KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK PROPORSI EKSPONENSIAL UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA., R. Efendi 2, H.

(1)

1

KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK PROPORSI EKSPONENSIAL UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

A. F. Indrayani1*

, R. Efendi2

, H. Sirait2 1_{Mahasiswa Program S1 Matematika}

2_{Dosen Jurusan Matematika}

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia

*_{fahmi.indrayani@gmail.com} ABSTRACT

Three estimators discussed in this paper are the Exponential Proportions Ratio Estimator, The Product Estimator Exponential Proportion, and The Combination-Product Ratio Exponential Proportions Estimator on simple random sampling proposed by Singh et. al. [Pakistan Journal of Statistics and Operations Research, 1(2): 18-32]. The three proposed estimators are biased estimators. Then the mean square error of each estimator is evaluated. Furthermore, the mean square errors are compared to obtain the most efficient one. A numerical example is given at the end of discussion.

Keywords: proportion, exponential, bias, mean square error ABSTRAK

Tiga Penaksir yang dibahas dalam skripsi ini merupakan penaksir rasio proporsi eksponensial, penaksir produk proporsi eksponensial serta kombinasi penaksir rasio-produk proporsi eksponensial pada sampling acak sederhana yang merupakan review dari artikel oleh Singh et. al. [Pakistan Journal of Statistics and

Operations Research, 1(2): 18-32]. Ketiga penaksir merupakan penaksir bias dan

ditentukan mean square error. Penaksir dengan mean square error terkecil merupakan penaksir yang efisien. Contoh numerik diberikan pada akhir pembahasan.

Kata kunci : proporsi, eksponensial, bias, mean square error 1. PENDAHULUAN

Penaksir rasio dan penaksir produk merupakan metode yang digunakan untuk meningkatkan ketelitian dengan memanfaatkan hubungan variabel y dan variabel tambahan

p

. Penggunaan informasi tambahan dapat meningkatkan ketepatan penaksir. Pada penelitian ini informasi tambahan

p

tersedia berkorelasi dengan y_{yang berada dalam populasi yang sama, serta nilai proporsi dari atribut} dalam

(2)

2

populasi harus diketahui. Atribut  hanya memiliki dua nilai sebagai identitas, yaitu 0 dan 1. Misalkan suatu observasi dikelompokkan menjadi dua kategori,

yakni sukses dan gagal.

Dalam observasi tersebut unit populasi yang termasuk dalam kategori sukses merupakan karakteristik yang diteliti. Sehingga, unit populasi yang termasuk kategori sukses diberi identitas _i 1 dan unit

populasi yang termasuk kategori gagal diberi identitas i 0.

Misalkan N _i

i

A



_₁  adalah jumlah unit yang beratribut  pada populasi

dan n _i

i

a



_₁ jumlah unit yang beratribut  dalam sampel, dan PA/Nadalah

proporsi beratribut  dalam populasi danpa/n adalah proporsi beratribut 

dalam sampel.

Penaksir rasio proporsi sederhana yang dinotasikan dengan Yˆ_r serta penaksir produk proporsi sederhana yang dinotasikan Yˆ_p dan dirumuskan

       p P y Yˆ_r        P p y Yˆ_p

dengan y dan

p

_{berturut-turut menyatakan rata-rata sampel}Y dan proporsi sample serta P menyatakan proporsi populasi.

Pada artikel ini membahas seluruh isi mengenai penaksir proporsi eksponensial pada sampling acak sederhana yang merupakan bagian dari artikel dari singh et. al. [3] dimana dari penaksir proporsi eksponensial sederhana, sighn et. al. memodifikasi penaksir rasio proporsi sederhana menjadi penaskir proporsi eksponensial Yˆ_rep dan penaksir produk sederhana menjadi penaksir produk

proporsi eksponensial Yˆ_{p ep} kemudian kedua penaksir proporsi eksponensial

tersebut di kombinasikan menjadi kombinasi penaskir rasio-produk proporsi eksponensial yang dinotasikan dengan Yˆkrppe.Untuk penerapannya penulis mengambil contoh dari data badan pusat statistik (BPS).

Penaksir proporsi eksponensial merupakan penaksir bias, sehingga penaksir yang efisien untuk penaksir bias adalah penaksir yang memiliki mean squre error (MSE) terkecil [1, h.21].

2. SAMPLING ACAK SEDERHANA

Penarikan sampel acak sederhana merupakan suatu metode untuk mengambil n unit sampel dari N unit populasi dimana setiap elemen memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai unit sampel. Penarikan sampel ini adalah penarikan sampel acak tanpa pengembalian agar karakteristik unut-unit lebih akurat.

(3)

3

Probabilitas terpilihnya anggota n dari N unit populasi sebagai unit sampel pada pengembalian pertama yaitu (n/N) , probabilitas pada pengembalian kedua adalah (n-1)/(N-1) sampai probabilitas pada pengambilan ke-n yaitu 1/(N-n+1) maka probabilitas seluruh n unit-unit tertentu yang terpilih dalam n pengembilan adalah

) / 1

( CNn [1].

Untuk menentukan bias dan MSE pada sampling acak sederhana digunakan teorema variansi dan kovariansi.

Teorema 2 [1, h.27] Variansi rata-rata sampel y dari sampling acak sederhana adalah

 



1



, 2 f n S y V  y  dengan 1





2/( 1) 2 



   y Y N S i N i

y adalah variansi yi dalam sebuah populasi dan

N n

f  / adalah fraksi penarikan sampel.

Bukti:

Bukti teorema ini dapat dilihat pada [1, h. 27].

Teorema 2 [1, h.29] Jika y_i,x_i, adalah sebuah pasangan yang bervariasi dalam unit dalam populasi dan y,x adalah rata-rata dari sampel acak sederhana

berukuran n, maka kovariansinya adalah

 



y Y



x X



N n f x y Cov _i N i i    



1 1 1 1 , . Bukti :

Bukti teorema ini dapat dilihat pada [1, h. 29].

3. BIAS DAN MSE PENAKSIR PROPORSI EKSPONENSIAL UNTUK RATA-RATA POPULASI

Penaksir rasio proporsi eksponensial dan penaksir produk proporsi eksponensial untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana adalah

         p P p P y Yrep exp ˆ (1)          P p P p y Yˆ_pep exp (2)

Kemudian kombinasi persamaan (1) dan persamaan (2) dirumuskan sebagai





_                         P p P p p P p P y Yˆ_krppe exp 1  (3) dengan 0 1_.

(4)

4

Bias dan MSE penaksir rasio proporsi eksponensial dan penaksir produk proporsi eksponensial untuk rata-rata populasi pada sederhana.

Bias dan MSE dari persamaan (1) adalah

 

, 4 1 2 ˆ 2 1         p _p rep K C Y f Y B , 4 1 ˆ 2 2 2 1                      p p y rep fY C C K Y MSE  (4)

dengan K_p _pbC_y/C_p,_pb koefisien korelasi biserial, C_y koefisien variasi populasi Y dan Cp koefisien variasi proporsi P .

Bias dan MSE dari persamaan (2) diperoleh

 

, 4 1 2 ˆ 2 _        p _p i pep K C Y f Y B

 

, 4 1 ˆ 2 2 2 1                _y _p _p pep fY C C K Y MSE (5)

Bias dan MSE dari persamaan (3) diperoleh

 

, 2 1 8 ˆ 2 1                 p _pb _y _p  krppe C C C Y f Y B

 

, 2 1 2 4 1 ˆ 2 2 2 2 1                     _ _   _y _p   _pb _y _p  krppe fY C C C C Y MSE (6)

Karena MSE(Yˆkrpep) memuat nilai



, maka untuk memperoleh ) ˆ (Ykrpep

MSE yang minimum, differensialkan MSE(Yˆkrpep)terhadapa



, sehingga diperoleh

, 2 1 2   Kp



(7)

dengan mensubsitusikan nilai



_{pada persamaan (7) ke persamaan (6) diperoleh}

 

2 2



2



1 min 1 ˆ pb y krppe fY C Y MSE   (8)

4. PENAKSIR PROPORSI EKSPONENSIAL YANG EFISIEN

Untuk menentukan penaksir yang efisien dari penaksir bias, dapat di tentukan dengan cara membandingkan MSE dari masing-masing penaskir tersebut.

(5)

5

1. Perbandingan MSE(Yˆrep) pada persamaan (4) dengan ) ˆ (Ypep

MSE pada

persamaan (5) , maka selisih dari kedua MSE tersebut adalah

 

Ypep MSE

 

Yrep fY CyCp pb

MSE ˆ  ˆ 2 ₁ 2  ₍₉₎

Dari persamaan (9) terdapat dua kemungkinan yaitu, i. MSE

 

Yˆ_pep MSE

 

Yˆ_rep jika

ii. MSE

 

Yˆ_pep MSE

 

Yˆ_rep jika

2. Perbandingan MSE(Yˆrep) pada persamaan (4) dengan )min

ˆ (Y_krppe

MSE , pada

persamaan (8), maka selisih dari MSE tersebut adalah

   

2 2 1 min ₂ ˆ ˆ          p _y _pb krppe rep C C Y f Y M Y MSE  (10) Dari persamaan (10) dapat disimpulkan bahwa,

) ˆ ( )

ˆ

(Ykrppe min MSE Yrep

MSE  jika 0. 2 2 2 1         _y _pb p C C Y f 

3. Perbandingan MSE(Yˆpep) pada persamaan (5) dengan )min

ˆ (Ykrppe

MSE pada

persamaan (8), maka selisih dari MSE tersebut adalah

   

2 2 1 min ₂ ˆ ˆ          p _y _pb krppe pep C C Y f Y M Y MSE  (11) Dari persamaan (11) dapat disimpulkan bahwa,

) ˆ ( )

ˆ

(Y_krppe _min MSE Y_rep

MSE  _jika 0. 2 2 2 1         _y _pb p C C Y f  5. CONTOH

Contoh ini merupakan data produksi padi di seluruh Indonesia dari badan pusat statistik [2]. Data hasil produksi padi disajikan pada TabeL 1.

Dengan menggunakan data pada Tabel 1 akan ditentukan penaksir proporsi eksponensial untuk menaksir rata-rata produksi padi dengan menggunakan syarat penaksir lebih efisien yang diperoleh sebelumnya. Hal ini secara umum dapat ditunjukkan dengan menghitung MSE dari masing masing penaksir yang diajukan. Sebagai informasi tambahan untuk menaksir rata-rata produksi padi

0 2f1Y2CyCppb 

0 2f1Y2CyCppb 

(6)

6

digunakan produksi padi yang dihasilkan lebih dari 1 juta ton. Untuk menghitung

MSE dari masing-masing penaksir terlebih dahulu ditentukan nilai yang

dibutuhkan. Informasi yang diperoleh dari data produksi padi dengan menggunakan Microsoft Excel pada Tabel 1.

Tabel 1: Hasil perhitungan jumlah provinsi, rata-rata produksi padi dan berbagai ukuran yang lain dengan menggunakan Excel

33  N _₅₆₃_.₄₆₉_,₁₃ y S _Y _₂_.₀₉₂_.₂₇₇ _pb0,02 13  n S 0,09 Cp 1,18 Cy 1,52 42 , 0  P S_y_ 1,185,34 K_p 0,03 f₁0,05

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diperoleh pada Tabel 2 ke persamaan (4), (6) dan (8), maka diperoleh

Tabel 2: MSE Masing-masing Penaksir

NO PENAKSIR MSE 1 Yrep ˆ _264.680,021 2 Ypep ˆ _256.343,590 3 Yˆ__krppe__min 226.255,71

Dari Tabel 2 diperoleh

i. MSE

 

Yˆ_pep MSE

 

Yˆ_rep ii. MSE

 

Yˆ_rep MSE



Yˆ__krppe__min



iii. MSE

 

Yˆ_pep MSE



Yˆ__krppe__min



Sehingga, berdasarkan i, ii, dan iii dapat disimpulkan bahwa, penaksir ke 3 lebih efisien dari pada penaksir ke 1 dan ke 2.

6. KESIMPULAN

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa penaksir proporsi eksponensial yang dikombinasikan merupakan penaksir yang paling efisien dari pada dua penaksir proporsi eksponensial lainnya jika syarat lebih efisien terpenuhi.

(7)

7

DAFTAR PUSTAKA [1] Cochran, W. G. 1977. Teknik Penarikan Sampling, rd

3 Ed. Terjemahan Sampling

Techniques, Oleh Rudiansyah & E.R Osman. Universitas Indonesia, Jakarta.

[2] Badan pusat statistik. 2012. Hasil produksi tanaman padi. Available from :

http://www.bps.go.id/tnmn_pgn. Diakses pada 23 juni 2013 pukul 09:43.

[3] Singh, R. , P. Chauchan, N. Sawan, & F. Smarandache. 2007. Ratio - Product Type Exponential Estimator For Estimating Finite Population Mean Using Information On Auxiliary Attribute , Pakistan Journal of Statistics and