MATEMATIKA IV 2

(1)

(11) Selesaikan ₍_y ₄_x₎2 dx

dy

 

Jawab : Ditulis dy = (y – 4x)2 dx. Transformasi y – 4x = v, dy = 4dx + dv.

Menyusutkan persamaan menjadi 4 dx + dv = v2_dx_atau ₀ 4 2    v dv dx ,

Maka C x

v v c

v v

x In 4

2 2 In 2 2 In 4 1 1        

x _Ce x

x y x y ce v

v 4 4

2 4 2 4 dan 2

2  _ 

      

(12) Selesaikan tan2 (x + y) dx – dy =

Jawab : Transformasi x + y = v  dy = dv – dx menyusutkan persamaan

menjadi (tan2_v₎_dx_₍_{dv – dx}_{) = 0}_ ₀ tan 1_ 2  

v dv dx

atau dx – cos2_{v dv}_{= 0. Integrasi memberikan}



x y



c



x y



c

v v v

x  1sin2  dan 2   sin2 

2 1

1

(13) Selesaikan



2_2_x2 _y



_y_dx_



_x2 2_2



_x_dy _0

Jawab : Transformasi , , 2 4 ₅ memberikan

2 4 4 2 2 1 2 _dx x v dv x v dy x v y y x

v   

























C y x xy v v c x c v v x v dv v dv x dx dv v x dx v v dx x v dv x v v x dx x v v        _       _                           3 atau 3 y x xy c 1 dan 3 , In 3 In In 2 In 3 0 3 3 1 3 2 Maka . 0 2 3 atau 0 5 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1

(14) Selesaikan



2_x2 _3_y2 _ 7



_x_dx_



3_x2 _2_y2_ 8



_y_dy_0 Jawab : Transformasi x2 _u,y2 _v,du_2xdx,dv_2ydy

(2)































1



5



3



dan 3 1 3 1 1 1 In 1 n I 5 1 In In 4 maka 0 1 2 5 1 2 1 3 2 | 2 peroleh' Kita variabel. memisahkan Dengan 0 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 2 2                                              y x C y x C y x y x v u v u t s t s r r t C r r t r dr r dr t dt dr r r t dt dr t r dt r

(15) Selesaikan 2









0

 



ydy y xdy ydx dx

x x

Jawab :







        

ydy d x y xdy ydx x d y_x dx

x 2 2 _dan 2

2 1

Substitusi x2₊_y2₌_2_, __tan__atau_x___cos_

x y











2 2







2

1 2 2 1 2 2 2 2 1 dan 1 sec Maka . 0 sec tan atau sin cos berbentuk diberikan yang Persamaan sin cos , cos sin ; sin Cx x y x c x x y x c d d d dρ d d dy d dx y                                               

(16) Selesaikan 2x3_{+ 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0}

Jawab :



2 3 3



3,



3 _ _1



_3

            y x x x N y x y y M

Jadi M_y _N_y 



, berarti persamaan di atas adalah eksak

Misalkan



x y





x y



dx x xy

 

y

x ₂ 3

1 3

2

, 3 4 _

 



   

 





 

C y y xy x c y y xy x y y y y y x y x N y x y                     2 6 atau 2 1 3 2 1 : memberikan Persamaan . 1 2 1 1 ' , 1 3 , ' 3 2 4 1 2 4 2    

(17) Selesaikan



_x2_exy2 _4_x3



_dx_



2_xy_exy2 _ 3_y2



_dy_0 Jawab : _y2 _exy2 ₄_x3 ₂_y_exy2 ₂_xy3 _exy2

y y M        



2_xy_exy2 3_y2



2_y_exy2 2_xy3 _exy2 x y N        

Jelas dan persamaan diatasadalah eksak.

x N y M     

Misalkan



x y





y exy x



dx exy x

 

y

x 4

, 2 2 3 2 4 _

(3)

₂_xy_e 2 _'

 

_y ₂_xy_e 2 ₃_y2 _'

 

_y ₃_y2 y

xy

xy _ _ _ _ __

  

 



_

 

y __y3_dan_penyelesai_annyaexy2 _x4 _ y3 _C

BILANGAN KOMPLEKS

z = x + j y x disebut bagian riil dan j y disebut bagian imajinasi (khayal). Dimana disebut bilangan imajiner.

= = j x 4 = 4 j

Garis bilangan rill

Garis bilangan khayal z = x + jy , z = bilangan kompleks

x = bilangan rill y = bilangan rill

z1 = a + j b dan z2 = C + jd jika dan hanya jika a = c dan b = d

j 2 z5

z2 z1

1 r

-3 -2 -1 1 2 3 x -1

z3 -2 x6 z4

z 1= + 3 + j2

z2 = – 3 + j2

z3 = –3 – j2

z4 = 3 – j2

(4)

Bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri z = x + j y

y z x = cos 

r y = r sin 

 z = r cos  + j sin 

x

disebut modulus dari z

disebut argumen dari z. Rumus ever : z = r cos  + j r sin  = r ej

Bilangan kompleks dalam bentuk eksponesial diubah menjadi bentuk polar : z = re j_{= r}

Biasanya  = dalam derajat. Jadi 4 bentuk bilangan kompleks.

1. Rectangular : z = x + j y 2. Polar : z = r < 

3. Eksponendial : z = r e

4. Trigonometri : z = r (cos  + j sin ) Conjugate dari bilangan kompleks

z = x + j y , bilangan kompleks

z = x – j y , konjugate dari bilangan kompleks Contoh :

Dalam bentuk polar conjugate bilangan kompleks sebagai berikut : z2 j4 z1

5

143,1o

(5)

z1

= 5  – 134,1o

1. Rectangular : z = x + jy ; z = x – jy 2. Polar : z = r  ; z = r  –  3. Eksponensial : z = r e j ; z r e

4. Trigometri : z = r (cos  + j sin 

z_r_{(cos –}_j_sin_

Penjumlahan dan pengurangan bilangan – bilangan kompleks jika : z1 = 8 – j5 ; z2 = 2 + j5

Maka : z1 + z2 = ( 8 – j5) + (2 + j5) = (8+2) + (– j5 + j5) = 10 + j0

z1 – z2 = ( 8 – j5) – (2 + j5) = (8 – 2) – (–5 – 5) = 10 + j0 = 6 – j 10

Perkalian dua bilangan kompleks . Jika z1 = r1 ej1 dan z2 = r2 ej2

Maka : z1 z2 = (r1 ej1 ) (r2 ej2 ) = r1 r2 e j(1 + 2)

Bentuk polar r1 r21 + 2

Bentuk rectangular : (x1 + jy1 ) (x2 + jy2) = x1 x2 + j x1x2 + j1x2y2 + j2 y1y2

= (x1 x2 – y1y2) + (x1 y2 + y1 x2)

Contoh : 1. Jika = 5

z2 = 2e

Maka z1 z2 =

2. Jika z1 = 2  30o dan z2 = 5  – 45o maka

z1 z2 = ( 2  30o ) x ( 5 – 45o) = 10  (30o – 45o) = 10  – 15o

2 jika z1 + 2 + j3 dan z2 = – 1 – j3 maka

z1z2 = (2 + j3 ) (– 1 –j3) = 7 – j9

pembagian bilangan kompleks, jika z1 = r1 e j1 dan z2 = r2 e j2

(6)

Dalam bentuk polar : 

Dalam bentuk rectangular

Contoh 1 : z1 =

Sehinga =

Contoh 2 : z1 = 8  – 30o ; z2 = 2  60o

Sehingga :

Contoh 3 : z1 = 4 – j5 ; z2 = 1 + j2 maka

AKAR BILANGAN KOMPLEKS

Jika z = r e j_{dapat ditulis menjadi z =}_{r e}j( + 2 π n)

Dimana n = 0  1,  2,……..

z = r  j boleh ditulis menjadi z = r + n 360o

=

 + n 360o_/k

Dimana : n = 1, 2, 3, 4, ……… ( k – 1 )

Contoh 1 : jika z = 8  60o_maka _{60 +}

(7)

Jika n = 1 maka =

Jika n = 2 maka

Contoh 2 : Jika 1 = 1 e j2kn_maka _ej2π/3

Jika n = 0 , = e j2πn/3

Jika n = 1 , e j2π1/3₌ _₁₄₄o

LOGARITMA DARI BILANGAN KOMPLEKS

Dalam bentuk ekspenensial z = r e j ( + 2π n)

Maka ln z = ln re j ( + 2π n)₌_ln_{r +}_ln_ej ( + 2π n)

= ln r + j ( + 2π n) Contoh :

Jika z = 3e jπ/6_maka_lu_{z = ln e} ₌_lu_{3 + j}

lu z = 1. 0999 + j 0,523 Latihan soal

1. Buatlah sketsa : a ) 2 – j2 b) 3 + j8 c) – j5 2. Ubahlah dalambentuk polar.

a) 15 e jπ/4_{b) – 4 e}j5π/6_{c) – 18 e}–j3π/2

Jika z = 3 – j 4 tentukan z z

Jika z = 10  – 40o_{tentukan zz}

Jika z = 20  53,1o_{tentukan z + z}

Jika z = 2,5 e –jπ/3_{tentukan zz}

Jika z = 2 + j8 tentukan z – z

Jika z = 10 – j4 tentukan z + z

Jika z = 95  25o_{tentukan z – z}

(8)

3. Tentukan akar dari bilangan kompleks

4. Tentukan logaritma natural dari bilangan komples a) z = 20  45o

b) z = 60  - 60o

c) z = 0,3  120o

d) z = 0,3  180o

e) z = (0,3  180o_{) ( 20}_₄₅o₎

5. Hitung :

a) (10  53,1o_{) + (4 + j2)}

b) (10  90o_{) + (8 – j2)}

c) (–4– j6) + (2 + j4) d) 2,83  45o_{) – ( 2 – j8)}

e) (– 5 + j5) – ( (1 – j10) f) (2 – j10) – ( 1 – j10)

g) (10 + j1) + 6 – (13,45  42o₎

h) (15  53,1o_{) – ( 1 – j6)}

6. Tentukan perkalian bilangan kompleks berikut . a) (5 + j5 ) ( 1 – j1)

b) (2 + j10) ( 3 – j3)

7. Hitung pembagian dua bilangan kompleks

(9)

dari z1 dan z2 berikut .

a. z1 = 10 + j5 ; z2 = 20  30o

b. z1 = 5  45o ; z2 = 10  – 70

c. z1 = 6 – j2 ; z2 = 1 + j8

d. z1 = 20 ; z2 = + j 40o