Algoritma Golden Section Search

(1)

Algoritma

Golden Section

Search

untuk Mencari

Solusi Optimal pada

Pemrograman Non Linear

Tanpa Kendala

Eni Sumarminingsih Eni Sumarminingsih Jurusan Matematika Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Fakultas MIPA

(2)

PENDAHULUAN

Secara umum masalah pemrograman Secara umum masalah pemrograman

nonlinear dapat dinyatakan sebagai berikut: nonlinear dapat dinyatakan sebagai berikut: Tentukan nilai variabel keputusan

Tentukan nilai variabel keputusan untuk permasalahan

untuk permasalahan max (atau min)

max (atau min)

dengan kendala dengan kendala

di mana f dan g adalah fungsi nonlinear di mana f dan g adalah fungsi nonlinear



x x x_n



f

z  ₁, ₂,...,

n x x

x₁, ₂,...,

 ₁ ₂   ₁ 1 x ,x ,...,x , , b

g _n 

 ₁ ₂   ₂ 2 x ,x ,..., x , , b

g _n 



 _n  _m

m x x x b

(3)

PENDAHULUAN

Pemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu Pemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu

peubah peubah : :

max (atau min) max (atau min)

1.Tentukan semua maksimum (minimum) lokal 1.Tentukan semua maksimum (minimum) lokal 2.Tentukan nilai f(

2.Tentukan nilai f(xx) untuk semua maksimum ) untuk semua maksimum (minimum) lokal.

(minimum) lokal. 3.Nilai f(

3.Nilai f(xx) terbesar (terkecil) merupakan solusi ) terbesar (terkecil) merupakan solusi optimal

optimal

 

x f

(4)

Mencari Ekstremum

(Maksimum atau Minimum)

Lokal

Terdapat tiga kasus di mana calon titik

optimal dapat ditemukan, yaitu

1.

Titik Titik xx* yang terletak pada [a,b] bila * yang terletak pada [a,b] bila f’(

f’(xx*) = 0*) = 0

2.

Titik Titik x*x* ketika ketika f’f’((x*x*) tidak didefinisikan.) tidak didefinisikan.

3.

Titik batas a dan b.Titik batas a dan b.

•

Masalah akan muncul bila f’(Masalah akan muncul bila f’(xx*) = 0 *) = 0 sulit dievaluasi

(5)

Algoritma

Golden Section

Search

(kasus maksimisasi)

Syarat : f(x) harus bersifat unimodal

pada [a,b], artinya jika

pada [a,b], artinya jika xx* adalah titik * adalah titik optimal pada [a,b] maka

optimal pada [a,b] maka

•

f(f(xx) adalah fungsi monoton naik pada ) adalah fungsi monoton naik pada interval [a,

interval [a,xx*]*]

•

f(f(xx) adalah fungsi monoton turun ) adalah fungsi monoton turun pada interval [

(6)

Algoritma

Golden Section

Search

Konsep Dasar :

Penyempitan selang

a x1 x3 x* x4 x2

b

(7)

Algoritma

Golden Section

Search

Panduan mempersempit selang

• Jika ,persempit selang menjadi Jika ,persempit selang menjadi

• Jika ,persempit selang menjadi [ Jika ,persempit selang menjadi [ ]

]

• Jika ,persempit selang menjadi [ Jika ,persempit selang menjadi [ ]

]

Selang [ ] atau di mana

Selang [ ] atau di mana xx* mungkin * mungkin berada dinamakan selang ketidakpastian

berada dinamakan selang ketidakpastian (SK) (SK)

) (

)

(x₁ f x₂

f 

]

,

[

x

₁

b

) (

)

(x₁ f x₂

f 

2

, x a

) (

)

(x₁ f x₂

f 

2

, x a

2

, x

(8)

Algoritma

Golden Section

Search

Algoritma :

Algoritma : 1.

1. Tetapkan = Interval (selang ketidakpastian) pada Tetapkan = Interval (selang ketidakpastian) pada iterasi k. selang ketidakpastian untuk iterasi 0 adalah

iterasi k. selang ketidakpastian untuk iterasi 0 adalah

[a,b]. Kemudian evaluasi dan di mana :

Dengan = panjang selang ketidakpastian pada iterasi

k.

Untuk iterasi 0 , = |a – b|. Untuk iterasi 0 , = |a – b|.

r adalah akar dari persamaan atau r adalah akar dari persamaan atau

r = 0.618. r = 0.618.

a = batas bawah selang ketidakpastian a = batas bawah selang ketidakpastian

b = batas atas selang ketidakpastian.b = batas atas selang ketidakpastian.

k

I

) (x₁

f f (x₂)

k rL b a b r b

x₁   (  )   k rL a a b r a

x₂   (  )  

k L

0

L

1

2 __r _

(9)

Algoritma

Golden Section

Search

2. Tentukan Selang Ketidakpastian baru

berdasar panduan yang telah dijelaskan

sebelumnya.

3. Kembali ke langkah 1 sampai didapat

yang cukup kecil

) (I_k_₁





k

(10)

Algoritma

Golden Section

Search

Alasan dipilihnya r yang merupakan akar dari

persamaan adalah masalah efisiensi.

Bukti

Bukti

• Jika , selang dipersempit menjadi Jika , selang dipersempit menjadi

sehingga sehingga xx3 dan 3 dan xx4 dapat diperoleh 4 dapat diperoleh dari

darix3 b  r(b  x1)

) (

)] (

[r b a b r2 b a r

b      ra rb a b b a b r

b        

 (1 )( )

2

)

(b a x r

a   



) (

1

4 x r b a

x   

1 2   r r ) ( )

(x₁ f x₂

f 

]

,

(11)

Algoritma

Golden Section

Search

• Jika , selang dipersempit menjadi Jika , selang dipersempit menjadi sehingga

sehingga xx3 dan 3 dan xx4 dapat diperoleh dari4 dapat diperoleh dari

) ( )

(x₁ f x₂

f  [a, x₂]



x a



r x

x₃  ₂  ₂ 

)] (

[ )

( ₂

4 a r x a a r r b a x      

) )(

1 ( )

(

2 _b _a _a _r _b _a

r

a      



) (b a r

b ra

rb a

b

a       



1

x

(12)

Algoritma

Golden Section

Search

•

keistimewaan lainnya adalah dapat keistimewaan lainnya adalah dapat diketahuinya banyak iterasi yang

diketahuinya banyak iterasi yang

akan dilakukan bila diketahui nilai

akan dilakukan bila diketahui nilai 

yang dikehendaki

(13)

Algoritma

Golden Section

Search

Iterasi akan berhenti bila

karena nilai ln r adalah negatif maka didapat

0

L r a

b r

L_k  k   k



 



r b a r L₀

L_k k k

0 / L rk 

0 / ln

ln rk   L

0 / ln

lnr L

k  

r

L

k

ln

)

/

ln(



₀

(14)

Contoh aplikasi

Max

s.t -1

s.t -1  xx  3 3 Iterasi 0

Iterasi 0

= [-1,3]= [-1,3]

= |-1 – 3 | = 4= |-1 – 3 | = 4

= 3 – 0.618 (4) = = 3 – 0.618 (4) = 0.528

0.528

= -1 + 0.618(4) = 1.472= -1 + 0.618(4) = 1.472

x

e x

x

f ( )  

0

I

0

L

0 1 b r(b a) b rL

x     

0 2 a r(b a) a rL

x     

1675 . 1 528 . 0 )

(x₁ x₁  e 1   e0.528 

f x 886 . 2 472 . 1 )

(x₂ x₂  e 2   e1.472 

f x

) (

)

(x₁ f x₂

f 



[ , ] = [-1, 1.472]

2 x a



1

I₁ 

(15)

Contoh aplikasi

Iterasi 1

Iterasi 1

= = [-1, 1.472][-1, 1.472]

==| -1 – 1.472 | = 2.472| -1 – 1.472 | = 2.472

= 1.472- 0.618(2.472) = = 1.472- 0.618(2.472) = -0.0557

-0.0557

=

= -1 + 0.618(2.472) = -1 + 0.618(2.472) = 0.5277 0.5277 1 I 1 L 1 1 b r(b a) b rL

x     

1 2 a r(b a) a rL

x     

00152 . 1 0557 . 0 )

(x₁ x₁  e 1   e0.0557 

f x 1673 . 1 5277 . 0 )

(x₂ x₂  e 2   e0.5277 

f x

) (

)

(x₁ f x₂

(16)

Penutup

•

Algoritma Algoritma Golden Section SearchGolden Section Search

dapat digunakan untuk mencari

solusi optimal pada Pemrograman

Nonlinear Tanpa Kendala dengan

Satu Peubah.

(17)

TERIMA KASIH