Metode Minimisasi Quine McKluskey dan Rangkaian Multilevel

(1)

Eko Didik Widianto (didik@undip.ac.id)

(2)

Review Kuliah

• Sebelumnya

◦ minimisasi rangkaian logika menggunakan peta Karnaugh baik untuk

bentuk ekspresi SOP maupun POS

◦ Minimisasi rangkaian multi-output

◦ Rangkain SOP/POS tersebut adalah rangkaian 2 level: AND-OR,

OR-AND, NAND-NAND, dan NOR-NOR (level1-level2)

• Selanjutnya

◦ minimisasi rangkaian menggunakan metode Quine-McKluskey

• Minimisasi rangkaian: aljabar, K-map, Quine-McKluskey

(3)

Metode Quine-McKluskey Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel Rangkaian 2-Level Sintesis Multilevel Teknik Faktoring Kompleksitas Wiring Dekomposisi Fungsional Analisis Multilevel

(4)

Metode Quine-McKluskey

•Metode Quine-McKluskey

(5)

Rangkaian Multilevel

Algoritma Quine McKluskey:

1. Bangkitkan prime implicant 2. Susun tabel prime implicant 3. Sederhanakan tabel

(a) Buang prime implicant esensial. Note: nanti disertakan dalam fungsi akhirnya

(b) Row dominance (c) Column dominance 4. Selesaikan tabel

Tujuannya mencari prime implicant

esensial (primer, sekunder, dst)

(6)

Contoh Problem

Metode Quine-McKluskey •Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel Diinginkan rangkaian: f(x1, x2, x3, x4) =

P

m(0, 2, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15)

Langkah 1: Bangkitkan Prime Implicant

(7)

Langkah 2: Susun Tabel Prime Implicant

(8)

Contoh Problem: Iterasi #1

Langkah 3a: Hapus Prime Implicant Essensial

• Prime implicant esensial:

x

₂

x

₄ dan

x

₂

x

₄

◦ dibuang untuk penyederhanaan lebih lanjut

(9)

Langkah 3b: Hapus Baris yang Mendominasi (Dominationg Row)

• Baris ke-14 dihapus karena setiap term perkalian yang mengkover 6

atau 12 akan mengcover 14

Langkah 3c: Pilih Kolom

x

1

x

2

◦ dibuang untuk penyederhanaan lebih lanjut

(11)

Langkah 4: Solusi Akhir

• Tidak ada lagi baris yang perlu disederhanakan

• Solusi minimum akan berisi prime implicant esensial primer dan

sekunder •

f

_min

= x

₂

x

₄

+ x

₂

x

₄

+

₁

x

₄

(13)

• Diagram pewaktuan

(14)

Latihan

Metode Quine-McKluskey •Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel Diinginkan rangkaian: f(x1, x2, x3, x4) =

P

m(2, 3, 7, 9, 11, 13) +

P

d(1, 1015)

(15)

Rangkaian Multilevel

• •Teknik Faktoring •Kompleksitas Wiring •Dekomposisi Fungsional •Analisis Multilevel

(16)

Implementasi Rangkaian 2-Level

Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel •Rangkaian 2-Level •Sintesis Multilevel •Teknik Faktoring •Kompleksitas Wiring •Dekomposisi Fungsional •Analisis Multilevel • Rangkaian 2-level

AND-OR dan NAND-NAND dibentuk dari persamaan SOP OR-AND dan NOR-NOR dibentuk dari persamaan POS

(17)

Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel •Rangkaian 2-Level •Sintesis Multilevel •Teknik Faktoring •Kompleksitas Wiring •Dekomposisi Fungsional •Analisis Multilevel

• Saat jumlah masukan bertambah, rangkaian 2-level akan menemui

kendala fan-in

◦ Fan-in: jumlah input ke suatu gerbang atau komponen rangkaian

tertentu

◦ Tergantung teknologi yang digunakan untuk mengimplementasikan

rangkaian

◦ _{Di CPLD, fungsi SOP 2-level dengan tiap term lebih dari 2 literal}

dapat langsung diimplementasikan

◦ Di FPGA dengan LUT 2-masukan, fungsi tersebut tidak dapat

langsung diimplementasikan -> dikonversi menjadi fungsi dengan term 2-literal

• Kendala fan-in lainnya adalah delay propagasi

◦ propagasi delay: waktu yang dibutuhkan untuk mempropagasikan

nilai masukan sampai ke keluaran gerbang

(18)

Implementasi fungsi di CPLD

Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel •Rangkaian 2-Level •Sintesis Multilevel •Teknik Faktoring •Kompleksitas Wiring •Dekomposisi Fungsional •Analisis Multilevel • Misalnya: f(x1, ..., x7) = x1x3x6 + x1x4x5x6 + x2x3x7 + x2x4x5x7

• Di CPLD, implementasi fungsi ini tidak ada masalah, karena

mempunyai cukup masukan (7 input), gerbang AND (1 per term perkalian) dan gerbang OR (satu per keluaran AND)

(19)

Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel •Rangkaian 2-Level •Sintesis Multilevel •Teknik Faktoring •Kompleksitas Wiring •Dekomposisi Fungsional •Analisis Multilevel • Misalnya: f(x1, ..., x7) = x1x3x6 + x1x4x5x6 + x2x3x7 + x2x4x5x7

• Di FPGA dengan LUT 2-masukan, fungsi tidak dapat langsung

diimplementasikan

◦ Fungsi f mempunyai term dengan 3 dan 4 literal, memerlukan

gerbang AND 3-masukan dan 4-masukan

◦ Terdapat 4 term perkalian yang harus di-OR-kan, memerlukan

gerbang OR 4-masukan

• Fan-in yang diperlukan untuk

mengimplementasikan fungsi ini terlalu banyak untuk FPGA

(20)

Sintesis Multilevel

• Untuk mengatasinya, fungsi harus dinyatakan dalam ekspresi

logika multilevel

◦ Hanya mengandung term dengan 2 literal

◦ Implikasinya: rangkaian bisa lebih dari 2 level

−→

multilevel

• Teknik sintesis multilevel:

◦ Faktoring

(21)

• Memanfaatkan hukum distributif untuk menuliskan ekspresi dengan term

ber-literal lebih sedikit −→implementasi di FPGA dg LUT 2-masukan

f(x1, ..., x7) = x1x3x6 + x1x4x5x6 + x2x3x7 + x2x4x5x7

= x1x6 (x3 + x4x5) + x2x7 (x3 + x4x5)

(22)

Contoh Faktoring

Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel •Rangkaian 2-Level •Sintesis Multilevel •Teknik Faktoring •Kompleksitas Wiring •Dekomposisi Fungsional •Analisis Multilevel • Diberikan:

5

x

6

)

(23)

• Nyatakan ekspresi berikut agar hanya membutuhkan gerbang AND

dan OR 2-masukan!

(24)

Contoh Faktoring

• Nyatakan ekspresi berikut agar hanya membutuhkan gerbang AND

dan OR 2-masukan!

•

f

f

(x

1

, ..., x

7

7

)

◦ Wire yang dibutuhkan untuk menghubungkan gerbang

• Tiap literal dari suatu ekspresi logika diimplementasikan dengan 1 wire yang

membawa sinyal logik yang diinginkan

• Faktoring mengurangi jumlah literal, sehingga dapat digunakan untuk

mengurangi kompleksitas dalam rangkaian logika

• _{Parameter dalam sintesis:}

◦ cost rangkaian (jumlah gerbang) ◦ fan-in

◦ kecepatan rangkaian yang dihasilkan ◦ kompleksitas wire

(26)

Teknik Dekomposisi Fungsional

• Rangkaian dapat didekomposisi menjadi sub-sub rangkaian

◦ Mengurangi kompleksitas rangkaian di wiring dan gerbang

logika

◦ Satu atau beberapa sub-rangkaian mengimplementasikan

fungsi yang digunakan di beberapa bagian untuk membentuk rangkaian lengkapnya

• Ekspresi logika 2-level digantikan dengan dua atau lebih ekspresi

◦ Ekspresi-ekspresi tersebut dikombinasikan untuk membentuk

rangkaian multilevel

• CAD banyak memanfaatkan konsep dekomposisi fungsi

◦ Mengimplementasikan fungsi general dengan konstrain

(27)

Metode Quine-McKluskey Rangkaian Multilevel •Rangkaian 2-Level •Sintesis Multilevel •Teknik Faktoring •Kompleksitas Wiring •Dekomposisi Fungsional •Analisis Multilevel Ekspresi minimum:

f

• Rangkaian diimplementasikan dengan 4 gerbang AND, 1 gerbang

OR, dan 2 gerbang NOT dan 18 masukan ke semua gerbang

• Fan-in=3 untuk gerbang AND dan 4 untuk gerbang OR

• Faktoring:

₂

) x

₄ • Misalkan

g

x

2

=

1

x

2

+ x

1

x

2

• Sehingga,

f

dapat dinyatakan:

f

= gx

₃

+ gx

₄

(28)

Metode Minimisasi Quine McKluskey dan Rangkaian Multilevel

Review Kuliah

Metode Quine-McKluskey

Contoh Problem

P

Contoh Problem: Iterasi #1

x

x

x

x

x

x

x

x

Contoh Problem: Iterasi #2

x

x

x

x

x

x

x

x

f

= x

x

+ x

x

+



x

x

+ x

x

x

x

+ x

x



Contoh Problem: Simulation/Analisis

f

= x

x

+ x

x

+ x

x

+ x

x

Latihan

P

P

Rangkaian Multilevel

Implementasi Rangkaian 2-Level

Implementasi fungsi di CPLD

Sintesis Multilevel

−→

Contoh Faktoring

f

= x

x

x

x

x

x

+ x

x

x

x

x

x

= x

x

x

(x

x

x

+ x

x

x