ANALISIS KESTABILAN MODEL MATEMATIKA
PENYAKIT LEUKIMIA DENGAN FUNGSI
LYAPUNOV
SKRIPSI
SRIDAHNITA EKARINA GINTING 100803036
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ANALISIS KESTABILAN MODEL MATEMATIKA
PENYAKIT LEUKIMIA DENGAN FUNGSI
LYAPUNOV
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SRIDAHNITA EKARINA GINTING 100803036
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : Analisis Kestabilan Model Matematika Penyakit Leukimia dengan Fungsi Lyapunov
Kategori : Skripsi
Nama : Sridahnita Ekarina Ginting
Nomor Induk Mahasiswa : 100803036
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Januari 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si Prof. Dr. Tulus, M.Si., Ph.D
NIP. 196304051988112001 NIP. 196209111988031002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
ANALISIS KESTABILAN MODEL MATEMATIKA PENYAKIT LEUKIMIA DENGAN FUNGSI
LYAPUNOV
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Januari 2015
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yesus Kristus, dengan limpah kasih setia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Analisis Kestabilan Model Matematika Penyakit Leukimia dengan Fungsi Lyapunov.
Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si., Ph.D selaku Dosen Pembimbing 1 dan Ketua Departemen Matematika, Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Dosen Penguji 1 dan sekretaris Departemen Matematika, Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku Dosen Penguji 2 dan Penasehat Akademik, serta Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si selaku Dosen Penguji 2 yang telah bersedia meluangkan waktu, memberi saran, kritik dan arahan sehingga skripsi ini menjadi sempurna.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada seluruh Dosen Departemen Matematika FMIPA USU yang telah mengajarkan dan memberikan ilmu yang bermanfaat kepada penulis selama melaksanakan perkuliahan. Terima kasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan dan para Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh staff dan pegawai FMIPA USU.
Ungkapan terima kasih kepada orang tua (Ayahanda Rasnen Ginting dan Ibunda Nurlina br Tarigan), abang (Mansur Surbakti dan Victor Ginting),kakak (Natalia br Ginting) dan adikku tercinta (Fransiskus Xaverus Ginting) atas Do’a, dukungan, perhatian, kasih sayang dan cinta yang selama ini diberikan kepada penulis.
Ucapan terima kasih kepada Chelmy Sembiring, Junliade Sinaga, Nartalia Purba, Merlin Sinurat, Ita Natasha Ginting, dan Nia Destiani Sinulingga, atas kenangan, canda, tawa, dukungan, serta Do’a yang diberikan kepada penulis. Terima kasih kepada teman-teman Komutatif 2010 yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, adik-adik stambuk 2011, 2012, dan 2013. Terima kasih kepada Adik Tulus Joseph ‘011 yang telah membantu penulis dalam penulisan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan yang perlu disempurnakan. Oleh karena itu, penulis mengharapakan kritik dan saran yang membangun dalam upaya peningkatan kualitas skripsi ini. Semoga skripsi ini memberikan manfaat bagi penulis khususnya dan semua pihak pada umumnya.
Medan, Januari 2015
ANALISIS KESTABILAN MODEL MATEMATIKA PENYAKIT LEUKIMIA DENGAN FUNGSI
LYAPUNOV
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan model matematika penyakit leukimia sebelum dan sesudah menjalani kemoterapi. Analisis kestabilan model dilakukan dengan menganalisis model dengan menggunakan Fungsi Lyapunov. Dengan menggunakan program MATLAB akan digambarkan kestabilan model sebelum dikemoterapi dan setelah dikemoterapi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa titik kesetimbangan model kompartemen stem sel bersifat stabil asimtotik untuk nilai parameter tertentu. Hal ini karena turunan dari Fungsi Lyapunov bernilai nol jika parameternya bernilai nol dan bernilai lebih kecil dari nol jika parameternya bukan nol.
STABILITY ANALYSIS MODEL OF MATHEMATICS LEUKEMIA WITH LYAPUNOV
FUNCTION
ABSTRACT
This study aims to analyze the stability of the equilibrium point of the mathematical model of leukemia before and after undergoing chemotherapy. Analysis of the stability of the model is done by analyzing the model by using a Lyapunov function. By using MATLAB program will be described stability of the model before chemotherapy and after chemotherapy. The results showed that the equilibrium point of stem cell compartment model is asymptotically stable for certain parameter values. This is because the derivative of the Lyapunov function is zero if the parameter is zero and worth less than zero if the parameter is not zero.
DAFTAR ISI
1.2. Perumusan Masalah 2
1.3. Batasan Masalah 2
1.4. Tujuan Penelitian 3
1.5. Manfaat Penelitian 3
Bab 2. Tinjauan Pustaka
2.1. Pengertian Leukimia 4
2.1.1. Leukimia Mielositik Kronis (LMK) 6
2.1.1.1. Fase Penyakit 6
2.2. Anatomi 8
2.3. Pengobatan Leukimia 11
2.4. Persamaan Diferensial 12
2.5. Norm 13
2.6. Kestabilan Lyapunov 14
Bab 3. Metode Penelitian Bab 4. Hasil dan Pembahasan
4.1. Model Kompartemen Stem Sel 18
4.2. Titik Kesetimbangan Model Kompartemen Stem Sel 20 4.3. Analisis Model Kompartemen Stem Sel 22 4.4. Model Kompartemen Stem Sel setelah Dikemoterapi 25 4.5. Titik Kesetimbangan Model Kompartemen Stem Sel setelah 26 Dikemoterapi
4.6. Analisis Model Kompartemen Stem Sel setelah 27 Dikemoterapi
4.7. Grafik Kestabilan Model Kompartemen Stem Sel sebelum 29 Dikemoterapi
Bab 5. Kesimpulan Dan Saran
5.1. Kesimpulan 31
5.2. Saran 32
Daftar Pustaka 33
ANALISIS KESTABILAN MODEL MATEMATIKA PENYAKIT LEUKIMIA DENGAN FUNGSI
LYAPUNOV
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan model matematika penyakit leukimia sebelum dan sesudah menjalani kemoterapi. Analisis kestabilan model dilakukan dengan menganalisis model dengan menggunakan Fungsi Lyapunov. Dengan menggunakan program MATLAB akan digambarkan kestabilan model sebelum dikemoterapi dan setelah dikemoterapi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa titik kesetimbangan model kompartemen stem sel bersifat stabil asimtotik untuk nilai parameter tertentu. Hal ini karena turunan dari Fungsi Lyapunov bernilai nol jika parameternya bernilai nol dan bernilai lebih kecil dari nol jika parameternya bukan nol.
STABILITY ANALYSIS MODEL OF MATHEMATICS LEUKEMIA WITH LYAPUNOV
FUNCTION
ABSTRACT
This study aims to analyze the stability of the equilibrium point of the mathematical model of leukemia before and after undergoing chemotherapy. Analysis of the stability of the model is done by analyzing the model by using a Lyapunov function. By using MATLAB program will be described stability of the model before chemotherapy and after chemotherapy. The results showed that the equilibrium point of stem cell compartment model is asymptotically stable for certain parameter values. This is because the derivative of the Lyapunov function is zero if the parameter is zero and worth less than zero if the parameter is not zero.
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Kata leukimia diturunkan dari bahasa Yunani leukos dan aima yang berarti “putih” dan “darah”, atau lebih dikenal sebagai kanker darah. Kanker darah merupakan penyakit dalam klasifikasi kanker pada darah atau sumsum tulang yang ditandai oleh pertumbuhan secara tidak normal dari sel-sel pembentuk darah di sumsum tulang atau jaringan limfoid, umumnya terjadi pada leukosit (sel darah putih). Sel-sel normal di dalam sumsum tulang digantikan oleh sel tidak normal dan keluar dari sumsum. Sel leukimia memengaruhi hematopoiesis atau proses pembentukan sel darah normal dan imunitas tubuh penderita.
Leukimia merupakan penyakit yang menduduki urutan ke-5 di Indonesia dalam hal keganasannya. Di Indonesia yang semakin banyak dimasuki perubahan teknologi dan industri diikuti dengan terjadinya perubahan pola hidup masyarakat dapat menyebabkan munculnya pola keganasan yang berbeda dan sama halnya juga dengan negara berkembang lainnya.
Leukimia Mielositik Kronis (LMK) merupakan salah satu jenis leukimia, yang ditandai dengan produksi berlebihan sel granulosit yang relatif matang. Gejala klinis yang sering dijumpai pada penderita. LMK adalah rasa lelah, penurunan berat badan, rasa penuh di perut, kadang-kadang rasa sakit diperut, dan mudah mengalami pendarahan.
LMK juga dimasukkan dalam sistem keganasan sel mieloid. Namun banyak sel normal dibandingkan bentuk akut, sehingga penyakit ini lebih ringan. LMK jarang menyerang individu dibawah 20 tahun. Manifestasi mirip dengan LMA, tetapi tanda dan gejala lebih ringan, pasien menunjukkan tanpa gejala selama bertahun-tahun, peningkatan leukosit kadang sampai jumlah yang luar biasa,limpa membesar.
sel-sel darah yang normal. Secara matematis, kemoterapi dapat mempengaruhi periode panjang sirkulasi darah yang diakibatkan oleh penyakit LMK, sehingga dapat membantu pasien untuk bertahan hidup.
Dengan model, kita dapat menggambarkan suatu fenomena sehingga menjadi lebih jelas dalam memahaminya. Salah satu fenomena yang dapat dimodelkan ke dalam matematika adalah penyakit leukimia. Leukimia (kanker darah) merupakan jenis penyakit kanker yang sangat berbahaya dan dapat menyebabkan kematian bagi penderitanya.
Setelah mengetahui beberapa kenyataan tentang penyakit leukimia terutama jenis LMK maka penulis membuat penelitian tentang analisis kestabilan fungsi penyakit leukimia dengan Fungsi Lyapunov sehingga pembaca dapat mengetahui perbandingan antara kestabilan penderita leukimia sebelum dan setelah melakukan kemoterapi.
1.2Perumusan Masalah
Bagaimana kestabilan titik kesetimbangan model matematika penyakit leukimia sebelum dikemoterapi dan kestabilan titik kesetimbangan penyakit leukimia setelah pasien menjalani kemoterapi dengan menggunakan Fungsi Lyapunov.
1.3Batasan Masalah
Titik kesetimbangan yang digambarkan pada penelitian berdasarkan model kompartemen stem sel dengan Fungsi Lyapunov.
1.4Tujuan Penelitian
1.5Manfaat Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Leukimia
Leukemia adalah golongan penyakit yang ditandai dengan penimbunan sel darah putih abnormal dalam sumsum tulang. Sel abnormal ini dapat menyebabkan kegagalan sumsum tulang, hitung sel darah putih sirkulasi meninggi dan menginfiltrasi organ lain. Dengan demikian gambaran umum leukemia mencakup sel darah putih abnormal dalam darah tepi, hitung sel darah putih total meninggi, bukti kegagalan sumsum tulang misalnya : anemia, netropenia atau trombositopenia dan keterlibatan organ lain misalnya : Hati, limpa, limfonodi, meningen, otak, kulit dan testis.
Leukimia merupakan penyakit akibat terjadinya proliferasi (pertumbuhan sel imatur) sel leukosit yang abnormal dan ganas, serta sering disertai adanya leukosit dengan jumlah yang berlebihan, yang dapat menyebabkan terjadinya anemia trombositopenia. (Hidayat, 2006).
Leukimia merupakan penyakit akibat proliferasi (bertambah banyak atau multiplikasi) patologi dari sel pembuat darah yang bersifat sistemik dan biasanya berakhir fatal. (Nursalam, 2005).
Leukimia adalah proliferasi tak teratur atau akumulasi sel-sel darah putih dalam sumsum tulang, menggantikan elemen-elemen sumsum normal. (Baughman, 2000, hal : 336).
Leukimia merupakan proliferasi sel darah putih yang masih imatur dalam jaringan pembentuk darah. (Suriadi, 2006).
Jadi dapat disimpulkan bahwa leukimia adalah penyakit akibat terjadinya proliferasi sel leukosit yang abnormal dan ganas serta sering disertai adanya jumlah leukosit yang berlebihan dari sel pembuat darah yang bersifat sistemik dan biasanya berakhir fatal.
tampak sangat berat dan menyebabkan kematian dalam beberapa bulan tanpa pengobatan. Sebaliknya pada leukemia kronik terjadi peningkatan sel matur yang tidak terkendali, sehingga penyakit tampak relatif lebih ringan. Leukemia kronik pada stadium akhir dapat menjadi progresif seperti leukemia akut.
Leukimia dibagi menjadi beberapa jenis, diantaranya yaitu: 1. Leukimia Mielositik Akut (LMA)
LMA disebut juga leukimia mielogenous akut atau leukimia granulositik akut (LGA) yang di karakteristikkan oleh produksi berlebihan dari mieloblast. LMA sering terjadi pada semua usia, tetapi jarang terjadi pada anak-anak. Mieloblast menginfiltrasi sumsum tulang dan ditemukan dalam darah. Hal ini dapat mengakibatkan terjadinya anemia, pendarahan, dan infeksi, tetapi jarang disertai keterlibatan organ lain.
2. Leukimia Limfositik Akut (LLA)
LLA sering menyerang pada masa anak-anak dengan presentase 75%-80%. LLA menginfiltrasi sumsum tulang oleh sel limfoblastik yang menyebabkan anemia, memar (trombositopeni), dan infeksi (neutropenia). Limfoblast biasanya ditemukan dalam darah tepi dan selalu ada di sumsum tulang, hal ini mengakibatkan terjadinya limfadenopati, splenomegali dan hepatomegali, tetapi 70% anak dengan leukimia limfatik akut kini bisa disembuhkan.
3. Leukimia Limfositik Kronik (LLK)
LLK terjadi pada manula dengan limfadenopati generalisata dan peningkatan jumlah leukosit disertai limfositosis. Perjalanan penyakit biasanya jinak dan indikasi pengobatan adalah hanya jika timbul gejala.
4. Leukimia Mielositik Kronis (LMK)
LMK sering disebut leukimia granulositik kronik (LGK), gamabaran yang menonjol adalah :
a. Adanya kromosom Philadelphia pada sel-sel darah. Ini adalah kromosom abnormal yang ditemukan pada sel-sel sumsum tulang. b. Krisis blast fase dikarakteristikkan oleh proliferasi tiba-tiba dari
2.1.1 Leukimia Mielositik Kronis (LMK)
Leukimia Mielositik Kronis (LMK) adalah penyakit sel bakal klonal yang ditandai oleh peningkatan yang mencolok pada jumlah leukosit dan adanya kromosom philadelphia (Ph). LMK merupakan salah satu tipe leukimia yang ditandai dengan mielopiesis dan kromososm philadelphia.
Insiden LMK pada orang dewasa menempati urutan kedua terbanyak dari semua jenis leukimia, yaitu sekitar 7-20% dengan tingkat insidensi tertinggi usia 40-60 tahun. Perjalanan LMK umumnya kronik dengan lama penyakit bervariasi dan diikuti oleh transformasi blastik. Sebagian besar pasien didiagnosis dalam fase kronik saat ditemukan peningkatan jumlah sel darah putih disertai splenomegali. Pada saat didiagnosis. Jumlah sel darah putih melebihi 200.000/mm3 (Asdie,2000).
Dalam kasus penyakit LMK, jumlah leukosit bervariasi secara periodik antara 30.109 dan 250.109 sel/liter darah. Jumlah tersebut sangat berlebih bila dibandingkan dengan kondisi normal, yaitu 6.109 sel/liter darah. Waktu yang dibutuhkan untuk menjadi matangpun sangat panjang, yaitu antara 40 sampai 80 hari. Hal ini sangat jauh berbeda bila dibandingkan dengan jangka waktu hidup dalam keadaan normal yang hanya membutuhkan waktu sekitar 7 hari. Osilasi juga dapat terjadi dalam sirkulasi trombosit dan eritrosit, tetapi periodenya hampir sama dengan periode leukosit. Hipotesis yang menyatakan bahwa osilasi dimulai dari kompartemen stem sel, dihubungkan dengan fakta bahwa osilasi terjadi dalam proses diferensiasi sel darah (Coljin dan Mackey, 2005).
2.1.1.1Fase Penyakit
Perjalanan penyakit LMK dibagi menjadi 3 fase yaitu : a. Fase kronik
spesifik akibat hipermetabolik seperti panas, keringat malam, lemah, perut kembung, gangguan penglihatan, penurunan berat badan dan anoreksia. Pada pemeriksaan fisik penderita tampak pucat, ekimosis, hepatosplenomegali dan nyeri sternum. Gejala tersebut berhubungan dengan derajat leukositosis. Kadar leukosit meningkat antara 80.000 – 800.000 / mm3. Leukositosis sangat berat (> 500.000 /mm3) dapat dijumpai pada anak-anak. Juga dijumpai peningkatan absolut basofil dan eosinofil.
b. Fase Akselerasi
Setelah lebih kurang 3 tahun, LMK kronik akan menjadi fase akselerasi dengan meningkatnya progresifitas penyakit. Sekitar 5 % kasus, terjadi perubahan mendadak dengan peningkatan yang cepat sel blas pada darah perifer (krisis blas). Sekitar 50% kasus akan berkembang menjadi lebih progressif yang menimbulkan gejala seperti leukemia akut dan sisanya 45% terjadi peningkatan progresif secara pelan-pelan.
Gejala dan tanda dari fase akselerasi :
- Panas tanpa penyebab yang jelas dan splenomegali progresif - Anemia dan trombositopnia setelah sebelumnya sempat normal - Trombositosis > 1000 x 109/ L
- Basofil > 20% dan myeloblas > 5 %
- Gambaran myelodisplasia seperti hipogranulasi neutrofil, mikro megakariosit atau mononuklear yang besar.
- Fibrosis kolagen pada sumsum tulang
- Terdapat kromosom baru yang abnormal seperti Ph’-2 kromosom - Peningkatan uptake timidin oleh neutrofil
- Peningkatan kandungan DNA dan penurunan fraksi proliferasi. c. Fase Blas
terjadinya sindroma hiperleukositosis. Fase ini dibedakan dengan leukemia akut di mana splenomegali tidak menonjol.
2.2Anatomi
Sistem sirkulasi adalah sarana untuk menyalurkan makanan dan oksigen dari traktus digestivus dan dari paru-paru ke sel-sel tubuh serta membuang sisa-sisa metabolisme dari sel-sel ke ginjal, paru-paru dan kulit yang merupakan tempat ekskresi sisa-sisa metabolisme.
Organ-organ sistem sirkulasi antara lain : a. Jantung
Jantung adalah organ berongga yang terletak diantara kedua paru-paru didalam rongga dada di atas diafragma. Jantung berfungsi untuk memompa darah kaya oksigen ke dalam sistem arteri (yang membawanya ke sel-sel) dan juga menampung darah dari sistem vena dan meneruskannya ke paru-paru untuk reoksigen. Darah dibawa ke dalam sel di seluruh tubuh oleh arteri, kapiler, vena, dan pembuluh limfa.
b. Pembuluh darah
1) Arteri (pembuluh nadi)
Arteri meninggalkan jantung pada ventrikel kiri dan kanan 2) Kapiler (pembuluh rambut)
Kapiler adalah pembuluh darah yang sangat kecil yang berasal dari cabang terhalus dari arteri sehingga tidak nampak, kecuali dibawah mikroskop. Anyaman diseluruh jaringan tubuh dibentuk oleh kapiler, selanjutnya kapiler bertemu satu dengan yang lain menjadi pembuluh darah yang lebih besar yang disebut vena.
3) Vena (pembuluh darah balik)
Vena membawa darah kotor kembali ke jantung 4) Darah
1) Sumsum tulang yang aktif dalam proses hemopoesis adalah : a. Tulang vertebrae
b. Sternum (tulang dada) c. Costa (tulang gigi) 2) Hepar
Hepar merupakan kalenjer terbesar dari beberapa kalenjar pada tubuh manusia.
3) Limpa
Limpa adalah organ berkapsula dengan berat 100-150 gr yang terletak dibagian kiri atas abdomen dan berbentuk setengah bulan berwarna kemerahan. Limpa berfungsi sebagai organ limfoid dan memfagosit material tertentu dalam sirkulasi darah merah yang rusak.
Darah terdiri dari dua bagian yaitu : a. Eritrosit
Eritrosit atau sel darah merah merupakan sel yang telah berdiferensiasi jauh dan mempunyai fungsi khusus untuk transpor oksigen. Eritrosit berbentuk seperti cakram-bikonkaf dan bila dilihat pada bidang datar bentuknya bundar. Sel-sel darah merah bersifat elastis dan mempunyai kemampuan berubah bentuk. Jumlah eritrosit pada laki-laki terdapat 5-5,5 juta per milimeterkubik, pada wanita 4,5-5 juta per milimeterkubik. Eritrosit berwarna kuning kemerah-merahan karena didalamnya mengandung suatu zat yang disebut hemoglobin.
b. Trombosit (sel pembeku)
Trombosit merupakan benda-benda kecil yang bentuk dan ukurannya bermacam-macam, ada yang bulat dan ada yang lonjong warnanya putih dengan jumlah normal 150.000 – 450.000/mm3 . Trombosit memegang peranan pemting dalam pembekuan darah jika kurang dari normal.
c. Leukosit (sel darah putih)
Leukosit berwarna bening (tidak berwarna). Jumlah leukosit kira-kira 4000-11000/ 3
mm .
Leukosit berfungsi untuk membunuh dan memakan bibit penyakit atau bakteri yang masuk ke dalam jaringan tubuh serta mengangkut zat lemak dari dinding usus melaui limpa dan pembuluh darah.
Golongan utama leukosit ada 2 yaitu : 1. Leukosit agranular
Leukosit agranular mempunyai sitoplasma yang tampak homogen dan intinya berbentuk bulat. Ada 2 jenis leukosit agranular yaitu :
a. Limfosit
Limfosit adalah leukosit mononuclear lain dalam darah yang memiliki inti bulat dan oval yang dikelilingi oleh pinggiran sitoplasma sempit berwarna biru yang mengandung sedikit granula.
b. Monosit
Monosit lebih besar dari pada neutrofil dan memiliki inti monomorfik yang relatif sederhana.
2. Leukosit granular
Leukosit ini mengandung granula spesifik dalam sitoplasmanya dab mempunyai inti yang memperlihatkan banyak variasi dalam bentuknya. Ada 3 jenis leukosit granular yaitu :
a. Neutrofil
Neutrofil merupakan system pertahanan tubuh primer melawan infeksi bakteri, metode pertahanannya adalah proses fagositosis.
b. Eosinofil
Eosinofil mempunyai fingsi fagosit yang lemah dan lebih berfungsi pada reaksi antigen, antibodi, dan meningkat pada serangan asma.
c. Basofil
Basofil membawa heparin, faktor-faktor pengaktifan histamine dan trombosit dalam granula-granulanya untuk menimbulkan peradangan pada jaringan.
Bagian darah yang encer tanpa sel-sel darah dan berwarna bening kekuningan. Hampir 90% plasma darah terdiri dari :
a. Fibrinogen yang berrguna dalam proses pembekuan darah.
b. Garam-garam mineral (garam kalsium, kalium, natrium, dan lain-lain yang berguna dalam proses metabolisme dan juga mengadakan osmotik). c. Protein darah (albumin dan globulin) meningkatkan viskositas darah dan
juga menimbulkan tekanan osmotik untuk memelihara keseimbangan cairan dalam tubuh.
d. Zat makanan (zat amino, glukosa, lemak, mineral,dan vitamin). e. Hormon yaitu suatu zat yang dihasilkan dari kelenjar tubuh. f. Antibodi atau antitoksin.
2.3 Pengobatan Leukimia
Leukimia adalah jenis penyakit kanker yang sangat sulit untuk diobati. Penderita penyakit ini kemungkinan sembuh sangat kecil tetapi seiring dengan berkembangnya teknologi dalam ilmu kedokteran, ada beberapa metode yang dapat dilakukan agar penyakit tersebut tidak semakin parah, antara lain:
1. Kemoterapi
Pengobatan dengan kemoterapi dilakukan dengan memberikan obat secara berkala yang bertujuan untuk membunuh sel-sel abnormal. Meskipun demikian pengobatan kemoterapi bukan hanya membunuh sel-sel abnormal dalam fase proliferasi, namun berpotensi pula membunuh sel-sel normal yang sedang berproliferasi dala sumsum tulang belakang. Ketika kemoterapi dilakukan, jumlah sel-sel yang mati karena apoptosis akan semakin besar sebagai akibat dari pemberian oabt secara rutin.
2. Pemotongan limpa
Tindakan yang dapat dilakukan jika pasien yang sudah terlambat terdeteksi atau sudah berada pada fase krisis blas adalah dengan melakukan pemotongan limpa. Hal ini dilakukan agar mencehag sel-sel darah ynag abnormal semakin tidak terkendali.
3. Terapi radiasi
Pasien leukimia yang masih mempunyai kemungkinan untuk mendapatkan donor sumsum tulang belakang dapat diobati dengan melakukan transplantasi sumsum tulang belakang.
2.4 Persamaan Diferensial Definisi 2.1
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang merupakan hubungan antara peubah bebas dengan peubah tak bebas dan turunan peubah tak bebas terhadap peubah bebas.
Secara simbol dapat ditulis dengan
( )
( , ', '',..., n ) 0
F x y y y (2.1)
Dimana :
x disebut peubah bebas, y disebut peubah tak bebas,
( )
', '',..., n
y y y disebut turunan-turunan y terhadap x. Definisi 2.2
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang hanya terdiri dari satu peubah bebas. Bentuk umum dari persamaan diferensial
Definisi 2.4
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menyangkut turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas (Ross, 1984: 4).
Definisi 2.5
Sistem persamaan diferensial berdimensi adalah suatu sistem yang memuat buah persamaan diferensial dengan buah fungsi yang tidak diketahui, dimana merupakan bilangan bulat positif dengan 2 (Edward dan Penney, 2001).
Definisi 2.6
Sistem otonomus mempunyai bentuk : ( , ) bergantung secara eksplisit pada variabel t (Boyce dan DiPrima, 1992).
Definisi 2.7
Andaikan titik kritis sistem adalah titik x y*, * , sedemikian sehingga
* * * *
( , ) ( , ) 0
f x y g x y . Titik kritis x y*, * merupakan solusi sistem yang
bernilai konstan, karena dx 0
dt dan 0
dt disebut sebagai keadaan setimbang, dan titik yang memenuhinya disebut titik kesetimbangan (Edward dan Penney, 2001).
2.5 Norm
Norm adalah fungsi . :V yang memenuhi 1. u 0 ; u 0 u 0
2. u u
2.6 Kestabilan Lyapunov
x t dikatakan stabil asimtotik jika memenuhi stabil Lyapunov dan untuk setiap solusi yang lainnya, y t( ) dari fungsi ada konstanta b 0 sedemikian sehingga jika x t( )0 y t( )0 b maka lim ( ) ( ) 0
t x t y t .
Definisi 2.10
Suatu fungsi ( )V x dikatakan definit positif jika berlaku i) V(0) 0
ii) V x( ) 0, x 0 didalam lingkungan x k dari titik 0 Definisi 2.11
Suatu fungsi ( )V x dikatakan semidefinit negatif jika berlaku i) V(0) 0
ii) V x( ) 0, x dengan x k Definisi 2.12
Teorema 2.1
Titik kesetimbangan x 0 untuk persamaan diferensial adalah stabil jika terdapat suatu fungsi yang memenuhi fungsi Lyapunov.
Bukti :
Dari syarat awal (i) dan (ii) untuk V x( ), dapat diperlihatkan eksistensi fungsi real ( )r yang kontinu dan monoton naik pada 0 r k dengan (0) 0 yang
Titik kesetimbangan x 0untuk persamaan diferensial adalah stabil asimtotik jika terdapat fungsi Lyapunov yang definit negatif (
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
Penelitian ini bersifat studi literatur yaitu melakukan penelitian dengan mengumpulkan data-data dari referensi buku dan jurnal-jurnal yang diperoleh dari perpustakaan maupun internet dan melakukan bimbingan dengan dosen pembimbing untuk memperoleh bahan-bahan yang berkaitan dengan permasalahan yang dihadapi. Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian ini antara lain:
1. Menjelaskan tentang penyakit LMK yaitu fase dari penyakit LMK dan pengobatan yang dilakukan terhadap pasien yang mengidap penyakit LMK.
2. Menjelaskan dan membuktikan definisi dan teorema yang akan dipakai dalam proses menganalisis.
3. Menentukan model matematika yang menggambarkan sirkulasi perjalanan sel darah dalam tubuh. Dalam hal ini, model matematika yang dipilih adalah model kompartemen stem sel yaitu model yang menunjukkan mekanisme sirkulasi sel darah putih manusia.
4. Memodifikasi model kompartemen stem sel yang dipakai setelah dilakukan proses kemoterapi dengan memperhatikan unsur yang mempengaruhi perubahan pada model.
5. Menganalisis kedua model yang dipakai yaitu model kompartem stem sel sebelum dikemoterapi dan setelah dikemoterapi dengan menggunakan Fungsi Lyapunov.
6. Mengambarkan grafik kesetimbangan model kompartemen stem sel sebelum dan setelah dikemoterapi dengan menggunakan MATLAB sehingga bisa terlihat bagaimanakah kestabilannya.
Skema Metodologi Penelitian
dimodifikasi
Teori mengenai penyakit Leukimia
Model kompartemen stem sel
Mencari titik kesetimbangan model dengan definisi 2.7
Analisis model kompartemen stem sel dengan fungsi Lyapunov Model Kompartemen stem
sel setelah dikemoterapi
Gambar grafik kestabilan dengan Matlab
BAB 4 PEMBAHASAN
4.1 Model Kompartemen Stem Sel
Penyakit LMK muncul dari salah satu bagian stem sel dalam sumsum tulang, terbagi dalam fase proliferasi dan fase istirahat. Fase proliferasi terjadi dalam sirkulasi sel darah, dimana terjadi adanya pertumbuhan sel darah dan persiapan untuk membelah, yang dipacu adanya DNA sintesis dengan durasi waktu tertentu. Menurut Adimy, dkk. (2006), selama masa proliferasi, sel darah dapat berkurang karena adanya apoptosis, sebuah proses yang bertujuan membunuh sel-sel yang tidak berguna.
Dua sel masuk ke dalam fase istirahat setelah membelah, dimana mereka dapat tetap bertahan didalamnya, atau juga dapat keluar dari fase itu. Ketika sel-sel darah itu keluar dari fase istirahat, ada dua kemungkinan yang terjadi. Kemungkinan pertama yang terjadi, sel-sel darah kembali ke fase proliferasi dengan rata-rata kecepatan perpindahan . Kecepatan ini bergantung pada jumlah populasi stem sel pada fase istirahat N t . Menurut penelitian laboratorium (Mackey, 1978), merupakan fungsi yang diberikan oleh
0 1
Fungsi merupakan fungsi monoton turun positif dari N dan
lim 0
N N (4.2)
Sedangkan parameter 0 merupakan jumlah awal yang maksimal dari sel yang berpindah dari fase istirahat menuju fase proliferasi,
1 adalah populasi stem sel
pada waktu sel masuk fase proliferasi, sedangkan n merupakan parameter sensitivitas dari pembelahan mitotik yang massuk kembali ke dalam fase proliferasi, dimana n 0.
fungsi ) yang bergantung pada populasi sel darah putih M, yang dapat ditulis sebagai
0
2
2
m
m m
k M k
M (4.3)
Maka
lim ( ) 0
M k M (4.4)
Selain itu, kecepatan diferensiasi juga bergantung pada kerapatan populasi stem sel pada fase istirahatN t . Jumlah sel bergantung pada konstanta pembelahan sel A ketika sel-sel darah terdiferensiasi. Setelah waktu
2, sel terdiferensiasi menjadi
sel-sel darah matang (dewasa) dengan populasi M t dan kemudian mengalami kematian.
Dinamika sirkulasi sel darah dengan kompartemen stem sel dapat disajikan dengan gambar berikut
Gambar 1. Diagram kompartemen stem sel dengan :
M(t) = kerapatan jumlah sel darah putih pada waktu t, A = konstanta pembelahan sel dalam proses diferensiasi
Dengan diagram kompartemen stem sel, dapat dikonstruksikan model persamaan sebagai berikut:
Mekanisme sirkulasi sel darah putih manusia normal dengan pasien LMK sebenarnya sama, yang membedakan hanya parameternya saja, sehingga model kompartemen dari LMK sama dengan model kompartemen stem sel. Pada pasien LMK, rata-rata laju apoptosis sel-sel leukimia jauh lebih kecil daripada laju apoptosis sel-sel normal dan waktu yang digunakan dalam fase non proliferasi di sumsum tulang relatif lebih panjang daripada sel normal.
4.2 Titik Kesetimbangan Model Kompartemen Stem Sel
Titik kesetimbangan pada model kompartemen stem sel dapat diperoleh dengan cara membuat ruas kanan dari persamaan menjadi nol, sehingga didapatkan
menuju pada jumlah yang tidak berhingga, oleh karena itu keadaan 1 dan 2dapat diabaikan. Sehingga, dari persamaan didapatkan solusi titik kesetimbangan
( *,N M*) yang memenuhi persamaan kesetimbangan trivial sistem persamaan, sedangkan untuk memperoleh titik kesetimbangan non-trivial, yaitu titik * *
(N M, ), dimana * 0
N dan *
0
M ,
dilakukan penyederhanaan persamaan (4.9) , sehingga diperoleh persamaan
1 1
Substitusikan persamaan (4.1) ke persamaan (4.12) sehingga diperoleh
1 1
Dari persamaan (4.10) diperoleh persamaan yang baru, yaitu *
*
Jadi titik kesetimbangan non-trivial dari sistem persamaan model kompartemen stem sel yaitu
4.3 Analisis model kompartemen stem Sel
Persamaan yang akan dianalis dengan menggunakan Fungsi Lypunov adalah sistem persamaan (4.5) dan (4.6). Setelah mendapatkan titik kesetimbangan dari persamaan tersebut kita akan menyelidiki apakah persamaan tersebut stabil atau tidak. Bentuk persamaan (4.5) dan (4.6) dapat kita ubah kedalam bentuk lain karena untuk mencapai keadaan setimbang * *
(N M, ),maka waktu yang digunakan mengacu pada jumlah tak berhingga sehingga keberadaan 1 dan 2dapat diabaikan. Oleh karena itu bentuk persamaan (4.5) dan (4.6) berubah menjadi
1 1
( ) ( ) 2 ( )
N N N k M N e N N (4.20)
M 2M Ak M N( ) (4.21) Fungsi Lyapunov yang dipakai adalah 2 2
Setelah membuktikan bahwa fungsi V N M( , ) adalah fungsi Lyapunov maka substitusikan persamaan (4.20) dan (4.21 ) ke dalam syarat ke (iii), sehingga akan diperoleh
Dari hasil turunan dari fungsi Lyapunov tersebut dapat dilihat dengan jelas bahwa
(0) 0
turun positif dimana jika nilai N M, maka nilai fungsi dan k adalah nol akan membuat fungsi turunan Lyapunov berubah menjadi
2 fungsi Lyapunov maka akan dibuktikan apakah turunannya sama seperti turunan pertama. adalah nol, sehingga fungsi turunan Lyapunov berubah menjadi
2 2 2
V M
4.4 Model Kompartemen Stem Sel Setelah Dikemoterapi
Dinamika sirkulasi sel darah penyakit LMK digambarkan dengan model persamaan kompartemen stem sel (4.5) dan (4.6). Dengan sistem pengobatan kemoterapi, persamaan (4.5) dan (4.6) dapat berubah bentuk karena adanya peningkatan apoptosis pada fase proliferasi sebagai dampak dari masuknya beberapa obat dalam tubuh pasien. Dengan adanya pengaruh obat tersebut maka jumlah sel darah dalam fase proliferasi menjadi menurun karena rata-rata apoptosis meningkat menjadi masuknya obat-obat kemoterapi dalam tubuh.
Untuk menentukan sistem persamaan dari model yang mencakup efek kemoterapi, jumlah sel darah pada fase proliferasi yang masuk dari fase non proliferasi sampai pada pembelahan sel akan berubah karena
0
Dengan demikian sirkulasi sel darah ( dengan durasi waktu ) dari sistem yang dimodifikasi dengan akibat proses kemoterapi dapat ditulis dalam bentuk baru, yaitu
Titik kesetimbangan pada model kompartemen stem sel setelah dikemoterapi dapat diperoleh dengan menolkan kedua persamaan (4.26) dan (4.27), tetapi melihat bahwa persamaan (4.27) sama dengan persamaan (4.6) maka yang akan dilihat titik kesetimbangannya hanya persamaan (4.26) sehingga didapatkan
0 ( ') ' dapat diabaikan. Sehingga, dari persamaan didapatkan solusi titik kesetimbangan
( *,N M*) yang memenuhi persamaan
Dari persamaan diatas didapatkan bahwa titik (0,0) merupakan titik kesetimbangan trivial sistem persamaan, sedangkan untuk memperoleh titik kesetimbangan non-trivial, yaitu titik * *
(N M, ), dimana * 0
N dan *
0
M ,
dilakukan penyederhanaan persaman , sehingga diperoleh persamaan
atau
Sehingga didapatkan N*, yaitu
0
Untuk nilai dari M* sama seperti sebelum dikemoterapi, jadi titik kesetimbangan non-trivial * *
4.6 Analisis Model Kompartemen Stem Sel setelah Dikemoterapi
Menganalisis model kompartemen stem sel setelah dikemoterapi juga akan menggunakan fungsi Lyapunov. Fungsi lyapunov yang akan dipakai hanya salah satu dari beberapa fungsi Lyapunov yang diketahui. Sama halnya dengan model kompartemen stem sel sebelum dikemoterapi, bahkan setelah dikemoterapi
waktu yang digunakan mengacu pada jumlah tak berhingga sehingga keberadaan
1 dan 2dapat diabaikan. Oleh karena itu bentuk persamaan (4.38) dan (4.39)
0 mengetahui turunannya substitusikan persamaan (4.46) dan (4.47) kedalam turunan fungsi Lyapunov sehingga diperoleh
0
Dari hasil turunan dari fungsi Lyapunov tersebut dapat dilihat dengan jelas bahwa
(0) 0 Melihat perubahan dari turunan fungsi Lyapunov maka dapat diperlihatkan bahwa
( , ) 0
V N M untuk setiap N M, 0 jika 2 0. Menurut Teorema 2.2 kestabilan
mempengaruhi perkembangan jumlah sel darah putih sehingga jumlah sel darah putih dapat ditekan.
4.7 Grafik Kestabilan Model Kompartemen Stem Sel sebelum Dikemoterapi
4.1 Grafik Kestabilan sebelum Dikemoterapi
4.8 Grafik Kestabilan Model Kompartemen Stem Sel setelah Dikemoterapi
4.2 Grafik Kestabilan setelah Dikemoterapi
Grafik diatas menunjukkan bahwa laju pertumbuhan sel darah putih semakin berkurang dari waktu ke waktu. Hal ini ditandai dengan tanda minus pada laju pertumbuhan sel darah putih. Perbedaan dari grafik kestabilan sebelum dan setelah dikemoterapi terdapat pada peningkatan apoptosis yang menyebabkan nilai laju kematian sel darah putih yang matang pada saat setelah dikemoterapi lebih besar dari pada sebelum dikemoterapi. Hal ini mengakibatkan grafik lebih cepat mencapai kondisi stabil asimtotik yang berarti bahwa pertumbuhan sel yang abnormal lebih stabil setelah dikemoterapi.
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Pada model penyakit leukimia yang diteliti, model yang dipakai adalah model kompartemen stem sel yang mewakili sirkulasi sel darah pada tubuh manusi sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
1 2
Setelah pasien melakukan kemoterapi model kompartemen stem sel berubah karena adanya peningkatan apoptosis sebagai pengaruh masuknya obat kemoterapi ke dalam tubuh. Dengan demikian model berubah menjadi
DAFTAR PUSTAKA
Adimy, M, F.Crauste, dan S. Ruan. 2006. Periodic Oscilations in Leukopoeisis Model with Two Delay. Journal of Theorical Biology. 242: 288-299. Atikah, Siti Nur. 2008. Skripsi : Analisis Kestabilan Model Matematika Penyakit
Chronic Myelogenous Leukimia dengan Delay. Universitas Brawijaya : Malang.
Asdie, A. 2000. Harrison : Prinsip-prinsip Ilmu Penyakit Dalam. Edisi 13. EGC. Jakarta .
Baughman, D.C. 2000. Keperawatan Medikal Bedah : Buku Saku untuk Brunner dan Suddarth. EGC. Jakarta
Boyce, W. dan R.C. DiPrima. 1992. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Willey & Sons, Inc. New York.
Coljin, C dan M. C. Mackey. 2005. A Mathematical Model of Hematopoieis – I. Periodic Chronic Myelogenous Leukimia. Journal of Theoritical Biology. 237: 117-132.
Edward, C.H. dan M.C. Mackey. 2005. Differential and Linier Algebra. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Edward, C.H. dan D.E. Penny. 2001. Differential Equations and Linier Algebra First Edition. USA : Pearson Education International
Hakiki, Hayuningtyas. 2008. Manifestasi Klinis dan Gambaran Laboratorik Leukimia Mieloid Kronik di RSUP DR. KARIADI. Universitas Diponegoro : Semarang.
Hidayat, Alimul Aziz. 2006. Pengantar Ilmu Keperawatan Anak. Jakarta : Salemba Medika.
Ludman, C.A. 1990. Clinical Hematology. Longman Singapore Publisher Ltd. Singapore.
Mackey, M.C. 1978. Unified Hypothesis for the Origin of Aplastic Anemia and Periodic Hematopoiesis. Blood Jurnal 51: 941-956.
Nursalam, M.N., 2005. Ilmu Kesehatan Anak. Jakarta : Salema Medika. Suriadi. 2006. Asuhan Keperawatan pada Anak. Edisi V. Jakarta : CV. Agung
Setu.
Yulida, Yuni., Faisal, dan Muhammad Aksar. 2011. Jurnal : Analisis Kestabilan Global Model Epidemik SIRS menggunakan Fungsi Lyapunov. Universitas Lambung Mangkurat : Banjarbaru.
LAMPIRAN
PROGRAM MATLAB
1. Program Matlab Grafik Kestabilan sebelum Dikemoterapi clc
gamat=[0:0.01:20]; e=2.7;
dNt=-3*8-13*8+2*e.^((-4*gamat)-10)*15*10; plot(gamat,dNt,'-rd')
xlabel('waktu(t)');ylabel('Laju Pertumbuhan Sel Darah Putih'); title('Grafik Kestabilan Sebelum Kemoterapi ');
grid off
2. Program Matlab Grafik Kestabilan setelah Dikemoterapi clc
gamat=[0:0.01:20]; e=2.7;
dNt=-3*8-13*8+2*e.^((-4*gamat)-10)*15*10; plot(gamat,dNt,'-rd')
xlabel('waktu(t)');ylabel('Laju Pertumbuhan Sel Darah Putih'); title('Grafik Kestabilan Setelah Kemoterapi ');
