PERPINDAHAN KALOR 2 DIMENSI DENGAN
METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
Skripsi Yang Diajukan Untuk Melengkapi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik
WIRA PRATAMA NIM. 050401022
DEPARTEMEN TEKNIK MESIN
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas berkat dan rahmat-Nya yang telah memberikan penulis kesehatan jasmani dan rohani sehingga dapat menyelesaikan Skripsi ini. Adapun Skripsi ini dibuat untuk melengkapi syarat memperoleh gelar Sarjana Teknik dengan judul: “ Pengembangan Perangkat Lunak Open Source untuk Penyelesaian Peristiwa Perpindahan Kalor 2 Dimensi dengan Metode Elemen Hingga”
Selama penulisan laporan ini penulis banyak mendapat bimbingan dan bantuan dari beberapa pihak. oleh karena itu dalam kesempatan ini penulis menyampaikan banyak terima kasih kepada:
1. Kedua orang tua yang saya cintai, yang telah memberikan segala sesuatu dengan penuh ikhlas serta keluarga yang telah memberikan semangat
2. Prof. Dr. Ir. Armansyah Ginting, M. Eng selaku dosen pembimbing yang telah memberikan waktu dan pikirannya dalam penyelesaian skripsi ini dan Ketua Departemen Teknik Mesin Bapak Dr. Ing. Ir. Ikhwansyah Isranuri serta Bapak Tulus Burhanuddin Sitorus, ST. MT sebagai Sekretaris Departemen Teknik Mesin
3. Seluruh staf pengajar di Departemen Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara
5. Teman – Teman Teknik Mesin USU terutama stambuk 2005, bang Ucu, bang Tiko, Bang Yasin dan kawan – kawan yang telah memberikan fasilitas dan motivasi dalam menyelesaikan skripsi ini.
Segala kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan penulis guna kesempurnaan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi siapapun yang membacanya
Medan, Oktober 2009
Penulis,
Wira Pratama
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR TABEL xi
DAFTAR GAMBAR xii
DAFTAR NOTASI xiv
DAFTAR ISTILAH xiv
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 2
1.3 Metoda 2
1.4 Batasan Masalah 2
1.5 Tujuan 3
1.6 Manfaat 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4
2.1 Open Source 4
2.1.1 Sistem Operasi Linux 4
2.1.2 Aplikasi Metode Elemen Hingga pada Linux 4
2.1.2.1 Tochnog 5
2.1.2.2 GiD 6
2.2 Perpindahan Kalor 6
2.2.1 Perpindahan Kalor Konduksi 6
2.2.2 Perpindahan Kalor Konveksi 7
2.2.3 Perpindahan Kalor Radiasi 8
2.2.4 Konduktivitas Termal 9
2.3 Metode Elemen Hingga 11
2.3.2 Metode Elemen Hingga pada Perpindahan Kalor 13 2.3.2.1 Konduksi Kalor Satu Dimensi 14 2.3.2.2 Kalor Konduksi 2 Dimensi tanpa Konveksi 16 2.3.2.3 Perpindahan Kalor Konduksi dengan Konveksi 16 2.3.3 Formulasi Elemen Hingga pada Perpindahan Kalor 18 2.3.3.1 Perpindahan Kalor 1 dimensi 18 2.3.3.2 Perpindahan Kalor 2 dimensi 18
BAB 3 METODOLOGI PENGEMBANGAN APLIKASI 29
3.1 Menginstalasi Sistem Operasi Distro Linux 29
3.2 Menginstalasi Aplikasi Tochnog 33
3.3 Menginstalasi Aplikasi GiD 34
3.4 Metoda Simulasi untuk Perpindahan Kalor 36
3.4.1 Membuat file masukan (input) 38
3.4.1.1 Bagian Inisialisasi (Initialization Part) 38 3.4.1.2 Bagian Data (Data Part) 40 3.4.2 Menyimpan (save) file masukan (input) 43 3.4.3 Memodifikasi file masukan Tochnog 44 3.4.4 Menjalankan penghitungan (Run Calculation) 44
3.4.5 Membaca informasi hasil 45
BAB 4 HASIL PERBANDINGAN APLIKASI DAN DISKUSI 46
4.1 Studi kasus soal-soal perpindahan kalor 46
4.1.1 Studi Kasus 1 46
4.1.1.1 Penyelesaian dengan Manual 46
4.1.1.2 Penyelesaian dengan Tochnog 55
4.1.1.3 Penyelesaian dengan ANSYS 59
4.1.1.4 Perbandingan Hasil 62
4.1.2 Studi Kasus 2 63
4.1.2.1 Penyelesaian dengan Tochnog 63
4.1.2.3 Perbandingan Hasil 71
4.1.3 Studi Kasus 3 72
4.1.3.1 Penyelesaian dengan Manual 72
4.1.3.2 Penyelesaian dengan Tochnog 76
4.1.3.3 Penyelesaian dengan ANSYS 80
4.1.3.4 Perbandingan hasil Tochnog dan Manual 83
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 84
5.1 Kesimpulan 84
5.2 Saran 84
DAFTAR PUSTAKA 86
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan dunia komputer telah begitu cepat mempengaruhi bidang-bidang penelitian dan industri, sehingga impian para ahli dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dan industri telah menjadi kenyataan. Sekarang ini metode dan analisa desain telah banyak menggunakan perhitungan metematis yang rumit dalam penggunaan sehari-hari.
Metode elemen hingga (Finite Element Methode) disingkat dengan FEM adalah salah satu metode numerik yang banyak digunakan untuk penyelesaian masalah– masalah bidang keteknikan yang menyangkut analisa tegangan, perpindahan panas dan lain sebagainya. Metode ini dikenal dengan node–node dan elemen–elemen yang merupakan hasil dari diskritisasi benda yang menjadi pusat perhatian benda kerja. Node–node merupakan titik simpul yang menghubungkan. Meski berupa pendekatan, metode elemen hingga dikenal cukup handal memecahkan benda–benda kerja dengan struktur-struktur yang kompleks baik dalam analisis mekanika benda padat (solid mechanics) maupun perpindahan panas (heat transfer).
Menganalisa node yang sedikit dapat dilakukan secara manual atau hand calculation, akan tetapi dengan node yang banyak pada benda yang akan dianalisa tidaklah mudah dilakukan secara manual, oleh karena itu untuk node yang banyak diperlukan bantuan komputer dalam menganalisa.
Analisa dengan menggunakan bantuan komputer dibutuhkan beberapa hal penting yaitu perangkat lunak (software) dan perangkat keras komputer. Komputer hanya berguna jika telah dilengkapi dengan perangkat lunak.
User Interface) di mana suatu benda didiskritisasi menjadi sekian puluh bahkan ribu elemen.
Namun demikian ada alternatif perangkat lunak yang di dapat dari lisensi yang tidak berbayar dengan menggunakan sistem operasi Linux. Perangkat lunak alternatif ini dapat diperoleh secara bebas dan tanpa bayar, hanya dengan men-download atau mengunduh di internet. Salah satu situs yang menyediakan perangkat lunak Metode Elemen Hingga adalah www.sourceforge.net. Salah satu perangkat lunak yang ada adalah Tochnog, perangkat lunak ini mempunyai kemampuan menganalisa permasalahan perpindahan panas yang setara dengan perangkat lunak analisa elemen hingga berbayar.
Tochnog memiliki keuntungan di mana semua orang dapat mengembangkan dan memodifikasi secara bebas. Memasukkan perintah pada Tochnog sangat mudah dan tidak ada kode-kode rumit yang di masukkan.
1.2 Rumusan Masalah
Analisa persoalan perpindahan kalor yang dilakukan dengan menggunakan perangkat lunak Tochnog meliputi keadaan suhu dan distribusi panas tiap node.
1.3 Metoda
Dalam penulisan tugas sarjana ini perangkat lunak yang digunakan semua berlisensi terbuka seperti Open Office dan Gedit sebagai aplikasi edit teks, untuk kajian perpindahan kalor dengan menggunakan perangkat lunak metode elemen hingga Tochnog dan aplikasi perangkat lunak GiD (Geometry and Data) untuk menampilkan gambar hasil.
1.4Batasan Masalah
1.5Tujuan
1. Mengsikronisasi, menginstal, menjalankan, dan memodifikasi perangkat lunak Tochnog agar dapat berjalan baik pada sistem operasi Linux distro Ubuntu untuk menyelesaikan persoalan perpindahan kalor 2 dimensi. 2. Membandingkan hasil perhitungan perangkat lunak Tochnog dengan
perhitungan manual dan perhitungan perangkat lunak ANSYS untuk persoalan perpindahan kalor 2 dimensi.
3. Menampilkan gambar hasil perhitungan perangkat lunak Tochnog untuk persoalan perpindahan kalor 2 dimensi dengan menggunakan perangkat perangkat lunak GiD.
4. Menyediakan perangkat lunak yang dapat berfungsi sebagai alat bantu Mata Kuliah Metode Elemen Hingga.
1.6Manfaat
1. Mengetahui cara penggunaan perangkat lunak Tochnog dalam bidang keteknikan
2. Memudahkan analisa dalam bidang perpindahan kalor
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Open Source
Open source adalah semua listing program dari kode sumber sistem operasi (operating system) tersebut dapat dilihat, dimodifikasi, dan didistribusikan tanpa ada larangan dari siapa pun dengan syarat kode sumber asli tetap disertakan dalam distribusi tersebut [1]
2.1.1 Sistem Operasi Linux
Sistem Operasi Linux merupakan salah satu sistem operasi yang open source. Linux diperkenalkan secara umum oleh Linus Trovalds di tahun 5 oktober 1991, sifat Linux yang open source membuat berkembang dengan pesat. Hal ini dapat dibuktikan dengan bermunculannya distro Linux dan berbagai macam aplikasi [1].
Distro linux adalah distribusi Linux yang dilengkapi program-program lain seperti compiler, editor, desktop manager, dan dilengkapi paket aplikasi mulai dari aplikasi perkantoran, desain grafis, akuntansi dan pembukuan, hiburan, dan internet. Beberapa distro Linux populer diantaranya Red Hat, SuSE Linux, Linux Mandrake, Debian Linux, Ubuntu, Kubuntu, dan sebagainya [1].
2.1.2 Perangkat Lunak Metode Elemen Hingga pada Linux
ABAQUS adalah Tochnog. Sedangkan untuk menampilkan hasil dari kalkulasi sebagai tahapan seteleah proses (post-proccess phase) adalah GiD.
2.1.2.1 Tochnog
Tochnog merupakan perangkat lunak metode elemen hingga eksplisit/implist yang memiliki kemampuan untuk menganalisa linear/nonlinear, elastis, hyperelastis, hypoelastis, plastic, visco, kontak, thermal, serta mekanika fluida. Tochnog diciptakan oleh Dennis Roddeman di tahun 2001 dan sampai saat ini Tochnog terus dikembangkan untuk berbagai kalangan profesional di bidang keteknikan[8].
Tochnog tersedia secara gratis yang dapat diunduh melalui situs www. sourceforge.net. Tochnog diaplikasikan di sistem operasi linux yang saat ini berkembang secara pesat dan merupakan sistem operasi yang menyaingi Microsoft Windows milik Bill Gates.
Penggunaan Tochnog hanya berdasarkan baris perintah (command line) dan dapat berjalan baik dan stabil di berbagai macam sistem operasi distro Linux. Perangkat lunak Tochnog tidak memiliki tampilan GUI di mana suatu benda didiskritisasi menjadi sekian puluh bahkan ribu elemen, oleh karena itu perangkat lunak Tochnog tidak dapat berjalan sendiri dan harus dibantu dengan aplikasi lain seperti aplikasi edit teks sebagai tahapan praproses dan aplikasi terminal untuk tahapan solusi.
Tahapan setelah proses lebih sulit karena hasil analisis keluaran Tochnog hanya berupa angka dan tidak menampilkan gambar plotting dari perubahan bentuk struktur. Untuk menampilkan gambar hasil analisis, Tochnog memerlukan perangkat lunak tambahan seperti GiD. Kemampuan yang dimiliki perangkat lunak Tochnog, yaitu :
1. Masukan (input)
angka–angka khusus dalam format penulisannya. Kondisi–kondisi batas dapat diletakkan pada garis-garis geometri, seperti juga pada elemen dan node-node. 2. Keluaran (Output)
Keluaran dapat dicetak dengan penjelasan objek geometri yang ditetapkan. Keluaran Tochnog dapat ditampilkan dengan perangkat lunak GID.
2.1.2.2 GiD
GiD atau Geometry and Data merupakan aplikasi tahapan setelah proses untuk analisa perhitungan metode elemen hingga pada sistem operasi linux yang berfungsi menampilkan gambar hasil kalkulasi sehingga terlihat bagaimana distribusi tegangan atau suhu yang terjadi untuk elemen yang dianalisa, serta diketahui titik maksimum maupun titik minimum dari elemen yang dianalisa.
GiD dirancang dengan sangat universal, mudah diadaptasikan untuk berbagai jenis perangkat lunak analisa metode elemen hingga serta tampilan grafis pada gambarnya memudahkan pengguna pada permodelan [7].
2.2 Perpindahan Kalor
Ilmu perpindahan kalor atau ilmu panas (heat transfer) adalah ilmu untuk meramalkan perpindahan energi atau perbedaan suhu di antara benda atau material. Dari termodinamika telah diketahui bahwa energi yang pindah itu dinamakan kalor atau panas (heat). Ilmu perpindahan kalor tidak hanya mencoba menjelaskan bagaimana energi kalor itu berpindah dari suatu tempat ke tempat lain atau benda ke benda lainnya, tetapi juga meramalkan laju perpindahan yang terjadi pada kondisi-kondisi tertentu [3]. Jenis–jenis perpindahan kalor antara lain perpindahan kalor konduksi, perpindahan kalor konveksi dan perpindahan kalor radiasi.
2.2.1 Perpindahan kalor konduksi
temperatur tinggi ke bagian temperatur rendah. Hukum Fourier [3] tentang konduksi kalor : q kA T
x ∂
= − ∂ (2.1)
di mana q = laju perpindahan panas (W)
= gradient suhu ke arah pepindahan kalor
k = konduktivitas atau kehantaran termal (termal conductivity) benda tersebut (W/mK)
A = Luas penampang benda (m2)
Tanda minus (-) menunjukkan arah perpindah kalor terjadi dari bagian temperatur tinggi ke bagian dengan temperatur rendah.
2.2.2 Perpindahan Kalor Konveksi
Perpindahan kalor konveksi adalah perpindahan kalor yang dialami oleh benda atau plat yang dialiri fluida sebagai pendingin atau pemanas. Sebagai contoh perpindahan kalor secara konveksi adalah plat panas yang dialiri fluida sebagai pendingin.
Gambar 2.1 Perpindahan kalor konveksi dari suatu plat
konduksi. Guna menyatakan pengaruh menyeluruh konduksi, digunakan hukum newton tentang pendinginan [3]:
q = hA (Tw-T∞) (2.2)
di mana :
q = laju perpindahan panas (W) h = koefisien konveksi (W/m2K) A = luas penampang (m2)
Tw = Temperatur Dinding (K) T∞ = Temperatur Fluida (K)
Koefisien perpindahan kalor konveksi (h) besarnya bergantung pada sifat –sifat termal fluida (konduktivitas termal, kalor spesifik, densitas, viskositas fluida dan lain sebagainya). Dengan menghitung harga h, maka dapat ditentukan besarnya laju perpindahan kalor konveksi. Lebih jauh tentang konveksi untuk persoalan di atas, pada dinding kecepatan fluida nol, dan perpindahan kalor ke fluida berlangsung secara konduksi, sehingga fluks kalor menjadi [5]:
dinding
q dT
k
A= − dy ( 2.3)
Dengan menggabungkan persamaan (2.2) dan (2.3) di atas dan hukum Newton tentang pendinginan didapatkan :
( )
dinding
dT k
dy h
Tw T − =
Sehingga hanya perlu mendapatkan gradien distribusi temperatur pada dinding untuk menilai koefisien perpindahan kalor konveksi. Artinya harus didapat persamaan tentang distribusi temperatur. Hasil perhitungan menghasilkan bahwa harga h dapat dinyatakan sebagai bilangan Nusselt, di mana bilangan tersebut diekspresikan dengan
Nu = f(Re,Pr) (2.5) di mana :
Nu = Bilangan Nusselt, Nu hL k
= (2.6)
Re = Bilangan Reynolds, Re U x
µ∞
= (2.7)
Pr = Bilangan Prandtl, Pr Cp k
µ
= (2.8)
2.2.3 Perpindahan Kalor Radiasi
Setiap benda akan mengemisikan energi dalam bentuk radiasi, yang disebut sebagai daya emisi yang besarnya sebanding dengan pangkat empat dari temperatur absolutnya. Untuk benda hitam ideal (black body), atau disebut ideal radiator besarnya daya emisi dinyatakan dengan persamaan Stefan-Boltszman sebagai [3]:
E = σ T4 (2.9)
Di mana σ adalah konstanta proprosional yang disebut sebagai konstanta Boltzman dan berharga 5,669 x 10-8 W/m2K4.
Daya emisi suatu benda nyata dinyatakan dalam hubungan :
E = ε Eb = εσ T4 (2.10) Radiasi termal yang diemisikan oleh dua benda dengan luas permukaan A1 dan A2 pada temperatur T1 dan T2 adalah
Pertukaran kalor antara kedua benda juga dipengaruhi oleh geometri dari kedua benda tersebut. Sehingga pertukaran kalor dinyatakan sebagai :
q = F12 A1 (T14 – T24) = F21 A2 (T24 – T14) (2.12)
di manaF12 A1 dan F21 A2 disebut sebagai faktor bentuk yang bergantung pada ε1, ε2, geometri dan orientasi kedua benda.
2.2.4 Konduktivitas Termal
Persamaan dasar tentang konduktivitas termal terdapat pada persamaan (2.1). Mekanisme konduksi termal pada gas cukup sederhana. Energi kinetik molekul ditunjukkan oleh suhu, bagian bersuhu tinggi molekul-molekul mempunyai kecepatan yang lebih tinggi dari pada yang berada pada bagian suhu rendah [3].
Molekul-molekul berada dalam gerakan rambang, saling bertumbukan satu sama lain, di mana terjadi energi dan momentum. Jika suatu molekul bergerak dari daerah bersuhu tinggi ke daerah bersuhu rendah, maka molekul mengangkut energi kinetik ke bagian yang suhunya lebih rendah, dan menyerahkan energinya pada waktu bertumbukan dengan molekul yang lebih rendah.
Gambar 2.2 Konduktivitas termal beberapa zat cair khas
Energi termal dihantarkan dalam zat padat melalui 2 cara yaitu dengan : 1. Melalui getaran kisi (lattice vibritation)
2. Angkutan melalui elektron bebas
Energi dapat pula bergerak/berpindah sebagai energi getaran dalam struktur kisi bahan. Namun, perpindahan energi melalui getaran ini tidaklah sebanyak dengan cara angkutan elektron. Karena itu, penghantar listrik yang baik selalu merupakan penghantar kalor yang baik pula.
2.3 Metode Elemen Hingga
Metode Elemen Hingga merupakan metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Tipe masalah teknis dan matematis fisis yang dapat diselesaikan dengan metode elemen hingga terbagi dalam 2 kelompok, yaitu kelompok analisa struktur dan kelompok masalah-masalah non struktur [6].
Tipe-tipe permasalahan struktur meliputi
1. Analisa tegangan (stress), meliputi analisa rangka (truss) dan rangka batang (frame) serta masalah-masalah yang berhubungan dengan tegangan-tegangan yang terkonsentrasi
2. Tekukan (Bukling) 3. Analisa getaran
Problem non struktur yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ini meliputi
1. Perpindahan Kalor 2. Mekanika fluida
3. Distribusi dari potensial listrik dan potensial magnet
Dalam persoalan-persoalan yang menyangkut geometri yang rumit, seperti persoalan pembebanan terhadap struktur yang kompleks, sulit dipecahkan melalui matematika analisis. Hal ini disebabkan matematika analisis memerlukan besaran atau harga yang harus diketahui pada setiap titik pada struktur yang dikaji.
Metode elemen hingga dilakukan dengan pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Di mulai dengan permodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam bagian yang kecil yang secara keseluruhan masih mempunyai sifat yang sama dengan benda yang utuh sebelum terbagi dalam bagian yang kecil.
2.3.1 Tahapan Metode Elemen Hingga
Secara umum langkah - langkah yang dilakukan dalam menggunakan Metode Elemen Hingga dirumuskan sebagai berikut [6] :
a). Tahapan Sebelum Proses
1. Pemilihan tipe elemen dan diskritisasi
Tipe elemen dan diskritsasi yang digunakan : a.
b.
Gambar 2.3 Diskritsasi dan bentuk Elemen dasar (a) : Elemen garis (1 dimensi)
(b) : Elemen segitiga dan Segiempat (2 dimensi) (c) : Elemen tetrahedra dan balok (3 dimensi) 2. Pemilihan fungsi Pemindah/Fungsi Interpolasi
Jenis – jenis fungsi yang sering digunakan adalah fungsi linear, fungsi kuadratik, kubik atau polinomial derajat tinggi.
3. Dapatkan matriks kekakuan dari elemen yang dibuat
Untuk benda yang terdiri dari beberapa buah elemen, lakukan penggabungan (assemblage) dari matrik kekakuan elemen menjadi matrik kekakuan global yang berlaku untuk seluruh benda atau struktur.
Untuk perpindahan panas konduksi - konveksi matrik kekakuannya disimpulkan pada persamaan berikut [6]:
3
[ ]K [ ] [ ][ ]BT D B dV h N[ ] . [ ]T N dS s
v
= ∫ ∫ ∫ + ∫ ∫ (2.13)
di mana :
[K] = Matrik kekakuan
[B] = Matrik gradien temperatur [D] = Matrik properti material [N] = Shape function
4. Lakukan penggabungan dari persamaan elemen untuk memperoleh persamaan global
[K]gabungan = ( )
1
[ ]
N e e
K
=
∑
(2.14)Dengan satuan KW/0C Matriks gaya global
[F]gabungan = ( )
1
[ ]
N e e
f
=
∑
(2.15)Persamaan Global {f}=[K]{t} (2.16)
5. Interprestasikan kembali hasil-hasil perhitungan yang diperoleh b) Tahapan pemecahan masalah (solution phase).
6. Mencari jawaban susunan persamaan dan mencari temperatur node. c) Tahapan sesudah proses (postprocessing phase).
7. Mencari informasi lain, contohnya laju aliran panas.
2.3.2. Metode Elemen Hingga pada Persoalan Perpindahan Kalor
Salah satu permasalahan non struktur yang dapat diselesaikan dengan metode
elemen hingga adalah permasalahan perpindahan kalor. Studi tentang perpindahan kalor diawali dengan menentukan distribusi kalor dalam suatu benda, selanjutnya dapat juga untuk mencari jumlah panas yang masuk atau keluar benda tersebut, dan besarnya stress akibat panas yang ada [6].
persamaan yang berlaku untuk satu elemen. Prosedur yang dilakukan sama dengan prosedur yang dilakukan dalam menganalisa permasalahan struktur.
2.3.2.1 Konduksi Kalor Satu Dimensi
Pada gambar (2.4) dari sebuah volume kontrol yang diberi insulasi pembatas agar panas hanya merambat dalam arah sumbu x saja.
Gambar 2.4 Perpindahan panas konduksi 1 dimensi
Hukum konduksi kalor Fourier [6] :
x xx dT q K
dx
= − (2.17)
Di mana Kxx = konduktivitas kalor dalam arah x (kW/m0C) T = Temperatur (0C)
dT/dx = gradient temperatur (0C/m)
x xx
x dx
dT q K
dx +
= − (2.18)
yang menyatakan bahwa gradien temperatur dihitung pada sisi (x+dx). Deret Taylor dari suatu f(x) di sekitar titik (x+dx) adalah
2 2 3 3
2 3
( ) ( )
...
1! 2! 3!
x dx x
dx f dx f dx f f f
x x x
+ =+ +∂∂ ∂∂+ ∂∂+ (2.19)
Dengan menggunakan persamaan ini, maka persamaan (2.18) dapat ditulis sebagai
qx dx [Kxx dT dx (Kxx dT)] dx x dx
+ = ∂
− +
∂ (2.20)
Perubahan energi tersimpan dapat dinyatakan sebagai
U∆ =C ρ A dx dT (2.21)
Di mana : C = Panas spesifik dalam satuan kW.hr/kg0C ρ = rapat massa (kg/m3)
A = luas
permukaan (m2)
Substitusi persamaan (2.17), (2.18) dan (2.21) ke persamaan (2.20) dan dibagi dengan A dx dt dihasilkan :
[Kxx T] Q C T
x x ρ t
∂ ∂ + = ∂
∂ ∂ ∂ (2.22)
Pada keadaan tunak (steady), diferensial terhadap waktu sama dengan nol, sehingga persamaan (2.22) menjadi :
[Kxx T] Q 0
x x
∂ ∂ + =
Untuk material dengan konduktivitas panas konstan dan dalam keadaan tunak, persamaan (2.23) menjadi :
2
2 0
xx
d T
K Q
dx + = (2.24)
Syarat batas T = TB pada sisi S1 dimana TB adalah temperatur batas yang telah diketahui. S1 adalah permukaan bidang penjalaran panas, di mana temperatur telah diketahui.
* xx dT q K
dx
= − konstan pada bidang s2 (2.25)
S2 merupakan bidang permukaan yang telah diketahui nilai fluks kalor (q*) atau temperaturnya. Pada batas insulasi panas q* = 0
2.3.2.2 Kalor Konduksi 2 Dimensi tanpa Konveksi
Pada gambar 2.5 berikut, perpindahan kalor 2 dimensi pada keadaan tunak, sifat – sifat perpindahan kalor berlaku untuk masing – masing arah sumbu global x dan y.
Persamaannya :
[Kxx T] [Kyy T]Q 0
x x y y
∂ ∂ + ∂ ∂ =
∂ ∂ ∂ ∂ (2.26)
Dengan syarat batas T=TB pada bidan S1 dan persamaan :
xx yy
T T
K Cx K Cy
x y
∂ + ∂
∂ ∂ konstan pada S2
Gambar 2.6 Vektor satuan Tegak Lurus pada bidang S2
Di mana Cx dan Cy adalah cosinus arah dari vektor satuan n, tegak lurus pada permukaan S2 [6].
2.3.2.3 Perpindahan Kalor Konduksi dengan Konveksi
Gambar 2.6 Perpindahan Kalor Konduksi disertai Konveksi Berdasarkan persamaan kekekalan energi :
q Adtx +QAdxdt=C(ρAdx dT) +qx dx+ AdT+q Pdxdth (2.27)
Fluks kalor pada perpindahan panas secara konveksi adalah
qh =hA T( −T∞) (2.28)
Di mana :
q = laju perpindahan kalor (W) h = koefisien konveksi (kW/m2oC) A = luas penampang (m2)
T = Temperatur Dinding (oC) T∞= Temperatur Fluida (oC)
Substitusikan hasil persamaan (2.17) sampai persamaan (2.21) ke persamaan (2.27) dan dibagi dengan A dx dan setelah disederhanakan, diperoleh persamaan konduksi panas disertai konveksi sebagai berikut :
(Kxx T) Q C T hP(T T )
x x ρ t A ∞
∂ ∂ + = ∂ + −
∂ ∂ ∂
(2.29)
xx
dT q K
dx
= − = konstan pada permukaan S2 dan kehilangan panas secara konveksi
Gambar 2.8 Model Perpindahan Kalor Konveksi dari bidang S3
2.3.3 Formulasi Elemen Hingga pada Perpindahan Kalor
2.3.3.1 Perpindahan Kalor 1 dimensi
Langkah – langkah dalam penyelesaian permasalahan perpindahan kalor 1 dimensi dengan metode elemen hingga pada dasarnya sama dengan yang dilakukan dalam analisa stress [6]. Langkah – langkah tersebut adalah sebagai berikut :
1. Pemilihan tipe elemen dan diskritisasi.
Gambar 2.9 Elemen 1 dimensi
2. Pemilihan fungsi temperatur.
Fungsi temperatur berbentuk linier karena dalam satu elemen hanya ada dua buah node.
Dimana t1 dan t2 adalah temperatur node dan N1 dan N2 merupakan shape function
N1= 1 - X
L dan N2= X
L (2.31)
Matrik shape function [N] =
1
X
X
L
L
−
(2.32)3. Dapatkan hubungan Temperatur – Gradien Temperatur dan hubungan Gradien Temperatur – Fluks panas
{g} =
T
x
∂
∂
= [B]{t} (2.33)di mana matrik [B] = dN dN1 2
dx dx
(2.34)
Dari persamaan (2.32) di dapat
[B] = 1 1
L L
−
(2.35)
Hubungan antara Temperatur – Flkus panas diberikan dalam persamaan
[ ]{ }
x
q
= −
D q
(2.36)di mana [D] = [Kxx] = matrik properti material (2.37)
4. Menurunkan persamaan konduksi dari elemen
0 2 0 [ ] [ ] [ ][ ] 1 1 1 [ ] 1 1 1 1 1 T L xx L xx
K B D B dV
v L K Adx L L L AK dx L = ∫ ∫ ∫ − =− − = −
∫
∫
1 1 [ ] 1 1 xx AK K L − = − (2.38)
Matrik konveksi
3 0
1
[ ] [ ] [ ] 1
L T h S x x x L
K h N N dS hP d x
L L x L − = =−
∫∫
∫
2 1 [ ] 1 2 6 h hPLK =
(2.39)
Dari penjumlahan persamaan (2.38) dan (2.39) diperoleh :
1 1 2 1
[ ]
1 1 6 1 2
xx AK hPL K L − =+ −
(2.40)
Matrik gaya 0 1 1 [ ] 1 2 L T v x QAL L
N QdV QA d x
x L − ==
∫∫∫
∫
(2.41)* * * 2 0 1 1 [ ] 1 2 L T S x q PL L
q N dS q P d x x L − ==
3 1 [ ] 1 2 T S hT PL hT N∞ dS = ∞
∫∫
(2.43)Penjumlahan dari persamaan (2.41) sampai persamaan (2.43) diperoleh persamaan matrik gaya sebagai berikut :
{ }
* 11 2
QAL q PL hT PL f = + + ∞
(2.44)
Dari persamaan (2.44) dapat disimpulkan bahwa separuh dari sumber panas Q dikirimkan ke kedua node, separuh dari fluks panas (q*) dikirimkan ke setiap node dan separuh panas konveksi dari perimeter (P) permukaan h. T~ dikirimkan ke setiap node.
Gambar 2.10 Gaya konveksi pada ujung elemen
Akhirnya, dianggap bahwa konveksi terjadi hanya pada ujung kanan elemen seperti ditunjukkan pada gambar 2.10 term konveksi ini memberikan kontribusi pada matrik kekakuan sebagai berikut.
3
[ h] [ ]T
S
K =
∫∫
hT N∞ dS (2.45)N1 = 0 dan N2 = 1 pada ujung kanan elemen
0 0 0
[ ] [0 1]
1 0 1
end
h end S
K == h dS hA
∫∫
(2.46)Gaya konveksi dari ujung bebas elemen. diperoleh dari persamaan (2.43) dimana shape function dievaluasi pada ujung kanan (tempat konveksi terjadi) dan di S3 (tempat konveksi terjadi), yang sama dengan luas penampang melintang bar yaitu A.
1
2
( ) 0
{ }
1
( )
h end
N x L
f hT A hT A
N x L
∞ ∞ = == =
yang menyatakan gaya konveksi dari ujung kanan elemen dan N1 ( x = L) menandakan bahwa besarnya N1 yang dihitung pada x = L.
5. Penggabungan persamaan elemen untuk memperoleh persamaan global dengan memasukkan syarat batas
Matrik kekakuan [K], matrik gaya total {F}.
( ) 1
[ ]
[ ]
N e e
K
K
=
=
∑
( ) 1
{ }
{ }
N
e e
F
F
=
=
∑
{F} = [K] {t}
6. Mendapatkan nilai temperatur nodal
2.3.3.2 Perpindahan kalor 2 dimensi
Langkah – langkah dalam menghitung perpindahan kalor 2 dimensi adalah sebagai berikut [6] :
[image:31.612.105.505.93.616.2]1. Pemilihan tipe elemen dan diskritisasi.
Gambar. 2. 11 Elemen segitiga dengan 3 node
Dari gambar 2.11 koordinat lokal dari tiap node dinyatakan dalam U = untuk arah horizontal
V = untuk arah vertikal
Koordinat lokal dalam kaitannya dengan koordinat global dihubungkan lewat persamaan :
1 2 3
( , )
u x y = +a a x+a y
(2.48)
1 2 3
( , )
v x y = +b a x a y+ (2.49)
dengan syarat batas x = x1 u = u1 x = x2 u = u2 x = x3 u = u3
pada persamaan (2.48) diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :
1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 3 3 3
u a a x a y u a a x a y u a a x a y
= + +
= + +
= + +
Ketiga persamaan ini, dalam bentuk matrik ditulis sebagai :
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1
u x y a
u x y a
u x y a
=
(2.50)
atau {T}=[N]{t}
{t} = [N]-1 {T} (2.51) Dimana [N]-1 adalah invers dari matrik [N]
1 1 1
2 2 3 3
1
int [ ]
[ ] 1
min [ ]
1
x y
ajo dari N
N x y
Deter an dari N x y
−
==
1 2 3
1
1 2 3
1 2 3
1 [ ]
a a a
N b b b
c c c
−
= ∆
matrik ajoint (2.52)
Dimana ∆ = determinan dari matrik [N]
= (x2y3 – x3y2) – (x1y3 – x3y1) + (x1y2 – x2y1) = 2 kali luas elemen segitiga
Ajoint dari suatu matrik diperoleh dengan menghitung matrik kofaktor kemudian transpose pada hasil dari matrik kofaktor tersebut.
1 1 2 2 3 3
1 [ ] 1 1
x y
N x y
x y =
matrik kofaktornya adalah
2 3 3 2 3 2 3 2
1 3 3 1 3 1 3 1
1 2 2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y x y y y x x x y x y y y x x x y x y y y x x
+ − − − + − = − − + − − − + − − − + −
[N]
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
3 2 1 3 2 1
x y x y x y x y x y x y
y y y y y y
x x x x x x
− − − = − − − − − −
Matrik di atas diringkas menjadi:
[N]
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a b b b c c c
=
Kembali ke persamaan (2.48)
1 2 3
( , )
u x y = +a a x+a y atau
1 2 3
[1 ]
a u x y a a =
atau u=[1 x y t]
{ }
Substitusikan {t} dari persamaan (2.51) ke persamaan ini dihasilkan :
1
[1 ][ ] { }
u= x y N − t (2.53)
Tinjau kembali persamaan (2.53) dengan syarat substitusi [A]-1 dari persamaan (2.48)
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1
[1 ]
a a a u u x y b b b u c c c u
= ∆ 1
1 1 1 2 2 2 3 3 3 2
3
1
[ ]
[
1 2 3]
12 3u u N N N u u
=
(2.54.a)
Untuk v diambil analogi dengan hasil yang diperoleh dari u.
[
]
1
1 2 3 2
3
v v N N N v v
=
(2.54.b)
[image:35.612.153.456.283.506.2]Contoh bentuk diskritisasi pada perpindahan panas 2 dimensi :
Gambar 2.12 Diskritisasi elemen segitiga dengan 3 node
maka fungsi temperaturnya ada{ } [ ]
i
i j m j
m
t
T N N N t
t
=
(2.55)
di mana ti, tj, tm adalah temperatur nodal. [N] merupakan shape function yang ditulis dari persamaan :
1
[
N
i]
=
(
a
i+
b x
i+
c y
i)
∆
(2.56)3. Mendapatkan hubungan antara Temperatur – Gradien temperatur dan Fluks panas – Gradien Temperatur
Matrik gradien {g} analaog dengan matrik strain pada analisa stress, dengan persamaan :
{g} = [B] {t} (2.57)
di mana matrik [B] diperoleh dari substitusi harga ketiga persamaan (i, j, m) dalam persamaan (2.56) 3 1 2 3 1 2 1 [ ] 2 b b b B c c c A =
(2.58)
Hubungan fluks panas dan gradien temperatur
[ ]{ } x y q D g q = −
(2.59)
di mana [D] = 0 0 xx yy K K
= matrik sifat material (2.59a)
4. Menurunkan persamaan Matrik Konduksi
Matrik kekakuan elemen seperti pada persamaan (2.13) adalah
3
[ ]K [ ] [ ][ ]BT D B dV h N[ ] . [ ]T N dS s
v
= ∫ ∫ ∫ + ∫ ∫
1 1 3 1 2 2 2 2 3 1 2 3 3 0 1 [ ] [ ] [ ][ ] 0 4 xx T c yy v v b c
K b b b
K B D B dV b c dV
K c c c A b c ==
∫∫∫
∫∫∫
Jika elemen mempunyai ketebalan yang seragam, konduktivitas yang sama dan semua bentuk yang ada pada ruas kanan persamaan di atas konstan (tidak sebagai fungsi volume), maka persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi :
[ ] [ ] [ ]
4
T
K
K B B
A
= (2.60)
Persamaan ini merupakan bagian dari matrik kekakuan yang disebabkan karena pengaruh konduksi, yang memberikan kontribusi perpindahan kalor konduksi pada matrik kekakuan elemen bentuk diskritiasi segitiga. Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan (2.13) yaitu :
[K] =
3
[ ] . []T h N N dS s ∫ ∫
Dari persamaan di atas dapat ditulis secara eksplisit menjadi :
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3
3 1 3 2 3 3
[ ]h
s
N N N N N N
K h N N N N N N d S N N N N N N
=
∫∫
(2.61)Untuk memperoleh gambaran penggunaan persamaan di atas, dicontohkan pada gambar 2.14 sebuah elemen segitiga di mana pada sisi 2 terjadi konveksi. Sisi 1-2 mempunyai N3 = 0.
Maka matrik kekakuan elemen untuk perpindahan kalor konveksinya
1 2
2 1 0 .
[ ] 1 2 0
6
0 0 0
h
h L t
K − = (2.62)
Matrik gaya dihitung dengan menggunakan persamaan :
{ } [ ]T [ ]
v v
f ==
∫∫∫
Q N dV Q∫∫∫
N TdV (2.63)Untuk Q yang konstan (sumber panas konstan) persamaan di atas menjadi : 1
{ } 1
3 1 QV f =
dimana V = Volume Elemen = A . t (2.64)
Hasil ini menunjukan bahwa, panas yang ditimbulkan dalam benda, terbagi merata pada ketiga node-node elemen. Matrik gaya yang lainnya dalam persamaan :
2 2
{ }q *[ ]T *
S S
Ni f q N dS q Nj dS
Nm ==
∫∫
∫∫
(2.65)Perhatikan gambar 2.14. maka gaya untuk masing-masing sisi adalah sebagai berikut:
Sisi i – j
1 . * 1 2 0 i j L t q − = : (2.66)
Sisi j – m
0 . * 1 2 1 j m L t q − =
: (2.67)
Sisi m – j
1 .
* 0
2 1
m i
L t q −
=
: (2.68)
Di mana L adalah masing – masing panjang sisi dan q* dianggap konstan untuk
masing – masing sisi. Untuk permasalahan konveksi maka q* diganti dengan h.T∞.
5. Penggabungan persamaan elemen untuk memperoleh persamaan global dengan memasukkan syarat batas
Matrik kekakuan [K], matrik gaya total {F}.
( ) 1
[ ]
[ ]
N e e
K
K
=
=
∑
( ) 1
{ }
{ }
N
e e
F
F
=
=
∑
{F} = [K] {t}
BAB 3
METODOLOGI PENGEMBANGAN APLIKASI
Studi kasus perpindahan kalor diselesaikan dengan pengembangan dan penggunaan perangkat lunak metode elemen hingga yang ada di sistem operasi distro Linux Ubuntu. Perangkat lunak metode elemen hingga yang digunakan adalah Tochnog dan perangkat lunak GiD untuk menampilkan gambar distribusi kalor yang terjadi.
3.1 Menginstalasi Sistem Operasi Distro Linux
Menginstalasi sistem operasi distro Linux menyediakan kemudahan dan dukungan paket program yang lengkap. Di Sistem operasi distro Linux perangkat lunak metode elemen hingga yang berlisensi terbuka akan diinstal, dijalankan, dan dimodifikasi. Secara umum proses instalasi Linux dari berbagai distro sama dengan instalasi Windows dengan membuat booting ke cd (compact disk). Berikut proses instalasi Ubuntu sistem operasi distro Linux, yaitu :
[image:40.612.130.495.304.671.2]1. Membuat booting ke cd Linux dan menentukan pilihan
2. Memilih bahasa yang digunakan
Gambar 3.2 Tampilan pilihan bahasa
3. Memilih lokasi waktu
4. Memilih susunan papan ketik
Gambar 3.4 Tampilan pilihan susunan papan ketik
5. Mempersiapkan ruang disk
6. Mengisi data pengguna
Gambar 3.6 Tampilan partisi ruang disk
7. Mempartisi ruang disk
8. Siap untuk instalasi.
Gambar 3.8 Tampilan akhir instalasi
3.2 Menginstalasi Perangkat lunak Tochnog
Dalam menginstalasi perangkat lunak Tochnog di Ubuntu distro Linux dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu :
1. Menggunakan synaptic manager atau add and remove software dengan cara mengisikan nama Tochnog di kotak pencarian.
[image:44.612.168.470.469.680.2]2. Mengunduh file instalasinya langsung dari situs sourceforge.net kemudian mengeksekusi file tersebut.
Gambar 3.10 Tampilan instalasi Tochnog
Apabila perangkat lunak Tochnog telah terinstal dengan sukses maka struktur folder plikasi Tochnog akan tersimpan di dalam file sistem Linux distro Ubuntu, terletak di bagian
# root /usr/share/doc/tochnog
Di dalam folder tochnog terdapat beberepa subfolder dan file antara lain : Changelog.debian.gz, Copyright, Gid, Readme.debian, Test, dan tools
3.3 Menginstalasi Perangkat lunak GiD
Langkah – langkah instalasi GiD di Linux distro Ubuntu, sebagai berikut : 1. Klik file instalasi program GiD 9.02.deb
2. Pilihan bahasa penginstalan 3. Pilihan instalasi
4. Memilih lokasi penginstalan. 5. Memilih tipe penginstalan GiD
Gambar 3.11 Tampilan pilihan tipe penginstalan GiD
6. Ikuti petunjuk berikut dengan meng-klik next hingga proses instalasi selesai.
7. Akhir proses instalasi
[image:47.612.163.464.116.464.2]
Gambar 3.13 Akhir proses instalasi
3.4 Simulasi untuk Perpindahan Kalor
Ya
Tidak Mulai
Run Calculation (aplikasi Tochnog)
Error
inisialisasi dan data ?
Selesai Hasil
Distribusi temperatur tiap node (T) (Aplikasi GiD)
Membuat file masukan
(aplikasi Gedit)
Memasukkan perintah bagian inisialisasi :
echo
number_of_dimension condif_temperature end_data
Memasukkan perintah bagian data : node
element
bounda_unknow bounda_time geometry_line group_type
group_condif_conductivity condif_convection
[image:48.612.160.495.80.692.2]3.4.1 Membuat file masukan
Karena perangkat lunak Tochnog ini tidak memiliki tampilan antarmuka atau GUI maka dalam membuat file masukan diperlukan perangkat lunak edit teks seperti Gedit di Linux dan notepad di Microsoft Windows.
Gambar 3.15 Tampilan teks editor Penulisan file masukan sebagai berikut :
initialization . . .
initialization
end_initia
data item index data values . . .
data item index data values
end_data
3.4.1.1 Bagian Inisialisasi (Initialization Part)
initialization ... initialization end initia
Perintah inisialisasi yang digunakan untuk perpindahan kalor antara lain :
1. echo (-no/-yes)
Merupakan perintah awal bagian inisialisasi. switch diisi dengan perintah – no atau –yes. echo –no untuk perintah tidak menampilkan hasil dan jika akan menampilkan hasil maka perintah echo –no diubah menjadi echo –yes.
2. number_of_space_dimensions (1, 2, 3)
Merupakan perintah kedua seteleh echo bagian inisialisasi. Untuk soal 1 dimensi maka ditulis number_of_space_dimensions 1, untuk soal 2 dimensi maka ditulis number_of_space_dimensions 2 dan begitu seterusnya
3. derivatives
derivatif hanya dibutuhkan untuk beberapa model tertentu saja, jika derivatif digunakan maka derivatif waktu dan derivatif ruang direkam di node_dof.
4. condif_temperature
Merupakan perintah inisialisasi untuk permasalahan perpindahan kalor untuk menentukan temperatur yang tidak diketahui harga-harganya
5. materi_stress
Merupakan perintah inisialisasi untuk menetukan nilai stress yang terjadi akibat kalor
6. materi_velocity
Merupakan perintah inisialisasi untuk menentukan nilai velocity yang terjadi akibat kalor
7. materi_strain
8. residu
Merupakan skalar yang tidak diketahui dan akan direkam di node_dof. Skalar merupakan residu untuk persamaan diferensial. Jika residu diletakkan maka perintah derivatives harus diinisialisasikan
9. end_initia
Merupakan perintah penutup inisialisasi.
3.4.1.2 Bagian Data (Data Part)
Bagian data merupakan bagian perintah untuk menentukan geometri, kondisi batas, material properties, menentukan beban dan menentukan hasil plotnya. Perintah – perintah umum data part untuk perpindahan kalor antara lain :
a. Membentuk geometri
1. node index coord_0 coord_1 coord_2
index merupakan penomoran biasa. coord_0 = X ; coord_1 = Y ; coord_2 = Z
2. element index element_name node_0 node_1 node_2 ...
Perintah ini untuk pembentukan elemen. Setiap node terhubung pada elemen. untuk elemen 1D ditulis -bar (2 noded bar), -bar3, -bar4 untuk elemen 2D ditulis -tria3 (3 node triangle), -tria6 (6 node triangle), -quad4 (4 node quadrilateral), -quad9, -quad16 untuk elemen 3D ditulis -tet4 (4 node tetrahedral), -tet10 (10 node tetrahedra), -hex8 (8 node hexahedral), -hex27, hex64
…. Contoh
elemen 0 -quad4 1 2 3 4 node 1 0 0
node 2 1 0
node 3 0 1
3.16 Membentuk elemen
b. Menentukan daerah dan kondisi batas
1. geometry_line index x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 radius
Perintah ini menjelaskan garis dari ruang. Data- data lain dapat diisikan jika node-node tersebut terletak di garis geometri. Untuk 1 D hanya koordinat x yang dijelaskan.
2. geometry_set index geometry_entity_0 geometry_entity_index_0
geometry_entity_1
geometry_entity_index_1 …
Perintah ini digunakan untuk menggabungkan beberapa geometri.
3. bounda_unknown index node_range unknown_0 unknown_1 …
Perintah ini menjelaskan batas kondisi yang tidak diketahui
4. bounda_time index time load time load ...
Perintah ini merupakan penjelasan waktu dan selalu mengikuti perintah bounda_unknown
5. element_group index element_group
Perintah ini menjelaskan elemen mana yang akan dihitung bagian indeks. Sebagai contohnya : elemen 0 dan 1 mempunyai densitas 1024, elemen 2 mempunyai densitas 1236
…..
element 0 0 1 2 element 1 1 2 3 element 2 2 3 4 ….
element_group 1 1 element_group 2 2 ….
density 1 1024 density 2 1236
c. Menentukan Material Properties
1. group_condif_absorption index
Merupakan perintah untuk memasukkan koefisien absorbsi dari material. Nomor indeks dapat dilihat di element_group.
2. group_condif_capacity index
Merupakan perintah untuk menjelaskan kapasitas kalor
3. group_condif_conductivity index
Merupakan perintah untuk memasukkan nilai konduktivitas kalor
4. group_condif_density index density
Merupakan perintah untuk memasukkan nilai densitas untuk persamaan konveksi difusi
d. Menenetukan suhu atau beban
1. condif_convection index
Perintah ini digunakan untuk memasukkan nilai temperatur (T) dan koefisien
konveksi ( ) yang diketahui
2. condif_convection_geometry index node_0 node_1 node_2 …
Perintah ini mengikuti perintah condif_convection. Hanya digunakan untuk elemen linear.
3. condif_radiation index
Perintah ini digunakan untuk memasukkan nilai temperatur lingkungan (T) dan
4. condif_radiation_geometry index node_0 node_1 node_2 …
Perintah ini mengikuti perintah condif_radiation. Hanya digunakan untuk
elemen linear.
e. Menentukan Plot hasil
1. control_timestep index step_size time_increment step_size time_increment
...
Perintah ini menjelaskan varaibel penambahan waktu.
2. control_print index data_item_name_0 data_item_name_1 ...
Merupakan perintah yang umum digunakan untuk menunjukkan hasil. Contoh : control_print 1 -node -node_dof
Maka hasil yang akan ditampilkan nilai atau harga node – node yang telah ditentukan.
Sama halnya dengan perintah bagian inisialisasi yang ditutup dengan end_initia, untuk bagian data agar perintah dapat dilaksanakan dan dilakukan perhitungan maka bagian akhir harus ditulis end_data. end_data merupakan perintah penutup.
3.4.2 Menyimpan (save) file masukan
Gambar 3.17 Menyimpan file masukan
3.4.3 Memodifikasi file masukan Tochnog
Saat awal membuat bagian inisialisasi dan menentukan plot pada file masukan status masih belum dapat dikalkulasikan, ini dikarenakan kondisi echo dalam keadaan -no dan pernyataan control_print masih diberi tanda kurung. Maka sebelum menjalankan Tochnog terlebih dahulu memodifikasi file_masukan.dat yang telah dibuat. Langkah-langkah memodifikasi file_masukan.dat adalah sebagai berikut :
1. Menjalankan aplikasi teks editor dan membuka file_masukan .dat. 2. Mengubah kondisi echo dari keadaan -no menjadi -yes.
3. Menghapus tanda kurung yang melingkupi pernyataan control_print. 4. Menyimpan file dengan ekstensi nama_file.dat.
3.4.4 Menjalankan Penghitungan
Agar perintah-perintah yang telah dimasukkan ke dalam file masukan dapat dieksekusi oleh perangkat lunak Tochnog maka dibutuhkan aplikasi lain seperti terminal di Linux dan juga DOS di Microsoft Windows. Langkah-langkah untuk menjalankan perangkat lunak Tochnog adalah sebagai berikut :
1. Membuka terminal dari start menu system konsole terminal.
Gambar 3.18 Tampilan root pada terminal linux
3. Menjalankan Tochnog. ketik cd /usr/share/doc/tochnog maka telah masuk ke dalam program tochnog dan tampilannya sebagai berikut :
Gambar 3.19 Tampilan program
4. Menjalankan Tochnog dengan perintah 'tochnog file_masukan.dat', maka file akan langsung diproses untuk dikalkulasikan, kemudian terminal akan menampilkan data-data yang dimasukkan di dalam file masukan dan juga menampilkan data-data hasil kalkulasi.
3.4.5 Membaca informasi hasil
Setelah file masukan dikalkulasi tochnog akan membuat file informasi hasil perhitungan dengan ekstensi “.dbs”. Sebagai contoh untuk membaca hasil perhitungan dengan nama file masukan soal1.dat yaitu :
1. Masuk ke folder penyimpanan file masukan .
2. Membuka file hasil dengan nama soal1.dbs dengan bantuan aplikasi edit teks Gedit.
BAB 4
HASIL PERBANDINGAN APLIKASI DAN DISKUSI
4.1 Studi kasus soal – soal perpindahan kalor
Berikut beberapa soal – soal yang diselesaikan dengan menggunakan Tochnog untuk mengetahui kemampuan aplikasi Tochnog, penulis akan membandingkan dengan cara manual dan juga dengan aplikasi metode elemen hingga yang sudah populer yaitu ANSYS.
4.1.1 Studi Kasus 1
[image:57.612.116.508.316.599.2]Sebuah benda seperti terlihat pada gambar 4.1 dengan dimensi 2 ft x 2 ft. Memilki temperatur pada bagian kiri elemen dijaga konstan pada suhu 100 oF. Tebal elemen 1 ft. Bagian yang dihitamkan diisolasi. Koefisien konveksi pada sisi kanan benda h = 20 BTU/(hr.ft2.oF). Temperatur sekitar 50oF. koefisien konduksi panas K = 25 BTU/(hr.ft.oF). Tentukan distribusi temperatur dalam plate tersebut dengan menggunakan perhitungan manual, perangkat lunak Tochnog dan perangkat lunak ANSYS
Gambar 4.1 Plat datar
4.1.1.1Penyelesaian dengan Manual
Diketahui data – data pada studi kasus 1 K = 25 BTU/(hr.ft.oF)
h = 20 BTU/(hr.ft2.oF) t = 1 ft
l = 2 ft Tw = 100 oF Tf = 50 oF
1. Diskritisasi benda dalam bidang 2 dimensi berupa segitiga
koordinat : node 1 (0,0) node 2 (2,0), node 3 (2,2), node 4 (0,4) dan node 5 (1,1) elemen 1 berbatasan pada node 1, 2 dan 5
elemen 2 berbatasan pada node 1, 4 dan 5 elemen 3 berbatasan pada node 4, 5 dan 3 elemen 4 berbatasan pada node 2, 3 dan 5
Gambar 4.2 Diskritisasi
2. Elemen 1 (berbatas node 1, 2, dan 5).koordinat node 1 (0,0), node 2 (2,0), node 5 (1,1)
b1 = y2-y5 = 0-1 = -1 c1 = x5-x2 = 1-2 = -1 b2 = y5-y1 = 1-0 = 1 c2 = x1-x5 = 0-1 = -1 b3 = y1-y2 = 0-0 = 0 c3 = x2-x1 = 2-0 = 2
Persamaan matrik global untuk menghitung matrik [K]c : [ ] [ ] [ ] 4 T c K
K B B
A
= (4.1)
[ ]1 [ ] [ ] 4
T c
K
K B B
A
=
1 1
1 2 3
2 2
1 2 3
3 3
(25) 4(1)
1 1
1 1 0
6, 25 1 1
1 1 2
0 2
1 2 5
12, 5 0 12, 5 1 0 12, 5 12, 5 2 12, 5 12, 5 25 5
b c
b b b b c
c c c b c = − − − = − − − − =− − −
Angka 1,2 dan 5 di atas matriks terakhir menyatakan nomor node dalam elemen.
3. Elemen 2 (berbatas node 1, 4, dan 5).koordinat node 1 (0,0), node 4 (0,2), node 5 (1,1)
b1 = y5 - y4 = 1 - 2 = -1 c1 = x4 - x5 = 0 – 1 = -1 b2 = y4 - y1 = 2 - 0 = 2 c2 = x1 - x4 = 0 – 0 = 0 b3 = y1 - y5 = 0 - 1 = -1 c3 = x5 - x1 = 1 – 0 = 1
dengan menggunakan persamaan (4.1) untuk menghitung matriks [K]c2
2 [ ] [ ] [ ] 4 T c K
K B B
A
=
1 1
1 2 3
2 2
1 2 3
3 3
6, 25 b c
b b b b c
c c c b c = 1 1
1 2 1
6, 25 2 0
1 5 4 12, 5 12, 5 0 1
12, 5 25 12, 5 5 0 12, 5 12, 5 4
− = − − −
4. Elemen 3 (berbatas node 4, 5, dan 3).koordinat node 4 (0,2), node 5 (1,1), node 3 (2,2)
b1 = y5 – y3 = 1 - 2 = -1 c1 = x3 - x5 = 2 – 1 = -1 b2 = y3 - y4 = 2 - 2 = 0 c2 = x4 - x3 = 0 – 2 = -2 b3 = y4 - y5 = 2 - 1 = 1 c3 = x5 - x4 = 1 – 0 = 1
dengan menggunakan persamaan (4.1) untuk menghitung matriks [K]c3
3 [ ] [ ] [ ] 4 T c K
K B B
A
=
1 1
1 2 3
2 2
1 2 3
3 3
6, 25 b c
b b b b c
c c c b c = 1 1
1 0 1
6, 25 0 2
1 2 1
1 1
4 5 3
12, 5 12, 5 0 4
12, 5 25 12, 5 5
0 12, 5 12, 5 3
− − = − − − = − − −
5. Elemen 4 (berbatas node 2, 3, dan 5).koordinat node 2 (2,0), node 3 (2,2), node 5 (1,1)
1 2
2 1 0
[ ] 1 2 0
6
0 0 0
h hL t K − =
dengan menggunakan persamaan (4.1) untuk menghitung matriks [K]c4
4 [ ] [ ] [ ] 4 T c K
K B B
A
=
1 1
1 2 3
2 2
1 2 3
3 3
6, 25 b c
b b b b c
c c c b c = 1 1
1 1 2
6, 25 1 1
1 1 0 2 0 − = −
1 2 5
12, 5 0 12, 5 1 0 12, 5 12, 5 2 12, 5 12, 5 25 5
− =− − −
6. Pada elemen 4 terjadi konveksi. Perpindahan kalor ini memberi kontribusi pada matriks kekakuan konveksi dengan menggunakanan persamaan (4.2) di mana i = 2 dan j = 3
(4.2)
4
2 1 0 13, 3 6, 67 0 (20)(2)(1)
[ ] 1 2 0 6, 67 13, 3 0
6
0 0 0 0 0 0
h K ==
Secara keseluruhan pada sisi 2 -3, akan mempunyai matriks kekakuan [K]4 = [K]c4 + [K]h
4
1 2 5
Matriks kekakuan benda, diperoleh dari penggabungan matrik kekakuan tiap elemen. hasil penggabungan elemen adalah
[K]G = [K]c1 + [K]c2 + [K]c3 + [K]c4
1 2 3 4 5
(12, 5 12, 5) 0 0 0 ( 12, 5 12, 5) 1
0 (25,83 12, 5) 6, 67 0 ( 12, 5 12, 5)
[ ] 0 6, 67 (25,83 12, 5) 0 ( 12, 5 12, 5)
0 0 0 (12, 5 12, 5) ( 12, 5 12, 5)
( 12, 5 12, 5) ( 12, 5 12, 5) ( 12, 5 12, 5) ( 12, 5 12, 5) (25 25 25 25)
G K + − − + − − = + − − + − − − − − − − − − − + + + 2 3 4 5
1 2 3 4 5
25 0 0 0 25 1
0 38, 33 6, 67 0 25 2
[ ] 0 6, 67 38, 33 0 25 3
0 0 0 25 25 4
25 25 25 25 100 5
G K − − = − − − − − −
Matrik gaya tiap elemen menggunakan persamaan (4.3) dengan menggantikan q = hT. Karena Q = 0 dan q = 0 dan konveksi hanya terjadi pada sisi 2-3, maka hanya elemen 4 yang memberikan kontribusi nodal. Gaya nodal tersebut
2
2 3
4 3
5
1
{ } 1
2 0 f
hT L t f f f ∞ − = = (4.3) 4 1 1000 (20)(50)(2)(1)
{ } 1 1000
7. Dengan persamaan [K] {t} = {f}
25 0 0 0 25
0 38, 33 6, 67 0 25 0 6, 67 38, 33 0 25
0 0 0 25 25
25 25 25 25 100
− − − − − − − − 1 2 3 4 5 t t t t t = 100 1000 1000 100 *
Temperatur nodal yang sudah diketahui dalam persamaan di atas adalah t1 dan t4 = 100 oF. modifikasi dari matriks [K] sehingga seluruh elemen baris 1, kolom 1 diambil = 1. Dengan demikian elemen-elemen yang perlu diubah dinyatakan dengan huruf a, b, c, dan d dalam matrik berikut
1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 100
0 * * * * 1000
0 * * * * 1000
0 100
0 * * * * *
t t t t a b c d
t =
Baris 1 kolom 1 sudah memenuhi persamaan t1=100 oF. agar baris 4 kolom 1, memenuhi persamaan t4 = 100oF. Maka a = b = d = 0 sedangkan c = 1 , sehingga matriks berubah menjadi :
1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 1 0 0
0 * * * * 1 0 0 0
0 * * * * 1 0 0 0
0 0 0 1 0 100
0 * * * * t t t t t e =
1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 100
0 38, 33 6, 67 0 25 1000
0 6, 67 38, 33 0 25 1000
0 0 0 1 0 100
0 25 25 0 100
t t t t t e − − = − −
Harga pengganti dari e akan dihitung. elemen matrik [K] yang dijadikan 0 yang terkait dengan temperatur nodal yang diketahui adalah :
Baris 5 kolom 1 yaitu -25. Ini berarti e bernilai = -(-25 x 100) = 2500 Baris 4 kolom 4 yaitu -25. Ini berarti e bernilai = -(-25x100)=2500
Jadi e harus berganti dengan 0 + 2500 + 2500 = 5000, di mana 0 merupakan harga mula – mula dari elemen tersebut. Maka persamaan berikutnya :
1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 100
0 38, 33 6, 67 0 25 1000
0 6, 67 38, 33 0 25 1000
0 0 0 1 0 100
0 25 25 0 100 5000
t t t t t − − = − −
Dari persamaan di atas memuat 3 buah temperatur nodal yang belum diketahui besarannya yaitu t2, t3 dan t5
Maka persamaan linier dari bentuk di atas : diketahui t1 = 100 oF dan t4 = 100 oF
38,33 t2 + 6,67 t3 – 25 t5 = 1000 (4.4) 6,67 t2 + 38,33 t3 – 25 t5 = 1000 (4.5) - 25 t2 – 25 t3 – 100 t5 = 5000 (4.6) Eliminasi persamaan (4.4) dan (4.5)
31,66 t2 = 31,66 t3
t2 = t3 (4.7)
Substitusi persamaan (4.7) ke dalam persamaan (4.6) - 25 t2 – 25 t3 – 100 t5 = 5000
- 25 (t3) – 25 t3 – 100 t5 = 5000
- 50 t3 – 100 t5 = 5000 (4.8)
Substitusi persamaan (4.7) ke dalam persamaan (4.5) 6,67 t2 + 38,33 t3 – 25 t5 = 1000
6,67 (t3) + 38,33 t3 – 25 t5 = 1000
45 t3 – 25 t5 = 1000 (4.9)
Eliminasi persamaan (4.8) dan persamaan (4.9) - 50 t3 – 100 t5 = 5000
45 t3 – 25 t5 = 1000 + (dikalikan 4) - 50 t3 – 100 t5 = 5000
180 t3 – 100 t5 = 4000 + 130 t3 = 9000 maka
t3 = 69,23
substitusi nilai t3 ke persamaan (4.7) maka t2 = t3 = 69,23 substitusi nilai t3 ke persamaan (4.9) 45 t3 – 25 t5 = 1000 45 (69,23) – 25 t5 = 1000
3115,35 - 25 t5 = 1000 t5 = 84,62
Dari perhitungan manual di atas maka temperatur tiap node adalah t1 = Node 1 = 100 oF
