimodels,epidemi
andendemiSIRmodel. Thesemodelsareusedtodesribetheinfetiousdiseases
ina losed area. So, the immigrantfator is ignored. In fat, the immigrantis a
signiant fator in spreading of diseases. A vaination is a treatment believed
to reduethe infeted individuals.
Here, we re-derive SIR with immigrant models. We also nd equilibrium
points, analyze the equilibrium points and interprete the model. The method
used in this researh isliterature study.
The SIR models are autonomoussystem and are given as system of
dier-ential equations. A behaviour outbreaks of infetious diseases an be observed
by stability in the equilibrium point. Stability analysis is given as eigenvalues
from Jaobian matrix omputed by linearitation method. There are 2
equilibri-um points in the model, a disease-free equilibrium and an endemi equilibrium.
The disease-freeequilibriumisobtainedif thereisnoindividualinfetedwhereas
the endemi equilibrium obtained if there are still individuals infeted. In this
example,the equilibriumobtained isan endemi equilibriumand asymptotially
stable. The level of seriousness endemi is measured by an endemi peak. The
endemi peak is asituation whih the number of individual infeted reahes the
maximum. The numerial experiments show that to derease the endemi peak
that anbeobtained by dereasingaontat rate,inreasing areovery rateand
PujisyukurpenulispanjatkankehadiratAllahSWT.Dengansegalarahmat
dan hidayah-Nya,akhirnya penulisan skripsiinidapat diselesaikan.
Dalampenulisan skripsiini,penulismemperolehbantuan dari berbagai
pi-hak. Uapan terima kasih penulissampaikan kepada
1. IbuDra. PurnamiWIDdan Bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai
Pembim-bing I dan Pembimbing II, atas kesabaran dan ketekunannya memberikan
pengarahan dan petunjuk dalampenyelesaian skripsiini,
2. Ibu Sri Kuntari, M.Si. dan Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai dosen
dalam tim riset yang telah memberikan kesempatan berbagi pengalaman
dalam melakukan riset, memberikan motivasi dan saran dalam penulisan
skripsiini,
3. Susilo Nugroho,Fajar, Rina, BudiPras dan Ajengyang telah memberikan
bantuan, masukandan dukungan kepadapenulis.
Semogaskripsi inibermanfaat bagi semuapembaa.
Surakarta, Januari 2009
JUDUL . . . i
PENGESAHAN . . . ii
MOTO . . . iii
PERSEMBAHAN . . . iv
ABSTRAK . . . v
ABSTRACT . . . vi
KATA PENGANTAR . . . vii
DAFTAR ISI . . . viii
DAFTAR TABEL . . . x
DAFTAR GAMBAR . . . xi
I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 4
1.3 Batasan Masalah . . . 4
1.4 Tujuan . . . 5
1.5 Manfaat Penelitian . . . 5
II LANDASAN TEORI 6 2.1 TinjauanPustaka . . . 6
2.1.1 Pemodelan Matematika . . . 6
2.1.2 Sistem Autonomous dan BidangFase . . . 6
2.1.3 ModelSIR Klasik . . . 7
2.2 KerangkaPemikiran . . . 11
IIIMETODE PENELITIAN 13 IVPEMBAHASAN 14 4.1 KonstruksiModel . . . 14
4.2 KesetimbanganModel . . . 17
4.3 Rasio ReproduksiDasar . . . 18
4.4 Analisis Kestabilan . . . 19
4.4.1 Kestabilan diTitik KesetimbanganE 1 . . . 19
4.4.2 Kestabilan diTitik KesetimbanganE 2 . . . 20
4.5 Penerapan Kasus . . . 20
V PENUTUP 28 5.1 Kesimpulan . . . 28
5.2 Saran. . . 29
2.1 Kriteriakestabilanberdasarkan nilaieigen . . . 11
4.1 Proporsi individu infeted di 5titik tertinggi . . . 23
4.2 Nilaipunak endemik dengansimulasi variasi nilai . . . 25
4.3 Nilaipunak endemik dengansimulasi variasi nilai . . . 26
2.1 Tipekestabilandari titik kesetimbangan . . . 12
4.1 Dinamikapopulasi dalammodelSIR denganimigran dan vaksinasi 15
4.2 Proporsi individu suseptible (garis tebal), infeted (garis tipis),
dan reovered (garis putus-putus) . . . 22
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika dapat diterapkan untuk mempelajari fenomena yang terjadi
dalam kehidupan sehari-hari. Dalam bidang biologi maupun kedokteran,
mate-matika dapat digunakan untuk mengamati perilaku penyebaran suatu penyakit
infeksi. Menurut Lewis [14℄perilaku tersebut dapat digambarkanmelalui
pemo-delan matematika.
SebagaimanadituliskanHethote[11℄,modelmatematikamempunyai
peran-an penting dalam menganalisis penyebaran dan kontrolpenyakit infeksi. Dalam
memformulasikanmodel, diperlukanproses klarikasiasumsi,batasan dan
para-meteryangberpengaruh. Bersamadenganmodel,simulasikomputer merupakan
alateksperimen yang berguna untuk mengembangkan dan menguji seara teori,
menaksir seara kuantitatif, menjawab pertanyaan spesik, menentukan
sensi-tivitasperubahan nilaiparameter, danmengestimasi parameter kuni dari data.
Dengan mengetahui karakteristik penyebaran penyakit infeksi dalam suatu
ko-munitas, wilayahatau pun negara, dapat dilakukanpendekatan yang lebih baik
dalam menurunkan penyebaran penyakit infeksi tersebut. Model matematika
digunakan untuk membandingkan, merenanakan, mengimplementasi,
mengeva-luasi dan mengoptimasi beberapa variasi deteksi, penegahan, terapi dan
kon-trolprogram. Modelepidemiologi memberikankontribusi dalam mendesain dan
menganalisis survei epidemiologi, memberikan saran tentang data penting yang
sebaiknya dikumpulkan, dikelompokkan, dibuat ramalan umum dan dilakukan
estimasi ketidakpastian dalam penerapan.
Fenomena penyebaran penyakit infeksi dapat digambarkan melalui model
Model SIR merupakan model pengelompokan standar yang digunakan dalam
menggambarkan beberapa penyakit. Penyakit yang dimaksud antara lain
in-uenza, polio, smallpox, measles, mumps, rubella dan hiken pox. Model SIR
pertama kali diperkenalkan oleh O. Kermak dan Anderson Gray MKendrik
(Weisstein [20℄). Modelmatematika ini berbentuk sistem persamaan diferensial
orde satu.
Menurut Hethote [11℄, ada dua model SIR klasik, yaitu model SIR
epi-demikdanmodelSIRendemik. ModelSIRepidemikdigunakanuntuk
menggam-barkan penyebaran penyakit ketika proses kejadiannya epat (kurang dari satu
tahun). Sedangkan model SIR endemik digunakan pada penyebaran penyakit
dalam jangkawaktu yang lama.
Model SIR epidemik tidak memuat vital dynami. Dalam hal ini,
popu-lasi bersifat tertutup. Dilihat dari jangka waktunya yang sangat singkat, pada
modelSIR epidemik,faktorkelahirandan kematiantidakdiperhatikan. Dengan
demikian, jumlahpopulasiadalah konstan.
Tidak semua penyakit infeksi menyebar dalam waktu yang singkat. Ada
penyakit-penyakit tertentu seperti measles, mumps, rubella, dan poliomyelitis,
penyebarannya terjadi dalam jangka waktu yang lama. Keadaan yang demikian
disebut endemik. Karena terjadi dalam jangka waktu lama, perlu diperhatikan
faktor kelahiran dan kematian dalam populasi. Model yang digunakan untuk
menggambarkan keadaan ini adalah model SIR endemik. Diasumsikan laju
ke-lahiranseimbang dengan laju kematian,sehingga jumlah populasikonstan.
Keefektifandariperbaikansanitasi,antibiotik,danprogramvaksinasi
menim-bulkankeperayaanbahwapenyakitinfeksidapatdikurangikeberadaannya.
Teta-pi, penyakit infeksi telah berlanjut menjadi kasus mayor dan penyebab
kema-tian di negara-negara berkembang. Bahkan, penyakit infeksi telah
beradap-tasi dan berkembang menjadi penyakit infeksi yang baru. Manusia ataupun
in-vansi binatang pada ekosistem baru, pemanasan global, degradasi lingkungan,
kon-(Hethote [11℄).
PiollodanBillings[13℄menyatakanbahwapenyakitpadaanak-anak
meru-pakan permasalahan yang dihadapi setiap negara. Penyakit seperti measles,
mumps, rubella dan pertussis sekarang ini melanda di sebagian besar dunia.
Penyakit-penyakit infeksiini masihmenjadi endemik.
Masih menurut Piollo dan Billings[13℄,di kota-kota besar, faktorimigran
turut memberikan pengaruh dalam penyebaran penyakit. Dalam hal ini,
imi-gran diartikan sebagai suatu penduduk yang memasuki wilayah populasi baru
(kota,pulau, atau negara). Penyakit inidibawaoleh penduduk melaluiimigrasi.
Penyakit akan menyebar ke tempat-tempat pemukiman penduduk. Selanjutnya,
Shim [19℄ juga menyatakan bahwa faktor imigran memegang peranan penting
dalam penyebaran penyakit. Penyebaran ini akan terus meningkat dan
berpelu-ang menjadi endemik.
Perkembangan dalam bidang teknologidan kedokteran membawa harapan
baruuntukmenegahpenyebaranpenyakitinfeksi. Berdasarkandata WHO[21℄,
penyebaranpenyakit-penyakit seperti measles,mumps, rubella, dan poliomyelitis
dapat ditekan melalui program vaksinasi. Vaksinasi diberikan kepada individu
suseptible sehinggaindividu yang telah divaksinakan kebal dan tidak akan
ter-infeksi. Program vaksinasi diperaya sebagai ara yang efektif dalam menekan
penyebaran penyakit infeksi.
ModelSIRklasikendemiksesuaiditerapkanpadasuatuwilayahdenganlaju
migrasikeilsehinggafaktorimigrantidakdiperhatikan. Dalamhalini,dinamika
populasipendudukhanyadipengaruhisearasignikanolehfaktorkelahirandan
kematian. Model SIR tanpa pengaruh imigran telah dipelajari oleh Nugroho
[16℄. Pada suatu wilayah dengan laju migrasi yang tinggi, faktor imigran juga
memberikan pengaruh terhadap penyebaran penyakit infeksi, terutama apabila
penyakit tersebut dibawa dari luar wilayah. Pengaruh imigran pada model SIR
sedangdipelajariolehBudiantoro[3℄. Melihatpentingnyaprogramvaksinasidan
Model SIR klasik berbentuk sistem persamaan diferensial. Untuk
menge-tahuiperilaku sistem disetiap titik,diperlukanpenyelesaian eksaknya. Menurut
Grassly dan Fraser [8℄, tidak semua sistem persamaan diferensial dapat diari
penyelesaiannya eksaknya. Seandainya penyelesaian eksaknya diperoleh,
perhi-tungannyajuga sulit sehinggaperilakunyajuga sulit diamati.
MasihmenurutGrasslydanFraser[8℄,menjadipentinguntukdapat
menge-tahuitentangperlakuandaripenyelesaiansistemtanpaharusmenari
penyelesai-aneksaknya. Informasipenting yang diari adalahkestabilandari titik
kesetim-bangan. Dengan demikian, diperlukan kestabilan dari titik kesetimbangan dari
sistem untukdapat mengamati perilaku sistem.
ModelSIRdenganmemperhatikanfaktorkelahiran,kematian,imigrandan
pengaruh program vaksinasi telah dituliskan Piollo dan Billings [13℄. Lebih
lanjut, model tersebut akandikaji ulang dalamskripsi ini.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikandapat diangkat
3 perumusan masalah sebagaiberikut.
1. Bagaimana menurunkan ulang model SIR dengan memperhatikan faktor
kelahiran, kematian, imigrandan pengaruh programvaksinasi?
2. Bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan melakukan analisis tipe
kestabilan?
3. Bagaimanamenginterpretasikanmodel?
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan ini permasalahan dibatasi pada masa inkubasi inkubasi
penyakit. Dalam hal ini,masa inkubasi diabaikan sehinggaindividu yang
Tujuan dari penelitianini adalah
1. dapatmenurunkanulangmodelSIRdenganmemperhatikanfaktor
kelahir-an, kematian,imigrasi dan pengaruh program vaksinasi,
2. dapat menentukan titik kesetimbangan dan melakukananalisis tipe
kesta-bilan,
3. dapat menginterpretasikan model.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaatdari penelitianiniadalahmengetahuiseara matematispengaruh
dari programvaksinasi terhadap penyebaran penyakit infeksi, dimana
kejadian-nya pada suatu wilayah dengan faktor imigran yang signikan. Dengan model
yang diperoleh, dapat dilakukan suatu pendekatan pada parameter-parameter
yangberpengaruh untukmenurunkanpunakendemik. Dengan demikian,dapat
dibuat suatulangkahuntukmenegah penyebaran infeksi,salah satunya dengan
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Di sini diberikan denisi-denisi dan teori-teori relevan yang diperlukan
untukmenapaitujuanpenulisan. Berikutinidiberikandenisipemodelan
mate-matika, sistem autonomous dan bidang fase, model SIR klasik, kesetimbangan
dan kestabilan, dan metode linearisasi.
2.1.1 Pemodelan Matematika
Menurut Meyer [15℄, pemodelan matematika adalah penggunaan bahasa
matematika yang digunakan untuk mendeskripsikan kejadian di dunia nyata ke
dalambentukmatematika. Dengan pemodelan,suatu objek ataukonsep diubah
ke bentuk model matematika. Selanjutnya, model matematika tersebut
meru-pakan model yang disusun oleh konsep-konsep matematika, seperti konstanta,
variabel,fungsi, persamaan, pertidaksamaan,dan lain-lain.
2.1.2 Sistem Autonomous dan Bidang Fase
Model matematikadisusununtuk mendeskripsikankeadaannyata ke
ben-tukmatematika. Untukmenggambarkankeadaanyangberubahtiapsatuan
wak-tu, modeldapatdisusundalambentukpersamaandiferensial. Jikakeadaanyang
diamatilebih dari satu, modeldisusunsebagai sistem persamaan diferensial.
dx 1 dt =f 1 (t;x 1 ;x 2 ;:::;x
n ) dx 2 dt =f 2 (t;x 1 ;x 2 ;:::;x
n ) . . . . . . dx n dt =f n (t;x 1 ;x 2 ;:::;x
n )
(2.1)
denganf
i
adalahfungsinonlinear,untuki=1;2;:::;n. Sistem(2.1)mempunyai
penyelesaian jika untuk setiap f
i
adalah fungsi kontinu. Sistem (2.1) disebut
sistemautonomous jikavariabelbebas ttidakmunulsearaeksplisit (Boye[2℄,
Giordanoet al. [5℄dan Ross [18℄)
Selanjutnya, sistem (2.1) dapat diekspresikandalam bentuk
_
x=f(x) (2.2)
dengan x_ = dx 1 dt ; dx 2 dt ;:::; dx n dt
;x=x
1 ;x
2
;:::;x
n
dan f =f
1 ;f
2 ;:::;f
n
. Dalamhal
ini,pasangan(x
1 ;x
2
;:::;x
n
)disebutfasedanbidangyangdibentukx
1 ;x
2 ;:::;x
n
disebut bidang fase. Kurva yang digambarkan oleh penyelesaian sistem (2.2)
seara parameter dalambidang fase disebuttrayektori atau orbit.
2.1.3 Model SIR Klasik
Untuk menggambarkan epidemi penyakit infeksi dapat digunakan
mo-del SIR. Model ini berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu.
Dalammodelini,populasidibagidalam3kelas,yaitukelassuseptible yang
meru-pakan kelompok individu rawan terinfeksi atau rawan terkena penyakit, kelas
infeted yang merupakan kelompok individu terinfeksi dan kelas reovered yang
merupakan kelompok individu telah sembuh dari penyakit. Sedangkan S;I;R
menyatakanjumlahindividumasing-masingkelassuseptible, infeted dan
reov-ered (Hethote [11℄ dan Iannelli [12℄).
Masih menurut Hethote [11℄, ada dua model klasik SIR, yaitu model
dS
dt =
SI
N
dI
dt =
SI
N
I
dR
dt =I
(2.3)
dengan adalah laju kontak individu suseptible dengan infeted dan adalah
laju kesembuhan individu infeted. Karena kejadiannya singkat, faktor
kelahir-an dan kematian tidak diperhatikan. Model ini digunakan pada populasi yang
tertutup dengan tidak ada populasi yang masuk dan keluar. Dengan demikian
jumlahpendudukadalahkonstansebanyakN danmemenuhisifatS+I+R=N.
Tidaksemuapenyebaranpenyakitterjadidalamkurunwaktuyangsingkat.
Adapenyakit-penyakittertentu, misalnyapenyakitpadaanak-anak,yang
kejadi-annya berlangsung dalam jangka waktu yang lama. Keadaan yang demikian ini
disebut endemik. Karena jangka waktunya lama, perlu diperhatikan faktor
ke-lahirandan kematian padapopulasi. Dimisalkan, adalah laju kelahiran dalam
populasi. Diasumsikan laju kelahiran seimbang dengan laju kematian, sehingga
jumlah populasikonstan. ModelSIR endemik,menurut Hethote [11℄
diekspre-sikan sebagai
dS
dt
=N S
SI
N
dI
dt =
SI
N
I I
dR
dt
=I R :
2.1.4 Kesetimbangan dan Kestabilan
Untuk mengamati perilaku sistem, diperlukan konsep kesetimbangan dan
kestabilan. Menurut Meyer [15℄, suatu sistem dinamisdikatakandalam keadaan
setimbang jika keadaan dalam sistem tersebut tidak ada perubahan sepanjang
waktu. Dengan kata lain, suatupopulasi dalamkeadaansetimbang jika populasi
tersebut tetap berada dalam ukuran yang sama.
Denisikesetimbangandan kestabilansearamatematikadapatditemukan
Denisi 2.1.1. Jika x
e
adalah titik pada bidang fase yang memenuhi f(x
e )= 0
dan derivatif d(x
e )
dt
=0 maka x
e
dikatakan titik kesetimbangan.
Denisi 2.1.2. Titik kesetimbangan x
e
dikatakan stabil jika untuk setiap " > 0
terdapatÆ(")>0sedemikiansehinggauntuksetiapnilaiawalx(0)yangmemenuhi
kx(0) x
e k<Æ
berlaku
kx(t) x
e
k<"; 8t0:
Jika tidak demikian makatidak stabil.
Denisi 2.1.3. Titik kesetimbanganx
e
disebutstabil asimtotis jikatitik tersebut
stabil dan terdapat persekitaran N
e
sedemikian sehingga untuk x(0)2N
"
berlaku
lim
t!1
x(t)=x
e :
DisinidiberikanjugakonsepkestabilansebagaimanadituliskanFiniziodan
Ladas[7℄. Stabilberartibahwaperubahankeildalamsistemhanyaakan
menye-babkanpengaruh keilpada penyelesaian. Sedangkan tidakstabil berarti bahwa
perubahantersebutmempunyaipengaruhbesardalampenyelesaian. Stabil
asim-totisartinyapengaruhdarisuatuperubahankeiltersebutenderungmenghilang.
Lebihlanjut,kriteriakestabilanjugadapatdiamatiberdasarkanarah
trayek-tori pada bidang fase, sebagaimana dituliskan Giordano et al. [5℄. Titik
kese-timbangandikatakanstabiljikauntuksembarangsyarat awalyangdekatdengan
titikkesetimbangan,makaarahtrayektoripenyelesaianmasihtetapdekatdengan
penyelesaian di titik kesetimbangannya untuk sepanjang waktu t. Sebaliknya,
titikkesetimbangandikatakantidakstabiljikauntuksembarangsyaratawalyang
diberikan, menghasilkanpenyelesaian denganarah trayektori yang menjauhdari
titik tersebut. Titikkesetimbangan dikatakanstabil asimtotis jika titik tersebut
stabildan sembarangtrayektoriyang dekatdengantitikkesetimbangan, arahnya
Untukmengetahuikriteriakestabilandarititikkesetimbangandapat
digu-nakankonsep linearisasi. Menurut Bellomodan Presziosi[1℄serta Haberman[9℄,
jikax
e
adalahtitikkesetimbangansistem(2.2) makauntukxyang dekatdengan
x
e
,fungsi f dapatdidekatidengan deret Taylor disekitar x
e
f (x)f(x
e
)+(x x
e )rf
i (x
e
)+O(x x
e )
2
:
Daridenisikestabilandan(x x
e
)merupakanperubahanyangkeildarikeadaan
setimbang, suku-suku dengan orde yang lebih tinggi dapat diabaikan. Sehingga
sistem (2.2) dapat didekatidengan bentuk linear
_
x=J(x
e )(x x e ) dengan J(x e )= 0 B B B B B B B B B f1 x1 (x e ) f1 x2 (x e ) ::: f1 xn (x e ) f 2 x 1 (x e ) f 2 x 2 (x e ) ::: f 2 x n (x e ) . . . . . . . . . fn x 1 (x e ) fn x 2 (x e ) ::: fn x n (x e ) 1 C C C C C C C C C A (2.4)
adalah matriks Jaobiandari fungsif. Masih menurut Bellomodan Presziosi [1℄
serta Haberman [9℄, kestabilandari sistem linear dapat ditentukan dengan
men-ari nilaieigen dari J(x
e ).
Nilai eigen matriks Jaobian (2.4) dapat bernilai positif, negatif,
bertan-da sama atau pun tidak sama, bilangan real atau pun kompleks. Berikut ini
diberikan kriteria kestabilan menurut Bellomodan Presziosi [1℄, Farlow [6℄ dan
Ross [18℄ yang disajikanpada Teorema2.1.1 dan Tabel2.1.
Teorema 2.1.1. Jika
i
adalah nilai eigen dari matriks Jaobian J(x) yang
dievaluasi pada titik kesetimbangan (x
e
) dan R e(
i
) adalahreal dari
i maka
1. untuk setiap R e(
i
)<0;x
e
disebut stabil asimtotis,
2. untuk setiap R e(
i
)>0;x
e
Nilaieigen Nama Kestabilan
real,tidak sama, simpul stabil asimtotis: semuanyanegatif
bertandasama tidakstabil: semuanya positif
real,tidak sama, sadel tidakstabil
berlawanantanda
real,sama simpul stabil asimtotis: semuanyanegatif
tidakstabil: jikasemuanya positif
komplekskonjugate spiral stabil asimtotis: bagian real negatif
bukan imajinermurni tidakstabil: bagian real positif
imajinermurni pusat stabil (tidakasimtotis)
Disinidiberikan6gambartrayektoritipekestabilandarititik
kesetimbang-anyang dapat dilihat pada Gambar 2.1.
2.2 Kerangka Pemikiran
Berdasarkan tinjauan pustaka dapat disusun kerangka pemikiran sebagai
berikut. Penyakitinfeksi merupakanpenyakit yang dihadapiolehsebagianbesar
negara di dunia ini. Penyakit ini dapat menjadi endemik dalam populasi yang
berpotensiuntukefekpenyebaranyanglebihluas,sepertikota-kotapadat. Salah
satu faktoryang berpengaruh dalam penyebaran penyakitinfeksi iniadalah
imi-grasi. Dengan adanya imigran, penyebarannya dapat menjadi semakin luas dan
berpotensi menjadiendemik. Penyebaran penyakitinfeksidapat diegahmelalui
programvaksinasi. Vaksinasimerupakanaraefektif untukmenekanpenyebaran
penyakit infeksi. Untuk mendeskripsikanpenyebaran penyakit infeksi ini,
diper-lukanpendekatan suatu model.
Model matematika yang dapat digunakan dalam penyebaran penyakit
in-feksiadalahmodelSIR.Modeliniberupasistempersamaandiferensialnonlinear
orde satu. Untuk memperoleh model tersebut diperlukan batasan-batasan dan
sistem autonomous. Untuk mengetahui perilaku sistem diperlukan konsep
ke-setimbangan dan kestabilan. Namun, tidak mudah menentukan kestabilan dari
titikkesetimbangansistem persamaandiferensialnonlinear. Sehingga diperlukan
metode linearisasiuntuk pendekatan dengan sistem persamaan diferensial linear
yang sesuai. Tipe kestabilan dapat diamati dengan menghitung nilai eigen dari
matriks Jaobian yang dievaluasi pada titik kesetimbangan. Selanjutnya,
mo-delmatematikainidiinterpretasikankedunia nyata dan diterapkanpadaontoh
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakanpada penelitianiniadalahstudi literatur. Adapun
langkah-langkahyang ditempuh sebagaiberikut.
1. Mempelajari perilaku interaksi dan kejadian dalam populasi.
2. Menentukan batasan, asumsi dan parameter yang diperlukan.
3. Memformulasikan ulang model SIR berupa sistem persamaan diferensial
nonlinear orde satu berdasarkan asusmsi, batasan, dan parameter yang
telah ditentukan.
Langkah (1){(3)dilakukanuntuk menapai tujuan pertama.
4. Menentukan titikkesetimbangandari modelyang diperolehdalam langkah
(3)dengan menggunakanDenisi 2.1.1.
5. MenentukankriteriakestabilandarititikkesetimbanganmenggunakanT
eo-rema 2.1.1 dan Tabel 2.1.
Langkah (4){(5)dilakukanuntuk menapai tujuan kedua.
6. Menentukan nilai-nilaiparameter pada kasus yang diamati.
7. MenggambarkangrakfungsiS;I danRuntukmembantumendeskripsikan
perilaku modelSIR.
8. Melakukansimulasinumerikdenganparameteryangbervariasiuntuk
menen-tukanpunak endemik.
9. Membandingkanhasil-hasilyang diperoleh pada langkah(8).
10. Menginterpretasikanhasil yang diperoleh.
PEMBAHASAN
4.1 Konstruksi Model
PadabagianiniditurunkanulangmodelSIRdenganimigrandanvaksinasi.
Penurunannyamengau padaPiollo dan Billings[13℄. Modelditulis dalam
ben-tuk sistem persamaan diferensialnonlinear orde satu.
Sebagaimana dituliskan Hethote [11℄ dan Iannelli [12℄, dalam model
epi-demiologi, untuk menggambarkan penyebaran penyakit infeksi dapat dilakukan
dengan ara mengelompokan populasi ke dalam tiga kelas, yaitu suseptible,
infeted, dan reovered. Jadi, ada tiga variabel dasar untuk mengidentikasi
keadaan populasi dalam model epidemiologi, yaitu S(t) menyatakan banyaknya
individu suseptible pada waktu t, I(t)menyatakanbanyaknya individu infeted
padawaktut, dan R (t)menyatakanbanyaknyaindividureovered padawaktut.
Dalampenurunanmodel,termasukmodelepidemiologi,diperlukan
asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Berikut ini diberikan asumsi-asumsi dasar dalam
penurunan modelepidemiologi,sebagaimana dituliskanoleh Hethote[10℄.
1. Jumlahpopulasidianggapkonstandanukupbesar. Sehinggaukuran
tiap-tiap kelas dapat dianggap sebagai variabel kontinu. Jika model memuat
vital dynami, maka diasumsikan kelahiran dan kematianmempunyai laju
yang sama.
2. Semua individu yang lahir adalah suseptible. Individu yang keluar dari
tiap-tiap kelas melalui kematian mempunyai laju yang proporsional di
se-tiap kelasnya.
3. Populasi berampur seara homogen, artinya setiap individu mempunyai
Berdasarkan Hethote [11℄, laju kematian dalam tiap-tiap kelas seimbang
dengankelahirandan imigrasisehinggajumlahpopulasinyakonstan,N. Dengan
demikian, laju kematiandi tiap-tiapkleasadalah (
1 +
2 ).
Dinamika populasi dalam model SIR dengan imigran dan vaksinasi
di-sajikanpada Gambar 4.1. Nilaiparameter dariN;
1 ;
2
; dan adalahpositif.
Batas dari lajuvaksinasi adalah0
1 ; 2 1. (1 1 ) 1 (1 2 ) 2
-S I R
- -
IS I (
1 + 2 )R ? ? 6 6 ( 1 + 2 )S ( 1 + 2 )I 2 2 1 1
Gambar 4.1. Dinamika populasi dalam model SIR dengan imigran dan
vaksinasi
Berdasarkan asumsi yang telah ditentukan, dapat diturunkan model SIR
denganpengaruh faktorimigrandan vaksinasi. Dalampopulasi,setiaptahunnya
terjadikelahirandanimigranyangmasuk denganlaju
1 dan
2
. Setiapindividu
yang lahir dan imigranyang masuk, dianggap rawanterinfeksi. Oleh karena itu,
jumlah individu suseptible semakin bertambah. Untuk menegah penyebaran
penyakit yang lebih luas, dilakukan program vaksinasi terhadap setiap individu
yang lahir, maupun imigranyang masuk, dengan laju vaksinasi
1
dan
2
.
Den-gan demikian, jumlah individu suseptible berkurangdan berpindah ke kelas
re-overed karenatelahkebal. Penularanpenyakitinfeksimunuljikaterjadikontak
antara individu infeted dengan suseptible. Individu yang terinfeksi berpindah
kelas infeted, sehingga jumlah individu suseptible berkurang, sedangkan
jum-lahindividuinfeted bertambah. Lajukontakantaraindividususeptible dengan
infeted adalah sebesar . Artinya, satu individu infeted dapat menyebabkan
S individuinfeted baruperhari. Jikaterdapat I individuinfeted, maka
1 2
vidususeptible,makaterdapat rata-rata(
1 +
2
)S yangmati. Lajuperubahan
individususeptible yangberukuranN setiapwaktu dapatdiekspresikansebagai
dS dt = 1 N + 2 N 1 1 N 2 2 N SI N ( 1 + 2 )S =(1 1 ) 1
N +(1
2 ) 2 N SI N ( 1 + 2 )S: (4.1)
BerdasarkanGambar4.1,padakelasIterdapatindividuyangmasukmaupun
keluar kelas. Individu yang masuk pada kelas infeted berasal dari individu
ke-las suseptible yang telah terinfeksi. Sedangkan individu yang keluar dari kelas
infeted adalah individu yang telah sembuh ataupun individu yang telah mati.
Berdasarkan persamaan (4.1), rata-rata banyaknya individu yang masuk ke
ke-las infeted adalah SI. Laju kesembuhan adalah , artinya rata-rata per hari
terdapat N individu yang sembuh (keluar dari kelas infeted) dan masuk pada
kelas reovered. Laju kematian adalah (
1 +
2
). Jadi, laju perubahan individu
infeted dalamsetiap waktu dapat dinyatakansebagai
dI dt = IS N I ( 1 + 2 )I = IS N (+ 1 + 2 )I: (4.2)
Berdasarkan pembahasan pada kelas suseptible dan infeted, terdapat
in-dividu suseptible dan infeted yang berpindah kekelasreovered. Jadi, terdapat
penambahan (
1
1
)N +(
1
2
)N dari kelas suseptible dan I dari kelas infe
t-ed. Namun, terdapat juga laju kematian di kelas R sebesar (
1 +
2
). Dengan
demikian, laju perubahan individu reovered dalam setiap satuan waktuadalah
dR dt =( 1 1
)N +(
1
2
)N +I (
1 +
2
)R : (4.3)
Daripersamaan(4.1),(4.2)dan (4.3)diperolehsistempersamaannonlinear
orde satu untuk menggambarkan model SIR dengan mempertimbangkan faktor
imigrandan programvaksinasi. Model selengkapnya adalah
dS dt =(1 1 ) 1
N +(1
2 ) 2 N SI N ( 1 + 2 )S: dI dt = IS N (+ 1 + 2 )I dR dt =( 1 1
)N +(
1
2
)N +I (
1 +
2 )R
Sistem (4.4) dapat diskala dengan populasi N. Dari sini munul variabel
baru s = S=N, i = I=N dan r = R =N, yang menyatakan proporsi individu
masing-masing kelas. Jadi harus memenuhi s+i+r = 1. Sehingga model SIR
dengan skalaadalah
ds dt =(1 1 ) 1 +(1 2 ) 2 si ( 1 + 2 )s di dt
= si (+
1 + 2 )i dr dt = 1 1 + 1 2
+i (
1 +
2 )r:
(4.5)
4.2 Kesetimbangan Model
KeadaansetimbangdarisuatupopulasipadamodelSIRdiapaiketikatidak
adaperubahanjumlahindividususeptible,infeted danreovered sepanjang
wak-tu. Menurut Diekmann dan Hesterbeek [4℄ada dua maam titikkesetimbangan,
yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik. Titik kesetimbangan
bebas penyakit diperoleh ketika tidak ada individu infeted (i = 0) saat laju
perubahannya nol. Sedangkan titik endemik diperoleh ketika terdapat individu
infeted saat laju perubahnnya nol, untuk t!1.
Kelompok individu yang penting untuk diamati pada model SIR adalah
individu suseptible dan infeted. Dengan demikian, dalammenentukan titik
ke-setimbanganhanya digunakanpersamaan pertama dan kedua pada sistem (4.5).
BerdasarkanDenisi 2.1.1,kondisi setimbangdipenuhi ketika
(1 1 ) 1 +(1 2 ) 2 si ( 1 + 2
)s=0 (4.6)
si (+
1 +
2
)i=0:
Dari persamaan (4.6) diperoleh dua titikkesetimbangan.
1. E
1 =
(1 1)1+(1 2)2
1+2
;0
TitikkesetimbanganE
1
adalahtitikkesetimbanganbebaspenyakit. Halini
bisa dilihat dari nilai i =0, yang berarti tidak ada individu infeted yang
dapat menyebarkanpenyakit. Selanjutnya, titik kesetimbangan E
1
ini
dit-uliskandengan s
0 ;i
0
2. E 2 = 1+2+ ; (1 1 ) 1 +(1 2 ) 2 ( 1 + 2 )( 1 + 2 +) (1+2+)
Titik kesetimbangan E
2
merupakan titik kesetimbangan endemik. Hal ini
bisa dilihat dari nilai i yang tidak nol. Artinya, masih terdapat individu
infeted yang dapatmenyebarkanpenyakit. TitikkesetimbanganE
2
ini
ke-mudiandituliskandengan s
e ;i
e
. Dalamkeadaanini,penyebaranpenyakit
akanmeluas dan menyebabkanendemik.
4.3 Rasio Reproduksi Dasar
Tingkat penyebaran infeksi saat terjadi kontak antara individu infeted
dengan individu suseptible dinyatakan dalam suatu ukuran. Dalam
epidemi-ologi, nilai tersebut biasa disebut dengan rasio reproduksi dasar (R
0
). Istilah
R
0
pertamakalidigunakanGeorge MaDonald(1952)untuk mengkonstruksikan
penyebaran penyakit malaria (Wikipedia [22℄).
Menurut Diekmann dan Hesterbeek [4℄, Hethote [11℄, serta Shim [19℄, R
0
didenisikansebagai rata-ratabanyaknya infeksi sekunder jika satu individu
in-feted dimasukkan ke dalam suatu kelompok yang semuanya suseptible. Nilai
R
0
digunakanuntuk mengetahui apakahpenyakit akanmenghilang sendiri atau
menyebar dalam populasi.
Pada persamaan kedua sistem (4.5), diperoleh
di
dt
= si +
1 + 2 i = + 1 + 2 i 1 s + 1 + 2 Jika s + 1 + 2
< 1 maka di
dt
< 0, yang berarti bahwa penyakit berangsur-angsur
menghilangdaripopulasidantidakakanmenyebar. Sebaliknya,jika s + 1 + 2 >1 maka di dt
>0,yangberartipenyakitakanmeluasdan menjadiendemik. Sehingga
rasio reproduksidasar dapat dituliskansebagai
R 0 = s + 1 + 2 : (4.7)
Selanjutnya,saatkeadaansetimbang,jikasemuaindividuadalahsuseptible
0 0 R 0 = (1 1 ) 1 +(1 2 ) 2 ( 1 + 2 )( 1 + 2 +) : (4.8)
4.4 Analisis Kestabilan
Perilaku penyebaran penyakit dapat diamati berdasarkan kestabilan dari
titik-titikkesetimbanganyangtelahdiperoleh. Kestabilanditentukanberdasarkan
nilaieigen dari matriks Jaobianyang diperoleh melaluimetode linearisasi.
MatriksJaobianbaris satu dan dua sistem (4.5) adalah
J = 0 i ( 1 + 2
) s
i s (+
1 + 2 ) 1 A : (4.9)
Kestabilandarititik-titikkesetimbanganE
1
danE
2
ditentukanberdasarkannilai
eigen dari matriks Jaobiandi titik-titiktersebut.
4.4.1 Kestabilan di Titik Kesetimbangan E
1
DenganmengevaluasimatriksJaobian(4.9)dititikE
1 =(s 0 ;i 0 ),diperoleh J(E 1 )= 0
0 s
0
0 s
0 (+ 1 + 2 ) 1 A (4.10) dengan s 0 = (1 1 ) 1 +(1 2 ) 2 1+2
. Persamaan karakteristik dari J(E
1 ) adalah p()= 2 s 0 (+ 1 + 2 ) : (4.11)
Nilai eigen dari matriks Jaobian (4.10) dapat ditentukan dengan menghitung
akarkarakterisikdari persamaan(4.11). Adaduaakarkarakteristik(4.11), yaitu
1
= 0 atau
2 = s
0
(+
1 +
2
). Selanjutnya, kestabilan di titik
kesetim-banganini ditentukan berdasarkanTeorema 2.1.1 dan Tabel 2.1.
Diperhatikankembali denisi R
0
pada persamaan (4.8). Nilai
2
bertanda
negatif jika R
0
< 1. Konsekuensinya, titik kesetimbangan E
1 = (s 0 ;i 0 ) akan
stabil. Sebaliknya, jika R
0
> 1 maka nilai
2
bertanda positif sehingga titik
kesetimbangan ini tidak stabil. Jadi, titik kesetimbangan bebas penyakit akan
stabiljikaR
0
<1. Demikianjugasebaliknya,titikkesetimbanganbebaspenyakit
tidakstabil jikaR
2
DenganmengevaluasititikE
2 =(s
e ;i
e
)padamatriksJaobian(4.9),
diper-oleh J = 0 i e ( 1 + 2 +) i e 0 1 A ; (4.12) dengan i e = (1 1 ) 1 +(1 2 ) 2 ( 1 + 2 )( 1 + 2 +)
(1+2+)
. Persamaan karakteristik dari
J(E
2
) adalah
p()= 2
+ i
e + i
e (+ 1 + 2 ): (4.13)
Dengan langkahyang sama, ada dua akar karakteristik persamaan (4.13), yaitu
1;2 = 1 2 i e + p
( i
e ) 2 4 i e ( 1 + 2 +) :
DaridenisiR
0
padapersamaan(4.8)dantitikkesetimbanganE
2 ,diperoleh hubungan i e =( 1 + 2 )R 0
. Nilaidiskriminandari(4.13)akanbertandanegatif
ketika R 0 < 4( 1 + 2 +) 1 + 2 : (4.14)
Kondisi (4.14)memberikankonsekuensi bahwa nilaieigen dari matriks Jaobian
(4.12)adalah bilangankomplekskonjugate denganbagianreal bertanda negatif.
Berdasarkan Teorema 2.1.1,titik kesetimbanganE
2
akan stabil asimptotis.
Namun, apabila R 0 > 4( 1 + 2 +) 1 + 2 ;
nilaieigendarimatriksJaobian(4.12)adalahberupabilanganreal. Nilai
bilang-an tersebut dapat sama atau tidak sama, dan bertanda sama atau tidak sama.
Untuk menentukan kriteria kestabilan inidapat dilihatberdasarkan Tabel 2.1.
4.5 Penerapan Kasus
Padabagianinidiberikan1kasusyangdiambildariPiollodanBillings[13℄,
dengan parameter yang telah ditetapkan. Diberikan laju kesembuhan = 100.
Parameter yang digunakanberdasarkansensusdatadikotaNew York[17℄. Total
lajukelahiranpendudukadalah
1
=0:015875dan lajuimigrasiawal
2
=0:015
pertahunnya. Rata-ratakontakadalah=1700. Diberikanparametervaksinasi
dengan laju vakinasi individu lahir adalah
1
=0:6 dan laju vasinasi penduduk
imigranadalah
2
=0:5. Jumlah individu awal yang terinfeksi adalah I(0)=50
orang. Dengan demikian,model(4.4) untuk kasus inidisajikansebagai
dS
dt
=110800 0:0002125SI 0:030875S
dI
dt
=0:0002125SI 100:031I
dR
dt
=136200+100I 0:030875R ;
(4.15)
dengan S(0)=7999950;I(0)=50and R (0)=0.
Model SIR (4.15) yang telah diperoleh diterapkan dalam kasus tersebut
untuk mengetahui proporsi individu suseptible, infeted dan reovered.
Diten-tukan pola titik kesetimbangan pada model serta analisis kestabilan dari titik
kesetimbangan tersebut. Tingkat keparahan dari penyakit diukur berdasarkan
banyaknya individu yang terinfeksi. Punak endemik, atau jumlah maksimal
individu infeted ditentukan untuk menyatakan tingkat endemik. Penyelesaian
model pada kasus ditentukan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde
empat, denganbantuan programsoftware Matlab 7.0.
Berdasarkanpersamaan (4.8),rasio reproduksidasarpada kasus iniadalah
R
0
= 16:9948. Karena nilai R
0
> 1, dalam kasus ini kemungkinan terjadi
en-demik. Artinya,dimungkinkanpenyakitinfeksiakanmenyebar lebihluas. Untuk
menegahpenyebaraninfeksiiniperludilakukanprogramvaksinasi. Selanjutnya,
proporsiindividu suseptible, infeted dan reovered pada ontoh kasus tersebut
disajikanpada Gambar 4.2.
Dari Gambar 4.2 tampak bahwa pada awalnya proporsi individu
susepti-ble mendekati 1. Namun, seiring berjalannya waktu jumlah individu suseptible
semakin berkurang. Halini terjadi karena adanya individu suseptible yang
ter-infeksi. Dengan demikian,terjadi perpindahankelas dari S keI.
PadakelasI,padaawalnyaproporsiindividuinfeted keil,bahkanmendekati
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x 10
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
susceptible, infected, recovered
susceptible
infected
recovered
Gambar4.2. Proporsiindividususeptible(garistebal),infeted (garistipis),dan
reovered (garisputus-putus)
lalu terjadi penurunan kembali. Kenaikan jumlah individu infeted berasal dari
kelas S saat terjadi infeksi. Sedangkan penurunanindividu infeted terjadi
kare-naterjadiperpindahanke kelas R . Dalamhalini,individuinfeted telah banyak
yang sembuh.
Denganmemperhatikanperilakugrakproporsiindividuinfeted,yang
pa-da awalnya naik kemudian turun kembali, maka penting untuk melihat seara
ermat punaknya. Punak endemik terjadi ketika proporsi individu infeted
menapai maksimal. Berdasarkan Gambar4.2, punak endemik terjadi disekitar
i 0:7. Berikut diberikan 5 proporsi individu infeted tertinggi yang disajikan
pada Tabel 4.1. BerdasarkanTabel 4.1punak endemiknya yaitu i
maks
0:7746
dan terjadi ketikat 0:744410 5
.
Selanjutnyapada kelas R ,pada awalnyaproporsijumlahindividureovered
adalahnol,kemudianmengalamikenaikansepanjangberjalannyawaktu.
Propor-si iniberkebalikan denganindividu suseptible. Dengan demikian, pada awalnya
tidak ada individu yang sembuh dari penyakit. Kemungkinan adanya
t i
0:718510 5
0.7674
0:731510 5
0.7727
0:744410 5
0.7746
0:757310 5
0.7737
0:770210 5
0.7706
penyakit terus bertambah.
Titik kesetimbangan ditentukan untuk mengetahui letak di mana laju
pe-rubahan jumlah individu pada pada masing-masing kelas adalah nol. Dengan
kata lain, banyaknya individu pada masing-masing kelas adalah konstan.
Pa-da kasus ini hanya terdapat satu titikkesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan
endemik, di mana s
e
= 0:0588;i
e
= 0:2904910 3
. Dengan demikian, pada
keadaan yang semaam ini penyakit masih tetap ada (belum musnah). Nilai
eigendarititikkesetimbanganiniadalah
1
= 3:08610 8
+8:7810 7
i;
2 =
3:086 10 8
8:7810 7
i. Berdasarkan Teorema 2.1.1 dapat disimpulkan
bahwa titik kesetimbangan ini stabil asimtotis. Lebih lanjut, kriteria kestabilan
di titikkesetimbangan inidigambarkanpada bidang fasesuseptible infeted
yangdisajikanpadaGambar4.3. DariGambar4.3tampakbahwaarahtrayektori
berbentuk spiral yang menuju titik kesetimbangan sehingga dapat disimpulkan
bahwa titikkesetimbangan inistabil.
Makna seara sik keadaan ini adalah pada infeksi tingkat awal, sudah
terdapatsejumlahindividusehat. Kemudian,terjadiinfeksidanmulaimengalami
kenaikan sampai proses inilebih epat daripada banyaknya individu sehat yang
menjadi bertambah pada populasi. Pada akhirnya, hanya sedikit individu yang
dapat menginfeksi,dan penyebaran penyakit akan berhenti. Lalu, individuyang
sehat akanbertambah lagi(Piollo dan Billings[13℄).
Pada kasus ini, individu yang menarik diamati adalah individu infeted.
0.05
0.052
0.054
0.056
0.058
0.06
0.062
0.064
0.066
0.068
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x 10
−4
susceptible
infected
Gambar 4.3. Trayektori individususeptible, infeted
berdasarkan banyaknya individu yang terinfeksi. Dengan demikian, menjadi
penting untuk dapat mengetahui titik punak endemik. Dari titik puak
en-demik, dapat diperkirakan keadaan terparah dari suatu penyebaran penyakit.
Selanjutnya, dapat dilakukan suatu antisipasi saat keadaan itu terjadi.
Misal-nya, dengan mempersiapkan perawatan yang dibutuhkan kepada individu yang
terinfeksi. Hal inidilakukanagar penyakit tidaksemakin menyebar.
Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa pada awalnya proporsi individu infeted
keil kemudian mengalami kenaikan. Proporsi individu tertinggi, atau punak
endemik terjadi di i
maks
0:7746 dan terjadi ketika t 0:7444 10 5
. Titik
punak endemik yang diperoleh bukan titik kesetimbangan. Titik punak
en-demikinimasihbisa berubahdenganmelakukanperubahankeilpadanilai-nilai
parameter. Dari keadaan ini maka perlu dilakukansimulasi. Tujuan dari
simu-lasidisiniadalahuntukdapatmengetahuipengaruh perubahan dari
paramater-parameter tersebut terhadap punak endemik. Dengan demikian, dapat diambil
suatu strategi yang bertujuan untuk menurunkanpunak endemik. Jika punak
endemik turun,maka keparahan dari penyakityang terjadi juga berkurang.
1
2
. Simulasi dilakukanuntuk mengetahui pengaruh dari laju kontak individu
infeted dengan suseptible terhadap punak endemik. Sedangkan simulasi
untuk mengetahui pengaruh dari laju kesembuhan. Juga diberikan simulasi
1
dan
2
untukmengetahuipengaruhdariprogramvaksinasipadapenduduktetap
dan imigran.
Hasileksperimen numerik untuk laju kontak individu infeted dengan
sus-eptibledengannilai-nilai=1700;1600;1500dan1400disajikanpadaTabel4.2.
Berdasarkan Tabel 4.2 tampak bahwa semakin keil nilai , punak endemik
akan semakin turun. Pada eksperimen ini, punak endemik terendah terjadi
ketika = 1400. Dengan demikian, untuk menurunkan punak endemik dapat
dilakukandengan menurunkan laju kontak individu infeted dengan suseptible.
Hal yang dapat dilakukan adalah dengan mengurangi atau menurunkan kontak
terhadap individu yang terinfeksi. Dengan tingkat penurunan yang sama pada
nilai , tingkatpenurunan punak endemik terbesar terjadi ketika =1400.
Tabel 4.2. Nilai punakendemik dengan simulasi variasi nilai
Punak endemik(I
maks )
1700 6.19563910 6
1600 6.11306710 6
1500 6.02165710 6
1400 5.91968410 6
Tabel 4.3 menunjukkan eksperimen numerik terhadap nilai untuk =
100;150;200dan 250. Dari Tabel4.3tampak bahwasemakin besar nilai,
pun-ak endemikakan semakinturun. Dengan demikian,untuk menurunkanpunak
endemik dapat dilakukan denganmeningkatkanlaju kesembuhan. Strategiyang
disarankanadalahdenganmeningkatkanperawatanmedisdan pemberiannutrisi
terhadap individuyang terinfeksi. Dengan tingkatpenambahanyang sama pada
nilai, tingkat penurunan terbesar terjadi ketika =150.
Punak endemik(I maks ) 100 6.19563910 6 150 5.57976710 6 200 5.04054110 6 250 4.56849710 6
pada Tabel 4.4. Tabel 4.4 kiri menunjukkan pengaruh dari program vaksinasi
yang diberikan pada penduduk tetap. Pada kasus, mula-mula diberikan nilai
1
= 0:6. Untuk mengetahui pengaruhnya, simulasi dilakukan dengan
menu-runkan dan menaikkan nilai
1
. Di sini diambil nilai
1
= 0:4;0:5;0:6;0:7 dan
0.8. Dari Tabel 4.4 kiri tampak bahwa semakin besar
1
, punak endemik
se-makin menurun. Dengan demikian, agar penyakit infeksi tidak menyebar,
pro-gram vaksinasi pada penduduk tetap masih perlu diadakan. Semakin banyak
penduduk yang divaksin, semakin meningkat pula penduduk yang mempunyai
kekebalan tinggi terhadap penyakit infeksi. Sehingga penduduk yang terinfeksi
jumlahnya akanmenurun. Artinya, punak endemik jugaakan menurun.
Tabel4.4. Nilai punak endemikdengan simulasi variasi nilai
1
1
Punak endemik(I
maks
)
2
Punak endemik(I
maks ) 0.4 6.19488110 6 0.3 6.19496710 6 0.5 6.19544210 6 0.4 6.19546110 6 0.6 6.19563910 6 0.5 6.19563910 6 0.7 6.19465710 6 0.6 6.19481110 6 0.8 6.19403610 6 0.7 6.19365510 6
Hasilsimulasi numerik untuk mengetahui pengaruh programvaksinasi
pa-dapendudukimigran dapatdilihat pada Tabel 4.4kanan. Pada kasus diberikan
nilai
2
=0:5. Seperti simulasi pada
1
, disini simulasi numerik jugadilakukan
dengan menurunkan dan menaikkannilai
2
. Diambil nilai
2
=0:3;0:4;0:5;0:6
la-program vaksinasi pada penduduk imigran juga dapat menurunkan punak
en-demik, sebagaimanavaksinasi terhadappenduduktetap. Dengan demikian,
pro-gram vaksinasi untuk penduduk tetap maupun imigran perlu dilakukan untuk
menurunkan punak endemik. Simulasi pada parameter
1
menunjukkan bahwa
penurunantingkatendemikterbesarterjadiketika
1
=0:7. Demikianjugapada
2
, penurunan tingkat endemikterbesar terjadi ketika
2
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Daripembahasan yang telah dilakukan,dapat diambilkesimpulan sebagai
berikut.
1. Model SIR dengan imigrandan vaksinasi dapat diekspresikansebagai
dS dt =(1 1 ) 1
N +(1
2 ) 2 N SI N ( 1 + 2 )S: dI dt = IS N (+ 1 + 2 )I dR dt =( 1 1
)N +(
1
2
)N +I (
1 +
2 )R
dengan
S(t)+I(t)+R (t) =N;
1 0; 2 0;0 1 1;0 2
1;>0;>0:
2. Adadua maam titikkesetimbangan pada modelSIR denganimigrandan
vaksinasi,yaitutitikkesetimbanganbebaspenyakit s
0 ;i
0
=
(1 1)1+(1 2)2
1 + 2 ;0
dan titik kesetimbangan endemik s
e ;i e = 1 + 2 + ;
(1 1)1+(1 2)2 (1+2)(1+2+)
( 1 + 2 +) .
3. Pada ontoh kasus, titik kesetimbangan yang diperoleh adalah titik
kese-timbangan endemik. Berdasarkan kriteria nilai eigen, titik kesetimbangan
tersebut stabil asimtotis. Lebih lanjut, kriteria kestabilan tersebut dapat
jugadisimpulkan berdasarkangambar trayektori dalam bidangfase.
4. Eksperimen numerik menunjukkan bahwa untuk menurunkan punak
en-demikdapatdilakukandenganmenurunkanlajukontakindividuterinfeksi,
meningkatkannilailajukesembuhan,sertameningkatkanlajuvaksinasi
Dalam skripsi ini, penulis membahas model SIR yang dipengaruhi faktor
imigran dengan keadaan jumlah populasi konstan. Pada model ini tidak
ter-dapat pemisahan populasi penduduk tetap dan imigran. Bagi pembaa yang
tertarik dengan topik ini, model tersebut dapat dikembangkan dengan
memba-gi populasi menjadi dua subpopulasi, yaitu penduduk tetap dan imigran. Hal
ini untuk mengetahui penyebaran penyakit seara lebih spesik pada tiap-tiap
[1℄ Bellomo,N. and L. Preziosi,Modeling Mathematial Methods and Sienti
Computation, CRC Press, Florida,1995.
[2℄ Boye, W. E. and R. C. DiPrima, Elementary Dierential Equations and
Boundary Value Problems, John Wiley and Sons, In., New York,1986.
[3℄ Budiantoro,F.,AnalisisKestabilanLokaldanGlobalpadaModel SIRdengan
Imigran, Proposal Tugas Akhir Jurusan Matematika (sedang dikerjakan),
FMIPA, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2008.
[4℄ Diekmann, O. and J. A. P Heesterbeek, Mathematial Epidemiology of
In-fetious Diseases, John Wiley and Sons, In., New York, 2000.
[5℄ Weir,M.D., F.R.GiordanoandW.P. Fox,A Firts Coursein Mathematial
Modeling, 3 ed., Brooks/Cole-Thomson Learning, In., 511 Forest Lodge
Road, Pai Grove, USA,2003.
[6℄ Farlow, S.J., An Introdution to Dierensial Equations and Their
Applia-tions, MGraw-Hill,In., New York,1994.
[7℄ Finizio, N. and G. Ladas, Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Modern, 2 ed., Alihbahasa: W.Santoso, Erlangga, Jakarta, 1988.
[8℄ Grassly,N.C.andC. Fraser,SeasonalInfetiousDiseaseEpidemiology,
Pro-eedings of the RoyalSoiety B, Departmentof Infetious Disease
Dynami, and TraÆ Flow),Prentie-Hall,In., New Jersey, 1971.
[10℄ Hethote,H.W.,ThreeBasiEpidemiologialModels,Springer-VerlagBerlin
Heidelberg 18 (1989), 119{142.
[11℄ Hethote, H.W., TheMathematis of InfetiousDiseases, SIAMReview 42
(2000), no. 4,599{653.
[12℄ Iannelli, M., The Mathematial Modeling of Epidemis, Mathematis
De-partment University of Toronto,2005.
[13℄ Piollo, C. III and L. Billings, The Eet of Vainations in an Immigrant
Model, Mathematial and Computer Modeling (2005),no. 42,291{299.
[14℄ Lewis, M., MathematialModels and InfetiousDisease Dynamis,Wieslaw
Krawewiz (2004).
[15℄ Meyer, W. J., Conepts of Mathematial Modeling, MGraw-Hill,In., New
York,1984.
[16℄ Nugroho, S., Pengaruh Vaksinasi terhadap Penyebaran Penyakit dengan
Model SIR, Skripsi, Matematika, FMIPA, Universitas Sebelas Maret,
Surakarta, 2009.
[17℄ New York Department of City Planning, 2000 Cenus Summary,
http://www.ny.gov/html/enus/pop2000.html, 2000
[18℄ Ross, S. L.,Dierential Equations, John Wiley and Sons, In., New York,
1984.
[19℄ Shim, E., A Note on Epidemis Models with Infetive Immigrants and
Va-ination, Mathematial Biosienesand Engineering(2006).
[20℄ Weisstein, E. W., Sir model, A Wolfram Web Resoure, http://mathworld.
2007.
[22℄ Wikipedia, Basi reprodution number, http://en.wikipedia.org/wiki/Basi
