Pert 3
PROBABILITAS
Rekyan Regasari MP
• Berapakah kemungkinan sebuah koin yang dilempar akan menghasilkan gambar angka
• Berapakah kemungkinan gedung ini akan runtuh
• Berapakah kemungkinan seorang kreditur bisa melunasi hutangnya
• Membuat game & Simulasi: Berapakah kemungkinan tembakan bot bisa mengenai sasaran dengan tepat
Probabilitas adalah suatu ilmu untuk memprediksi suatu kejadian (even) atau dapat disebut peluang suatu kejadian berdasarkan pendekatan matematis.
Dengan ilmu probabilitas, kita dapat memprediksikan suatu kejadian berdasar kumpulan data yang telah diolah dengan ilmu statistik.
Teori probabilitas digunakan untuk menghitung resiko dan ketidakpastian
Penerapan:
• Pelemparan koin, dadu, kartu.
• Analisis resiko.
• Simulasi.
• Sinyal dan Noise
perusahaan
Organisasi
Jadwal belajar mahasiswa
Cara mengendalikan bawahan
Memperkirakan peluang-peluang dalam rancangan game
Dan lain-lain
1.
Teori Ruang Sampel : banyaknya cara yang dapat ditempuh dalam suatu kejadian menghitung titik sample
A.
Deret k operasi
B.
Permutasi
C.
Kombinasi 2. Teori Peluang
3. Teori Ekspektasi
Ruang Sampel adalah kumpulan semua even (kejadian)
-Bagaimanakah ruang sampel dari pelemparan 2 buah koin?
-3 buah koin?
-Bagaimanakah ruang sampel dari pelemparan 2 buah dadu?
-Bagaimanakah ruang sampel dari total angka dadu dalam pelemparan 2 buah dadu?
-Pada pelemparan 3 buah koin, sebutkan himpunan even A dimana muncul sekurang-kurangnya satu gambar.
-Pada pelemparan 2 buah dadu, sebutkan himpunan even B dimana muncul total nilai dadu sekurang-kurangnya 6.
- Jika S terdiri dari n anggota. Berapakah total even yang mungkin terjadi?
A. Deret k Operasi
Bila suatu operasi bisa dilakukan dengan n1 cara, kemudian bila untuk tiap cara ini, operasi kedua bisa dilakukan dengan n2 cara, maka kedua operasi ini dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2.
Contoh : banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilempar 1 kali ?
Bila suatu operasi bisa dilakukan dengan n1 cara, untuk tiap cara ini bisa dilakukan n2 cara, dan untuk setiap kedua cara tersebut, operasi ketiga bisa dilakukan dengan n3 cara, maka deretan k operasi bisa dikerjakan dengan n1n2n3…….nk cara.
Con toh : Berapa macam hidangan bisa disajikan jika masing-masing hidangan bisa terdiri atas bakso, nasi goreng, sate, capjay, bila tersedia 2 macam bakso, 2 macam nasi goreng, 3 macam sate, dan 3 macam capjay ?
Jika n1 = n2 = …., maka n^k
B. Permutasi : susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil seluruhnya atau sebagian.
Macam permutasi :
a. Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!
Contoh : Permutasi dari 4 angka untuk sebuah kode ?
b. Banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus :
nPr = n! / (n-r)!
Contoh : - dari 8 no undian, 2 diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang sample S. asumsi tidak dikembalikan.
- Permutasikan dua huruf yang dapat dibentuk dari lima huruf berikut yaitu A, B, C, D, E dan hitung berapa banyak permutasinya
c. Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!
Contoh : Dalam sebuah rapat ada 4 orang duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang
berlainan dalam rapat tersebut ?
d. Banyak permutasi dari n benda jika n1
diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua dan seterusnya hingga nk berjenis ke k adalah n!/n1!n2!...nk!
Contoh : ada 9 bola lampu disusun seri. Berapa cara menyusun bola lampu tersebut jika 3
diantarany merah, 4 biru dan 2 hijau ?
e. Penyekatan : Banyaknya cara menyekat n benda
dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2 dalam sel kedua, dan seterusnya.
Contoh : Berapa banyak cara untuk menampung 7 orang dalam 3 kamar hotel, jika 1 kamar bertempat tidur 3 dan kamar lainnya bertempat tidur 2 ?
3. Kombinasi
Kombinasi : jumlah kombinasi dari n benda berlainan bila diambil sebanyak r adalah :
nKr = n!/r!(n-r)! atau K = C
Contoh :
- a b c d diambil kombinasi sebanyak 2 pasang. Berapa kombinasi yang terjadi ?
- ada 4 engineer dan 3 fisikawan. Akan dibentuk panitia yang terdiri atas 2 engineer dan 1 fisikawan. Berapa banyak cara panitia bisa dibentuk?
Catatan :
Teori ruang sampel yang paling banyak
digunakan : PERMUTASI dan KOMBINASI
Dalam penyelesaian sebuah soal, perhatikan memperhatikan urutan atau tidak
Permutasi memperhatikan urutan-bisa dibolak-balik-, kombinasi tidak
memperhatikan urutan-tidak bisa dibolak-
balik-.
Terdapat 3 orang siswa. Dini, Dono, Dana.
Dari 3 orang tsb dipilih 3 orang sebagai ketua, sekretaris & bendahara. Sebutkan
kemungkinan-kemungkinan susunannya!
Dari 3 orang tsb dipilih 2 orang sebagai ketua dan wakil ketua. Sebutkan kemungkinan-
kemungkinan susunannya!
Dari 3 orang tsb dipilih 1 orang sebagai ketua
Berapa banyak bilangan antara 1000 dan 9999 yang digitnya semuanya beda.
Dalam sebuah keranjang ada 3 bola merah dan 2 bola biru. Seseorang disuruh
mengambil 2 bola. Berapa macam kemungkinannya?
3 bola ?
4 bola ?
5 bola ?
Ada 9 orang, kita harus memilih sebuah komite terdiri dari 6 orang. Berapa kombinasi yang mungkin terjadi?
Ada 9 orang, 5 pria dan 4 wanita. Kita harus memilih sebuah komite terdiri dari 6 orang dengan minimal terdapat 2 wanita. Berapa kombinasi yang mungkin terjadi?
Ada berapa kata yang bisa disusun dari huruf- huruf : S, A, T, U
Permutasikan semua huruf : TAMAT
Ada berapa kata yang bisa disusun dari huruf-
huruf : STATISTIKA
Merupakan ukuran numeric tentang seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. Semakin besar nilai probabilitas menyatakan bahwa peristiwa itu akan sering terjadi.
Bisa dibilang merupakan asam garam probabilitas, karena di dalam ilmu probabilitas, semua hal berhubungan dengan kemungkinan suatu kejadian, sedangkan cara untuk menghitung kemungkinan tersebut adalah dengan teori PELUANG
Cara menghitung peluang adalah dengan mencari ruang sampel kejadian yang diinginkan, lalu dibagi dengan ruang sampel total dari suatu kejadian. Sehingga teori ruang sampel harus dikuasai terlebih dahulu.
Peluang bisa dinyatakan dalam perbandingan, bisa dinyatakan dalam persentase.
• Secara umum, rumus teori peluang :
• Jika suatu kejadian di dalam m dari n cara kemungkinan, dimana n kemungkinan itu mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka:
Jika P(A)= 0 bahwa kejadian A tidak terjadi P(A)= 1 bahwa kejadian A pasti terjadi
Contoh :
Suatu kemasan berisi 6 Flash Disk A, 4 Flash Disk B dan 3 Flash Disk C. Bila sesorang mengambil satu Flash Disk secara acak, maka berapa peluang terambil Flash Disk A :
JOINT PROBABILITY
Probabilitas P(AB) disebut probabilitas bersama (joint probability) untuk dua peristiwa A dan B yang merupakan irisan dalam ruang sampel.
Dengan menggunakan diagram Venn didapat : P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
Pernyataan ini setara dengan:
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A B)P(A)+P(B)
Jika kedua peristiwa A dan B adalah saling asing P(AB)=P(A)+P(B)
1. aturan penjumlahan untuk peristiwa yang terpisah satu sama lain
(mutually exclusive) :
P (A atau B) = P(A) + P(B)
2. aturan penjumlahan untuk peristiwa yang tidak terpisah satu sama lain (non mutually exclusive) :
P (A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)
3. aturan perkalian :
P (A dan B) = P(A) . P(B)
Probabilitas bersyarat suatu peristiwa A, dengan syarat peristiwa B didefinisikan sebagai
0 )
( ) ;
(
) ) (
/
(
bilaP B
B P
B A
B P A
P
Jika A dan B saling asing, maka AB = , sehingga P(AB) = 0
PROBABILITAS BERSYARAT
: Suatu peluang bergantung pada suatu peluang pada kejadian sebelumnya
Probabilitas bersyarat
P (B/A) = … ?
= … ?
• Jika P(A/B) = P(A) atau P(B/A) = P(B), maka bisa dikatakan peluang tersebut bebas dan hukum peluang bersyarat menjadi tidak berlaku.
• P(A/B) berarti bahwa peluang A hanya terjadi bergantung dari peluang B.
Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku :
P(AB) = P(A).P(B) ; P(AB) = P(A B)
Dua kejadian C dan D dikatakan saling lepas jika berlaku :
P(CD) = O
Contoh soal Probabilitas Bersyarat :
Jika sebuah dadu dilemparkan, berapa
probabilitas muncul angka kurang dari 4 jika
hasil pelemparan adalah angka ganjil ?
Jenis Rambut warna
Hitam Tidak hitam
Lurus 2 0
Ikal 2 4
Keriting 1 2
Berapa Peluang terpilih anak berambut lurus dengan syarat hitam ?
Sebuah kartu dipilih secara acak dari
serangkaian kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian terpilih gambar hati, maka :
a.
Tunjukkan bahwa E dan F saling bebas
b.
Apakah E dan F saling lepas ?
1. Contoh berupa empat komponen elektronik
diambil dari keluaran produksi. Probabilitas dari beragam produk, dihitung sbb : P(0 cacat) =
0,6561, P(1 cacat) = 0,2916, P(2 cacat) = 0,0486, P(3 cacat) = 0,0036, P(4 cacat) = 0,0001. Berapa probabilitas paling sedikit 1 cacat ?
2. Tiga siswa dipilih untuk mewakili 6 orang siswa putri dan 10 orang siswa putra. Kemungkinan ketiga siswa yang terpilih semuanya putra
adalah ……….
3. Seseorang harus mengerjakan 6 soal dari 9 soal yang tersedia. Berapa kemungkinan 3 soal pertama dikerjakan ?
4. Jika angka 1,2,3,4,5 diurutkan dengan
seluruh kemungkinan yang ada, berapa
kemungkinan muncul angka yang 2 digit
pertama adalah genap ?
1. Kelas XIIA terdiri dari 10 murid laki-laki dan 20 murid perempuan. Setengah dari jumlah murid laki-laki dan setengah dari jumlah murid
perempuan berambut keriting. Apabila seorang murid dipilih secara acak untuk mengerjakan soal, maka peluang bahwa murid yang terpilih itu laki-laki atau berambut keriting adalah
2. Sebuah kotak berisi 10 bola lampu dengan 3 diantaranya cacat. Jika 4 bola lampu dipilih
secara acak, maka peluang terpilihnya satu bola lampu cacat adalah …………
3. Registrasi dari sebuah kelas yang terdiri atas 120 orang dianalisa.
Diketahui bahwa :
30 mahasiswa tidak mengambil mata kuliah Probabilitas dan statistik, Kecerdasan Buatan maupun computer vision.
15 mengambil mk Probstat
25 mengambil mk Kecerdasan Buatan dan Computer Vision, tetapi tidak mengambil mk Probstat
20 mengambil mk Probstat dan Computer Vision, tetapi tidak mk Kecerdasan Buatan
10 mahasiswa mengambil ketiga mata kuliah tersebut
Total yang mengambil Kecerdasan Buatan adalah 45 mahasiswa, diantaranya 5 mahasiswa hanya mengambil Kecerdasan Buatan.
Berapa mahasiswa mengambil Probstat dan Kecerdasan Buatan, tapi tidak Computer Vision ?
Berapa mahasiswa hanya mengambil Computer Vision ?
Berapa total mahasiswa yang mengambil Computer Vision ?
Jika dipilih mahasiswa secara acak dari yang tidak mengambil Kecerdasan Buatan maupun Computer Vision, Berapa peluangnya terpilih mahasiswa yang tidak mengambil Probstat juga ?
Jika satu dari mahasiswa yang mengambil paling sedikit dua dari tiga mata kuliah tersebut dipilih secara acak, berapa peluangnya terpilih yang mengambil 3 mata kuliah ?
4. Tetangga baru yang belum anda kenal katanya mempunyai 2 anak. Anda tahu salah satunya adalah laki-laki. Peluang kedua anak tetangga baru anda semuanya laki-laki adalah …………
Atau,
2 bersaudara, salah satunya harus laki-laki, maka peluang yang satu lagi laki-laki adalah
………
5. Dalam suatu kotak terdapat 3 bola putih dan 2 bola hitam. Jika dari kotak tersebut diambil
secara acak 2 bola sekaligus, maka peluang bola yang terambil berwarna sama adalah ……….
