TRIGONOMETRI
Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Sin α =
Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B
Rumus Jumlah Fungsi :
Perkalian jumlah/selisih
1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih perkalian
Sudut-sudut istimewa :
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
II I
Sin + Semua + III IV
Tan + Cos +
Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant:
Kuadrant I
Sin (900 - θ ) = cos θ Cos (900 - θ ) = sin θ
tan (900 - θ ) = cotan θ Kuadratn II :
Sin (1800
- θ ) = sin θ Cos (1800 - θ ) = -cos θ tan (1800
- θ ) = -tan θ
Kuadrant III : Sin (1800
+ θ ) = -sin θ Cos (1800
+ θ ) = -cos θ tan (1800 + θ ) = tan θ Kuadrant IV :
Sin (3600 - θ ) = -sin θ Cos (3600 - θ ) = cos θ tan (3600 - θ ) = -tan θ
Aturan sinus dan cosinus
C
b γ a
α
β A c Baturan sinus
α sin
a =
β sin
b =
γ sin
c
Aturan cosinus
1. a2= b2+ c2 - 2bc cos α 2. b2= a2+ c2 - 2ac cos β 3. c2= a2+ b2 - 2ab cos γ
Luas Segitiga
Luas segitiga = 2 1
ab sin γ
= 2 1
ac sin β
= 2 1
bc sin α
α 0
0 30 0 45 0 60 0 90 0
Sin 0
2 1
2
1 2
2
1 3 1
Cos 1
2
1 3
2
1 2
2
1 0
Tan 0
3
1 3 1 3 ~
Kuadrant I α
Kuadrant II
0
180 -
α
Kuadrant III
0
180 +
α
Kuadrant IV
0
360 -
α
Sin + + - -
Cos + - - +
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :
P(x,y) koordinat cartesius P(r,α0
) koordinat kutub
y α0
x P (x,y) → P (r, α0)
r = 2 2 y x +
0
α didapat dari tan α0 = x y
P (r, α0
) → P (x,y) x = r cos α0
; y = r sin α0
jadi , p (x,y) = p(r cos α0
, r sin α0
)
Nilai Maksimum dan Minimum
1. Jika y = k cos (x + n
π
) dengan k > 0 makaa. maksimum jika y = k dimana cos (x + nπ) = 1 sehingga (x + nπ)= 0
b. minimum jika y = -k dimana cos (x + nπ) = -1 sehingga (x + n
π
)=π
2. Jika y = k sin (x + n
π
) dengan k > 0 makaa. maksimum jika y = k dimana sin (x + n
π
) = 1 sehingga (x + nπ
)=2 π
b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n
π
) = -1 sehingga (x + nπ
)=2 3π
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri
1. Persamaan
Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah :
a. sin x = sin
α
, maka x1=α
+ k. 0360 x2= ( 0
180 -
α
) + k. 0360 b. cos x = cos
α
, maka x1,2= ±α
+ k.0
360
c. tan x = tan α, maka x = α + k. 0
180
Persamaan umum trigonometri adalah :
a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x -
α
)dengan k = a2+b2 : persamaan lengkapnya:
a cos x + b sin x = k cos (x -
α
) = c
α
didapat dari tanα
= a bSyarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah :
c2
≤ a2
+ b2
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat
diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti :
Fungsi Trigonometri:
1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x
.
Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1
b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π
d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2π) = sin x, k ∈ bilangan bulat
2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x
Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x
a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1
b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π
2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah :
a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π
Contoh Soal :
Soal-soal UN2010 – UN2012
UN2010
Himpunan penyelesaiannya adalah
Jawabannya adalah D
UN2010
Jawabannya adalah D
- 2 1
{ 2 1
– cos(A-B)} = 4 1
2 1
– cos(A-B) = - 4 2
= - 2 1
2 1
+ 2 1
= cos(A-B)
cos(A-B) = 1
Jawabannya adalah E
UN2011
4. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 00 ≤ ≤ 1800 adalah....
A. {450, 1200} C. {600, 1350} E. {600, 1800} B. {450, 1350} D. {600, 1200}
Jawab:
cos 2x + cos x = 0
cos 2x = cos2x - sin2x = cos2x – (1 - cos2x) = 2cos2x - 1
sehingga
cos 2x + cos x = 2cos2x - 1 + cos x = 0 (2 cos x - 1 )(cos x + 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 cos x + 1 = 0 2 cos x = 1 cos x = -1
cos x = 2 1
x = 1800 (di kuadran ke-2) x = 600
Himpunan penyelesaiannya adalah 600 atau 1800 Jawabannya adalah E
UN2011
5. Nilai
= ...
A. - √3 B. − 12√3 C. − 13√3 D. √3 E. √3
Jawab:
cos A - cos B = - 2 sin 2 1
(A + B) sin 2 1
(A –B)
Sin A - sin B = 2 cos 2 1
(A + B) sin 2 1
(A –B)
=
=
= -
= -
√=
√3
Jawabannya adalah E
UN2011
6. Diketahui (A+B) = dan Sin A Sin B = , Nilai dari cos (A- B) = …
A. -1 B. - C. D. E. 1
Jawab:
(A+B) = maka cos (A+B) = cos = Cos 600 =
cos (A+B) = CosA Cos B – Sin A Sin B
= CosA Cos B – CosA Cos B = + =
cos (A- B) = cos A cos B + sin A Sin B = + = 1
UN2012
7. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x -2cos x = -1; 0 < x < 2π adalah ....
A. { 0, π, π, 2π } C. { 0, π, π, π } E.
{ 0, π, π }
B. { 0, π, π, 2π } D. { 0, π, π }
Jawab:
cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – (1 – cos2x) = 2 cos2x - 1
cos2x -2cos x = -1
2 cos2x – 1 – 2 cos x + 1 = 0 2 cos2x – 2cos x = 0
cos2x – cos x = 0 cosx . (cosx – 1) = 0
cos x = 0 ; cos x = 1
cos x = cos cos x = cos 00
cos x = cos
α
, maka x1,2= ±α
+ k. 3600cos x = cos
1
x = + 0. 2π ; x2=- + 1. 2π = =
cos x = cos 00
1
x = 0 + 0. 2π ; x2= 0 + 1. 2π = 0 = 2π
karena intervalnya 0 < x < 2π,
maka nilai yang memenuhi adalah dan
Tidak ada jawaban
UN2012
8. Nilai dari sin 75° - sin165° adalah ....
A. √2 D. √2
B. √3 E. √6
C. √6
Jawab:
Sin A - sin B = 2 cos 2 1
(A + B) sin 2 1
(A –B)
sin 75° - sin165 = 2 cos 2 1
(750 + 1650) sin 2 1
(750 –1650)
= 2 cos 2 1
. 2400 sin 2 1
(-900)
= 2 cos 1200 sin (-450)
sin – = - sin cos – = cos tan – = tan
Cos (1800 - θ ) = - cos θ
= 2 cos (1800 – 600) . – sin 450 = - 2 cos 600. – sin 450 = 2. ½ . ½ √2 = ½ √2 Jawabannya D
UN2012
9. Diketahui α – β = dan sin α . sin β = dengan α dan β
merupakan sudut lancip. Nilai cos (α + β) = ...
A. 1 B. C. D. E. 0
Jawab:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
cos A cos B = cos (A - B) - sin A Sin B
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
= cos (α - β) - sin α sin β - sin α sin β = cos – ¼ - ¼
