Suku Banyak Chebyshev

Bab 3

Suku Banyak Chebyshev

Suku banyak Chebyshev, yang diberi nama oleh Pafnuty Chebyshev, merupakan suatu deret dari suku banyak ortogonal yang dapat dituliskan secara rekursif. Suku banyak ini dibedakan menjadi dua, yaitu suku banyak Chebyshev jenis pertama yang dinotasikan sebagai Tn dan suku banyak Chebyshev jenis kedua yang dino- tasikan sebagai U_n. Pada tugas akhir ini akan digunakan suku banyak Chebyshev jenis pertama dalam menyelesaikan masalah. Oleh karena itu, pada bab ini disa- jikan teori-teori dasar mengenai suku banyak Chebyshev khususnya suku banyak Chebyshev jenis pertama. Pada pembahasan teori-teori ini digunakan [1] sebagai rujukan.

3.1 Persamaan Diferensial Chebyshev

Persamaan diferensial Chebyshev dituliskan sebagai

(1 − x²)^d_dx^2y2 − x^dy_dx + n²y = 0, n = 0, 1, 2, 3, ... . Jika kita tuliskan x = cos t, maka didapatkan

d²y

dt² + n²y = 0, yang solusi umumnya ialah

y = A cos nt + B sin nt, atau bisa juga dituliskan sebagai

8

y = A cos(n cos⁻¹x) + B sin(n cos⁻¹x), |x| < 1, atau ekivalen dengan

y = AT_n(x) + BU_n(x), |x| < 1,

dimana T_n(x) dan U_n(x) masing-masing merupakan suku banyak Chebyshev jenis pertama dan jenis kedua berderajat n.

Jika kita tuliskan x = cosh t maka kita peroleh

d²y

dt² − n²y = 0, yang solusi umumnya ialah

y = A cosh nt + B sinh nt, atau dapat dituliskan sebagai

y = A cosh(c cosh⁻¹x) + B sinh(n cosh⁻¹x), |x| > 1, atau ekivalen dengan

y = AT_n(x) + BU_n(x), |x| > 1.

Fungsi T_n(x) merupakan suku banyak. Untuk |x| < 1 kita dapatkan T_n(x) + iU_n(x) = (cos t + i sin t)ⁿ= (x + i√

1 − x²)ⁿ, T_n(x) − iU_n(x) = (cos t − i sin t)ⁿ= (x − i√

1 − x²)ⁿ. Jika eliminasi kedua persamaan diatas maka diperoleh

T_n(x) = ¹₂ h

x + i√

1 − x²
n

+ x − i√

1 − x²
ni . Untuk |x| > 1 kita dapatkan

T_n(x) + U_n(x) = e^nt = (x ±√

x²− 1)ⁿ, T_n(x) − U_n(x) = e^−nt = (x ∓√

x²− 1)ⁿ.

Jumlah dari kedua persamaan terakhir memberikan hasil yang sama untuk T_n(x), yaitu

T_n(x) = ¹₂ h

x + i√

1 − xⁿ
2

+ x − i√

1 − x²
ni .

3.2 Suku Banyak Chebysev Jenis Pertama Berde- rajat n

Suku banyak Chebyshev jenis pertama, T_n(x), dapat pula diperoleh dari rata-rata pada rumus Rodrigue

T_n(x) = ⁽⁻²⁾_(2n)!^nn!√

1 − x^{2 d}_dxⁿn(1 − x²)^n−1/2, n = 0, 1, 2, 3, ... .

Berikut ini merupakan contoh dua belas suku pertama dari suku banyak Chebyshev jenis pertama.

Tabel 3.1: Suku banyak Chebyshev jenis pertama T₀(x) = 1

T₁(x) = x T₂(x) = 2x²− 1 T₃(x) = 4x³− 3x T₄(x) = 8x⁴− 8x²+ 1 T₅(x) = 16x⁵− 20x³+ 5x T₆(x) = 32x⁶− 48x⁴+ 18x²− 1 T₇(x) = 64x⁷− 112x⁵+ 56x³− 7x

T₈(x) = 128x⁸− 256x⁶+ 160x⁴− 32x² + 1 T₉(x) = 256x⁹− 576x⁷+ 432x⁵− 120x³+ 9x

T₁₀(x) = 512x¹⁰− 1280x⁸+ 1120x⁶− 400x⁴+ 50x² − 1 T₁₁(x) = 1024x¹¹− 2816x⁹+ 2816x⁷− 1232x⁵+ 220x³− 11x

Persamaan untuk T_n(x) dapat dituliskan sebagai rumus rekursif. Ketika kita telah mengetahui dua suku pertama dari suku banyak Chebyshev, T₀ dan T₁, maka suku banyak yang lain, T_n(x), dapat diperoleh dengan rumus

T_n+1(x) = 2xT_n(x) − T_n−1(x). (3.1)

3.2.1 Sifat Suku Banyak Chebyshev Jenis Pertama

Suku banyak Chebyshev jenis pertama memiliki nilai-nilai khusus pada batas-batasnya.

Berikut ini merupakan sifat-sifat suku banyak Chebyshev jenis pertama yang umum digunakan untuk membantu menyelesaikan suatu masalah

T_n(−x) = (−1)ⁿT_n(x), T_n(1) = 1,

T_n(−1) = (−1)ⁿ, (3.2)

T_2n(0) = (−1)ⁿ, T_2n+1(0) = 0.

3.3 Sifat Ortogonal dari T

_n

(x)

Sebelum berbicara mengenai sifat ortogonal dari T_n(x) mari kita pahami dulu sifat keortogonalan fungsi cosinus, lihat [5].

Definisi:

1. Dua fungsi tak nol, f (x) dan g(x) dikatakan ortogonal pada a ≤ x ≤ b jika, Z b

a

f (x)g(x)dx = 0.

2. Suatu set fungsi tak nol, f_i(x), dikatakan ortogonal pada a ≤ x ≤ b jika f_i(x) dan f_j(x) adalah ortogonal untuk setiap i 6= j. Dengan kata lain

Z b a

f_i(x)f_j(x)dx =







0 (i 6= j)

c>0 (i = j) .

Dengan menggunakan definisi tersebut akan ditunjukkan bahwa fungsi cosinus, cos ^nπθ_L
, n = 0, 1, 2, ..., adalah saling ortogonal pada selang −L ≤ θ ≤ L.

Fungsi cosinus merupakan fungsi genap, karena itu integralnya dapat dituliskan sebagai

Z L

−L

cos nπθ L



cos mπθ L



dθ = 2 Z L

0

cos nπθ L



cos mπθ L

 dθ.

Untuk n = m = 0,

Z L

−L

dθ = 2 Z L

0

dθ = 2L.

Untuk n=m6= 0, Z L

−L

cos² nπθ L



dθ = 2 Z L

0

cos² nπθ L

 dθ

= Z L

0

1 − cos 2nπθ L

 dθ

=



θ + L

2nπ sin nπθ L

 

  

L

0

= L + L

2nπ sin(2nπ).

Karena n adalah bilangan bulat maka sin(2nπ) = 0. Pada persamaan di atas, dengan memasukkan nilai sin(2nπ) = 0 maka diperoleh

Z L

−L

cos² nπθ L



dθ = 2 Z L

0

cos² nπθ L



dθ = L.

Untuk n 6= m,

Z L

−L

cos nπθ L



cos mπθ L



dθ = 2 Z L

0

cos nπθ L



cos mπθ L

 dθ

= Z L

0



cos (n − m)πθ L



+ cos (n + m)πθ L



dθ

=

 L

(n − m)π sin (n − m)πθ L



+ L

(n + m)πsin (n + m)πθ L

^L

0

= L

(n − m)πsin ((n − m)π) + L

(n + m)π sin ((n + m)π) .

Karena n dan m merupakan bilangan bulat maka (n − m) dan (n + m) juga bilangan bulat. Kedua sinus di atas haruslah nol. Maka dari itu diperoleh

Z L

−L

cos nπθ L



cos mπθ L



dθ = 2 Z L

0

cos nπθ L



cos mπθ L



dθ = 0.

Kita telah menunjukkan bahwa jika n 6= m nilai integralnya ialah nol. Sedangkan jika n = m nilai integralnya ialah konstanta positif. Maka sesuai dengan definisi, terbukti bahwa cos ^nπθ_L
dengan n = 0, 1, 2, ... adalah saling ortogonal pada selang

−L ≤ θ ≤ L.

Z L 0

cos nπθ L



cos mπθ L

 dθ =















0 (m 6= n)

L/2 (m = n 6= 0)

L (m = n = 0)

.

Sifat keortogonalan untuk suku banyak Chebyshev jenis pertama dapat diperoleh dengan menggunakan sifat keortogonalan pada fungsi cosinus. Hal ini dikarenakan suku banyak Chebyshev adalah suku banyak yang ortogonal dan mengandung fungsi trigonomeetri cosinus.

Dengan memisalkan L = π diperoleh

Z π 0

cos(mθ) cos(nθ)dθ =















0 (m 6= n)

π/2 (m = n 6= 0)

π (m = n = 0)

.

Kemudian untuk memperoleh sifat ortogonal dari suku banyak Chebyshev, subtitusi persamaan di atas dengan

T_n(x) = cos(nθ), cos θ = x.

Maka pada selang −1 ≤ x ≤ 1 dan dengan bobot (1 − x²)^−1/2, suku banyak Cheby- shev adalah ortogonal pada ruang ini

Z 1

−1

T_m(x)T_n(x)dx

√1 − x² =















0 (m 6= n)

π/2 (m = n 6= 0)

π (m = n = 0)

.

3.3.1 Deret Ortogonal dari Suku Banyak Chebyshev

Misalkan suatu fungsi f (x) adalah kontinu dan bernilai tunggal, terdefinisi pada selang −1 ≤ x ≤ 1, dapat diekspansi sebagai deret dari suku banyak Chebyshev:

f (x) = A₀T₀(x) + A₁T₁(x) + A₂T₂(x) + ...

=

∞

X

n=0

A_nT_n(x),

dimana koefisian An diberikan sebagai A₀ = 1

π Z 1

−1

f (x)dx

√1 − x², n = 0,

dan

A_n= 2 π

Z 1

−1

f (x)T_n(x)dx

√1 − x² , n = 1, 2, 3, ... .

3.3.2 Turunan dan Intergal pada Suku Banyak Chebyshev

Sifat turunan dan integral sangatlah penting untuk diketahui dalam membantu menyelesaikan masalah secara analitik maupun numerik. Kita mulai dengan

T_n+1(x) = cos[(n + 1) cos⁻¹x], dan

T_n−1(x) = cos[(n − 1) cos⁻¹x].

Turunkan kedua persamaan diatas, maka akan dihasilkan 1

(n + 1)

d[T_n+1(x)]

dx = − sin[(n + 1)cos⁻¹x]

−√

1 − x² , dan

1 (n − 1)

d[T_n−1(x)]

dx = − sin[(n − 1)cos⁻¹x]

−√

1 − x² . Dengan mengurangi kedua persamaan diatas menghasilkan

1 (n + 1)

d[T_n+1(x)]

dx − 1

(n − 1)

d[T_n−1(x)]

dx = sin(n + 1)θ − sin(n − 1)θ

sinθ ,

atau

T_n+1⁰ (x)

(n + 1) − T_n+1⁰ (x)

(n − 1) = 2 cos nθ sin θ

sin θ = 2T_n(x), n ≥ 2.

Karena itu

T₀⁰(x) = 0, T₁⁰(x) = T₀, T₂⁰(x) = 4T₁.

Kini kita telah memiliki rumus untuk turunan dari suku banyak Chebyshev. Rumus ini dapat membantu kita dalam membangun rumus untuk integral pada suku banyak Chebyshev:

Z

T_n(x)dx = 1 2

 T_n+1(x)

(n + 1) − T_n−1(x) (n − 1)



+ C, n ≥ 2, Z

T₁(x)dx = 1

4T₂(x) + C, Z

T₀(x)dx = T₁(x) + C.