I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Statistika dapat dikelompokan menjadi dua macam, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna, sedangkan statistika inferensia mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data (sampel), untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan data (populasinya). Statistika inferensia meliputi pendugaan parameter, membuat hipotesis, serta melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku umum (Hogg dan Craig, 1995).
terhadap parameter populasi. Metode statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode momen, dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method).
Salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menduga parameter suatu distribusi adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method). Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan dengan metode derivative (turunan) Menurut Bollen (1989), pendugaan maksimum likelihood mempunyai sifat-sifat penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias pada sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten, efisien secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak mempengaruhi nilai dugaan parameter model).
Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu. Hampir sama dengan distribusi Weibull, distribusi log-normal juga digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan suatu alat. Distribusi Log-Normal dan Weibull adalah distribusi yang paling populer untuk pemodelan kemiringan dari suatu data. Kedua distribusi tersebut sering dipakai dalam bidang umur hidup suatu mesin dan sering juga dipakai dalam bidang kesehatan. Oleh karna itu ketepatan dalam pemakaian model sangat penting untuk hasil akhir dari penarikan kesimpulan.
Untuk pengujian apakah beberapa pengamatan yang diberikan mengikuti salah satu dari dua distribusi akan digunakan rasio kemungkinan maksimum (ratio maximum likelihood), jika nilai dari rasio kemungkinan maksimumnya lebih dari nol maka dapat disimpulkan bahwa data yang diuji akan mengikuti distribusi yang menjadi pembilang dari uji rasio kemungkinan maksimum sedangkan jika nilai dari rasio kemungkinan maksimum kurang dari nol maka data mengikuti distribusi yang menjadi penyebut dari uji rasio kemungkinan maksimum.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini penulis hanya membatasi masalah pada pendugaan parameter dan rasio kemungkinan maksimum dari distribusi Weibull dan distribusi log-normal untuk melihat distribusi mana yang lebih baik.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mencari penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull.
2. Mengkaji sifat asimtotik normalitas penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull. 3. Mencari rasio kemungkinan maksimum (Ratio of Maximized Likelihood) dari
distribusi log-normal dan Weibull. 1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk:
2. Menunjukan kepada peneliti lain tentang hasil dari rasio kemungkinan maksimum (Ratio of Maximized Likelihood) distribusi Weibull dan log-normal.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Distribusi Normal Umum
Menurut Herrhyanto dan Gantini (2009), peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
� =
√ �. � exp [ −
� � − ] ; −∞ < � < ∞, −∞ < < ∞, � >
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah
� �: , � , artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan µ dan varians σ2.
Peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan µ dan varians σ2 bisa juga ditulis sebagai:
~� , �
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal umum dirumuskan sebagai berikut:
� � = � = �
� = exp + � ;
2.2 Distribusi Log-Normal
Variabel dalam sebuah sistem kadang-kadang mengikuti sebuah hubungan eksponensial x = exp(w)
lognormal. Nama tersebut mengikuti transformasi ln (X) = W. Yaitu, logaritma natural dari X adalah terdistribusi normal.
Misalkan bahwa W adalah terdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi σ2; maka fungsi distribusi kumulatif untuk X adalah:
� = �[ �] = �[exp � �] = �[� ln � ]
= � [ ln � − �� ] = � [ln � − �� ]
Untuk � > dan Z adalah variabel normal standar, sehingga tabel distribusi normal standar dapat digunakan untuk menghitung probabilitasnya.
� = untuk � Distribusi log normal dengan parameter θ dan σ dapat dinotasikan juga sebagai berikut LN(θ, σ).
Dengan nilai mean dan variansi berturut-turut adalah:
� � = ln �+�2 � = ln �+�2
( �2
− )
2.3 Distribusi Weibull (β, λ)
Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu.
� = �����− − ���
untuk x > 0
Distribusi Weibull dengan parameter β dan λ dapat dinotasikan juga sebagai berikut WE(β, λ).
Dengan nilai Mean dan variansi berturut-turut adalah:
� � = � (� + )�−
� = � (� + )�−
− [� (� + )�− ]
2.4 Metode Kemungkinan Maksimum (maximum lilelihood Estimation method)
Metode kemungkinan maksimum adalah metode untuk menduga suatu sebaran dengan memilih dugaan-dugaan yang nilai-nilai parameternya diduga dengan memaksimumkan fungsi kemungkinannya.
Menurut Nar Nerrhyanto(2003), misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskrit dengan fungsi kepekatan peluang f (x;θ), dengan θ adalah satu sampel yang tidak diketahui. Misalkan � , � , … , �� merupakan sampel acak berukuran n maka fungsi kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak itu adalah:
� � = � ; � � ; � … ��; �
Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui θ. Biasanya untuk mempermudah penganalisaan, fungsi kemungkinan L(θ) diberi log natural (ln). penduga kemungkinan maksimum dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi kemungkinan L(θ).
2.5 Informasi Fisher
Menurut Hogg dan craig (1995), informasi fisher dinotasikan dengan I(θ), dimana :
� = � {[ ln �; �� ] } = ∫ [ ln �; �� ]
∞
−∞
Atau I(θ) juga dapat dihitung dengan:
� = −� [ ln �; �� ] = − ∫ ln �; �� �; � �
∞
−∞
Misalkan � , � , … , �� merupakan sampel acak dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang f(x;θ). Maka fungsi kemungkinan adalah:
� � = � ; � � ; � … ��; �
Dari hal tersebut fungsi kemungkinan diberi fungsi logaritma natural, sehingga:
ln � � = ln � ; � + ln � ; � + + ln � ; �
dari hal tersebut, dapat didefinisikan informasi fisher dalam sampel acak sebagai:
� � = � {[ ln � �� ] }
2.6 Matriks Informasi Fisher
Pada kasus lain, jika θ merupakan suatu vektor dari parameter, maka I(θ) adalah Matriks Informasi.
Menurut Hogg dan craig (1995), misalkan sampel acak � , � , … , �� dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan peluang �, � , � ; � , � ∈ Ω, dalam kondisi yang ada. Tanpa memperhatikan kondisi yang rinci, misalkan dikatakan bahwa ruang dari X dimana �, � , � > yang tidak mengandung � dan � . Sehingga matriks informasi adalah sebagai berikut :
� = −�
Menurut Elandt-Johnson(1971), misalkan terdapat s parameter,� , � , … , �� atau, dalam bentuk vektor,�′= � , � , … , �� dan terdapat logaritma fungsi
kemungkinan maka informasi yang diperoleh dari sampel tentang (� , � , … , �� dapat ditulis dalam bentuk matriks informasi s x s, I(θ), dimana elemennya didefinisikan sebagai berikut:
� � , � , … , �� = � � = −� (� 2ln
����� ),dimana i,j = 1,β,…,s
Dan untuk i=j adalah sebagai berikut:
�� � , � , … , �� = �� � = −� ln �
��
Sehingga bentuk matrik informasi tersebut adalah:
� = [ � ⋱ � � penduga titik. Status y disebut penduga efisien dari θ jika dan hanya jika ragam dari Y mencapai batas bawah Cramer-Rao (Hogg dan Craig, 1995).
(�̂) −
� � disebut sebagai Lower Bound of the Variance dari penduga θ.
2.8 Kelas Eksponensial dan Fungsi Kepekatan Peluang
Menurut Hogg dan Craig (1995), mengingat suatu keluarga { �; � : � ∈ �} dari fungsi kepekatan peluang, dimana Ω merupakan himpunan interval Ω = {� ∶ < � < }, dimana dan δ merupakan konstanta yang diketahui, dan dimana ;
�; � = { � [ � , � ���� + � + � ] , < � <
Suatu fungsi kepekatan dari bentuk fungsi tersebut diatakan sebagai anggota dari kelas eksponensial yang kontinu apabila:
1. a dan b tidak tergantung pada θ, < θ < δ
2. p(θ) merupakan fungsi kontinu yang non trivial dari θ, < θ < δ 3. setiap K’(x) ≠ 0 dan S(x) adalah fungsi kontinu dari x, a < x < b
2.9 Teorema Nilai Tengah
Teorema:
Misalkan f merupakan fungsi dengan mengikuti hipotesis berikut ini: 1. f kontinu dalam interval tertutup [a,b]
2. f terdeferensiasi dalam interval terbuka (a,b)
maka terdapat bilangan c dalam (a,b), sedemikian sehingga:
′ = − sebaran yang mempunyai mean µ dan ragam positif � , maka peubah acak
� = ∑ �� − �
Mempunyai pendekatan sebaran normal dengan mean 0 dan ragam 1 (Hogg dan Craig,1995).
2.11 Asimtotik Normalitas dari Penduga Kemungkinan Maksimum
Penduga kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimator) merupakan penduga yang lebih atraktif karena jumlah sampelnya yang besar atau sifat keasimtotikannya.
Penduga kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimator) memiliki salah satu sifat asimtotik yaitu:
� ~�[�, { � }− ]
Dimana I(θ) merupakan informasi fisher:
� = −� [ � �′ ]ln �
Asimtotik Normalitas juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
√�(�̂ − �)→ � , { � }� − (Greene, 2000).
2.12 Rasio kemungkinan maksimum
Misalkan , , . . , � melambangkan n peubah acak independen yang memiliki masing-masing fungsi kepekatan peluang � ��; � , � , . . , � , � = , , . . , �. Deret yang terdiri dari semuat titik parameter � , � , . . , � dinotasikan Ω, yang kita sebut ruang parameter. Misalkan ω menjadi sebuah himpunan bagian dari ruang parameter Ω.
Kita inginkan hipotesis : � , � , . . , � ∈ jika bukan maka merupakan semua hipotesis alternatif.
Definisi fungsi kemungkinan:
� = ∏��= � ��; � , � , . . , � , � , � , . . , � ∈
dan
� � = ∏��= � ��; � , � , . . , � , � , � , . . , � ∈ �
Misalkan � ̂ dan �(�̂)maksimum, yang kita asumsikan ada, dari dua fungsi kemungkinan. Rasio dari � ̂ dan �(�̂) disebut rasio kemungkinan (likelihood ratio) dan dinotasikan oleh
� � , � , . . , �� = � =� ̂�(�̂)
2.13 Statistik T
Menurut Kundu dan Manglick (2004), Statistik T merupakan logaritma natural dari rasio kemungkinan maksimum dan dinotasikan oleh
� = ln � � , � , . . , �� = ln � ̂�(�̂)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2011/2012, Bertempat di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan skripsi ini dan memberikan ilustrasi penerapannya dengan menggunakan perangkat lunak atau software SAS. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menduga parameter distribusi log-normal dan distribusi Weibull dengan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation method) sebagai berikut:
a. Membentuk fungsi kemungkinan dari fungsi distribusi log-normal dan Weibull.
b. Bentuk fungsi kemungkinan menjadi fungsi logaritma natural. c. Mencari turunan pertama dari logaritma natural fungsi
kemungkinan terhadap masing-masing parameter baik θ dan σ2 (log-normal) maupun β dan λ (Weibull) yang akan diduga dan menyamakan dengan nol.
maupun β dan λ (Weibull) yang akan diduga dan melihat apakah turunan keduanya kurang dari nol.
e. Mencari matriks hesian serta temukan determinan dari matriks tersebut dan melihat apakah hasilnya kurang dari nol.
2. Menentukan matriks informasi Fisher penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull yaitu dengan menentukan informasi Fisher dari setiap element matriks.
3. Memberikan aplikasi matriks informasi Fisher penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull.
a. Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull.
b. Mengkaji sifat asimtotik normalitas penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) dari distribusi log-normal dan Weibull.
4. Mencari rasio kemungkinan maksimum (Ratio of Maximized Likelihood) dari distribusi log-normal dan Weibull.
a. Membentuk fungsi kemungkinan dari fungsi distribusi log-normal dan Weibull.
b. Membagi kedua fungsi kemungkinan serta menjadikannya fungsi logaritma natural.
5. Melakukan simulasi rasio kemungkinan maksimum (Ratio of Maximized Likelihood) menggunakan Software SAS dengan data perbedaan antara dua jenis pelat yang hasilnya akan menunjukan apakah data mengikuti distribusi log-Normal atau data mengikuti distribusi Weibull serta nilai �̂ distribusi eksponensial dari data tersebut.
dengan membangkitkan data berdistribusi eksponensial dengan Ω yang tidak terlalu jauh dari �̂ tersebut, dengan tahapan sebagai berikut:
a. Membangitkan data dari distribusi eksponensial dengan parameter
b. Menghitung statistik T pada setiap data.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Penduga maksimum dari parameter � dan � pada distribusi log-normal berturut-turut adalah �̂ = ∏��= �� � dan �̂ =∑��= ln ��−ln � 2
� .
2. Penduga maksimum dari parameter � dan � pada distribusi Weibull berturut-turut adalah λ̂ = [ �
∑��= ���] �
dan �̂ = �
−� ln ∑��= ��+∑��= ln �� .
3. Metode kemungkinan maksimum bagi parameter log-normal dan parameter Weibull memenuhi sifat asimtotik normalitas.
4. Fungsi rasio kemungkinan maksimum dari log-Normal �� �, � dan Weibull
�� �, � adalah sebagai berikut:
� = � [ − ln �̂λ̂�̂�̂�̂√ � �̂]
5. Dari simulasi SAS menggunakan data perbedaan antara dua pelat didapat nilai statistik T sebesar 211.43367 dan �̂ = ,6 6 , artinya data mengikuti distribusi log-normal.
6. Hasil yang didapat dari simulasi menggunakan data eksponensial tidak berbeda dengan data pelat yaitu pada nilai parameter Ω dari distribusi
MEMBEDAKAN DISTRIBUSI WEIBULL (β, λ) DAN DISTRIBUSI LOG-NORMAL (θ, σ2
) MENGGUNAKAN METODE RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUM
Oleh
GAYOH FAJRI KUSWARA
Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu. Hampir sama dengan distribusi Weibull, distribusi log-normal juga digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan suatu alat. Kedua distribusi tersebut sering dipakai dalam bidang umur hidup suatu mesin dan sering juga dipakai dalam bidang kesehatan. Oleh karna itu ketepatan dalam pemakaian model sangat penting untuk hasil akhir dari penarikan kesimpulan. Untuk pengujian apakah beberapa pengamatan yang diberikan mengikuti salah satu dari dua distribusi tersebut maka digunakan metode rasio kemungkinan maksimum (ratio maximum likelihood). Pada penelitian ini digunakan data perbedaan antara dua jenis pelat dan didapatkan hasil bahwa data tersebut mengikuti distribusi Log-Normal dengan �̂ sebesar 0,63362. Berdasarkan �̂ yang didapat dari data pelat, disimulasikan dengan membangkitkan data eksponensial dengan parameter � yang besarnya dipersekitaran dari �̂ dan didapat hasil yang sama dengan data pelat yaitu data mengikuti distribusi Log-Normal.
MEMBEDAKAN DISTRIBUSI WEIBULL (β, λ) DAN DISTRIBUSI LOG-NORMAL (θ, σ2
) MENGGUNAKAN METODE RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUM
(Skripsi)
Oleh
Gayoh Fajri Kuswara 0717031039
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
MEMBEDAKAN DISTRIBUSI WEIBULL (
β, λ
) DAN
DISTRIBUSI LOG-NORMAL (
θ, σ
2) MENGGUNAKAN
METODE RASIO KEMUNGKINAN MAKSIMUM
Oleh
GAYOH FAJRI KUSWARA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
pada
Program Studi Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
MOTTO
KEMUNGKINAN MAKSIMUM Nama Mahasiswa : Gayoh Fajri Kuswara
Nomor Pokok Mahasiswa : 0717031039 Program Studi : Matematika
Jurusan : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing
Warsono, Ph.D. Dian Kurniasari, M.Sc. NIP. 19630216 198703 1 003 NIP. 19690305 199603 2 001
2. Mengetahui
Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi FMIPA Universitas Lampung Matematika
1. Tim Penguji
Ketua : Warsono, Ph.D. ………
Sekretaris : Dian Kurniasari, M.Sc. ………
Anggota : Mustofa Usman, Ph.D. ………
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP 19690530 199512 1 001
Saya yang bertanda tangan di bawah ini, menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul " Membedakan Distribusi Weibull (β, �) Dan Distribusi Log-Normal (θ,σ2) Menggunakan Metode Rasio Kemungkinan Maksimum" ini merupakan karya saya sendiri dan bukan hasil karya orang lain. Semua hasil tulisan yang tertuang dalam skripsi ini telah mengikuti kaidah penulisan karya ilmiah Universitas Lampung. Apabila dikemudian hari terbukti bahwa skripsi saya ini merupakan hasil penjiplakan atau dibuat orang lain, maka saya bersedia menerima sanksi berupa pencabutan gelar yang telah saya terima.
Bandar Lampung, 9 Mei 2012
Skripsi ini kupersembahkan untuk:
Bapak dan Ibu tercinta yang telah
memberikan dorongan moril maupun materil
serta tidak pernah berhenti mencintai,
mendoakan dan selalu memberikan yang
terbaik dalam penyelesaian skripsi dan
Penulis dilahirkan di Metro, Lampung pada tanggal 28 Agustus 1989, sebagai anak kedua, dari Bapak Kisworo dan Ibu Tuti Safitri, serta sebagai adik dari Yulia Ayu Kuswara.
Penulis mengawali pendidikan dari Sekolah Dasar (SD) Negeri 6 Metro pada tahun 1995-2001, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 Metro pada tahun 2001-2004, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Metro pada tahun 2004-2007.
SANWACANA
Asalamu alaikum warahmatullaahi wabarakaatuh
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, karena berkat Rahmat dan Ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul “Membedakan Distribusi Weibull (β, �) Dan Distribusi Log-Normal (θ,σ2) Menggunakan Metode Rasio Kemungkinan Maksimum”.
Skripsi ini disusun dengan tujuan memberikan informasi kepada peneliti lain tentang distribusi mana yang lebih baik antara distribusi Weibull dan log-normal. Dalam penulisan ini, penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karenanya pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Warsono, Ph.D. selaku Pembimbing utama yang dengan sabar membimbing dan mengarahkan Penulis dalam pembuatan skripsi ini. 2. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc. selaku Pembimbing kedua yang senantiasa
memberi saran dan masukan.
3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku Penguji yang telah memberi dorongan dan motivasi.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku ketua jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.
5. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si, selaku ketua program studi matematika FMIPA Universitas Lampung.
7. Bapak Amanto, M.Si. selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan motivasi, dukungan dan pengarahan dalam perkuliahan selama ini.
8. Bapak dan Ibu serta mbak tercinta yang selalu mencurahkan kasih sayangnya dan selalu mendukung baik moril maupun materiil.
9. Bapak dan Ibu Dosen di lingkungan Universitas Lampung yang telah menyalurkan pengetahuannya kepada Penulis.
10.Ibu Widiarti, M.Si. selaku Pembimbing ‘ketiga’ yang senantiasa memberi saran dan masukan dalam pembuatan program.
11.Teman-teman di Program Studi Matematika : Ardi, Rohman, Ibnu, Mahfudz, Wayan, Herdumi, Neng, Meli, Bolang, Ayu, Ria, Mbak Juita, Sela, Wiwid, Mia, Bajay, Selvy, Akma, Cha-cha dan teman-teman lainya yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
12.Nurashri Partasiwi yang tanpa dia sadari telah menjadi motivasi, penyemangat, dan harapan saya.
13.Adik tingkatku di Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lampung.
14.Saudara tapi tak sedarah: Banu, David, Gunawan, Ngudi, Haris, Buje, Beni, Bogi, Nora, dan Tika.
Penulis berdo’a semoga bantuan yang telah diberikan tersebut akan menjadi amal baik dan mendapat balasan dari Allah SWT. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Wasalamu alaikum warahmatullaahi wabarakaatuh
Bandar Lampung, 8 Mei 2012 Penulis
