r
r
2πr t
Gambar 2.1 jaring-jaring tabung BAB II
PEMBAHASAN
2. Bangun Ruang Sisi Lengkung
2.1. Tabung (Silinder ) 1. Jaring-jaring Tabung
Kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a. Dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b. Satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung. Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung.
Gambar 2.1 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.
Jaring-jaring tabung terdiri atas:
a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.
b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Tabung
Sebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar 2.1, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring tabung sekali lagi.
Sehingga kita dapatkan rumus:
b. Volume Tabung
tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.
Atau
Dengan : r = jari-jari lingkaran alas d = diameter lingkaran alas t = tinggi tabung
Sehingga dalam tabung (silinder) berlaku rumus-rumus sebagai berikut:
i. d = 2r atau r = ½ d ii. La = Lb= πr 2 = ¼d2
iii. L s= 2πrt = πdt
iv. L p= L a+ Lb + L s= 2πr (r + t) = π d (d + t)
v. V= Lb t = L a t = π r 2 t
5 V = πr2t
Gambar 2.2 Tabung Dengan:
r = jari-jari atas/alas tabung d = diameter atas/ alas tabung t = tinggi tabung
La = luas bidang atas tabung
Lb = luas bidang bawah/ alas/ dasar tabung
Ls = luas selimut/ selubung tabung
Lp= luas permukaan tabung
V = volume/ isi tabung
Contoh soal:
1. Sebuah tabung berjari-jari 10 cm. Jika tingginya 30 cm dan π = 3,14, hitunglah luas permukaannya.
Penyelesaian:
Diketahui r = 10 cm, t = 30 cm, dan π = 3, 14, L = 2πr (t + r)
= 2 × 3,14 × 10 × (30 + 10) = 2.512 Jadi, luas permukaannya adalah 2.512 cm2.
2. Sebuah tabung diketahui jari-jarinya 6 cm, tingginya 7 cm, dan π = 227 . Hitunglah
volume tabung tersebut. Penyelesaian:
V = πr2t = 22
A
B D C
Gambar 2.3 Abstraksi Bentuk Kerucut
A’
Perhatikan gambar di atas. Pernahkan melihat bangunan ini? Jika kita cermati bentuknya, bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang dengan sisi lengkung yaitu kerucut. a. Jaring-jaring Kerucut
Berdasarkan kegiatan dan gambar di dibawah ini kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.
A’ r
(a) (b)
Gambar 2.5 (a) Juring Lingkaran(selimut kerucut) (b) Bidang Alas Kerucut
T p’ p
A
2πr
Gambar 2.4(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut t,
apotema atau garis pelukis p. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua buah bidang datar yang ditunjukkan gambar 2.4(b) yaitu:
a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari p dan panjang busur 2πr, b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.
2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.
Perhatikan gambar 2.5 (a)
Luas lingkaran dengan pusat T dan jari-jari p=πr2
Kelilingnya = 2πr
Jadi luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.
Luas juring TAA'
Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA1 maka kita dapatkan:
Sedangkan luas permukaan kerucut = luas selimut + luas alas kerucut = πrp + πr2
= πr (p + r) Jadi
dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut p = garis pelukis (apotema) b. Volume Kerucut
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.
Hubungan antara r, t dan apotema (p) adalah p2 = r2 + t2
Dalam kerucut berlaku rumus-rumus:
9 Luas permukaan kerucut = πr (p + r)
i. d = 2r atau r = ½ d ii. p2= t 2+ r 2
iii. Lb= πr 2 = ¼πd2
iv. L s= πrp = ½πdp
v. L p= Lb + L s= πr (r + p) =½ πd (d + p)
vi. V = π3 r 2 t
vii. φ = rp x 360
Gambar 2.6 kerucut
Dengan:
r= jari-jari alas kerucut d= diameter alas kerucut t = tinggi kerucut
p = panjang garis pelukis atau apotema Lb = luas bidang bawah/ alas/ dasar kerucut
Ls = luas selimut/ selubung kerucut
Lp = luas permukaan kerucut
Contoh soal :
1. Sebuah kerucut berdiameter 12 cm. Jika tingginya 8 cm dan π = 3,14, hitunglah: a. Luas selimutnya;
b. Luas alasnya;
c. Luas permukaan kerucut. Penyelesaian:
r = 6 cm dan t = 8 cm p2 = r2 + t2 = 62 + 82
p =
√
100 = 10Jadi, panjang garis pelukisnya 10 cm. a. Luas selimut kerucut
L1 = πrp = 3,14 × 6 × 10 = 188,4 Jadi, luas selimutnya 188,4 cm2.
b. Luas alas kerucut
L2 = πr2 = 3,14 × 62= 113,04
Jadi, luas alas kerucut adalah 113,04 cm2.
c. Luas permukaan kerucut
L = L1 + L2 = 188,4 + 113,04 = 301,44
Jadi, luas permukaannya adalah 301,44 cm2.
2. Diketahui sebuah kerucut berdiameter 12 cm dan tingginya 8 cm. Jika π = 3,14, hitunglah volume kerucut tersebut.
Penyelesaian:
Diameter kerucut d = 12 cm sehingga jari-jarinya
r = 122 cm = 6 cm
V = 13 πr2t = 1
3 x 3,14 x 62 x 8 = 301,44 Jadi, volumenya adalah 301,44 cm3.
Gambar 2.7 kerucut terpancung
3. Volume sebuah kerucut adalah 594 cm3. Jika tinggi kerucut itu menjadi 2 kali tinggi semula
(jari-jari tetap), berapa volume kerucut itu setelah perubahan? Penyelesaian:
Misalkan, volume kerucut semula = V1,
tinggi kerucut semula = t1,
volume kerucut setelah perubahan = V2,
dan tinggi kerucut setelah perubahan = t2
maka t2 = 2t1.
Jadi, volume kerucut setelah mengalami perubahan adalah dua kali volume semula, yaitu 1.188 cm3.
2.3. Kerucut Terpancung
Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung
r2
1) Luas selimut
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t1, jari-jari r1, dan apotema p1. Sedangkan
kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan apotema p2. Luas selimut kerucut
terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas selimut kecil.
2) volume krucut terpancung
Volume kerucut terpancung adalah volume kerucut besar dikurangin volume kerucut kecil
= 1
3 πr12t1 - 1
3 πr22t2
Sehingga dalam kerucut terpancung berlaku rumus-rumus sebagai berikut: i. d1 = 2r1 atau r1 = ½ d 1
ii. d2 = 2r2 atau r2 = ½ d 2
iii. Lb= πr 12 = ¼ πd12
iv. La= πr 22 = ¼ πd22
v. L s= πp (r 1+ r 2)= ½πp (d1+ d2)
vi. L p= Lb + La+ L s= πp(r 1+ r 2) + π p(r 12+ r 22)
vii. V = π
3 t (r12+ r22 + r 1r2)
viii. p2 = t2 + ( r 1 – r2)2
Gambar 2.8 krucut terpancung Dengan:
r1 = jari-jari bidang alas/ dasar/ bawah kerucut terpancung
d1 = diameter bidang alas/ dasar/ bawah kerucut terpancung
r2 = jari-jari bidang atas kerucut terpancung
d2 = diameter bidang atas kerucut terpancung
t = tinggi kerucut terpancung
p = panjang garis pelukis atau apotema kerucut terpancung Lb = luas bidang bawah/ alas/ dasar kerucut terpancung
La = luas bidang atas kerucut terpancung
Ls = luas selimut/ selubung kerucut terpancung
Lp = luas permukaan kerucut terpancung
V = volume/ isi kerucut terpancung
Contoh soal :
Gambar di samping merupakan sebuah tutup lampu dengan jari-jari lingkaran atas 5 cm dan jari-jari lingkaran bawah 10 cm. hitunglah luas bahan yang digunakan untuk membuat tutup lampu tersebut!
Penyelesaian :
Untuk kerucut besar r1 = 10 dan p1=20
Untuk kerucut kecil r2 = 5 dan p2 = 8
r
(a)
(b)
r d
Gambar 2.10 unsur-unsur bola = πr1p1 – πr2p2
= (3,14 x 10 x 20) – (3.14 x 5 x 8) = 628 – 125,6
= 502,4 cm2
2.4. Bola
Bola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk. Perhatikan gambar berikut.
Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.
15
Gambar 2.9 kerucut terpancung 8
12 5
Ternyata dari gambar di atas kita dapat merumuskan luas selimut atau permukaan (sisi) bola. Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:
Dalam bola berlaku rumus-rumus: i. d = 2r atau r = ½ d ii. R2 = h2+ r 2
iii. Lt = 2πRt = πDt
iv. L p= 4πR 2= πD2
v. V = 43π R3= π
vi. Vt= π3 t2 (3R- t) = π6 t2(3D – 2t)
Gambar 2.11 Bola Dengan:
R = jari-jari bola D = diameter bola
r = jari-jari bidang lingkaran d = diameter bidang lingkaran
h = jarak pusat bola ke bidang lingkaran
t = jarak dari pusat bidang lingkaran ke kulit bola Lp = luas permukaan bola
Lt = luas bidang lengkung tembereng
V = volume/ isi bola
Vt = volume/ isi tembereng bola
Contoh Soal :
1. Diketahui jari-jari sebuah bola adalah 21 cm. Jika π = 227 , tentukanlah volume bola itu.
Penyelesaian:
V = 43 πr3 = 4 Jadi, volume bola itu adalah 38.808 cm3.
2. Volume sebuah bola adalah 1.43713cm3. Jika π = 22
7 , tentukanlah panjang jari-jarinya? Penyelesaian:
Jadi, panjang jari-jari bola itu adalah 7 cm.
3. Sebuah bola besi berjari-jari 3 cm, dimasukkan ke dalam tabung berisi air sehingga
permukaan air dalam tabung naik. Jika jari-jari alas tabung 10 cm, berapa sentimeter kenaikan air dalam tabung tersebut?
Penyelesaian:
Misalkan, jari-jari bola r1 = 3 cm dan jari-jari tabung r2 = 10 cm maka volume bola = 43
πr13.
Bentuk air yang naik mengikuti bentuk tabung sehingga volume air yang naik = πr22t.
Volume air yang naik = volume bola
t = 10036 = 0,36
Jadi, tinggi air yang naik adalah 0,36 cm.
4. Tangki penyimpanan gas alam cair berbentuk bola dengan diameter 70 m. Supaya tangki itu dapat menyimpan gas alam cair sampai –160°C tanpa membeku, lapisan luar tangki tersebut diisolasi.
a. Berapa meter persegi isolasi yang diperlukan untuk melapisi tangki itu?
b. Jika biaya isolasi per meter persegi adalah Rp75.000,00, berapa besar biaya yang diperlukan untuk mengisolasi tangki tersebut?
Penyelesaian:
Diketahui: Diameter tangki, d = 70 m
Biaya isolasi per meter persegi = Rp75.000,00 Ditanyakan:
a. Berapa m2isolasi yang diperlukan?
b. Berapa besar biaya yang diperlukan untuk mengisolasi tangki itu?
Jawaban :
Rumus yang digunakan adalah luas permukaan bola, yaitu L = 4pr2.
Menentukan panjang jari-jari tangki, kemudian menghitung luas permukaan tangki, sebagai berikut.
Jari-jari r = 12d = 12 × 70 = 35 m
L = 4πr2= 4 × 22
7 × (35)2= 15.400
Jadi, isolasi yang diperlukan adalah seluas permukaan bola, yaitu 15.400 m2. Biaya per meter persegi adalah Rp75.000,00
sehingga biaya seluruhnya adalah
15.400 × Rp75.000,00 = Rp1.155.000.000,00.
Jadi, biaya untuk mengisolasi tangki tersebut adalah Rp1.155.000.000,00
