PERIL AK U SOL US I SISTE M PE RSAMAAN LOTKA-VOLTERRA DENGAN WAKTU TUNDA
Oleh : Silva Humaira NIM. 4123230026 Program Studi Matematika
SKRIPSI
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
ii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada 13 Desember 1994 di Medan. Ayah
bernama Wagino dan ibu bernama Khairani, S.Ag. Penulis memiliki 1
saudara laki-laki bernama Muhammad Prawira dan satu saudara
perempuan bernana Tia Husnul Zurriyati.Pada tahun 1999 penulis
mengikuti sekolah PAUD di Fremethodist. Lalu pada tahun 2000
penulis bersekolah di SD Swasta Alwashliyah Ampera II Medan dan
lulus pada tahun 2006. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan
pendidikan kejenjang menengah di SMP N 7 Medan. Pada tahun 2009, penulis melanjutkan pendidikan di SMAN4 Medan dan lulus
pada tahun 2012. Pada tahun 2012, penulis diterima di Universitas
Negeri Medan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
PERILAKU SOLUSI SISTEM PERSAMAAN
LOTKA-VOLTERRA DENGAN WAKTU TUNDA
Silva Humaira NIM: 4123230026
ABSTRAK
Penelitian ini membahas perilaku sistem persamaan Lotka-Volterra dengan waktu tunda. Pembahasan dilakukan terhadap hasil simulasi Matlab dengan menggunakan metode Forward Euler. Dari hasil pengamatan yang telah dilakukan pada simulasi untuk beberapa nilai parameter dapat dilihat adanya hubungan antara waktu tunda dengan perilaku solusi sistem. Adanya pengaruh waktu tunda pada sistem Lotka-Volterra akan menghilangkan sifat periodik solusi. Pengaruh waktu tunda mengakibatkan siklus populasi semakin mengembang, namun kedua populasi tidak akan mengalami kepunahan. Kemudian panjang interval tunda berpengaruh terhadap laju perkembangan siklus populasi. Makin panjang interval tunda makin cepat laju perkembangan sikluspopulasi.
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas
segala nikmat dan karunia-Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyele-
saikan skripsi yang berjudul ”Perilaku Solusi Sistem Persamaan
Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda”.
Dalam skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai
pihak,oleh karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd selaku Rektor Universitas Negeri Medan yang
telah memberikan ijin dan kesempatan untuk menyelesaikan studi Strata 1 di
Universitas Negeri Medan.
2. Dr. Asrin Lubis, M.Pd selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-
tahuan Alam.
3. Dr. Edy Surya, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika dan Drs. Yasifati Hia,
M.Si selaku Sekretaris Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan.
4. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Prodi Jurusan Matematika dan
selaku dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing dan mengarahkan
penulis dalam melaksanakan penelitian hingga skripsi ini dapat terselesaikan
denganbaik.
5. Dr. Mulyono, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan denganbaik.
6. Dra.Lucy Karyati Basar, M.Si., ArnahRitonga ,S.Si., M.Si. , Susiana, S.Si.,
M.Si selaku dosen penguji yang telah membimbing serta memberikan masukan
dalam pembuatan skripsi.
7. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang tidak bosan-bosannya
membimbing saya, mengingat saya dan terus mengajari saya agar menjadi
manusia yang lebih baik lagi dan mencirikan sikap serta sifat layaknya manusia
yang berintelektual.
8. Kepala Perpustakaan Digital Library Universitas Negeri Medan beserta stafnya
yang telah memberikan izin dan kemudahan selama peneliti melakukan
9. Kedua orang tua tercinta, yaitu Ayahanda Wagino dan Ibunda Khairani, S.Ag, yang telah memberikan dukungan dan semangat serta do’a yang selalu menjadi pelecut semangat dalam menulis skripsiini.
10. Nenek saya tersayang yang selalu mendoakan saya. Adik-adik saya yaitu
Muhammad Prawira, Tia Husnul Zurriyati, Dara Febriani, Putri Salsabilla, Lia
Putri dan seluruh keluarga saya yang telah membantu dan menjadi motivasi
selamaini.
11. Teman-teman terkasih (Faisal, Ayu, Sabrina, Syahputri, Retno, Putri, Zeze,
Deffy, Dian, Fanny, Tiwi,Riri).
12. Sahabat-sahabtku dibangku kuliah (Ira, Intan, Hawa, Ester, Dea, Heni,
Wulandari).
13. Teman-teman seperjuangan seluruh keluarga besar Matematika Nondik 2012
(Ramlah, Yuni, Essa, Ade, Robin, Tanyel, Bruce, Candra, Rizba, Penny, Nina,
Cardo, Nuel, Yayuk, Nanda, Nadya, Intan, Rahma, Dewi, Isna, Yanti, Mika,
Sriwati, Delvi, Mona, Hadi, Julius, Faisal, Jufrido, Abdul,Daus).
Penulis berharap semoga Tuhan membalas kebaikan dari semua pihak yang
telah banyak membantu dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Namun mengingat penulis masih dalam tahap belajar, penulis menyadari bahwa
isi yang disajikan dalam skripsi ini masih memiliki kekurangan dan ketidaksem-
purnaan. Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
diharapkan. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Akhir kata,
penulis mengucapkan terimakasih.
Medan, September 2016
Penulis
Silva Humaira
DAFTAR ISI
1.1. Latar Belakang Masalah 1
1.2. Rumusan Masalah 4
2.4. Persamaan Diferensial Tunda 12
2.5. Persamaan Lotka-Volterra denganWaktu Tunda 13
2.6. Titik Keseimbangan (Equilibrium) 15
BAB III MetodePenelitian 17
3.1. Tempat dan WaktuPenelitian 17
3.2. Jenis Penelitian 17
3.3. Prosedur Penelitian 17
BABIV Pembahasan 19
4.1. Model Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda 19
4.2. Simulasi Numerik 22
vii
BABV Penutup 30
5.1. Kesimpulan 30
5.2. Saran 30
DAFTARPUSTAKA 31
Lampiran A Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusI 32
Lampiran B Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusII 34
Lampiran C Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusIII 36
Lampiran D Sistem Persamaan Lotka-Voterra untuk KasusIV 38
Lampiran E Sistem Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda (τ=1) 40 Lampiran F Sistem Lotka-Volterra dengan Waktu Tunda (τ=0,1) 42 Lampiran G Sistem Lotka-Volterra tanpa Waktu Tunda 43
Lampiran H Surat Permintaan Kesediaan Dosen PS 45
Lampiran I Surat Permohonan Izin Penelitian 46
Lampiran J Surat Izin Penelitian dari Fakultas 47
Lampiran K Surat Izin Penelitian dari Tempat Penelitian 48
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Gambar 2.2
Trayektori dari model (2.7) dengan parameter α=
2, =1, =1,δ=1
Solusi periodik mangsa dan populasi pemangsa, untuk model Lotka-Volterra (2.7) dengan parameter α=
11
2, = 1, = 1,δ= 1 12
Gambar 4.1 Bidang fase: hubungan antara populasi mangsa dan
populasi pemangsa 21
Gambar 4.2 Grafik persamaan diferensial dari persamaan mangsa- pemangsa dengan α= 0, 01, = 0, 01, = 0, 01,
Gambar 4.3
δ= 0,01, x(0) = 2 dan y(0) = 1
Grafik Persamaan Diferensial dari Persamaan Mangsa- 22
pemangsa dengan α= 0, 01, = 0, 02, = 0, 02,
Gambar 4.4
δ= 0,01, x(0) = 2, y(0) = 1
Grafik persamaan diferensial dari persamaan mangsa- 24
pemangsa dengan α= 0, 01, = 0, 01, = 0, 02,
Gambar 4.5
δ= 0,02, x(0) = 2, y(0) = 1
Grafik persamaan diferensial dari persamaan mangsa- 25
pemangsa dengan α= 0, 01, = 0, 02, = 0, 01,
Gambar 4.6
δ= 0,02, x(0) = 2, y(0) = 1
Trayektori pada bidang fase dengan parameter α=
26
0, 01, = 0, 01, = 0, 02, δ= 0, 02, x(0) =2,
Gambar 4.7
y(0) = 1 .
Trayektori pada bidang fase dengan parameter α=
28
0, 01, = 0, 01, = 0, 02, δ= 0, 02, x(0) =2,
DAFTAR TABEL
Tabel 1.1 Jumlah populasi mangsa dan pemangsa, dengan α= 0,
01, = 0, 01, = 0, 01, δ= 0, 01, x(0) = 2, dan
y(0) = 1 33
Tabel 2.1 Jumlah populasi mangsa dan pemangsa, dengan α= 0, 01, = 0, 02, = 0, 02, δ= 0, 01, x(0) = 2, dan
y(0) = 1 35
Tabel 3.1 Jumlah populasi mangsa dan pemangsa, dengan α=
Tabel 4.1
0, 01, = 0, 01, = 0, 02, δ= 0, 02, x(0) = 2, dan
y(0)=1 37
Jumlah populasi mangsa dan pemangsa, dengan α= 0, 01, = 0, 02, = 0, 01, δ= 0, 02, x(0) = 2, dan
Pendahuluan
1.1.
Latar BelakangMasalah
Model matematika merupakan representasi masalah dalam dunia nyata yang
menggunakan bahasa matematika. Bahasa matematika yang digunakan dalam
pemodelan meliputi persamaan diferensial, sistem dinamika, statistik, aljabar,
analisis, teori permainan, dan lain sebagainya. Adapun salah satu yang menarik
dipelajari adalah persamaan diferensial. Sampai saat ini, teori mengenai
persamaan diferensial terus dikembangkan, metode yang dipakai untuk
menyelesaikan masalah persamaan diferensial pun bermacam-macam, tergantung
dari jenis persamaan diferensial yangdipelajari.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan-
turunan dari satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial
biasa hanya melibatkan suatu fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya
yang semuanya dievaluasi pada saat yang sama, yaitu pada saat t.
Waktu tunda (time delay) penting dalam pemodelan masalah nyata sebab
keputusan biasanya dibuat berdasarkan informasi pada keadaan sebelumnya. Hal
ini penting untuk dipertimbangkan dalam memodelkan pertumbuhan populasi
karena laju pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah populasi
pada waktu sekarang t tetapi juga bergantung pada jumlah populasi pada waktu
sebelumnya atau pada waktu (t −α) (Haberman, 1998).
Dalam masalah biologi, sering digunakan model matematika dengan waktu
tunda, yang sering disebut dengan persamaan diferensial tunda. Banyak sistem
interaksi yang berlangsung dalam ekosistem alami, salah satunya adalah sistem
interaksi mangsa-pemangsa (predator-prey). Pemangsa merupakan spesies yang
pada umumnya ukurannya lebih besar dibandingkan dengan mangsa, sedangkan
mangsa adalah spesies yang dimangsa yang pada umumnya ukurannya lebih kecil
dari pada pemangsa (William, 2008).
Pemangsa mengontrol ledakan populasi mangsa, dan sebaliknya naik
2
turunnya populasi hewan mangsa mengontrol populasi pemangsa. Pengontrolan
populasi itu menyebabkan ekosistem selalu berada dalam keadaan seimbang.
Hubungan antara mangsa dan pemangsa misalnya dalam populasi hewan, yaitu
antara cicak-nyamuk, singa-kancil, serta ular-tikus.
Para ahli dinamika populasi telah mengembangkan banyak model
matematika untuk menghitung kecepatan pertumbuhan populasi, baik
pertumbuhan yang hanya dipengaruhi oleh faktor internal maupun eksternal.
Model-model itu antara lain, model pertumbuhan eksponensial, model
pertumbuhan logistik, model interaksi predator-prey, model interaktif kompetitif.
Salah satu persamaan matematik yang telah dikembangkan adalah persamaan
model Lotka-Volterra (Susanto,2000).
ModelLotka Volterra pertama kali diperkenalkan oleh VitoVolterra
(1860−1940) dan Alfred J. Lotka (1880 −1949). Vito Volterra adalah seorang matema- tikawan Italia di bidang matematika murni di awal 1920. Humberto
D’Ancona anak dari Vito Volterra yang merupakan ahli biologi, mendalami
populasi berbagai spesies ikan di Laut Adriatik. Pada tahun 1926, ia melakukan studi statistik jumlah setiap spesies ikan yang dijual di pasar ikan dari tiga
pelabuhan: Fiume, Trieste, dan Venice. Dia melihat bahwa selama Perang Dunia I,
jumlah pemangsa di laut Adriatik meningkat sementara jumlah mangsa jauh
berkurang. Dia menyimpulkan bahwa ini merupakan konsekuensi berkurangnya
nelayan karena peperangan yang terjadi antara Italia dan Austria. Ia penasaran
mengapa hal itu bisa terjadi didaerah itu. Ia berpikir mungkin Volterra bisa
menemukan sebuah model matematika yang mungkin bisa menjelaskan situasi
ekologi untuk fenomena itu. Setelah beberapa bulan, Volterra mengembangkan
serangkaian model untuk interaksi dua atau lebih spesies. Semenjak itu, Volterra
mengembangkan penelitiannya tentang model- modelekologi.
Sementaraitu,AlfredJ.Lotka(1880−1949),seorang ahli matematika biologi berkebangsaan Amerika merumuskan banyak model yang sama seperti Volterra. Ia
menerbitkan sebuah buku berjudul Elements of Physical Biology. Contoh utamanya
dari sistem mangsa-pemangsa yaitu populasi tanaman (sebagai mangsa) dan hewan
herbivora (sebagai pemangsa) yang tergantung pada tanaman sebagai makanannya.
Model ini yang sekarang dikenal sebagai model Lotka-Volterra (Saputra,2008).
Jika dimisalkan x(t) adalah kepadatan populasi mangsa pada saat t dan y(t)
dx
Walaupun model Lotka-Volterra tidak dapat menggambarkan secara
kompleks hubungan antar spesies seperti kejadian nyata di alam, tetapi model
sederhana tersebut merupakan langkah awal untuk mengetahui perilaku hubungan
antara mangsa dan pemangsa dari sudut pandang matematika. Karena modelnya
yang cukup sederhana menyebabkan model ini banyak digunakan sebagai dasar
bagi pengembangan model yang lebih realistis. Berbagai asumsi digunakan
untuk memodifikasi model interaksi persamaan Lotka-Volterra dengan
mempertimbangkan faktor-faktor yang berpengaruh atas pertumbuhan
masing-masing spesies mangsa dan pemangsa yang berinteraksi.
Salah satu pengembangan lain dari model Lotka Volterra adalah model
yangdilakukan oleh Syafruddin (2015) dan Ritania (2014). Dimana Syafruddin
Sidemenyelesaikan persamaan Lotka-Volterra dengan metode transformasi
diferensial.Dan Ritania membahas kestabilan populasi pada model Lotka-Volterra
tiga spesies.
Metode numerik merupakan suatu metode untuk menyelesaikan
permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan
cara operasi hitungan. Metode numerik juga mampu menyelesaikan suatu sistem
persamaan diferensial yang besar, non linear, dan sangat kompleks dengan syarat
awal yang telah diketahui. Pencarian dengan menggunakan metode numerik
menghasilkan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitik sehingga
penyelesaian tersebut memuat nilaikesalahan.
Dalam Penelitian ini direncanakan menggunakan metode numerik untuk
menganalisismodeldenganwaktutunda.Analisisuntukmodeldenganwaktutunda
biasanya lebih kompleks dan metode yang telah ditemukan masih sangat sedikit.
Simulasi numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan model dengan waktu
tundayangkompleks,danfasilitasyangadapadasoftwareMatlab,dapatmembantu
untuk memvisualisasikan solusi dari model persamaan diferensial dengan waktu
tunda (Toaha,2008).
4
memecahkan berbagai masalah matematis yang kerap kita temui dalam bidang
teknis. Kita bisa memanfaatkan kemampuan Matlab untuk menemukan solusi
dari berbagai masalah numerik secara cepat, mulai hal yang paling dasar hingga
kompleks. Salah satu aspek yang sangat berguna dari Matlab ialah kemam-
puannya untuk menggambarkan berbagai jenis grafik, sehingga kita dapat memvi-
sualisasikan data dan fungsi yang kompleks (Widiarsono,2005).
1.2.
RumusanMasalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,
permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana perilaku solusi persamaan Lotka-Volterra dengan menam-
bahkan faktor tunda pada interaksi mangsa danpemangsa?
2. Dengan pendekatan numerik akan dilihat apakah keadaan keseimbangan
persamaan Lotka-Volterra tanpa waktu tunda, sama dengan keadaan
keseimbangan persamaan Lotka-Volterra dengan waktutunda?
1.3.
BatasanMasalah
Penelitian ini difokuskan pada perilaku solusi sistem persamaan Lotka-
Volterra dengan waktu tunda pada interaksi mangsa dan pemangsa khususnya
dilihat pada keadaan seimbangnya.
1.4.
TujuanPenelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui perilaku solusi sistem
persamaan Lotka-Volterra dengan waktu tunda pada interaksi mangsa dan
pemangsa.
1.5.
ManfaatPenelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat
sebagai berikut :
1. Bagi peneliti : merupakan media belajar dalam meneliti perilaku solusi
sumbangan pemikiran berdasarkan disiplin ilmu yang diperoleh dibangku
kuliah.
2. Bagi pembaca : memberikan informasi tentang perilaku solusi sistem
30
BAB V
Penutup
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya yang menjelaskan tentang persamaan
Lotka-Volterra maka didapatkan kesimpulan bahwa:
1. Adanya pengaruh waktu tunda pada sistem Lotka-Volterra akan menghilangkan sifat
periodik solusi. Pengaruh waktu tunda mengakibatkan siklus populasi semakin
mengembang, namun kedua populasi tidak akan mengalami kepunahan.
2. Panjang interval tunda berpengaruh terhadap laju perkembangan siklus populasi. Makin
panjang interval tunda makin cepat laju perkembangan siklus populasi.
5.2. Saran
Penjelasan dalam pembahasan menunjukkan bahwa waktu tunda yang relative lebih
panjang akan mengakibatkan terjadinya perkembangan siklus solusi pada sistem Lotka-Volterra.
Penelitian ini dapat dilanjutkan untuk menganalisis secara matematika hubungan antara panjang
DAFTAR PUSTAKA
Haberman, R., (1998), Mathematical Models : Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow,1, Siam, Dallas.
Heri, S., Dewi, R., (2005), Metode Numerik dengan Pendekatan Algoritma, Sinar Baru Algensindo, Bandung.
Perko, L., ( 2001), Differential Equations and Dynamical Systems, 3, Springer, New York.
Ritania, M. Leli, D., (2014), Kestabilan Populasi Model Lotka-Volterra Tiga Spesies dengan Titik Kesetimbangan, Kampus Binawidya Pekanbaru, 1(2), 134–135.
Saputra, K. V. I., (2008), Semi-global Analysis of Lotka-Volterra Systems with Constant Terms, La Trobe University, Victoria.
Susanto, P., (2000), Pengantar Ekologi Hewan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta.
Syafruddin, S., Sutriani, H., (2015), Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra dengan Metode Transformasi Diferensial, Universitas Negeri Makassar, 3(1).
Toaha, S., (2008), Model dengan Tundaan Waktu, Matematika, Statistika, dan Komputasi, 4(2), 13–14.
Widiarsono, T., (2005), Tutorial Praktis Belajar Matlab, Jakarta.
Wiggins, S., (2003), Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, 2, Springer, Bristol.
