ABSTRAK
KARAKTERISTIK BILANGAN IRASIONAL TIPE KONSTAN
Oleh
AGUSTINA WIDIARTI
Bilangan irasional adalah bagian dari bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dimana bilangan bulat dan .
Selain dinyatakan dalam bentuk desimal, bilangan irasional dapat dinyatakan dalam pecahan lanjutan yang memiliki pendekatan lebih baik.
Jika diberikan sebuah bilangan irasional dan sebagai bagian pecahan dari dengan adalah fungsi bilangan bulat terbesar ( fungsi floor untuk ). Untuk
dianggap berurutan dari pada dan disusun dalam urutan naik
dimana ,
Jika dan secara berurutan dinotasikan sebagai maksimum dan minimum dari interval bagian partisi . Dengan menggunakan perluasan pecahan lanjutan dari dan
teorema tiga jarak akan diketahui bahwa barisan
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Bilangan irasional adalah bagian dari bilangan real yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk pecahan dimana bilangan bulat dan .
Bilangan real sering dinyatakan dalam bentuk desimal. Pada bilangan
irasional, representasi dari desimalnya tidak akan berhenti dan tidak ada
pengulangan pada satu atau sekelompok digitnya.
Selain dinyatakan dalam bentuk desimal, bilangan real dapat pula
dinyatakan dengan menggunakan pecahan lanjutan. Dibanding penggunaan
desimal, pecahan lanjutan memiliki pendekatan yang lebih baik untuk
mempresentasikan bilangan real. Pecahan lanjutan kemudian
dikembangkan sebagai tanggapan terhadap kebutuhan untuk mendekati
bilangan irasional.
Representasi pecahan lanjutan dari bilangan irasional memiliki suku yang
tidak terbatas sehingga disebut pecahan lanjutan sederhana tak hingga.
2
Jika dan secara berurutan dinotasikan sebagai maksimum
dan minimum dari interval bagian partisi . Dengan menggunakan
perluasan pecahan lanjutan dari dan teorema tiga jarak akan didapatkan
karakteristik baru dari bilangan irasional tipe konstan ( didefinisikan
sebagai irasional dengan parsial quotient terbatas ).
Penelitian ini akan menunjukan bahwa barisan dari
adalah
terbatas jika dan hanya jika adalah bilangan irasional tipe konstan
dengan menggunakan teorema utama.
1.2 Batasan Masalah
Dari pemaparan masalah yang telah diberikan pada latar belakang, maka
materi dalam penelitian ini dibatasi hanya pada studi tentang karakteristik
3
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji karakteristik bilangan
irasional dengan menggunakan perluasan pecahan lanjutan dan
membuktikan barisan
adalah barisan yang terbatas.
1.4 Manfaat Penelitian
Pada penelitian ini akan diperkenalkan tentang pecahan lanjutan yang
selama ini belum banyak dikenal oleh para mahasiswa. Diharapkan hasil
dari penelitian ini dapat menjadi masukkan dan rujukkan bagi mahasiswa
yang ingin mengetahui pecahan lanjutan serta memberikan partisipasi bagi
V. KESIMPULAN
1. Bilangan irasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal dan pecahan
lanjutan.
2. Bilangan irasional [ ] memiliki pecahan
lanjutan sederhana tak hingga yang konvergen ke
3. Untuk sebagai panjang maksimum dan sebagai panjang
minimum dari interval bagian partisi . Berdasarkan hasil dan
pemaparan didapat barisan
merupakan barisan yang terbatas
dimana
