Statistika Inferensia: Pendugaan Parameter. Dr. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015

Statistika Inferensia: Pendugaan Parameter

Dr. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015

1

Populasi : Parameter

Sampel : Statistik

Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi

PENDUGA TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM

Pengetahuan mengenai distribusi

sampling

STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER

TARGET

PENDUGA TITIK

PENDUGA SELANG

Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter

populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang interval

Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan Penduga selang  konsep probability  SELANG

KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL) ³

Pendugaan Parameter



2

1

x

x 

p

Satu Populasi

2

1 ˆ

ˆ p

p 

Dua Populasi

x pˆ

2

1



  p

₁

 p

₂

2 2

2 1

s s

2 2

2



1



s 2

 2

Pendugaan Parameter:

Kasus Satu Sampel

Rataan Populasi

5

Standard Error = Galat Baku

Rataan contoh ( ) merupakan penduga tak bias bagi  karena E( ) = .

Sedangkan s² merupakan penduga tak bias bagi ²

 ²

x _s²

 1.96

 x ^1.96  _x

SAMPLING ERROR

x x

7

Mendenhall (Example : 8.5), hlm. 304

Mendenhall (Example : 8.5), hlm. 304

9

Dugaan Selang Kepercayaan (1-  ) bagi µ

n z

x n

z

x   



2    2



n t s

x n

t s

x

_{(n 1) (n 1)}

2

2 

  









 ^{Syarat :}

kondisi ²

Diketahui atau sampel besar

Tidak diketahui dan sampel

kecil

² diduga dengan s²

11

Jumlah Sampel Ragam (σ

²

) Sebaran

Besar ( n ≥ 30) Diketahui Normal Tdk Diketahui Normal Kecil ( n < 30) Diketahui Normal

Tdk Diketahui t-Student

Perlu diingat …!

Apabila ukuran contoh (sample size)

adalah besar (n  30) maka pada formula selang kepercayaan tersebut dapat

menggunakan sebaran NORMAL (Z).

Contoh Soal : Mendenhall, Ex. 8.6, hlm. 311

13

15

Latihan (1)

• Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkan

menyebar normal dengan simpangan baku 1.5 desiliter.

• Tentukan selang kepercayaan 90% bagi rata-

rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh mesin ini, bila suatu contoh acak 36 gelas

mempunyai isi rata-rata 22.5 desiliter.

• Apa interpretasi selang kepercayaan tersebut?

Latihan (2)

• Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir mengahsilkan nilai tengah dan

simpangan baku nilai mutu rata-rata sebesar 2.6 dan 0.3.

• Buat selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah seluruh mahasiswa tingkat akhir!

17

Latihan (2)

• Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir mengahsilkan nilai tengah dan

simpangan baku nilai mutu rata-rata sebesar 2.6 dan 0.3.

• Buat selang kepercayaan 95% bagi nilai

tengah seluruh mahasiswa tingkat akhir!

Latihan (3)

• Mendenhall (Exercise 8.33), hlm. 316

• Mendenhall (Exercise 8.36), hlm. 317

19

Ukuran contoh optimum

2 2

/





 



 

d n z

_



n = ukuran contoh



²

= ragam populasi

d = batas kesalahan pendugaan

Contoh Kasus

• Berapa ukuran contoh yang diperlukan pada tingkat kepercayaan 90% untuk kasus rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh

mesin (pada Contoh 1 di atas), bila diinginkan penduga nilai tengah (rata-rata contoh) tidak melebihi 0.3 desiliter perbedaannya dari nilai tengah sebenarnya?

21

Pendugaan Parameter:

Kasus Dua sampel saling bebas

Selisih rataan dua populasi

₁ - ₂

2

1 x

x 

₁-₂ 1.96

2 1 x x 



SAMPLING ERROR

1.96

2 1 x x 



23

Dugaan Selang bagi µ ₁ - µ ₂

1 2 1 1

2 1 2

1 2

1 1

2 1 1

2 1 2

1 ) ₂ ( ) ₂

( x x z n n

n z n

x

x      



       





Syarat :

₁² & ₂²

Diketahui atau sampel besar

Tidak Diketahui dan sampel

kecil

₁² & ₂² Tidak sama

sama Formula 1

a. Jika ₁ dan ₂ tdk diketahui dan diasumsikan sama:



 



 









 



 



 





2 1

2 )

2 ( 1

2 1

2 1

2 )

2 ( 1

1 ) 1

1 ( ) 1

( 2 2

n s n

t x

n x s n

t x

x  _{v gab}    _{v gab}

2 dan

2 ) 1 (

) 1 (

2 1

2 1

2 2 2

2 1

2 1   









  v n n

n n

s n

s s_gab n

Formula 1

25

b. Jika ₁ dan ₂ tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:

Formula 2



 



 









 



 



 





2 2 2 1

2 1 )

2 ( 1

2 1

2 2 2 1

2 1 )

2 (

1 ) ₂ ( ) ₂

( n

s n

t s x

n x s n

t s x

x  _v    _v

   











  



 



 











  



 







 



 



1

1 ₂

2

2 2 1 2

2

1 2 1

2

2 2 2 1

2 1

n n n s

n s

n s n

s v

Perlu diingat …!

Apabila ukuran contoh (sample size)

adalah besar (n  30) maka pada formula selang kepercayaan tersebut dapat

menggunakan sebaran NORMAL (Z).

Contoh Soal :

Mendenhall, Example 8.9 hlm. 319

27

Mendenhall, Example 8.9 hlm. 319 (Sampel Besar)

Z_α/2 = Z_0.005 = 2.58

 α = 0.01

29

Untuk Sampel Kecil

SK 95%  α = 0.05 ; db = n₁ + n₂ – 2 = 16

Sebaran t-Student: t(α/2; db) = t(0.025; db=16) = 2.120

± 2.120

SK 95% : 3.66 ± 4.7126 = (1.0526 ; 8.3726)

31

Latihan (1)

Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rataan waktu yang dibutuhkan (dalam hari) untuk sembuh darisakit flu.

Terdapat dua grup, satu grup sebagai kontrol dan grup lainnya diberi vitamin C dengan dosis 4 mg/hari. Statistik yang diperoleh dari peneltian tersebut sebagai berikut :

– Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda rata-rata waktu yang diperlukan untuk sembuh

Perlakuan

Kontrol Vitamian C : 4 mg

Ukuran contoh 35 35

Rataan contoh 6.9 5.8

Simpangan baku contoh 2.9 1.2

Latihan (2)

33

• Mendenhall (Exercise 8.42), hlm. 322

• Mendenhall (Exercise 8.47), hlm. 323

• Mendenhall (Exercise 10.20), hlm. 407

Pendugaan Parameter Kasus dua sampel

berpasangan

Diberi pakan tertentu Ditimbang

kondisi awal : bobot kelinci

Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci

Setelah periode tertentu

Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir – bobot awal

35

_d

d

Dugaan selang

n t s

n d t s

d _{(n 1)} ^d _{D (n 1)} ^d

2

2     

   

Selang kepercayaan (1-)100% bagi _d

Dugaan Selang

Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: _d Selang kepercayaan (1-)100% bagi _d

n t s

n d t s

d

_{(n 1)} ^d _{D (n 1)} ^d

2

2 

  











Pasangan 1 2 3 … n

Sampel 1 (X1) x11 x12 x13 x1n Sampel 2 (X2) x21 x22 x23 x2n

D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn

i i

i

i

d x x

n 1

d d

s _{i 1 2}

2

2 dan d

) (



 







37

Contoh

Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:

Dugalah rata-rata beda berat badan sebelum dan sesudah mengikuti program diet, lengkapi dengan selang kepercayaan

Berat Badan Peserta

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91 Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86

D=X1-X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5

Jawab

39

Penduga bagi rata-rata beda berat bedan sebelum dan sesudah adalah :

5.10 ± 2.262(1.1970)/(√10)  (5.10 ± 0.856)

t(α/2; db=n-1) = t(0.025; db=9) = 2.262

n t s

n d t s

d

_{(n 1)} ^d _{D (n 1)} ^d

2

2 

  











Selang Kepercayaan 95%:

4.2438 < μ

_D

< 5.9562

Pendugaan Parameter:

Kasus Satu Sampel

Proporsi

Proporsi contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi p

p

pˆ

p

1.96  _pˆ ^1.96  _pˆ

SAMPLING ERROR ₄₁

Dugaan Selang

1 1

ˆ) 1 ˆ( ) ˆ

1 ˆ ˆ( ˆ

2

2 n

p z p

p n p

p z p

p 





 

  

Selang kepercayaan (1-)100% bagi p

Contoh Soal : Mendenhall, hlm. 315

43

Latihan

• The U.S News and World Report menyatakan bahwa suatu obat baru yang diekstrak dari suatu jamur,

cyclosporin A, mampu meningkatkan tingkat

kesuksesan dalam operasi transplantasi organ.Menurut artikel tersebut, 32 pasien yang menjalani operasi

transplantasi ginjal diberikan obat baru tersebut. Dari 32 pasien tersebut, 19 diantaranya sukses dalam operasi transpalntasi ginjal.

• Tentukan selang kepercayaan 95% bagi p (proporsi pasien yang sukses dalam operasi dengan

menggunakan obat baru)!

45

Pendugaan Parameter:

Kasus dua Sampel

Selisih dua proporsi

p₁ - p₂

2

1 ˆ

ˆ p

p 

p₁-p₂ 1.96

2 1 ˆ

ˆ p

p 



SAMPLING ERROR

1.96

2 1 ˆ

ˆ p

p 



47

Dugaan Selang

2 2 2

1 1 1

2 1 2

1 2

2 2

1 1 1

2 1

ˆ ) 1 ˆ ( ˆ )

1 ˆ ( ˆ )

( ˆ ˆ )

1 ˆ ( ˆ )

1 ˆ ( ˆ )

( ˆ

2

2 n

p p

n p z p

p p p

n p p p

n p z p

p

p               

Selang kepercayaan (1-)100% bagi p₁ - p₂

Contoh Soal : Mendenhall, hlm. 325

49

Latihan

• Sebuah penelitian dilakukan untuk menguji

pengaruh obat baru untuk viral infection . 100 ekor tikus diberikan suntikan infeksi kemudian dibagi secara acak ke dalam dua grup masing- masing 50 ekor tikus. Grup 1 sebagai kontrol, dan grup 2 diberi obat baru tersebut. Setelah 30 hari, proporsi tikus yang hidup untuk grup 1 adalah 36% dan untuk grup 2 adalah 60%.

• Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih proporsi tikus yang hidup dari grup kontrol

dengan grup perlakuan!

51

Type of data?

Binomial

(tertarik pada p)

Kuantitatif (tertarik pada )

Satu/dua contoh

Satu /dua contoh Satu

contoh

contoh Dua

Satu

contoh Dua

contoh Duga p

Atau

Ukuran contoh

Duga (p₁ – p₂)

Duga  Atau Ukuran

contoh

Duga ₁ - ₂ atau Ukuran

Ringkasan

Latihan

• Dari suatu contoh acak 400 bayi, 86 ternyata lebih menyukai susu X. Buat

Selang Kepercayaan 90% bagi proporsi populasi bayi yang menyukai susu

merk X !

53

Latihan

• Sebuah perusahaan minuman ringan

menghasilkan dua jenis minuman A dan B.

Perusahaan itu mengatakan bahwa penjualan minuman merk A lebih besar 8% daripada

merk B. Bila ternyata 42 diantara 200

responden lebih menyukai merk A dan 18

diantara 150 responden lebih menyukai merk B, buat selang kepercayaan 95% bagi selisih persentase penjualan kedua merk tersebut!

Simpulkan apakah selisih 8% tersebut dapat

diterima atau tidak

Jawaban Ringkas

55

Sample X N Estimator of p A 42 200 0,21

B 18 150 0,12

Difference = p (1) - p (2)

Estimate for difference: 0,09 or 9%

95% CI for difference: (0,0132480; 0,166752) Or (13.3% ; 16.7%)

Kesimpulan : Selisihnya lebih dari 8% dapat diterima, karena

nilai yang tercakup dalam selang semuanya berada lebih dari

8%, yaitu 13.3% hingga 16.7%.

Materi ini bisa di-download di:

kusmans.staff.ipb.ac.id

Terima Kasih