(11) Selesaikan (y 4x)2 dx
dy
Jawab : Ditulis dy = (y – 4x)2 dx. Transformasi y – 4x = v, dy = 4dx + dv.
Menyusutkan persamaan menjadi 4 dx + dv = v2 dx atau 0 4 2 v dv dx ,
Maka C x
v v c
v v
x In 4
2 2 In 2 2 In 4 1 1
x Ce x
x y x y ce v
v 4 4
2 4 2 4 dan 2
2
(12) Selesaikan tan2 (x + y) dx – dy =
Jawab : Transformasi x + y = v dy = dv – dx menyusutkan persamaan
menjadi (tan2v) dx (dv – dx) = 0 0 tan 1 2
v dv dx
atau dx – cos2v dv = 0. Integrasi memberikan
x y
c
x y
cv v v
x 1sin2 dan 2 sin2
2 1
1
(13) Selesaikan
22x2 y
ydx
x2 22
xdy 0Jawab : Transformasi , , 2 4 5 memberikan
2 4 4 2 2 1 2 dx x v dv x v dy x v y y x
v
C y x xy v v c x c v v x v dv v dv x dx dv v x dx v v dx x v dv x v v x dx x v v 3 atau 3 y x xy c 1 dan 3 , In 3 In In 2 In 3 0 3 3 1 3 2 Maka . 0 2 3 atau 0 5 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1(14) Selesaikan
2x2 3y2 7
xdx
3x2 2y2 8
ydy0 Jawab : Transformasi x2 u,y2 v,du2xdx,dv2ydy
1
5
3
dan 3 1 3 1 1 1 In 1 n I 5 1 In In 4 maka 0 1 2 5 1 2 1 3 2 | 2 peroleh' Kita variabel. memisahkan Dengan 0 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 2 2 y x C y x C y x y x v u v u t s t s r r t C r r t r dr r dr t dt dr r r t dt dr t r dt r
(15) Selesaikan 2
0
ydy y xdy ydx dx
x x
Jawab :
ydy d x y xdy ydx x d yx dx
x 2 2 dan 2
2 1
Substitusi x2 + y2 = 2, tan atau xcos
x y
2 2
21 2 2 1 2 2 2 2 1 dan 1 sec Maka . 0 sec tan atau sin cos berbentuk diberikan yang Persamaan sin cos , cos sin ; sin Cx x y x c x x y x c d d d dρ d d dy d dx y
(16) Selesaikan 2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0
Jawab :
2 3 3
3,
3 1
3 y x x x N y x y y M
Jadi My Ny
, berarti persamaan di atas adalah eksak
Misalkan
x y
x y
dx x xy
yx 2 3
1 3
2
, 3 4
C y y xy x c y y xy x y y y y y x y x N y x y 2 6 atau 2 1 3 2 1 : memberikan Persamaan . 1 2 1 1 ' , 1 3 , ' 3 2 4 1 2 4 2 (17) Selesaikan
x2exy2 4x3
dx
2xyexy2 3y2
dy0 Jawab : y2 exy2 4x3 2yexy2 2xy3 exy2y y M
2xyexy2 3y2
2yexy2 2xy3 exy2 x y N Jelas dan persamaan diatasadalah eksak.
x N y M
Misalkan
x y
y exy x
dx exy x
yx 4
, 2 2 3 2 4
2xye 2 '
y 2xye 2 3y2 '
y 3y2 yxy
xy
y y3 dan penyelesaiannya exy2 x4 y3 CBILANGAN KOMPLEKS
z = x + j y x disebut bagian riil dan j y disebut bagian imajinasi (khayal). Dimana disebut bilangan imajiner.
= = j x 4 = 4 j
Garis bilangan rill
Garis bilangan khayal z = x + jy , z = bilangan kompleks
x = bilangan rill y = bilangan rill
z1 = a + j b dan z2 = C + jd jika dan hanya jika a = c dan b = d
j 2 z5
z2 z1
1 r
-3 -2 -1 1 2 3 x -1
z3 -2 x6 z4
z 1= + 3 + j2
z2 = – 3 + j2
z3 = –3 – j2
z4 = 3 – j2
Bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri z = x + j y
y z x = cos
r y = r sin
z = r cos + j sin
x
disebut modulus dari z
disebut argumen dari z. Rumus ever : z = r cos + j r sin = r ej
Bilangan kompleks dalam bentuk eksponesial diubah menjadi bentuk polar : z = re j= r
Biasanya = dalam derajat. Jadi 4 bentuk bilangan kompleks.
1. Rectangular : z = x + j y 2. Polar : z = r <
3. Eksponendial : z = r e
4. Trigonometri : z = r (cos + j sin ) Conjugate dari bilangan kompleks
z = x + j y , bilangan kompleks
z = x – j y , konjugate dari bilangan kompleks Contoh :
Dalam bentuk polar conjugate bilangan kompleks sebagai berikut : z2 j4 z1
5
143,1o
z1
= 5 – 134,1o
1. Rectangular : z = x + jy ; z = x – jy 2. Polar : z = r ; z = r – 3. Eksponensial : z = r e j ; z r e
4. Trigometri : z = r (cos + j sin
z r (cos – j sin
Penjumlahan dan pengurangan bilangan – bilangan kompleks jika : z1 = 8 – j5 ; z2 = 2 + j5
Maka : z1 + z2 = ( 8 – j5) + (2 + j5) = (8+2) + (– j5 + j5) = 10 + j0
z1 – z2 = ( 8 – j5) – (2 + j5) = (8 – 2) – (–5 – 5) = 10 + j0 = 6 – j 10
Perkalian dua bilangan kompleks . Jika z1 = r1 ej1 dan z2 = r2 ej2
Maka : z1 z2 = (r1 ej1 ) (r2 ej2 ) = r1 r2 e j(1 + 2)
Bentuk polar r1 r21 + 2
Bentuk rectangular : (x1 + jy1 ) (x2 + jy2) = x1 x2 + j x1x2 + j1x2y2 + j2 y1y2
= (x1 x2 – y1y2) + (x1 y2 + y1 x2)
Contoh : 1. Jika = 5
z2 = 2e
Maka z1 z2 =
2. Jika z1 = 2 30o dan z2 = 5 – 45o maka
z1 z2 = ( 2 30o ) x ( 5 – 45o) = 10 (30o – 45o) = 10 – 15o
2 jika z1 + 2 + j3 dan z2 = – 1 – j3 maka
z1z2 = (2 + j3 ) (– 1 –j3) = 7 – j9
pembagian bilangan kompleks, jika z1 = r1 e j1 dan z2 = r2 e j2
Dalam bentuk polar :
Dalam bentuk rectangular
Contoh 1 : z1 =
Sehinga =
Contoh 2 : z1 = 8 – 30o ; z2 = 2 60o
Sehingga :
Contoh 3 : z1 = 4 – j5 ; z2 = 1 + j2 maka
AKAR BILANGAN KOMPLEKS
Jika z = r e j dapat ditulis menjadi z = r ej( + 2 π n)
Dimana n = 0 1, 2,……..
z = r j boleh ditulis menjadi z = r + n 360o
=
+ n 360o/k
Dimana : n = 1, 2, 3, 4, ……… ( k – 1 )
Contoh 1 : jika z = 8 60o maka 60 +
Jika n = 1 maka =
Jika n = 2 maka
Contoh 2 : Jika 1 = 1 e j2kn maka e j2π/3
Jika n = 0 , = e j2πn/3
Jika n = 1 , e j2π1/3 = 144o
LOGARITMA DARI BILANGAN KOMPLEKS
Dalam bentuk ekspenensial z = r e j ( + 2π n)
Maka ln z = ln re j ( + 2π n) = ln r + ln e j ( + 2π n)
= ln r + j ( + 2π n) Contoh :
Jika z = 3e jπ/6 maka lu z = ln e = lu 3 + j
lu z = 1. 0999 + j 0,523 Latihan soal
1. Buatlah sketsa : a ) 2 – j2 b) 3 + j8 c) – j5 2. Ubahlah dalambentuk polar.
a) 15 e jπ/4 b) – 4 e j5π/6 c) – 18 e –j3π/2
Jika z = 3 – j 4 tentukan z z
Jika z = 10 – 40o tentukan zz
Jika z = 20 53,1o tentukan z + z
Jika z = 2,5 e –jπ/3 tentukan zz
Jika z = 2 + j8 tentukan z – z
Jika z = 10 – j4 tentukan z + z
Jika z = 95 25o tentukan z – z
3. Tentukan akar dari bilangan kompleks
4. Tentukan logaritma natural dari bilangan komples a) z = 20 45o
b) z = 60 - 60o
c) z = 0,3 120o
d) z = 0,3 180o
e) z = (0,3 180o) ( 20 45o)
5. Hitung :
a) (10 53,1o) + (4 + j2)
b) (10 90o ) + (8 – j2)
c) (–4– j6) + (2 + j4) d) 2,83 45o) – ( 2 – j8)
e) (– 5 + j5) – ( (1 – j10) f) (2 – j10) – ( 1 – j10)
g) (10 + j1) + 6 – (13,45 42o)
h) (15 53,1o) – ( 1 – j6)
6. Tentukan perkalian bilangan kompleks berikut . a) (5 + j5 ) ( 1 – j1)
b) (2 + j10) ( 3 – j3)
7. Hitung pembagian dua bilangan kompleks
dari z1 dan z2 berikut .
a. z1 = 10 + j5 ; z2 = 20 30o
b. z1 = 5 45o ; z2 = 10 – 70
c. z1 = 6 – j2 ; z2 = 1 + j8
d. z1 = 20 ; z2 = + j 40o
