Teori Peluang. Hikmatul Khusna, M.Pd Pendidikan Matematika FKIP UHAMKA

(1)

Teori Peluang

(2)

Tentang Teori Peluang

Deskripsi Singkat Mata Kuliah

Mahasiswa mampu memahami konsep-konsep kombinatorika dan peluang serta mengaplikasikan dalam kehidupan dan

pembelajaran di sekolah dan bidang ilmu lainnya

Materi Pembelajaran

• Konsep Dasar Peluang

• Fungsi Peluang Diskrit dan Kontinu

• Ekspektasi, Varian, dan Kovarian

Buku

(3)

Probabilitas & Statistika untuk Teknik dan

sains

(4)

Sebaran Materi Perkuliahan

1. Ruang sampel, kejadian dan titik sampel

2. Peluang suatu kejadian dan aturan penjumlahan, peluang bersyarat dan aturan perkalian

3. Aturan Bayes

4. Pengertian peubah acak dan distribusi peluang diskrit

5. Distribusi peluang kontinu

6. Distribusi empiris

7. Distribusi Peluang Gabungan

8. UTS

9. Rataan Peubah acak

10. Varian

11. Kovarian

12. Rataan dan variansi dari kombinasi linier

13. Rataan dan variansi dari kombinasi linier

14. Teorema Chebyshev

15. Teorema Chebyshev

(5)

(6)

TATA TERTIB PERKULIAHAN

• Mengikuti kuliah sesuai jadwal (Selasa, 13.00 – 14.40)

• Mengisi kontrak perkuliahan (perwakilan kelas)

• Hadir tepat waktu

• Memberikan kabar ketika tidak bisa masuk kuliah

• Mengaktifkan kamera atau memberikan alasan jika berhalangan

• Mengumpulkan tugas tetap waktu

• Tidak ada tambahan tugas di akhir semester untuk perbaikan nilai

• Tidak ada perbaikan UTS dan UAS

(7)

PENILAIAN

• Keaktifan 10%

• Tugas 20%

• UTS 30%

• UAS 40%

(8)

Ruang Sampel, Kejadian,

(9)

“

Dalam mempelajari statistika, pada

dasarnya perhatian kita ditujukan

pada penyajian dan penafsiran dari

hasil pengamatan yang kita lakukan

(10)

Ruang Sampel

Definisi ruang sampel

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika

disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang S

Sedangkan anggota dari ruang sample disebut dengan titik sampel.

Contoh

Dilakukan percobaan melempar sebuah dadu. Jika yang ingin di selidiki

adalah nomor yang muncul disebelah atas, maka ruang sampel nya adalah

T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(11)

Ditulis dengan “daftar”

Cara ini digunakan untuk

menyebutkan untuk titik sampel yang berhingga

Contoh: pelemparan sebuah dadu, maka ruang sampel nya dpt ditulis T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cara menuliskan ruang sampel

Ditulis dengan “pernyatakan atau aturan”

Cara ini digunakan untuk menyebutkan untuk titik sampel yang takhingga

Contoh:

Himpunan kota di dunia yang berpenduduk lebih dari satu juta, maka ruang sampel nya dpt ditulis T = {x | x suatu kota yang berpenduduk lebih dari satu juta}

Contoh lain:

Himpunan semua titik (x,y) dalam batas maupun dalam lingkaran berjari-jari 2, maka ruang sampel nya dpt ditulis T = {(x,y) | x2 _{+ y}2≤ 4}

(12)

Kejadian

Definisi kejadian

Himpunan bagian dari ruang sampel

Contoh

Terdapat kantong darah di rumah sakit dengan klasifikasi golongan darah A,

B, O, dan AB. Misalkan akan diambil kantong darah A, maka kantong darah

disebut sebagai kejadian. Sedangkan kantong darah yang lainnya

dikatakan sebagai komplemen.

(13)

Kejadian

Contoh

T = { buku, pensil, tas, sepatu, seragam, ponsel, tv, radio, tanaman}

Misalkan A = {buku, pensil, tas sepatu} maka

A’ = {seragam, ponsel, tv, radio, tanaman}

Definisi komplemen

Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah himpunan semua unsur A

yang tidak termasuk A. Komplemen dinyatakan dengan lambang A’

(14)

KEJADIAN

_{Sekarang akan dibahas operasi dalam suatu}

(15)

Definisi

Irisan dua kejadian A dan B, nyatakan dengan lambang A∩B adalah kejadian yang

unsurnya termasuk dalam A dan B

Misalkan ada 2 kejadian A dan B yang berkaitan dari ruang sampel yang sama. Jika kejadian tersebut adalah pelemparan sebuah dadu, misalkan A adalah munculnya bilangan genap dan B adalah munculnya bilangan yang lebih dari 3.

Misalkan A = {2,4,6} dan B = {4, 5, 6}

Maka ada himpunan yang sama yaitu {4,6}. Himpunan tersebut dikatakan irisan A dan B.

Contoh

Misalkan R adalah kejadian seseorang terpilih secara acak pada saat makan malam di suatu warung adalah seorang mahasiswa dan S adalah kejadian bahwa seseorang yang terpilih tinggal di asrama. Kejadian R∩S adalah himpunan mahasiswa makan disuatu warung dan tinggal di asrama

(16)

Definisi

Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas (terpisah) jika A∩B = Ø

yaitu jika A dan B tidak memiliki unsur yang sama.

Misalkan P = {a, i, u, e, o} dan Q = {r, s, t} maka P ∩ Q = Ø artinya P dan Q tidak memiliki unsur yang sama sehingga keduanya tidak muncul bersama-sama.

Dalam statistika, kejadian tidak muncul bersama-sama merupakan hal yang biasa. Kejadian ini dikatakan saling lepas (terpisah)

(17)

Definisi Gabungan

Gabungan dua kejadian A dan B, nyatakan dengan lambang A∪B adalah

kejadian yang berisi semua unsur yang dimiliki A dan B

Misalkan diberikan himpunan A = {2, 4, 6} dan B = {4, 5, 6} Seringkali kita tertaruj pada Misalkan A = {2,4,6} dan B = {4, 5, 6}

Kita mungkin tertarik pada kejadian A, atau kejadian B, atau kejadian A dan B. Kejadian A dan B disebut sebagai gabungan jika luaran yang dihasilkan adalah unsur dari himpunan bagian {2, 4, 5, 6}.

Contoh

(18)

Diagram Venn

Hubungan antara kejadian dan ruang sampel yang saling berkaitan dapat disajikan secara grafis dengan diagram venn

(19)

LATIHAN SOAL

Halaman 26

(20)

Bagaimana Menghitung

Titik Sampel

Untuk menghitung titik sampel yang sedikit, kita bisa menghitungnya satu per satu.

Namun untuk titik sampel yang banyak, kita dapat mencacah jumlah titik dalam ruang sampel tanpa membuat benar-benar daftar titik tersebut

(21)

Teorema 1

Jika operasi dapat dilakukan dengan n

₁

cara dan jika untuk setiap operasi

tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan n

₂

cara, maka kedua operasi

tersebut dapat dilakukan bersamaan dengan n

₁

n

₂

cara

Prinsip dasar pencacahan yang sering diacu sebagai kaidah perkalian dinyatakan sebagai berikut:

Contoh

Seorang pengembang dari suatu subdivisi menwarkan kepada calon pembeli rumah sebuah pilihan model eksterior Tudor, plester kasar, colonial, dan tradisional. Di dalam peternakan, dua lantai dan rencana membuat lantai berbeda . Dalam berapa carakah seorang pembeli dapat memesan salah satu dari rumah tersebut?

(22)

Teorema 2

Jika operasi dapat dilakukan dengan n

₁

cara dan jika untuk setiap operasi

tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan n

₂

cara, dan untuk

masing-masing dari kedua operasi pertama ini operasi ketiga dapat dilakukan dalam

n

₃

cara, maka urutan dari k operasi dapat dilakukan dalam n

₁

n

₂

…. n

_k

cara

Kaidah perkalian tersebut dapat diperluas sebanyak n_k cara yang disebut kaidah perkalian tergeneralisasi.

Contoh

Berapa banyakkah bilangan tiga-digit genap dapat dibentuk dari 1, 2, 5, 6, dan 9 jika masing-masing digit hanya dapat digunakan sekali?

Karena harus genap maka kita punya n₁ = 2 untuk satuan. Kita punya n₂ = 4 untuk ratusan dan n = 3 untuk puluhan sehingga n n n = (2)(4)(3) = 24 bilangan genap 3

(23)

Definisi Permutasi

Penyusunan semua atau sebagian dari suatu himpunan objek

Sering kita tertarik pada suatu ruang sampel yang berisi unsur semua urutan atau susunan yang mungkin dari suatu kelompok benda. Misalkan kita ingin mengetahui jumlah urutan berbeda yang mungkin bagi 6 orang yang duduk mengelilingi meja. Penyusunan berbeda tersebut dinamakan permutasi

Contoh

Ambil 3 huruf abc maka permutasi yang mungkin adalah abc, acb, bac, bca, cab, dan cba artinya ada 6 susunan yang berbeda.

Jika kita menggunakan teorema 2 maka n₁= 3 n₂ = 2 dan n₃ = 1 sehinga n₁n₂n₃ = 6 Atau dapat ditulis dengan (3)(2)(1) = 3! = 6

(24)

Teorema 4

Jumlah permutasi n objek berbeda yang diambil r sekaligus adalah

n

P

r

=

_{𝑛−𝑟 !}𝑛! Teorema 3

Jumlah permutasi n obyek dari n objek adalah n!

Contoh

Berapa banyak carakah cabang dari American Chemical Society menjadwalkan 3 pembicara untuk pertemuan yang berbeda jika mereka hadir pada masing-masing dari 5 Pertemuan yang mungkin?

(25)

Teorema 5

Jumlah permutasi n obyek berbeda

yang di susun dalam suatu lingkaran

adalah (n – 1)!

Permutasi yang terjadi dengan menyusun obyek-obyek dalam suatu lingkaran disebut

permutasi siklik. Dua permutasi siklik diangga berbeda jika obyek yang berhubungan

dalam 2 susunan didahului atau diikuti oleh obyekyang berbeda saat kita berjalan searah jarum jam

Contoh

Cara menyusun 4 obyek melingkar yang berbeda

(26)

Teorema 6

Jumlah permutasi yang berbeda dari n hal yang terdiri atas n1 adalah jenis pertama, n2 adalah jenis kedua, …., nk adalah jenis ke k, adalah

𝑛!

𝑛₁! 𝑛₂! … 𝑛_𝑘!

Misalkan kita memiliki 3 huruf yang akan di permutasikan (a, b, c) maka hasil permutasi 3 huruf ini adalah abc, acb, bac, bca, cab dan cba.

Selanjutnya jika b dan c diganti dengan x maka didapat axx, axx, xax, xxa, xax dan xxa Sehingga hanya ada 3 permutasi yang berbeda yaitu axx, xax, xxa, artinya jika ada 3 huruf yang akan dipermutasikan dan 2 huruf diantaranya sama maka kita akan memperoleh 3!/2!=3 permutasi yang berbeda

Contoh

(27)

Teorema 7

Jumlah kombinasi n obyek yang berbeda yang diambil r sekaligus adalah 𝑛

𝑟 =

𝑛! 𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Dalam berbagai permasalahan kita tertarik pada jumlah cara pemilihan r obyek dari n tanpa memperhatikan urutannya. Pemilihan ini disebut kombinasi.

Contoh

Dari 4 ahli kimia dan 3 fisikawan carilah jumlah panitia yang dapat dibentuk yang terdiri atas 2 ahli kimia dan 1 fisikawan!

Jumlah cara pemilihan 2 ahli kimia dari 4 ahli kimia 4 2 = 4! 2! (4 − 2)! = 4! 2! 2! = 6

Jumlah cara pemilihan 1 ahli fisikawan dari 3 ahli fisikawan 3

= 3! = 3! = 3

Dengan menggunakan kaidah perkalian di teorema 1 dengan n₁ = 6 dan n₂ = 3 maka dapat dibentuk n₁n₂= (6)(3) = 18

(28)