PERSAMAAN UMUM JUMLAH EDGE DAN VERTEX PADA CYCLE EXTENSION CUBIC GRAPH

ABSTRAK

PERSAMAAN UMUM JUMLAH EDGE DAN VERTEX PADA CYCLE EXTENSION CUBIC GRAPH

Oleh

MOHAMAD IBNU HAMBALI

Cycle extension cubic graph adalah perluasan sirkuit dari suatu graf kubik dengan k ≥ 3, li = 2, 4, 6,..,s dilambangkan ���� � , dengan k adalah bilangan integer

yang menotasikan panjang dari cycle C dan li adalah vertex di ���_� � antara �_�

dan �_�+1 yang bernilai bilangan positif genap.

Pada penelitian ini akan dibahas mengenai persamaan umum jumlah edge dan vertex pada cycle extension cubic graph serta penambahan edge dan vertex pada cycle extension cubic graph tersebut.

Dalam merekonstruksi suatu sirkuit pada graf kubik yang diperluas, digunakan enam operasi yakni M1, M2, M3, M4, M5, dan M6. Rekonstruksi sirkuit operasi M1

pada cycle extension graf kubik menghasilkan suatu sirkuit yang tidak Hamiltonian. Rekonstruksi sirkuit pada operasi M2, M3, M4, M5, dan M6 pada

cycle extension graf kubik menghasilkan suatu sirkuit Hamiltonian.

Berdasarkan hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa persamaan umum penambahan vertex pada cycle extension adalah 2 k �� dan persamaan umum penambahan edge pada cycle extension adalah 3 k �_�. Persamaan umum jumlah vertex pada cycle extension adalah n (V(G)) + 2 k �_� dan persamaan umum jumlah edge pada cycle extension adalah n (E(G)) + 3 k �� .

PADA

CYCLE EXTENSION

CUBIC GRAPH

( Skripsi )

Oleh

Mohamad Ibnu Hambali

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

PERSAMAAN UMUM JUMLAH EDGE DAN VERTEX

PADA CYCLE EXTENSION CUBIC GRAPH

Oleh

Mohamad Ibnu Hambali

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. ………

Sekretaris : Fitriani, S.Si., M.Sc. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Agus Sutrisno, M.Si. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP. 19690530 199512 1 001

Judul Skripsi

:PERSAMAAN UMUM JUMLAH EDGE DAN VERTEX PADA CYCLE EXTENSION CUBIC GRAPH

Nama Mahasiswa : Mohamad Ibnu Hambali Nomor Pokok Mahasiswa : 0717031045

Program Studi : Matematika S1

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. Fitriani, S.Si., M.Sc.

NIP 19631108 198902 2 001 NIP 19840627 200604 2 001

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika Ketua Program Studi Matematika

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Teori graf merupakan salah satu kajian matematika yang memiliki banyak terapan di berbagai bidang sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan, vertex atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis atau edge.

Kita dapat menjumpai beberapa contoh terapan graf dalam kehidupan sehari-hari, seperti : jaringan internet, jalur kereta api yang menghubungkan antar stasiun, jalur penerbangan yang menghubungkan antar bandara, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain.

oleh sungai tersebut. Masalah jembatan Königsberg adalah: apakah mungkin melalui ketujuh jembatan itu masing-masing tepat satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula? Sebagian penduduk kota sepakat bahwa memang tidak mungkin melalui setiap jembatan itu hanya sekali dan kembali lagi ke tempat asal mula keberangkatan, tetapi mereka tidak dapat menjelaskan mengapa demikian jawabannya, kecuali dengan cara coba-coba.

Gambar 1. (a) Jembatan Königsberg dan (b) Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg

Dalam teori graf dikenal beberapa macam sirkuit (cycle) diantaranya sirkuit (cycle) Euler dan sirkuit (cycle) Hamiltonian. Dalam skripsi ini hanya akan dikaji lebih jauh tentang sirkuit (cycle) yang diperluas dari suatu graf G, dengan G adalah graf kubik dengan jumlah vertex pada G adalah 4, 6, 8. Selanjutnya, hasil dari perluasan sirkuit (cycle) pada graf G digabung dengan graf G itu sendiri dilambangkan dengan ���_� � .

1.2 Batasan Masalah

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mencari persamaan umum penambahan jumlah edge dan vertex di ���� � dan mencari persamaan umum jumlah edge dan vertex di ���_� � pada graf kubik yang diperluas dengan k ≥ 3, �_� = 2, 4, 6, … , dimana k adalah bilangan integer yang menotasikan panjang dari cycle C dan �� adalah banyaknya vertex di ���� � antara �� dan ��+1 yang bernilai bilangan positif genap . Jenis graf yang digunakan dalam penelitian ini adalah graf kubik dengan jumlah vertex pada G adalah 4, 6, 8 .

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini di antaranya adalah sebagai berikut:

1. Memperdalam pengetahuan tentang teori graf, khususnya mengenai perluasaan sirkuit (cycle) pada graf kubik.

2. Menggali beberapa informasi yang diberikan oleh operasi M1 , M2, M3 , M4 ,

M5 , dan M6 pada ���� � graf kubik.

II. TINJAUAN PUSTAKA

Definisi 2.1 Graf (Deo,1989)

Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {�1, � , � , . . , �� } himpunan

tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G) = {�₁, � , � , . . , �_� } (mungkin kosong) adalah himpunan pasangan terurut

dari elemen-elemen di V(G) = { �₁, � , � , � , � , � , … . , �_�−1, �_� } yang anggotanya disebut edge.

Gambar 2. Graf G dengan 4 vertex {�₁, � , � , � } dan 4 edge {�₁, � , � , � }

Definisi 2.2 Bertetangga (Adjacent) dan Menempel (Incident) (Siang, 2002)

Dua titik dikatakan bertetangga (adjacent) jika ada garis yang menghubungkan keduanya. Suatu garis dikatakan menempel (incident) dengan suatu titik u, jika titik u merupakan salah satu ujung dari garis tersebut.

� �

� �1

�1 �

Contoh pada Gambar 2 menunjukkan bahwa �₁ adjacent dengan � dan � , � adjacent dengan �₁ dan � , � adjacent dengan �₁ dan � , � adjacent dengan � dan � . Sedangkan �1 incident pada �1 dan � , � incident pada � dan � , � incident pada � dan � , � incident pada �1 dan �

Definisi 2.3 Garis Paralel dan Loop (Deo, 1989)

Garis paralel adalah dua garis atau lebih yang memiliki dua titik ujung yang sama. Loop adalah garis yang titik awal dan ujungnya sama.

Gambar 3. Graf yang memuat garis paralel dan loop

Definisi 2.4 Graf Sederhana (Siang, 2002)

Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung garis paralel dan loop (contoh pada Gambar 2).

Definisi 2.5 Pohon (Tree) (Deo, 1989)

Pohon (Tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat sirkuit.

Definisi 2.6 Graf Berarah (Directed graph) dan Graf tak-Berarah (Undirected graph) (Siang, 2002)

Suatu graf yang semua garisnya berarah maka disebut graf berarah (directed graph). Suatu graf yang semua garisnya tidak berarah maka disebut graf tak-berarah (undirected graph).

Graf tak-berarah (undirected graph) ditunjukkan pada Gambar 2, 3, dan 4.

Gambar 5. Graf berarah (directed graph)

Definisi 2.7 Graf Kubik (Cubic Graph)

Graf Kubik (cubic graph) adalah graf teratur yang berderajat tiga atau graf teratur-3.

Contoh graf kubik ditunjukkan pada gambar berikut, dengan n menyatakan jumlah vertex.

n = 4

n = 6

1

n = 8

n = 10

Gambar 6. Graf kubik

Definisi 2.8 Graf Kubus (Sjostrand, 2005)

Graf kubus adalah graf yang berbentuk kubus, dengan jumlah titiknya (vertex) delapan (n = 8) dan jumlah garisnya 12.

Gambar 7. Graf kubus

Definisi 2.9 Graf Hamiltonian (Hamiltonian Graph)

e Definisi 2.10 Derajat (Wilson & Watkins, 1990)

Derajat suatu vertex �_� adalah jumlah edge yang incident dengan vertex �_� dan dinotasikan d(��) .

Gambar 8. Graf dengan 3 vertex dan 5 edge

Pada gambar 8 dapat kita tentukan derajat dari setiap vertex yakni ; d(�1) = 3, d(� ) = 3, d(� ) = 4.

Teorema 2.1 (Deo, 1989)

Jumlah derajat titik-titik dari sebuah graf adalah sama dengan dua kali jumlah garisnya.

Bukti: Mengikuti kenyataan bahwa setiap garis dihitung dua kali dalam perhitungan derajat suatu titik pada sebuah Graf.

Teorema 2.2

Diberikan Graf G adalah teratur - r dengan banyaknya titik n , maka G mempunyai � garis.

banyaknya garis, berarti nr = 2q atau q = � . Jadi, terbukti graf G mempunyai �

garis.

Teorema 2.3 Setiap graf kubik mempunyai orde (jumlah titik) genap.

Bukti: Diketahui bahwa setiap graf kubik mempunyai derajat tiga (ganjil). Menurut (Teorema 2.1), jumlah derajat seluruh titiknya haruslah berjumlah genap, sehingga jumlah titik yang mungkin hanyalah genap.

Definisi 2.11 PendantVertex (Deo, 1989)

Pendant vertex adalah vertex yang berderajat satu.

Pada Gambar 4, yang merupakan pendant vertex adalah � , � , dan � .

Definisi 2.12 Perjalanan (Walk)(Deo, 1989)

Perjalanan (walk) pada graf G adalah barisan berhingga dari vertex dan edge, dimulai dan diakhiri oleh vertex sedemikian sehingga setiap edge menempel (incident) dengan vertex sebelum dan sesudahnya. Tidak ada edge yang muncul lebih dari sekali dalam sebuah walk. Walk yang dimulai dan diakhiri dengan vertex yang sama disebut walk tertutup.

Salah satu walk graf dari Gambar 8 adalah �₁, �₁, � , � , � .

Definisi 2.13 Lintasan (Path)(Siang, 2002)

Definisi 2.14 Sirkuit (Cycle)(Deo, 1989)

Sirkuit (cycle) adalah suatu walk tertutup yang tidak mempunyai pengulangan vertex kecuali vertex awal dan akhir.

Salah satu cycle pada Gambar 8 adalah �₁, �₁, � , � , � , � , �₁.

Definisi 2.15 Sirkuit (Cycle) Hamiltonian (Deo, 1989)

Sirkuit Hamiltonian adalah sirkuit yang melalui tiap titik/ vertex didalam graf tepat satu kali, kecuali titik asal (sekaligus titik akhir) yang dilalui dua kali.

Gambar 9. Graf yang memiliki sirkuit Hamiltonian

Salah satu sirkuit Hamiltonian pada Gambar 9 adalah

�1, � , � , � , � , �1 , � , � , � , � , � , �1, �1.

Definisi 2.16 n-path (Sjostrand, 2005)

n-path adalah barisan titik/vertex dan garis/edge secara bergantian dengan jumlah titiknya n buah dan semua garisnya berbeda.

Gambar 10. 4-path

Definisi 2.17 Sirkuit Genap (Sjostrand, 2005)

Sirkuit genap adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan titik yang sama, dimana jumlah titiknya genap (n titik) untuk n ≥ 4 , n ∈ +.

Contoh sirkuit genap dengan jumlah vertex 4 dan 6 ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 11. (a) Sirkuit genap dengan n = 4 dan (b) Sirkuit genap dengan n = 6

Definisi 2.18 Sirkuit Ganjil (Sjostrand, 2005)

Sirkuit ganjil adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan titik yang sama, dimana jumlah titiknya ganjil (n titik) untuk n ≥ 3 , n ∈ +.

Contoh sirkuit ganjil ditunjukkan dalam gambar berikut.

(a) (b)

Gambar 12. (a) Sirkuit ganjil dengan n = 3 dan (b) Sirkuit ganjil dengan n = 5

Definisi 2.19 Graf Terhubung dan Graf Tidak Terhubung (Deo, 1989)

Graf G dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua vertex berbeda di G, terdapat suatu path yang menghubungkan kedua vertex tersebut. Jika tidak demikian, maka G dikatakan tidak terhubung (disconnected).

(a) (b) Gambar 13. (a) Graf terhubung (b) Graf tidak terhubung

Definisi 2.20 Perluasan Sirkuit (Cycle Extension) (Hsu and Lin, 2009)

Sirkuit (cycle) yang terbentuk dari gabungan vertex ⋃ _{≤�≤ −1}{ _�, |∀ ≤ ≤ ��} adalah perluasaan cycle (sirkuit) dari C, yang dinotasikan �_�.

Gambar 14. ���_� �

Keterangan:

�� adalah banyaknya vertex di ���� � antara �� dan ��+1 yang bernilai bilangan

positif genap.

�, adalah suatu vertex di ���� � antara �� dan ��+1 .

�, adalah suatu vertex di ���� � yang adjacent ke �, .

� ���� � adalah vertex perluasan cycle (sirkuit) dari G sekitar C.

� ���� � adalah edge perluasan cycle (sirkuit) dari G sekitar C.

Definisi 2.21 Penggantian Sirkuit (Replacing Cycle) (Hsu and Lin, 2009)

H merupakan cycle (sirkuit) dari graf G, _�∗ dinotasikan sebagai cycle (sirkuit) di ���� � yang diperoleh dari H dengan mengganti semua (� , �+1) di E(H) E(C)

Ω_� dinotasikan sebagai cycle (sirkuit) yang diperoleh dari �_� dengan mengganti

setiap⋃ _{≤�≤ −1}{ _�, |∀ ≤ ≤ �_�} = _�,1, _�, , … , _�, dengan

�,1, �,1, �, , �, , �, , �, , … , �, , �, jika �,1, �, , … , �, bukan suatu path

di _�∗.

Definisi 2.22 Operasi Sirkuit (Hsu and Lin, 2009)

Penambahan sirkuit (cycle) H di G merupakan suatu sirkuit (cycle) di ���_� � , dengan beberapa edge� = �_�, �_�+1 di C. Dalam penambahan sirkuit (cycle) ini digunakan enam operasi, dimana operasi ke-3 sampai dengan operasi ke-6 dapat digeneralisir sebagai berikut:

Definisi 2.23 Operasi M1(Hsu and Lin, 2009)

H merupakan suatu sirkuit (cycle) di G yang berisi edge e. Operasi M1 digunakan

untuk mengkonstruksi suatu sirkuit di ���_� � \{( _�, , _{�, +1} ), _�, , _{�, +1} }

Q merupakan pathΩ�\ { ( _�, , �, +1)} dan P adalah path _�∗\ {( _�, , �, +1)} Definisi ₁ , �, = _�, , , _{�, +1} , _{�, +1} , , _�, , _�, .

Gambar 15. Ilustrasi dari Operasi M1

Definisi 2.24 Operasi M2 (Hsu and Lin, 2009)

Misal zi dan zi+1 adjacent di G dan H adalah suatu sirkuit Hamiltonian

(Hamiltonian cycle) di G yang berisi �_�−1, �_� , �_�+1, �_�+ sebagai suatu subpath. Operasi , � digunakan untuk mengkonstruksi suatu sirkuit (cycle) Hamiltonian di ���� � \ {( _{�−1, −} , �,1), _�, , _�+1,1 }. Yi adalah neighborhood

yang unik dari zi yang berbeda diantara �_� dan zi+1 , dan yi+1 adalah neighborhood

yang unik dari zi+1 yang berbeda diantara �_�+1dan zi . G adalah graf kubik,

��−1, �� , ��+1, ��+ adalah suatu subpath dari H, dan �, � , �+1, �+1 adalah

subpath dari H di G. _{�−1, −} , �,1, … , _�, , �+1,1 adalah subpath dari Ω� dan

�−1, − , ��, �,1, �, , … , �, , ��+1 , �+1,1 adalah subpath dari �∗ . Sehingga,

diperoleh suatu path P dari _�∗ dengan mengganti �−1, − , ��, �,1, �, , … , �, , ��+1 , �+1,1 dengan ��, �,1, Ω �, �, , ��+1 dan

�−1, − , �,1, … , �, , �+1,1 dari Ω� sehingga hasil penghapusan dariΩ�

merupakan suatu path Q.

Definisikan M2 , � = _{�−1, −} , _{�−1, −} , , _�+1,1 , _�+1,1 , , _{�−1, −}

Proses operasi M2 dapat dilihat pada Gambar 16 berikut :

Gambar 16. Ilustrasi dari Operasi M2

Definisi 2.25 Operasi M3 dan M4 (Hsu and Lin, 2009)

Misal H adalah sirkuit (cycle) Hamiltonian dari G\{��+1} . Definisikan operasi M3

(H, �_�+1) untuk mengkonstruksi sirkuit (cycle) Hamiltonian dari ���� � \ { �, } dimana j ganjil, dan M4 (H, �_�+1) untuk mengkonstruksi sirkuit

(cycle) Hamiltonian dari ���� � \ { _�, } dengan j genap.

Ketika �_�+1 tidak ada di H , �_�−1, �_� , _� dan �_�+ , �_�+ , _�+ adalah subpath dari H, maka �,1, Ω � , _�, , �+1,1 , Ω ₊ , _{�+1, +} adalah subpath dari Ω�.

Q = Ω_�− _�,1, Ω , _�, , _�+1,1 , Ω ₊ , _{�+1, +} , _{�+ ,1} . Q adalah path dari

Definisikan

M3 (H, e) = < �+ ,1, �+ ,1 , , �,1, �,1 , _�, , _�, , … , �, −1 , �, −1 , _�, , �, +1 ,

�, +1, �, + , �, + , … , �, , �, , ��+1 , �+1,1 , Ω �+1 , �+1, + , ��+ ,

, �+ ,1>

M4 (H, e) = < �+ ,1, �+ ,1 , , �,1, �,1 , _�, , _�, , … , �, −1 , _{�, −1} , _�, , _{�, +1}

�, +1, �, + , �, + , … , �, , ��+1 , �+1,1 , Ω + , �+1, + , ��+ , ,

�+ ,1>

Proses operasi M3 dan M4 dapat dilihat pada Gambar 17 berikut :

Definisi 2.26 Operasi M5 dan M6 (Hsu and Lin, 2009)

Misal H adalah sirkuit (cycle) Hamiltonian dari G\ {�_�} . Definisikan operasi M5

(H, ��) untuk mengkonstruksi suatu sirkuit (cycle) Hamiltonian dari

���� � \ { �, } dengan j genap dan operasi M6 (H, �_�) untuk mengkonstruksi

suatu sirkuit (cycle) Hamiltonian dari ���_� � \ { _�, } dengan j ganjil .

Q = Ω�− _{�− , −} , �−1,1, Ω ₋ , _{�−1, −} , �,1, Ω , _�, . Q adalah suatu path dari _�, ke _{�− , −} .

P = _�∗− �_�−1, _{�− , −} . P adalah path dari _{�− , −} ke �_�−1

Definisikan

M5 (H, x) =<�_�−1 , _�−1,1 , Ω ₋ , _{�−1, −} , �_� , _�,1, _�,1 , _�, , _�, , _�, , … , _{�, −1} ,

�, −1 , �, , �, +1, �, +1, �, + , �, + , … , �, , , �− , − , �− , − ,

, ��−1 >

M6 (H, x) = <�_�−1 , _�−1,1 , Ω ₋ , _{�−1, −} , �_� , _�,1, _�,1 , _�, , _�, , _�, , … , _{�, −1} ,

�, −1 , �, , �, +1, �, +1, �, + , �, + , … , �, , , �− , − ,

Proses operasi M5 dan M6 dapat dilihat pada Gambar 18 berikut.

Gambar 18. Ilustrasi dari Operasi M5 dan M6

2.27 1-Fault-Tolerant Hamiltonian Regular Graphs ( Teng at al, 2005 )

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2011-2012 bertempat di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2Metode Penelitian

Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengumpulkan pustaka (buku-buku) yang berhubungan dengan penelitian ini. 2. Menjabarkan definisi-definisi, teorema-teorema, serta memberikan

contoh-contohnya.

3. Menguraikan bukti-bukti dan teorema yang diberikan

4. Menggambarkan graf G dengan n (V(G)) = 4, 6, 8, lalu diambil sirkuit (cycle) dari graf G dengan nilai k ≥ 3 dan �_� = 2, 4, 6, … , .

5. Mencari persamaan umum penambahan jumlah edge dan vertex pada sirkuit � ��� dari graf kubik G yang diperluas dengan nilai k ≥ 3 dan �� = 2, 4, 6, … , .

Langkah-langkah penelitian ini dapat dilihat pada bagan berikut:

Gambar 19. Langkah-langkah penelitian Studi Literatur

Menggambarkan graf kubik G dengan n (V(G)) = 4, 6, 8, lalu diambil sirkuit (cycle) dari graf G dengan nilai k ≥ 3 dan �_� = 2, 4, 6, … , .

Mencari persamaan umum penambahan jumlah edge dan vertex pada sirkuit � ��� dari graf kubik G yang diperluas dengan nilai k ≥ 3 dan �_� = 2, 4, 6, … , .

Mencari persamaan umum jumlah edge dan vertex di ���� � Mulai

Kesimpulan

Selesai

Menjabarkan definisi-definisi, teorema-teorema, serta memberikan contoh-contohnya.

Kupersembahkan karya kecilku ini untuk

Kata-kata Motivasi:

“Gunakan waktumu dengan sebaik-baiknya hanya untuk

menggapai ridho ALLAH SWT”

“Awali setiap aktivitasmu dengan Basmallah dan akhiri

dengan Hamdallah semoga Allah SWT meridhoi setiap

aktivitasmu”

Rasullah SAW Bersabda:

1. “ Tidak disebut sebagai dosa kecil apabila dosa tersebut

dikerjakan secara terus-menerus.

2.

Tidak disebut dosa besar apabila disertai dengan

istigfar

”.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di kota Tangerang, Provinsi Banten pada tanggal 20 Mei 1988, sebagai anak kelima dari delapan bersaudara, dari Bapak Martono dan Ibu Siti Awanah.

Pendidikan dasar diselesaikan di SDN Rama 1, Tangerang pada tahun 2000. Pendidikan menengah pertama diselesaikan di SLTPN 9, Tangerang pada tahun 2003. Pendidikan menengah atas diselesaikan di SMAN 5, Tangerang pada tahun 2006.

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi umat manusia.

Skripsi dengan judul “Persamaan Umum Jumlah Edge Dan Vertex Pada Cycle

Extension Cubic Graph” adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

Skripsi ini dapat diselesaikan tidak terlepas dari bantuan dan kerja sama berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ibu Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku pembimbing utama atas kesediaan waktunya untuk memberikan bimbingan, ilmu, saran, arahan dan kritikannya. 2. Ibu Fitriani, S.Si., M.Sc., selaku pembimbing kedua atas kesediaan waktunya

untuk memberikan bimbingan, ilmu, saran, arahan dan kritikannya.

4. Bpk Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku ketua jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Ibu Dra. Dorrah Asis, M.Si, selaku ketua program studi matematika dan pembimbing akademik penulis.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Dosen dan karyawan jurusan matematika FMIA Universitas Lampung. 8. Bapak, Ibu dan keluarga tercinta atas do’a dan dukungannya.

9. Teman-teman Animasi 07 atas bantuan dan kebersamaan selama ini.

10. Teman – teman angkatan Rohman, Ardi, Gayoh, Herdumi, Mahfud, Tukino, Juanda, Ales, Agung atas bantuan dan kebersamaan selama ini.

11. Teman – teman satu bimbingan Ardi, Isna, Septi, Mila, Anike, Mira atas bantuan dan dukungannya.

12. Adik tingkat di Jurusan Matematika angkatan 2008, 2009, 2010 dan 2011. 13. Teman-teman pengurus Himatika, Rois, BEM FMIPA Unila, Ikahimatika

Indonesia.

14. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Hanya Allah SWT yang akan membalas semuanya. Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan dan semoga dapat bermanfaat.Amiin.

Bandar Lampung, 19 Mei 2012 Penulis

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan pada Graf Kubik dengan n (V(G)) = 4, 6, 8, yang diperluas dengan k ≥ 3 dan �_� = 2, 4, 6, … , maka dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Persamaan umum jumlah vertex pada cycle extension adalah

n (V(���_� � )) = n (V(G)) + 2 k �_�

2. Persamaan umum jumlah edge pada cycle extension adalah n (E(���� � ) = n (E(G)) + 3 k ��

3. Persamaan umum penambahan vertex pada cycle extension adalah n (V(���_� � )) – n (V(G)) = 2 k �_�

4. Persamaan umum penambahan edge pada cycle extension adalah

n (E(���_� � )) – n (E(G)) = 3 k �_�

5. Rekonstruksi sirkuit operasi M1 pada cycle extension graf kubik menghasilkan

suatu sirkuit yang tidak Hamiltonian.

6. Rekonstruksi sirkuit pada operasi M2, M3, M4, M5, dan M6 pada cycle

5.2Saran