BAB II HUKUM COULOMB GAYA COULOMB HUKUM GAUSS DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK1 1

BAB II

HUKUM COULOMB, GAYA COULOMB, HUKUM GAUSS, DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK

2.1 Hukum Coulomb dan Gaya Coulomb

Gaya tarik menarik antara dua muatan listrik q1’ dan q2’ yang berlawanan jenis atau gaya tolak menolak antara dua muatan listrik, q1 dan q2’ yang sejenis adalah sebanding dengan hasil perkalian kedua muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua muatan tersebut. Dengan menggunakan simbol-simbol besaran, hukum Coulomb ditulis

F = k 1₂2

r

q

q

(2.1)

Di dalam sistem CGS (sistem SI skala-kecil) harga konstanta k adalah 1, sedangkan di dalam sistem MKS (sistem SI skala-besar) harga k adalah

k =



4 1

dimana :

 = 0r = permitivitas dieletrik medium

0 = permitivitas dielektrik ruang vakum = 8,854 x 10-12 F/m

= 8,854 pF/m

r = permitivitas relatif = koefisien dielektrik medium (non-dimensi)

Jika dinyatakan dalam bentuk vektor, persamaan (2.1) dapat ditulis (dalam sistem MKS) F =  4 1 2 2 1

r

q

q

ar atau F =  4 1 3 2 1

r

q

q

r (2.2)

Bila muatan titik q1 berada di titik P1 (x1, y1, z1) dan muatan titik q2 di P2 (x2, y2,

z2), maka vektor gaya Coulomb yang bekerja pada muatan titik q1adalah

F =



4 1

q1q2















 

 











































2 / 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

a

_x

a

_y

a

_z

(2.3)

Gaya Coulomb yang bekerja pada muatan titik q2 adalah :

F =



4 1

q1q2















 

 











































2 / 3 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

a

x

a

y

a

z

(2.4)

Dari persamaan (2.3) dan (2.4) dapat dilihat dari gaya Coulomb yang bekerja pada muatan q1 dan muatan q2 berlawanan. Sifat berlawanan arah inilah yang menyebabkan q1 dan q2 akan saling tarik menarik apabila keduanya memiliki muatan yang tidak sejenis akan tolak menolak bila q1 dan q2sejenis.

2.2 Vektor Intensitas Medan Listrik

Vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh suatu muatan listrik statis pada suatu titik yang berjarak r dari muatan tersebut didefinisikan sebagai vektor gaya Coulomb per satuan muatan listrik di titik tersebut. Jika kita misalkan bahwa muatan titik q1 terletak di titik P1(x1, y1, z1) dan muatan titik q2 terletak di titik P2(x2, y2, z2), maka vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik q1 di titik P2 adalah sama dengan gaya Coulomb pada titik q2 dibagi dengan muatan titik q2 :

E1 =















 

 





₂



3/2

1 2 2 1 2 2 1 2

1 2 1

2 1

2 1

2 2

4

x

x

y

y

z

z

z

z

y

y

x

x

q

x y z























a

a

a

q

F



(2.5)

Vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik, q2 di titik P1 adalah sama dengan gaya Coulomb pada titik q1 dibagi dengan muatan titik q1, yaitu

E2 =















 

 





₂



3/2

2 1 2 2 1 2 2 1

2 1 2

1 2

1 2

1 1

4

x

x

y

y

z

z

z

z

y

y

x

x

q

x y z























a

a

a

q

F



(2.6)

Vektor Intensitas Medan Listrik oleh Muatan Kontinu

Vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan kontinu diperoleh melalui proses integrasi. Sebagai contohnya adalah muatan garis yang terdistribusi merata di sepanjang kawat lurus atau kawat berbentuk lingkaran atau muatan bidang yang terdistribusi merata pada permukaan bidang datar tertentu. Umumnya vektor intensitas medan listrik oleh muatan kontinu ditulis sebagai

E =





4 dq

aE (2.7)

Contoh vektor intensitas medan listrik E yang ditimbulkan oleh muatan garis  C/m yang terdistribusi merata di sepanjang kawat lurus yang berimpit dengan sumbu-z

diperlihatkan pada Gambar 2.1. E =



₂

4

r

dz





aE; Ea= |E| sin  a= E

E =











_{ 2} 3/2 ) / 1 (

/ 4

. 1











z z

a; z/ = cos 

dE

dEa_

r = (2 _{+ z}2₎1/2



[image:3.595.216.417.142.205.2]

Gambar 2.1. Kawat lurus bermuatan garis terdistribusi merata dan intensitas medan yang timbul

E=







_

0

2 / 3 2 cot 1

cot 4

1











d

a = _



2 . 1

a

E= _



2 a (2.8)

Intensitas medan listrik pada sumbu lingkaran, yaitu sumbu-z, yang ditimbulkan oleh kawat lingkaran berjari-jari R dan bermuatan garis  C/m yang terdistribusi merata sepanjang kawat lingkaran adalah

Er =





  

2

0

2

4 r Rd

ar= ₂



_R2 _z2



R 

 

ar ; r2_{= (R}2 _{+ z}2₎

Vektor intensitas medan listrik di sepanjang sumbu lingkaran, yaitu sumbu-z, dengan vektor satuan di sepanjang sumbu-z positif adalah az, maka

Ez = |Er| cos  az, dimana  adalah sudut antara sumbu-z dan r

Dengan mensubsitusi cos  =



_{2 2}



1/2

z R

z

 , kita peroleh (2.9)

Ez =



_{2 2}



3/2 2 R z

Rz







az

Di pusat lingkaran dimana z = 0, maka Ez= 0

Vektor intensitas medan listrik oleh muatan bidang qs C/m2 yang terdistribusi merata pada suatu permukaan datar dapat diturunkan sebagai berikut. Perhatikan permukaan datar XOY dengan muatan bidang qs yang terdistribusi merata atau homogen seperti dijelaskan oleh Gambar 2.2.

Gambar 2.2. Bidang datar XOY dengan muatan bidang qsC/m2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Lenni, ST MEDAN ELEKTOMAGNETIK 3

q_s dx

x O

z



dE_z dE

[image:3.595.149.458.567.778.2]

Muatan garis pada bidang XOY yang sejajar sumbu-y berjarak x dari sumbu-y adalah

qsdx = 

Sesuai dengan persamaan (2.8) maka

dE = 2

0 2







=



_{2 2}



1/2 0

2 x z dx qs





; dEz = cos  dE

maka, dE = ₂

0

2

)

(





dx

z

qs

=

0

2

qs

.











2



/

1

/

z

x

z

x

d



; dimana x/z = tan 

maka Ez=











 



 

 0 0

2

2

2

0 1 tan 2 2

tan

2    

 





qs n

qs d

qs

dE_z ; dimana x/z = tan 

Di atas bidang XOY, vektor Ez bernilai positif,

Ez =

0

2

qs

az (2.10)

Ke arah bawah bidang XOY, vektor Ez bernilai negatif, Ez =

0

2

qs

az (2.11)

Jadi, intensitas medan yang dihasilkan oleh muatan bidang bukan fungsi jarak ke bidang.

2.3 Garis Medan

Garis medan dinamakan juga garis gaya atau garis fluks atau garis arus atau garis arah yang menggambarkan arah vektor intensitas medan listrik. Garis-garis medan dari suatu muatan titik adalah garis-garis lurus, apabila muatan titik itu positif maka arah garis medannya menjauhi muatan titik tersebut dan apabila muatan titik itu negatif maka arah garis medannya menuju muatan itu. Garis-garis medan dipole listrik (dwi kutub listrik) adalah kurva-kurva simetris yang arahnya dari muatan positif menuju ke muatan negatif.

Untuk keadaan dua dimensi (x, y), persamaan garis medannya adalah

dx dy E E

x y

 (2.12)

2.4 Rapat Fluks Listrik dan Hukum Gauss

Vektor rapat fluks listrik D didefinisikan sebagai :

D = E (2.13)

Dimana :

 = 0r adalah permitivitas dielektrik medium dengan satuan F/m

0 = permitivitas dielektrik ruang vakum = 8,854 x 10-12 F/m

E = vektor intensitas medan listrik dengan satuan V/m

dari permukaan tertutup seluas S adalah sama dengan muatan listrik yang tercakup oleh permukaan tertutup tersebut, atau

Fluks listrik = E=



D. dS (2.14)

Di dalam medan elektromagnetik, hukum Gauss memiliki implikasi untuk menentukan vektor intensitas medan listrik yang ditimbulkan oleh suatu muatan elektrostatik.

2.5 Contoh Penerapan Hukum Gauss

Penerapan hukum Gauss untuk mendapatkan vektor intensitas medan listrik yang dihasilkan oleh muatan listrik statik pada jarak tertentu dari muatan tersebut diawali dengan mengganti vektor rapat fluks listrik D dengan E, sehingga diperoleh

E = E . dS = q (2.15)

Medan E oleh Muatan Titik

Vektor intensitas medan listrik pada jarak r dari muatan titik q dengan permitivitas dielektrik medium  adalah E = Ear. Sedangkan vektor elemen luas dS = dSar = (rd ) (r sin ) dr, yaitu elemen luas kulit permukaan bola dengan jari-jari r. Jadi hukum Gauss menjadi

E =



Ear . r sin d d = q

karena ar . ar = 1, sedangkan , E, dan r adalah konstanta, maka diperoleh

Er2





0

sin  d





2

0

d = q

Er2_{(–cos )}

0 ()



2

0 = 4 Er2 = q

E = ₂

4

.

1

r

q



E = ₂

4 r q



ar = ₄ 3

2

r



r karena ar = r r

Medan E oleh Muatan Garis

Medan E atau vektor intensitas medan listrik yang dihasilkan oleh muatan garis

q1 Coulomb per meter yang terdistribusi merata di sepanjang kawat lurus, pada jarak 

dari kawat dapat dijabarkan dengan hukum Gauss dengan mengambil elemen luas permukaan dS = ddza, yaitu elemen luas permukaan kulit silinder dengan jari-jari . Hukum Gauss menjadi

E =



E . dS

=



Ea . ddza = q

Karena a . a = 1, dan mengambil batas integrasi untuk  dari 0 ke 2, sedangkan untuk z dari 0 ke L, maka persamaan hukum Gauss dapat ditulis

E = E







2

0

d dz q

L





0

E =



2 /L q

=



2

1

q

E =



2

1

q

a (2.16)

Persamaan (2.16) ini sesuai dengan persamaan (2.8) yang mempergunakan simbol untuk muatan garis . Di dalam penggunaan persamaan (2.16) ini, vektor satuan a diganti dengan vektor jari-jari silinder dibagi harga skalarnya menjadi

E =



2

1

q

a = 2 1 2



q

 (2.17)

BAB III

ENERGI, POTENSIAL, DIPOLE DAN MOMEN DIPOLE

3.1 Energi Listrik

Energi listrik adalah produk skalar dari vektor gaya Coulomb dengan vektor perpindahan, atau dapat diartikan juga sebagai kerja yang dilakukan oleh vektor gaya Coulomb untuk menempuh vektor elemen perpindahan. Jika arah vektor gaya Coulomb ini berlawanan dengan arah vektor perpindahan maka kerja bernilai negatif, yang artinya kerja diberikan dari luar ke sistem, atau dengan kata lain kerja diperlukan oleh sistem.

Kerja: W =



F . dI =



qE . dI (3.1) Kerja yang diperlukan adalah W = -



qE . dI

Integral Garis

Integral garis adalah kerja yang diperlukan untuk memindahkan muatan titik q

dari suatu titik awal ke suatu titik akhir. Kerja ini bersifat konservatif (kekal) apabila tidak tergantung pada lintasan yang ditempuh, melainkan hanya pada posisi titik awal dan posisi titik akhir. Kerja ini adalah efek medan dari vektor intensitas medan listrik yang terdistribusi secara merata atau homogen di medium yang tersedia :

Integral garis : W =



akhir titik

awal titik

d

qE. l _(3.3)

Jika muatan titik q dipindahkan dari titik awal A (x1, y1, z1) ke titik akhir B (x2, y2, z2) di dalam suatu medium dengan vektor intensitas medan listrik yang homogen E = Exax + Eyay + Ezaz maka kerja yang diperlukan adalah

W = q E dl

akhir titik

awal titik

.





= 



q (Exax + Eyay + Ezaz) . (dxax + dyay + dzaz)

= _

  

  

 









2

1

2

1

2

1

x

x

y

y

z

z z y

xdx E dy E dz

E

q (3.4)

Kerapatan Energi

Untuk muatan yang kontinu, energi diperoleh lewat metode integrasi :

W =



vol

v V dv



2 1

(3.5)

Dimana :

v = kerapatan muatan ruang (C/m3)

V = beda potensial (V)

Dari teorema divergensi diperoleh :

W =





vol

2 1

. D V dv =





vol

( 2 1

. (VD) – D . (V)) dv =



vol

2 1

D . E dv

(3.6)

Dari persamaan (3.6), kita memperoleh kerapatan energi atau energi per satuan volume :

WE =

dv dW

=

2 1

D . E =

2 1

E . E

sehingga WE = 2 1

E2_J/m3 _(3.7)

Persamaan (3.6) dan (3.7) juga dapat diturunkan dari hukum Gauss. Untuk muatan kontinu,

WE =

2 1

qdV (3.8)

dimana dV = EdL

Hukum Gauss diberikan oleh

q =



D _{. dS =}



_{DdS =}



_EdS

Jadi

W =



2

2 1

E

 dLdS =



vol

E2

2 1 _

dv

Sehingga kerapatan energi adalah

WE =

2 1

eE2 _J/m3 _(3.9)

3.2 Potensial dan Gradien Potensial

Potensial listrik V di sembarang titik P (xp, yp, zp) yang dihasilkan oleh muatan titik Q di titik A (xA, yA, zA), di mana jarak titik A ke P adalah r, didefinisikan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa satu satuan muatan (1 C) dari jarak r tak terhingga ke jarak r = r.

Kerja W adalah

W = 



F_{. dr = - Far . drar}

=



  

dr

r

Q

C

dr

F









₂

4

1

.



Kerja per satuan muatan adalah

V = W_C  Q_r V₀₀r

4

1 

=

r Q



4 V

Potensial listrik V di sembarang titik P (xp, yp, zp) yang dihasilkan oleh beberapa muatan titik, misalnya Q1di titik (x1, y1, z1), Q2di titik (x2, y2, z2) dan Q3 di titik (x3, y3, z3), adalah jumlah dari masing-masing potensial yang ditimbulkan oleh Q1, Q2, dan Q3 di titik P tersebut.

Untuk muatan yang kontinu, potensial listrik statis diperoleh lewat integrasi : V =



r dq



4 (3.11)

di mana dq = qL dl, bila qL muatan garis; dl = elemen panjang; dq = qs dS, bila qs muatan bidang; dS = elemen luas; dq = qv dV, bila qv = muatan ruang; dV = elemen volume.

Gradien Potensial

Vektor intensitas medan listrik E didefinisikan sebagai negatif dari gradien potensial : E = - V = N

dN dV

a

 (3.12)

Bila dinyatakan di dalam tiga dimensi :

(a) Sistem koordinat kartesian : E = x y z

z V y

V x

V

a a

a

        

(b) Sistem koordinat silinder : E = _z z

V V

V

a a

a

       

  

  

(c) Sistem koordinat bola : E =  

 

 a a

a

        

sin

r V r

V r

V

Dari persamaan (3.12) kita juga bisa memperoleh potensial V :

V = 



E.dN



EcosdN (3.13)

dimana  = sudut antara vektor E dan garis normal N dari bidang equipotensial.

3.3 Dipole dan Momen Dipole

Dua muatan titik yang sama besar, namun dengan tanda berlawanan, misalnya

q dan –q, terpisah oleh jarak d, yang relatif kecil terhadap jarak dipole ke suatu titik, dinamakan dipole listrik (terkadang disebut dengan dipole saja). Momen dipole listrik

(P) didefinisikan sebagai hasil-kali antara muatan q dan jarak kedua muatan d. Dalam sistem SI skala besar, satuan untuk momen dipole listrik adalah Coulomb . meter (C . m).

P = qd (3.14)

Vektor momen dipole listrik P didefinisikan sebagai hasil-kali antara muatan q dengan vektor jarak d, yaitu vektor jarak dari muatan –q ke muatan +q :

P = qd (3.15)

Potensial V yang ditimbulkan oleh dipole listrik dapat diturunkan berdasarkan Gambar (3.1) :

   

 

 

2 1

4 1

r q r q V

 dimana

r = jarak dari dipole ke titik P

r1 = r – d/2 cos 

r2 = r – d/2 cos 

[image:9.595.87.426.338.778.2]

 = sudut antara vektor jarak d dan vektor r

Gambar 3.1. Dipole Listrik

Potensial dititik P menjadi

   

 

  



 

 2 cos 2cos

4 1

d r

q d

r q V

= _

  

 

 

  2 2_/4cos2

cos 4

1

d r

qd

Untuk d << r,

2 4

cos

r qd V







PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Lenni, ST MEDAN ELEKTOMAGNETIK 9

-q

d r2

r₁

r

+q P

= V r

r P

3 4

.



(3.16)

Vektor intensitas medan listrik E dan jarak r dari dipole listrik dengan momen dipole P dapat diperoleh dari Persamaan (3.12), untuk sistem koordinat bola tiga dimensi, sedangkan untuk dua dimensi diperoleh dari



a

a E

      

r V r

V

r

= _









a

a ₃

3 ₄

sin 2

cos

r P r

P

r  (3.17)

dimana komponen-komponennya adalah

4 3 ₂

. 2

cos

r r r

P E_r







P



 (3.18)

4

3 ₄

4 sin

r x r

P E

 





r P 