Analisis periodik pada faktorisasi grup abelian dengan order 33,34 dan 35

(1)

ABSTRAK

RIZKY SUSTI NINGRUM. Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order , dan . Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Misalkan merupakan grup abelian berhingga dan merupakan bilangan bulat. Grup disebut -good jika dari tiap-tiap faktorisasi … setidaknya satu dari himpunan bagian periodik. Ini berarti terdapat sehingga . Jika tidak ada yang periodik, maka disebut n-bad. Grup merupakan totally good jika n-good untuk semua nilai n

yang mungkin. Karya ilmiah ini akan menganalisis 3-grup dengan order dengan dan , selain itu 3-grup dengan dengan dan selanjutnya dengan . Pada akhirnya, hasil menunjukkan bahwa 3-grup dengan order adalah totally good, 3-grup dengan order adalah 3-good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order adalah 4-good.

(2)

ABSTRACT

RIZKY SUSTI NINGRUM. Periodic Analysis on the Factorization of Abelian Group of Order , and . Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Let be a finite abelian group and be an integer. A group is -good if from each factorization … , it follows that at least one of the subsets is periodic, in the sense that there exists , such that = . Otherwise, is said to be n-bad. On the other hand, is totally good if it is n-good for all possible values of n. In this paper we analyze a 3-group of order with and , another 3-group of order with and , and also a 3-group of order with . The results show that the 3-group of order is totally good, the 3-group of order is 3-good but 2-bad, and the 3-group of order is 4-good.

(3)

I PENDAHULUAN

Latar Belakang

Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (non-identitas) di sehingga . , maka disebut grup periodik dan disebut periode dari . Serta fakta bahwa grup abelian berhingga memiliki faktorisasi di bawah operasi perkalian sehingga apabila

… merupakan faktorisasinya maka setiap unsur dapat difaktorkan dalam

bentuk . . . dengan .

Muncul tiga istilah yakni, n-good yaitu apabila dari tiap-tiap faktorisasi setidaknya ada satu faktornya yang periodik, jika tidak ada yang periodik maka disebut n-bad, dan apabila selalu n-good untuk setiap nilai yang mungkin disebut totally good.

Kemudian hal-hal tersebut di atas menimbulkan pertanyaan berikut, misalkan

… sembarang faktorisasi dari grup G, untuk setiap nilai yang mungkin, apakah grup selalu n-good? Sehingga merupakan totally good? atau justru n-bad?

Masalah yang dibahas di dalam karya ilmiah ini hanya meliputi pembahasan pada 3-grup berorder , dan . Adapun untuk 3-grup berorder akan dibahas untuk semua nilai yang mungkin, yaitu dan . Sedangkan 3-grup berorder dan tidak dibahas untuk semua nilai yang mungkin, yakni hanya dan untuk yang ber-order , lalu untuk yang berorder .

Tujuan

Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk menganalisis faktorisasi grup abelian pada

beberapa 3-grup dengan order , dan . Pada karya ilmiah ini akan ditunjukkan bahwa 3-grup dengan order merupakan totally good, 3-grup dengan order merupakan

3-good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order merupakan 4-good.

Sistematika Penulisan

Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi pustaka yang materinya diambil dari jurnal yang berjudul “The Factorization of Abelian Group” oleh Khalid Amin tahun 1999.

Karya ilmiah ini terdiri dari tujuh bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan yang terdiri atas latar belakang, batasan masalah, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian kedua adalah landasan teori yang menjadi dasar penulisan karya ilmiah ini yang mencakup definisi-definisi, notasi, contoh, sifat-sifat serta beberapa teorema dari berbagai literatur yang dapat digunakan sebagai landasan untuk mengembangkan teorema dan lema lain di pembahasan nantinya. Bagian ketiga berisi pembahasan dan hasilnya berupa pembuktian-pembuktian teorema dan lema berkenaan dengan faktorisasi grup abelian berhingga yaitu 3-grup dengan order , dan , serta perlakuannya dalam beberapa 3-grup dengan tipe grup yang berbeda di beberapa kasus. Bagian keempat berisi kesimpulan dan saran. Bagian kelima adalah daftar pustaka dan bagian keenam merupakan lampiran-lampiran yang berisi pembuktian sifat dan teorema pada landasan teori.

II LANDASAN TEORI

Himpunan dan Himpunan Bagian

Definisi Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek.

(Kurtz, 1992)

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital seperti , , , … , . Sedangkan obyek dilambangkan dengan , , , … , .

Definisi Himpunan Bagian

Himpunan dikatakan himpunan bagian

dari himpunan jika setiap anggota merupakan anggota .

(Kurtz, 1992)

Notasi pada Himpunan

anggota himpunan . bukan anggota himpunan .

himpunan bagian dari . Setiap anggota himpunan . Ada anggota himpunan .

(4)

I PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

II LANDASAN TEORI

Himpunan dan Himpunan Bagian

(Kurtz, 1992)

Notasi pada Himpunan

(5)

Contoh Himpunan

Himpunan , , , , , ,

dibaca himpunan kecuali nol.

Definisi Operasi Biner

Operasi biner pada himpunan S adalah suatu fungsi ke S yang membawa , ke , bersifat tunggal.

(Aliatiningtyas, 2006)

Definisi Prima dan Komposit

Suatu bilangan bulat dikatakan prima jika hanya dapat dibagi oleh 1 dan p. Jika tidak, maka p dikatakan komposit.

(Menezes et all, 1997) Grup, Subgrup, Eksponen, Order, Periodik dan Replaceable

Definisi Grup

Grup , adalah himpunan tak kosong tertutup di bawah operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Operasi biner bersifat assosiatif , , , ( ) c=

2. Terdapat unsur identitas kiri dan kanan

, ,

3. Terdapat unsur invers kiri dan kanan

, ¹ , ¹ ¹

(Fraleigh, 1997)

Pada pembahasan berikutnya operasi diganti sebagai operasi perkalian.

Sifat-sifat Grup

1.Unsur identitas di grup tunggal.

2.Penyelesaian tunggal untuk sembarang .

Bukti Sifat-sifat Grup (lihat lampiran1).

Contoh Grup

Himpunan bilangan 0}, prima di bawah operasi perkalian.

Himpunan bilangan , , , di bawah operasi penjumlahan.

Definisi Produk Langsung

Misalkan grup dan , himpunan ba-gian dari . Grup disebut produk langsung

dari , jika | , .

Berdasarkan definisi tersebut diperoleh misalkan grup dan , himpunan bagian dari dengan , … , . Jika produk

langsung dari , maka .

(Aliatiningtyas, 2006 dan Amin, 1999)

Definisi Faktorisasi

Misalkan grup, himpunan bagian

dan … . Perkalian …

dikatakan faktorisasi dari , jika setiap unsur di dapat difaktorkan secara khas (unik) dalam bentuk . . . dengan .

Jika setiap himpunan bagian memuat unsur identitas maka faktorisasinya disebut faktorisasi normal.

(Amin, 1999)

Berdasarkan dua definisi di atas diperoleh hubungan antara produk langsung dan fakto-risasi yaitu misalkan grup yang merupakan produk langsung dari dan , maka berdasarkan definisi produk langsung ,

, sehingga . Jika untuk

, ; , tersebut unik

maka merupakan faktorisasi dari . Secara umum dapat ditulis, misalkan

… maka , ,

… , sehingga … . Jika

… unik maka . … .

merupakan faktorisasi dari .

Akibatnya faktorisasi juga merupakan produk langsung namun sebaliknya produk langsung belum tentu merupakan faktorisasi.

Contoh Produk langsung dan Faktorisasi

Misalkan , , , , , ,

terdapat , , dan , , .

Masing-masing merupakan himpunan bagian dari dan berlaku

, , . , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Atau , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

Juga dapat diperoleh bahwa untuk

, , , sehingga

, berikut penjabarannya:

(6)

. ; , . ; , . ; ,

. ; ,

Akan tetapi karena yaitu , , , yang faktornya tidak unik maka produk langsung tersebut bukan merupakan faktorisasi.

Adapun untuk contoh produk langsung yang juga merupakan faktorisasi adalah sebagai berikut.

, , dan , , masing-masing merupakan himpunan bagian dari dan berlaku , , . , , , , , , , , , , , . Atau , , , , , , , , , , , .

Juga dapat diperoleh untuk ,

, , sehingga .

berikut penjabarannya:

. ; ,

1.5; , . ; ,

Setiap bisa dibentuk dalam

yang unik dengan , maka

merupakan faktorisasi dari grup .

Eksponen

Jika grup dengan unsur identitas dan serta bilangan bulat positif, maka didefinisikan:

1. … (sebanyak kali)

3.

(Fraleigh, 1997)

Hukum Eksponen

Jika grup, , dan bilangan bulat, maka berlaku:

1. 2.

(Aliatiningtyas, 2006) Bukti Hukum Eksponen (lihat lampiran 2).

Definisi Order Grup

Jika grup berhingga (grup yang jumlah anggotanya berhingga), banyaknya unsur dari disebut order grup . Dinotasikan dengan simbol | |.

(Pinter, 1990)

Teorema 2.1 (Order Grup)

Misalkan grup dan , himpunan bagian dari dengan setiap unsur di tidak ada yang sama dengan setiap unsur di dan merupakan faktorisasi dari . | | , | | jika hanya jika | | .

(Amin, 1999) Bukti Teorema 2.1 (lihat lampiran 3).

Definisi Grup Abelian

Suatu grup dengan operasi biner disebut grup abelian jika dan hanya jika operasi biner bersifat komutatif yaitu,

, , .

(Fraleigh, 1997)

Definisi Subgrup

Misal grup dan , disebut subgrup dari jika merupakan grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada .

(Fraleigh, 1997)

Sifat-sifat Subgrup

1. Subgrup adalah himpunan tak kosong. 2. subgrup jika hanya jika ,

maka .

3. .

(Durbin, 1992 dan Connel, 1999) Bukti sifat subgrup (lihat lampiran 4).

Contoh Subgrup

Misal grup abelian dan bilangan bulat

positif, maka | , untuk

suatu merupakan subgrup dari . (Beachy, 2000)

Definisi Order Unsur

Misalkan grup dan , order unsur adalah bilangan bulat positif minimal sehingga ⁿ . Dinotasikan dengan simbol | |. Jika tidak ada bilangan demikian, maka dikatakan order unsur tak hingga atau nol.

Aliatiningtyas, 2006). Jika bilangan prima maka disebut order kuasa prima dari .

(7)

Definisi Subgrup Siklik

Misal grup, subgrup . disebut subgrup siklik jika , , ², … , ,

disebut unsur pembangun dari dan bilangan bulat dengan | | .

(Amin, 1999)

Teorema 2.2 (Grup Abelian Berhingga) Setiap grup abelian dengan unsur pembangun berhingga dapat dijadikan sebagai produk langsung dari subgrup siklik yang berhingga.

(Schreier dan Sperner, 1955)

Teorema 2.3 (Order Unsur) Misal grup dan ,

1. Jika | | maka ⁰, ¹, ², . . . , ⁿ ¹ semuanya berbeda.

2. Jika | | , maka jika dan hanya jika kelipatan .

Bukti sifat order unsur (lihat lampiran 5).

Definisi p-grup

Grup disebut p-grup jika setiap unsur non-identitas di mempunyai order kuasa prima .

(Fraleigh, 1997)

Definisi Grup Bertipe

Suatu grup dikatakan memiliki tipe , , . . . , jika merupakan produk langsung dari grup siklik dengan order

, , . . . , dengan adalah prima. (Amin, 1999)

Contoh Subgrup Siklik, Grup Bertipe, -grup dan Order Kuasa Prima

Misalkan grup , , , , , .

Terdapat dan subgrup siklik dari ,

, , , ,

, ,

Jika merupakan produk langsung dari dan maka berlaku, , , , , , , , , , , , , ,

Sehingga . Oleh karena | | dan | | , maka grup bertipe (3,2) dengan

| | . .

Grup di sini merupakan contoh 3-grup karena setiap unsur non-identitas di yaitu 2 dan 4 mempunyai order kuasa prima 3. Sedangkan grup merupakan 2-grup karena

setiap unsur non-identitas di yaitu 6 mempunyai order kuasa prima 2.

Teorema 2.4

Setiap grup dengan order prima adalah

siklik dan , , .

(Aliatiningtyas, 2006) Bukti (lihat lampiran 6).

Teorema 2.5

Misalkan grup berhingga, jika | | maka | | .

(Aliatiningtyas,2006) Bukti (lihat lampiran 7).

Definisi Subgrup Normal

Misalkan grup dan subgrup dari ,

jika dan berlaku ¹

maka disebut subgrup normal dari G. Atau

, .

(Fraleigh, 1997)

Teorema 2.6

Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal.

Bukti:

Misalkan grup dan subgrup dari . Karena abelian maka untuk setiap dan berlaku,

Sehingga terbukti normal.

Definisi Subgrup Sejati

Misalkan G grup dan subgrup , disebut subgrup sejati apabila tidak sama dengan unsur identitas di dan tidak sama dengan .

Grup Faktor

Misalkan grup dan subgrup normal dari dan himpunan / adalah sebagai berikut :

/ | dan didefinisikan operasi

pada / , . .

(Fraleigh, 1997) Unsur disebut koset-koset dari .

Teorema 2.7

Himpunan / adalah grup dan disebut grup faktor.

(8)

Teorema 2.8

Jika grup Abelian maka grup factor / juga Abelian.

Bukti:

.

. . Maka terbukti / abelian.

Teorema 2.9

Misalkan subgrup dari . Maka ada korespondensi satu-satu dari ke koset kiri

.

Bukti (lihat lampiran 9).

Teorema Lagrange

Misalkan grup hingga, subgrup dari . Maka order dari membagi order dari . Bukti (lihat lampiran 10).

Definisi Subgrup Simulate

Misalkan grup, subgrup . Subgrup disebut simulate jika , , … , | | . Jika maka subgrup siklik yang dibangun oleh . Tetapi tidak demikian halnya jika sebaliknya ( . Sehingga diperoleh bahwa subgrup siklik juga merupakan simulate namun sebaliknya simu-late belum tentu siklik.

(Amin, 1999)

Contoh Subgrup Simulate

Misalkan grup

, , , , , . Subgrup = , ,

, , merupakan subgrup simulate dengan .

Definisi Periodik

Misalkan grup, himpunan bagian disebut periodik jika terdapat unsur (non-identitas) di sehingga . dan disebut periode dari .

(Amin,1999)

Contoh Periodik

Grup , , , , , dan

himpunan bagian , , , disebut periodik dengan periode , karena 6 (unsur non identitas di ) yang menyebabkan

, , ,

Grup n-good, Totally good dan n-bad

Definisi n-good

Grup merupakan grup abelian berhingga dan merupakan bilangan bulat. Grup disebut n-good, jika dari tiap-tiap faktorisasi

. . … . setidaknya satu dari himpu-nan bagian periodik.

(Amin, 1999)

Definisi n-bad

Grup merupakan grup abelian berhingga dan merupakan bilangan bulat. Grup disebut n-bad, jika terdapat faktorisasi

, . . . dengan semua himpunan bagian tidak ada yang periodik.

(Amin, 1999)

Definisi Totally Good

Grup merupakan grup abelian berhingga dan merupakan bilangan bulat. Grup disebut totally good, jika n-good untuk semua nilai yang mungkin.

(Amin, 1999)

Contoh Grup n-good

Grup , , , . Berikut

Tabel 1 yang menyajikan daftar produk lang-sung dari himpunan bagian yang mungkin ter-bentuk serta hasilnya (faktorisasi atau bukan).

Tabel 1 Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk

di , untuk .

= B/F

, , , , B

, , , , , F

, , , , F

, , , , B

, , , , F

, , , , , F

, , , , B

, , , , , B

, , , , F

, , , , , F

, , , , F

, , , , , B

Keterangan tabel.

B: Bukan Faktorisasi (karena dan tidak unik).

F: Faktorisasi (karena dapat dibentuk dalam

(9)

Jadi faktorisasi yang mungkin terjadi ada delapan faktorisasi. Sebagai berikut,

1. , , ,

Himpunan bagian periodik karena ada yang mengakibatkan

, , .

2. , , ,

, , .

3. , , ,

, , .

4. , , ,

, , .

5. , , ,

, , .

6. , , ,

, , .

7. , , ,

, , .

8. , , ,

, , .

Oleh karena setidaknya terdapat satu dari tiap-tiap faktorisasi untuk yang periodik maka grup merupakan 2-good.

Contoh Grup n-bad

terda-pat , dan , , keduanya

merupakan himpunan bagian dan berlaku , , ,

, , , , ,

Dikarenakan dapat dibentuk dalam yang unik dengan ,

maka merupakan faktorisasi dari . Himpunan bagian tidak periodik karena tidak ada yang mengakibatkan

. Demikian pula halnya dengan himpunan bagian tidak ada

yang mengakibatkan . Oleh karena itu grup merupakan grup 2-bad.

Teorema 2.10

Misalkan grup abelian berhingga yang memiliki subgrup sejati yang bertipe , . Jika order dari grup faktor / komposit maka 2- bad.

(Amin, 1999)

Contoh Grup Totally good

daftar produk langsung dari himpunan bagian yang mungkin terbentuk di , untuk

serta hasilnya (faktorisasi atau bukan faktorisasi).

di , untuk .

Hasil B/F

, , . . , . . ,

. . , . . [B] . , , . . , . . ,

. . , . . [B], , , . . , . . ,

. . , . . [B], , ,

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

2.2.1,2.3.1}

, , , [F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

(10)

. . , . . [B] . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . }

, , , [F]

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

3.3.4,3.4.4}

, , , [B]

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

. . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

4.2.3,4.4.3}

, , , [F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] Keterangan tabel.

dengan , , yang unik.

Berdasaran tabel di atas dapat dilihat terdapat 24 faktorisasi. Perhatikan bahwa tiap-tiap faktorisasi setidaknya ada satu yang periodik, yaitu , dan . . Keduanya periodik dengan periode 4. Oleh sebab itu grup merupakan 3-good.

Pada contoh n-good sebelumnya, telah ditunjukkan pula bahwa grup ini merupakan 2-good. Dengan demikian telah ditunjukkan bahwa 2-good dan 3-good

sehingga merupakan totally good.

III PEMBAHASAN

Semua grup yang terdapat pada pembahasan merupakan grup abelian berhingga. Pada bagian pembahasan ini yang akan dibahas berupa faktorisasi 3-grup dengan order , dan .

Untuk membuktikan 3-grup dengan adalah totally good diperlukan beberapa lema-lema berikut.

Lema 3.1.1

Misalkan , subgrup dari . Jika faktorisasi dari dan | | , maka atau periodik.

Bukti :

(11)

. . , . . [B] . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . }

, , , [F]

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

3.3.4,3.4.4}

, , , [B]

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

. . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

4.2.3,4.4.3}

, , , [F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

III PEMBAHASAN

Lema 3.1.1

Bukti :

(12)

Kalikan (1) dengan

(2) Bandingkan (1) dan (2) sehingga diperoleh

(3)

Gunakan (3) dan fakta bahwa faktorisasi dari .

, , [dari (3)] , ,

Akibatnya sehingga diperoleh, i).

Oleh karena unsur non-identitas di maka menurut definisi merupakan periodik.

Atau, ii).

Ini diperoleh dari

[ abelian] [Assosiatif]

Jika dan unsur non-identitas di maka menurut definisi merupakan periodik.

Berdasarkan dua kemungkinan tersebut di atas maka terbukti salah satu dari atau periodik

Atau lebih umum dapat ditulis sebagai berikut.

Lema 3.1.2

Misalkan … dan | | , maka salah satu dari atau atau .... atau

periodik.

Bukti :

Misalkan , , , dengan dan .

…

, , …

… … … [1]

Kalikan dengan

… …

… [2]

Bandingkan (1) dan (2) sehingga diperoleh

… … …

… [3]

Gunakan (3) dan fakta bahwa … faktorisasi dari .

…

, , …

… … …

[ abelian]

… … …

[dari (3)]

… … …

, , …

…

Akibatnya … …

sehingga diperoleh, i).

Atau,

ii). … [Assosiatif] Jika dan unsur non-identitas di

maka menurut definisi merupakan periodik.

Atau (dan seterusnya hingga) atau n).

Ini diperoleh dari

… …

… … [ abelian]

Dan seterusnya berlaku assosiatif sehingga

… …

Berdasarkan kemungkinan-kemungkinan tersebut di atas maka terbukti salah satu dari

atau atau … periodik.

Untuk 3-grup dengan order akan dilihat dari dua kasus yang mungkin terjadi yaitu kasus dan . Akan dibuktikan bahwa 3-grup dengan order 3³ adalah totally-good.

Teorema 3.1.1

3-grup dengan order 3³ adalah totally-good.

Bukti:

Pada 3-grup berorder ini terdapat dua nilai yang mungkin yaitu dan . Akan ditunjukkan : 2-good.

Untuk kasus , terdapat dua tipe 3-grup dengan order yang mungkin yaitu 3-grup bertipe , dan 3-grup bertipe , . Menurut definisi grup bertipe, 3-grup bertipe

(13)

Demikian halnya pada 3-grup bertipe , , menurut definisi grup bertipe, grup bertipe , merupakan produk langsung dari dan , dengan | | dan | | . Oleh karena grup abelian maka . Selanjutnya karena | | maka berdasarkan lema 3.1.1 terbukti bahwa salah satu dari atau periodik. Dari penjelasan di atas jelas bahwa grup merupakan 2-good. Terbukti. Akan ditunjukkan : 3-good.

Pada 3-grup dengan order ,terdapat satu tipe yang mungkin yaitu , , .

Menurut definisi grup bertipe 3-grup bertipe , , merupakan produk langsung dari , , dan dengan | | | | | | . Maka selanjutnya berdasarkan lema 3.1.2 terbukti bahwa salah satu dari atau periodik. Berdasarkan penjelasan di atas jelas bahwa grup merupakan 3-good. Terbukti.

Berdasarkan dua pembuktian di atas maka telah ditunjukkan bahwa ‐grup ⁺⁻ngan or⁺⁻r merupakan 2-good dan 3-good

Selanjutnya untuk membuktikan 3-grup dengan adalah 2-bad tapi 3-good

diperlukan beberapa lema dan teorema berikut.

Lema 3.2.1

Andaikan faktorisasi dari dan

simulate, , , … , , }. Maka merupakan periodik.

Bukti:

Adb: periodik.

Oleh karena simulate maka

, , , … , .

, , , , … ,

… ..(1)

Kalikan (1) dengan

Karena G abelian maka

… …(2)

Bandingkan (1) dengan (2) sehingga diperoleh

…

[(Berdasarkan (1) dan (2)]

, , , , … ,

)

Sehingga , unsur merupakan unsur non-identitas di maka terbukti periodik.

Teorema 3.2.1

Misalkan | | , adalah prima, jika terdapat faktorisasi dari dan | | , dan subgrup siklik. Maka salah satu dari dan adalah periodik.

Bukti:

Oleh karena | | dan | | maka berdasarkan teorema 2.1 | | | | . Selanjutnya berdasarkan teorema 2.5 jika , keduanya siklik dan ordernya maka | | | | . Kemudian menurut definisi grup siklik , , , … , dan subrup siklik pun dapat dituliskan sebagai

, , , … , .

Akan ditunjukkan dan periodik. , , , … ,

, , , … ,

, , , … , [| | maka ]

, , , … ,

Karena dan unsur non-identitas di sehingga terbukti periodik.

Juga berlaku,

, , , … , , , , … ,

, , , … , [| | maka ] , , , … ,

Karena dan unsur non-identitas di sehingga terbukti periodik.

Untuk 3-grup dengan order akan dilihat dari dua kasus yang mungkin terjadi yaitu kasus dan . Akan dibuktikan bahwa 3-grup dengan order adalah 2-bad

tapi 3-good.

Teorema 3.2.2

3-grup dengan order adalah 2-bad tapi 3-good.

Bukti:

Perhatikan bahwa pada kasus 3-grup dengan order 3 , grup bertipe yang dibahas adalah , , , , , , .

Untuk kasus , misalkan , untuk kasus dengan order ini hanya ada dua tipe yang mungkin yaitu , dan

, . Ini berarti hanya terdapat dua faktorisasi. Adapun untuk membuktikan

2-bad hanya perlu ditunjukkan ada satu faktorisasi yang memiliki faktor yang semuanya tidak periodik.

i). dengan | | dan | |

(14)

fak-torisasi ini tidak dapat ditunjukkan bahwa keduanya faktornya tidak periodik.

ii). dengan | | | |

Diketahui bahwa abelian berorder dan mempunyai subgrup , akan ditunjukkan bahwa bertipe , . Diketahui abelian maka menurut teorema ada , subgrup siklik dengan | | | | dan , akibatnya bertipe , sehingga | | .

Selanjutnya akan ditunjukkan | / | komposit. Menurut teorema Lagrange,

| / | _{| |}| | maka benar bahwa | / | komposit. Sehingga berdasarkan teorema 2.10, terbukti bahwa grup merupakan 2-bad.

Sedangkan 3-grup dengan order 3 untu₂ ₂asus , tipe yang mungkin ( , , ,

, , dan (3,3, . Ambil saja yang perta-ma yaitu ( , , berarti terdapat

dan C siklik maka menurut lema 3.2.1 terbukti bahwa salah satu dari atau adalah periodik. Analog dengan tipe ( , , dan tipe ( , , karena grup abelian, ketiga tipe tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang sama. Sehingga terbukti 3-grup dengan order 3 adalah 3-good.

Untuk 3-grup dengan order 3 adalah

4-good.

Teorema 3.3.1

Jika grup memiliki tipe , , , ,

maka grup merupakan 4-good.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa merupakan

4-good. Tipe yang mungkin adalah , , , , , , , , , , , , , , , . Namun karena grup abelian maka semua tipe tersebut sama, sehingga hanya perlu satu tipe saja yang diperiksa. Terdapat dua cara untuk membuktikan teorema ini, berikut pembuk-tiannya,

i). Cara Pertama

Misalkan merupakan

(abelian) dan menurut teorema grup dengan order prima adalah siklik maka siklik dan juga simulate.

Sehingga berdasarkan lema 3.2.1 terbukti bahwa periodik. Akibatnya

terbukti 4-good.

ii). Cara Kedua.

Misalkan merupakan

abelian maka . Oleh

karena | | maka menurut lema 3.1.2 salah satu dari atau atau periodik sehingga terbukti bahwa merupakan

4-good.

IV KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Dari pembahasan di atas dapat disim-pulkan bahwa 3-grup berorder dengan tipe

, , , , adalah 2-good dan 3-good

sehingga merupakan Totally good karena n-good untuk semua nilai n yang mungkin.

Sedangkan 3-grup berorder dengan tipe , , , , , , merupakan 3-good

tapi 2-bad. Adapun 3-grup berorder dengan tipe , , , merupakan 4-good.

Saran

(15)

torisasi ini tidak dapat ditunjukkan bahwa keduanya faktornya tidak periodik.

ii). dengan | | | |

Diketahui bahwa abelian berorder dan mempunyai subgrup , akan ditunjukkan bahwa bertipe , . Diketahui abelian maka menurut teorema ada , subgrup siklik dengan | | | | dan , akibatnya bertipe , sehingga | | .

Selanjutnya akan ditunjukkan | / | komposit. Menurut teorema Lagrange,

| / | _{| |}| | maka benar bahwa | / | komposit. Sehingga berdasarkan teorema 2.10, terbukti bahwa grup merupakan 2-bad.

Sedangkan 3-grup dengan order 3 untu₂ ₂asus , tipe yang mungkin ( , , ,

, , dan (3,3, . Ambil saja yang perta-ma yaitu ( , , berarti terdapat

dan C siklik maka menurut lema 3.2.1 terbukti bahwa salah satu dari atau adalah periodik. Analog dengan tipe ( , , dan tipe ( , , karena grup abelian, ketiga tipe tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang sama. Sehingga terbukti 3-grup dengan order 3 adalah 3-good.

Untuk 3-grup dengan order 3 adalah

4-good.

Teorema 3.3.1

Jika grup memiliki tipe , , , ,

maka grup merupakan 4-good.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa merupakan

4-good. Tipe yang mungkin adalah , , , , , , , , , , , , , , , . Namun karena grup abelian maka semua tipe tersebut sama, sehingga hanya perlu satu tipe saja yang diperiksa. Terdapat dua cara untuk membuktikan teorema ini, berikut pembuk-tiannya,

i). Cara Pertama

Misalkan merupakan

(abelian) dan menurut teorema grup dengan order prima adalah siklik maka siklik dan juga simulate.

Sehingga berdasarkan lema 3.2.1 terbukti bahwa periodik. Akibatnya

terbukti 4-good.

ii). Cara Kedua.

Misalkan merupakan

abelian maka . Oleh

karena | | maka menurut lema 3.1.2 salah satu dari atau atau periodik sehingga terbukti bahwa merupakan

4-good.

IV KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Dari pembahasan di atas dapat disim-pulkan bahwa 3-grup berorder dengan tipe

, , , , adalah 2-good dan 3-good

sehingga merupakan Totally good karena n-good untuk semua nilai n yang mungkin.

Sedangkan 3-grup berorder dengan tipe , , , , , , merupakan 3-good

tapi 2-bad. Adapun 3-grup berorder dengan tipe , , , merupakan 4-good.

Saran

(16)

ANALISIS PERIODIK PADA FAKTORISASI

GRUP ABELIAN DENGAN ORDER 3

3

, 3

4

DAN 3

5

RIZKY SUSTI NINGRUM

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(17)

DAFTAR PUSTAKA

Aliatiningtyas, N. 2006. Diktat Struktur Aljabar. Bogor: Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor.

Amin, K. The Factorization of Abelian Groups. Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyha-ziensis 15 (1999), 9-18.

Beachy, J. A. 2000. Abstrac Algebra: A Study Guide for Beginner. Illionis: Waveland Press, Inc..

Connell, E. H. 1999. Elements of Abstract and Linear Algebra. Florida: Departement of Mathematics University of Miami.

Durbin, J. R. 1992. Modern Algebra 3-rd Edition. Newyork: John Wiley & Sons, Inc..

Fraleigh, J. B. 1997. A First Course in Abstract Algebra. United States of America: Addison Wesley Publishing Company.

Kurtz, D. P. 1992. Fondation of Abstract Mathematics. Newyork: McGrow-Hil, Inc.

Menezes, A. P. Vanoorschoot and Svanstone. 1997. Handbook of Applied Cryptography. Newyork: CRC Publishing Company.

Pinter, C. C. 1990. A Book of Abstract Algebra 2-edition. Newyork: McGraw Hill Publishing Company.

Schreier O. Sperner E., 1955. Modern Algebra and Matrix Theory. Newyork: Chelsea

(18)

ANALISIS PERIODIK PADA FAKTORISASI

3

, 3

4

DAN 3

5

RIZKY SUSTI NINGRUM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(19)

ABSTRAK

RIZKY SUSTI NINGRUM. Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order , dan . Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Misalkan merupakan grup abelian berhingga dan merupakan bilangan bulat. Grup disebut -good jika dari tiap-tiap faktorisasi … setidaknya satu dari himpunan bagian periodik. Ini berarti terdapat sehingga . Jika tidak ada yang periodik, maka disebut n-bad. Grup merupakan totally good jika n-good untuk semua nilai n

yang mungkin. Karya ilmiah ini akan menganalisis 3-grup dengan order dengan dan , selain itu 3-grup dengan dengan dan selanjutnya dengan . Pada akhirnya, hasil menunjukkan bahwa 3-grup dengan order adalah totally good, 3-grup dengan order adalah 3-good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order adalah 4-good.

(20)

ABSTRACT

RIZKY SUSTI NINGRUM. Periodic Analysis on the Factorization of Abelian Group of Order , and . Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Let be a finite abelian group and be an integer. A group is -good if from each factorization … , it follows that at least one of the subsets is periodic, in the sense that there exists , such that = . Otherwise, is said to be n-bad. On the other hand, is totally good if it is n-good for all possible values of n. In this paper we analyze a 3-group of order with and , another 3-group of order with and , and also a 3-group of order with . The results show that the 3-group of order is totally good, the 3-group of order is 3-good but 2-bad, and the 3-group of order is 4-good.

(21)

ANALISIS PERIODIK PADA FAKTORISASI

3

, 3

4

DAN 3

5

RIZKY SUSTI NINGRUM

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

BOGOR

(22)

Judul : Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan order

,

dan

Nama : Rizky Susti Ningrum

NRP : G54063460

Menyetujui,

Pembimbing

I

Pembimbing

II

Dra. Nur Aliatiningtyas, M.S. Teduh

Wulandari

Mas’oed,

M.Si

NIP. 19610104 198803 2 002

NIP. 19740915 199903 2 001

Mengetahui:

Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP. 19650505 198903 2 004

(23)

PRAKATA

Puji syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT, berkat nikmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan lancar. Skripsi yang berjudul “Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 33, 34dan 35” ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis tidak dapat bekerja sendiri tanpa bantuan dari pihak-pihak tertentu yang terkait tulisan ini. Untuk itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Dra. Nur Aliatiningtyas, M.S. dan Teduh Wulandari, M.Si., selaku dosen pembimbing I dan II serta dosen penguji atas ilmu serta kesabaran dalam membimbing dan mengarahkan penulis. Serta Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen penguji bagi penulis. 2. Orang tua tercinta (Bapak Suyatno, Sp dan Ibu Suratmiyati) dan Bapak Drs. H. Sudarto

dan Dra. Hj. Asminiwaty atas kasih sayang, cinta, dukungan baik moril maupun materi, perhatian dan do’a yang selalu diberikan.

3. Asto Hadiyoso, S. Tp, suami yang senantiasa memotivasi tanpa jenuh.

4. Semua dosen dan staff Departemen Matematika atas bantuan dan ilmu-ilmu yang telah disampaikan dengan ikhlas.

5. Para pembahas dan seluruh mahasiswa yang bersedia menyaksikan seminar penulis. 6. Tiwi, Nikky, Tami, Izmi, Muti, Ka Asti, Danti, Bang Ravi serta seluruh keluarga lainnya

atas do’a, semangat, motivasi dan cinta.

7. Nailah, Ratih, Yulya, Elis, Ophie, Pandu dan Rio Al-Azhar, untuk persahabatan yang pernah terbina dan bantuannya baik moril maupun materi.

8. Teman-teman Matematika 43 (Desi, Cici, Ecka,Subro, Syahrul, Slamet, Lina, Narsih, Ace, NS, Elly, Ratna, Nia, Nidya, Cupid, Sendy, Nanu, Erny, Rias, Suci, semuanya) atas dukungannya selama ini.

9. Kakak kelas Matematika 41 dan 42 (Ka Amin, Ka Rofa, Mba Siti, Mba Titi, Mba Tia, Ka Illi, Ka Vera, Ka Dian, Ka Oby, Ka Iput, Ka Sapto, Ka Warno, Ka Ridwan, Ka Eko, Ka Acidll), serta mbak-mbak S2 atas informasi, ilmu-ilmu yang telah disampaikan serta kesediannya dalam meminjamkan buku-buku.

10. Adik kelas Matematika 44.

11. Sahabat-sahabat OMDA Sampant atas semangat, motivasi dan do’anya. 12. Para pejuang dan adik-adik Birena Alhurriyyah IPB.

13. Teman-teman dan Alumni UKM Forces IPB. 14. Sahabat-sahabat Forum Lingkar Pena Bogor.

15. Semua pihak yang belum tersebutkan namanya yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat member kontribusi positif dalam dunia pendidikan khususnya matematika dan semoga dapat menjadi ilmu yang bermanfaat bagi pembaca semuanya.

Bogor, 2011

(24)

RIWAYAT HIDUP

RIZKY SUSTI NINGRUM, lahir di Kisaran, Asahan, Sumatera utara 11 Mei 1988, anak pertama dari enam bersaudara puteri pasangan Bapak Suyatno, Sp dan Ibu Suratmiyati.Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak Dharmawanita Kisaran pada tahun 1994, Sekolah Dasar di SDN. 017973 Kisaran pada tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 1 Kisaran pada tahun 2003, Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Kisaran pada tahun 2006 dan diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) pada tahun yang sama, kemudian masuk ke Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor padatahun 2007. Kemudian tepat pada tanggal 17 September 2010, penulis melangsungkan pernikahan dengan Asto Hadiyoso, S.TP di Kisaran, Sumatera Utara.

(25)

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

DAFTAR TABEL ... ix

I PENDAHULUAN

Latar Belakang ... 1 Tujuan ... 1 Sitematika Penulisan ... 1

II LANDASAN TEORI

Himpunan ... 1 Operasi Biner ... 2 Prima dan Komposit ... 2

Grup……….………...………... .. 2 Produk Langsung ... 2 Faktorisasi ... 2 Eksponen ... 3 Order Grup ... 3 GrupAbelian ... 3 Subgrup ... 3 Order Unsur ... 3 Subgrup Siklik ... 4

p-grup ... 4 Grup Bertipe ... 4 Subgrup Normal ... 4 Subgrup Sejati ... 4 Grup Faktor ... 4 Teorema Lagrange ... 5 Subgrub Simulate ... 5 Periodik ... 5

n-good ... 5

n-bad ... 5

Totally good ... 5

III PEMBAHASAN

Lema 3.1.1. Grup yang memiliki faktor periodik untuk ... 8 Lema 3.1.2. Grup yang memiliki faktor periodik ... 8 Teorema 3.1.1. 3-grup berorder merupakan totally good ... 9 Lema 3.2.1. Hubungan simulate dengan periodik ... 9 Teorema 3.2.1.Hubungan siklik dengan periodik ... 9 Teorema 3.2.2. 3-grup berorder merupakan 3-good tapi 2-bad ... 10 Teorema 3.3.1. 3-grup berorder merupakan 4-good ... 10

IV KESIMPULAN DAN SARAN... 10

DAFTAR PUSTAKA ... 11

(26)

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk di untuk

... 5

Tabel2. Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk di untuk

... 6

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Bukti Sifat-Sifat Grup ... 12

Lampiran 2. Bukti Hukum Eksponen ... 12

Lampiran 3. Bukti Teorema 2.1 (Order Grup) ... 13

Lampiran 4. Bukti Sifat-Sifat subgrup ... 13

Lampiran 5. Bukti Teorema 2.3 (Order Unsur) ... 14

Lampiran 6. Bukti Teorema 2.4 ... 14

(27)

I PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

II LANDASAN TEORI

Himpunan dan Himpunan Bagian

(Kurtz, 1992)

Notasi pada Himpunan

(28)

Contoh Himpunan

Himpunan , , , , , ,

dibaca himpunan kecuali nol.

Definisi Operasi Biner

Operasi biner pada himpunan S adalah suatu fungsi ke S yang membawa , ke , bersifat tunggal.

Definisi Prima dan Komposit

Suatu bilangan bulat dikatakan prima jika hanya dapat dibagi oleh 1 dan p. Jika tidak, maka p dikatakan komposit.

(Menezes et all, 1997) Grup, Subgrup, Eksponen, Order, Periodik dan Replaceable

Definisi Grup

Grup , adalah himpunan tak kosong tertutup di bawah operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Operasi biner bersifat assosiatif , , , ( ) c=

2. Terdapat unsur identitas kiri dan kanan

, ,

3. Terdapat unsur invers kiri dan kanan

, ¹ , ¹ ¹

(Fraleigh, 1997)

Pada pembahasan berikutnya operasi diganti sebagai operasi perkalian.

Sifat-sifat Grup

1.Unsur identitas di grup tunggal.

2.Penyelesaian tunggal untuk sembarang .

Bukti Sifat-sifat Grup (lihat lampiran1).

Contoh Grup

Himpunan bilangan 0}, prima di bawah operasi perkalian.

Himpunan bilangan , , , di bawah operasi penjumlahan.

Definisi Produk Langsung

Misalkan grup dan , himpunan ba-gian dari . Grup disebut produk langsung

dari , jika | , .

Berdasarkan definisi tersebut diperoleh misalkan grup dan , himpunan bagian dari dengan , … , . Jika produk

langsung dari , maka .

(Aliatiningtyas, 2006 dan Amin, 1999)

Definisi Faktorisasi

Misalkan grup, himpunan bagian

dan … . Perkalian …

dikatakan faktorisasi dari , jika setiap unsur di dapat difaktorkan secara khas (unik) dalam bentuk . . . dengan .

Jika setiap himpunan bagian memuat unsur identitas maka faktorisasinya disebut faktorisasi normal.

(Amin, 1999)

Berdasarkan dua definisi di atas diperoleh hubungan antara produk langsung dan fakto-risasi yaitu misalkan grup yang merupakan produk langsung dari dan , maka berdasarkan definisi produk langsung ,

, sehingga . Jika untuk

, ; , tersebut unik

maka merupakan faktorisasi dari . Secara umum dapat ditulis, misalkan

… maka , ,

… , sehingga … . Jika

… unik maka . … .

merupakan faktorisasi dari .

Akibatnya faktorisasi juga merupakan produk langsung namun sebaliknya produk langsung belum tentu merupakan faktorisasi.

Contoh Produk langsung dan Faktorisasi

terdapat , , dan , , .

Masing-masing merupakan himpunan bagian dari dan berlaku

, , . , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Atau , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

Juga dapat diperoleh bahwa untuk

, , , sehingga

, berikut penjabarannya:

(29)

. ; , . ; , . ; ,

. ; ,

Akan tetapi karena yaitu , , , yang faktornya tidak unik maka produk langsung tersebut bukan merupakan faktorisasi.

Adapun untuk contoh produk langsung yang juga merupakan faktorisasi adalah sebagai berikut.

, , dan , , masing-masing merupakan himpunan bagian dari dan berlaku , , . , , , , , , , , , , , . Atau , , , , , , , , , , , .

Juga dapat diperoleh untuk ,

, , sehingga .

berikut penjabarannya:

. ; ,

1.5; , . ; ,

Setiap bisa dibentuk dalam

yang unik dengan , maka

merupakan faktorisasi dari grup .

Eksponen

Jika grup dengan unsur identitas dan serta bilangan bulat positif, maka didefinisikan:

3.

(Fraleigh, 1997)

Hukum Eksponen

Jika grup, , dan bilangan bulat, maka berlaku:

1. 2.

(Aliatiningtyas, 2006) Bukti Hukum Eksponen (lihat lampiran 2).

Definisi Order Grup

Jika grup berhingga (grup yang jumlah anggotanya berhingga), banyaknya unsur dari disebut order grup . Dinotasikan dengan simbol | |.

(Pinter, 1990)

Teorema 2.1 (Order Grup)

Misalkan grup dan , himpunan bagian dari dengan setiap unsur di tidak ada yang sama dengan setiap unsur di dan merupakan faktorisasi dari . | | , | | jika hanya jika | | .

(Amin, 1999) Bukti Teorema 2.1 (lihat lampiran 3).

Definisi Grup Abelian

Suatu grup dengan operasi biner disebut grup abelian jika dan hanya jika operasi biner bersifat komutatif yaitu,

, , .

(Fraleigh, 1997)

Definisi Subgrup

Misal grup dan , disebut subgrup dari jika merupakan grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada .

(Fraleigh, 1997)

Sifat-sifat Subgrup

1. Subgrup adalah himpunan tak kosong. 2. subgrup jika hanya jika ,

maka .

3. .

(Durbin, 1992 dan Connel, 1999) Bukti sifat subgrup (lihat lampiran 4).

Contoh Subgrup

Misal grup abelian dan bilangan bulat

positif, maka | , untuk

suatu merupakan subgrup dari . (Beachy, 2000)

Definisi Order Unsur

Misalkan grup dan , order unsur adalah bilangan bulat positif minimal sehingga ⁿ . Dinotasikan dengan simbol | |. Jika tidak ada bilangan demikian, maka dikatakan order unsur tak hingga atau nol.

Aliatiningtyas, 2006). Jika bilangan prima maka disebut order kuasa prima dari .

(30)

Definisi Subgrup Siklik

Misal grup, subgrup . disebut subgrup siklik jika , , ², … , ,

disebut unsur pembangun dari dan bilangan bulat dengan | | .

(Amin, 1999)

Teorema 2.2 (Grup Abelian Berhingga) Setiap grup abelian dengan unsur pembangun berhingga dapat dijadikan sebagai produk langsung dari subgrup siklik yang berhingga.

(Schreier dan Sperner, 1955)

Teorema 2.3 (Order Unsur) Misal grup dan ,

1. Jika | | maka ⁰, ¹, ², . . . , ⁿ ¹ semuanya berbeda.

2. Jika | | , maka jika dan hanya jika kelipatan .

Bukti sifat order unsur (lihat lampiran 5).

Definisi p-grup

Grup disebut p-grup jika setiap unsur non-identitas di mempunyai order kuasa prima .

(Fraleigh, 1997)

Definisi Grup Bertipe

Suatu grup dikatakan memiliki tipe , , . . . , jika merupakan produk langsung dari grup siklik dengan order

, , . . . , dengan adalah prima. (Amin, 1999)

Contoh Subgrup Siklik, Grup Bertipe, -grup dan Order Kuasa Prima

Misalkan grup , , , , , .

Terdapat dan subgrup siklik dari ,

, , , ,

, ,

Jika merupakan produk langsung dari dan maka berlaku, , , , , , , , , , , , , ,

Sehingga . Oleh karena | | dan | | , maka grup bertipe (3,2) dengan

| | . .

Grup di sini merupakan contoh 3-grup karena setiap unsur non-identitas di yaitu 2 dan 4 mempunyai order kuasa prima 3. Sedangkan grup merupakan 2-grup karena

setiap unsur non-identitas di yaitu 6 mempunyai order kuasa prima 2.

Teorema 2.4

Setiap grup dengan order prima adalah

siklik dan , , .

(Aliatiningtyas, 2006) Bukti (lihat lampiran 6).

Teorema 2.5

Misalkan grup berhingga, jika | | maka | | .

(Aliatiningtyas,2006) Bukti (lihat lampiran 7).

Definisi Subgrup Normal

Misalkan grup dan subgrup dari ,

jika dan berlaku ¹

maka disebut subgrup normal dari G. Atau

, .

(Fraleigh, 1997)

Teorema 2.6

Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal.

Bukti:

Misalkan grup dan subgrup dari . Karena abelian maka untuk setiap dan berlaku,

Sehingga terbukti normal.

Definisi Subgrup Sejati

Misalkan G grup dan subgrup , disebut subgrup sejati apabila tidak sama dengan unsur identitas di dan tidak sama dengan .

Grup Faktor

Misalkan grup dan subgrup normal dari dan himpunan / adalah sebagai berikut :

/ | dan didefinisikan operasi

pada / , . .

(Fraleigh, 1997) Unsur disebut koset-koset dari .

Teorema 2.7

Himpunan / adalah grup dan disebut grup faktor.

(31)

Teorema 2.8

Jika grup Abelian maka grup factor / juga Abelian.

Bukti:

.

. . Maka terbukti / abelian.

Teorema 2.9

Misalkan subgrup dari . Maka ada korespondensi satu-satu dari ke koset kiri

.

Bukti (lihat lampiran 9).

Teorema Lagrange

Misalkan grup hingga, subgrup dari . Maka order dari membagi order dari . Bukti (lihat lampiran 10).

Definisi Subgrup Simulate

Misalkan grup, subgrup . Subgrup disebut simulate jika , , … , | | . Jika maka subgrup siklik yang dibangun oleh . Tetapi tidak demikian halnya jika sebaliknya ( . Sehingga diperoleh bahwa subgrup siklik juga merupakan simulate namun sebaliknya simu-late belum tentu siklik.

(Amin, 1999)

Contoh Subgrup Simulate

Misalkan grup

, , , , , . Subgrup = , ,

, , merupakan subgrup simulate dengan .

Definisi Periodik

Misalkan grup, himpunan bagian disebut periodik jika terdapat unsur (non-identitas) di sehingga . dan disebut periode dari .

(Amin,1999)

Contoh Periodik

Grup , , , , , dan

himpunan bagian , , , disebut periodik dengan periode , karena 6 (unsur non identitas di ) yang menyebabkan

, , ,

Grup n-good, Totally good dan n-bad

Definisi n-good

Grup merupakan grup abelian berhingga dan merupakan bilangan bulat. Grup disebut n-good, jika dari tiap-tiap faktorisasi

. . … . setidaknya satu dari himpu-nan bagian periodik.

(Amin, 1999)

Definisi n-bad

Grup merupakan grup abelian berhingga dan merupakan bilangan bulat. Grup disebut n-bad, jika terdapat faktorisasi

, . . . dengan semua himpunan bagian tidak ada yang periodik.

(Amin, 1999)

Definisi Totally Good

Grup merupakan grup abelian berhingga dan merupakan bilangan bulat. Grup disebut totally good, jika n-good untuk semua nilai yang mungkin.

(Amin, 1999)

Contoh Grup n-good

[image:31.595.319.510.446.710.2]

Tabel 1 yang menyajikan daftar produk lang-sung dari himpunan bagian yang mungkin ter-bentuk serta hasilnya (faktorisasi atau bukan).

di , untuk .

= B/F

, , , , B

, , , , , F

, , , , F

, , , , B

, , , , F

, , , , , F

, , , , B

, , , , , B

, , , , F

, , , , , F

, , , , F

, , , , , B

Keterangan tabel.

(32)

Jadi faktorisasi yang mungkin terjadi ada delapan faktorisasi. Sebagai berikut,

1. , , ,

, , .

2. , , ,

, , .

3. , , ,

, , .

4. , , ,

, , .

5. , , ,

, , .

6. , , ,

, , .

7. , , ,

, , .

8. , , ,

, , .

Oleh karena setidaknya terdapat satu dari tiap-tiap faktorisasi untuk yang periodik maka grup merupakan 2-good.

Contoh Grup n-bad

terda-pat , dan , , keduanya

merupakan himpunan bagian dan berlaku , , ,

, , , , ,

Dikarenakan dapat dibentuk dalam yang unik dengan ,

maka merupakan faktorisasi dari . Himpunan bagian tidak periodik karena tidak ada yang mengakibatkan

. Demikian pula halnya dengan himpunan bagian tidak ada

yang mengakibatkan . Oleh karena itu grup merupakan grup 2-bad.

Teorema 2.10

Misalkan grup abelian berhingga yang memiliki subgrup sejati yang bertipe , . Jika order dari grup faktor / komposit maka 2- bad.

(Amin, 1999)

Contoh Grup Totally good

daftar produk langsung dari himpunan bagian yang mungkin terbentuk di , untuk

[image:32.595.319.511.261.760.2]

serta hasilnya (faktorisasi atau bukan faktorisasi).

di , untuk .

Hasil B/F

, , . . , . . ,

. . , . . [B] . , , . . , . . ,

. . , . . [B], , , . . , . . ,

. . , . . [B], , ,

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

2.2.1,2.3.1}

, , , [F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

(33)

. . , . . [B] . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

. . , . . }

, , , [F]

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

3.3.4,3.4.4}

, , , [B]

, , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

. . , . . ,

. . , . . [B] , , , . . , . . ,

. . , . . [B] , , ,

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

4.2.3,4.4.3}

, , , [F] . . , . . ,

. . , . . , , ,[F]

, , . . , . . ,

. . , . . , , ,[F] . . , . . ,

III PEMBAHASAN

Lema 3.1.1

Bukti :

(34)

Kalikan (1) dengan

(2) Bandingkan (1) dan (2) sehingga diperoleh

(3)

Gunakan (3) dan fakta bahwa faktorisasi dari .

, , [dari (3)] , ,

Akibatnya sehingga diperoleh, i).

Atau, ii).

Ini diperoleh dari

[ abelian] [Assosiatif]

Berdasarkan dua kemungkinan tersebut di atas maka terbukti salah satu dari atau periodik

Atau lebih umum dapat ditulis sebagai berikut.

Lema 3.1.2

Misalkan … dan | | , maka salah satu dari atau atau .... atau

periodik.

Bukti :

Misalkan , , , dengan dan .

…

, , …

… … … [1]

Kalikan dengan

… …

… [2]

Bandingkan (1) dan (2) sehingga diperoleh

… … …

… [3]

Gunakan (3) dan fakta bahwa … faktorisasi dari .

…

, , …

… … …

[ abelian]

… … …

[dari (3)]

… … …

, , …

…

Akibatnya … …

sehingga diperoleh, i).

Atau,

ii). … [Assosiatif] Jika dan unsur non-identitas di

maka menurut definisi merupakan periodik.

Atau (dan seterusnya hingga) atau n).

Ini diperoleh dari

… …

… … [ abelian]