DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

U if ( ) M l i i l

•Uniform (seragam)

•^Bernoulli

•^Binomial

•^Poisson

•Multinomial

•Hipergeometrik

•^Geometrik

•Binomial Negatif

•^Poisson •Binomial Negatif

MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyary 27 September 2012

2

Distribusi uniform (seragam) ( g )

• Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x x x ) memiliki peluang yang sama (x₁, x₂, …, x_k) memiliki peluang yang sama.

• Distribusi peluang X :

( ) 1 P X

• Rataan :

1 2

( ) , , ,..., _k

P X x x x x x

  k 

1 ^k

Rataan :

• Variansi : ¹

1 ^k

i i

k x









k

 

²

2

1

1 ^k

i i

k x

 









3

Bukti :

mean dan variansi untuk p a distribusi seragam mean dan variansi untuk p.a distribusi seragam.

k k x 1 k

Berdasarkan definisi ekspektasi,

1 1 1

[ ] ( ) 1 ,



  

 



^{k i}  ⁱ 



^{k i} 



^{k i}

i i i

E X x P X x x x

k k

 

²

 

²

 

²

2

1 1

( ) 1

   

 

 

    



^{k i}   ⁱ 



^{k i} 

i i

E X x P X x x

k

C t h 1

4

Contoh 1

• Pelantunan sebuah dadu.Pelantunan sebuah dadu.

( ) 1 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 P X(  x)  6 x 

6 1 2 3 4 5 6

     3 5 ^0.175

0.18

1 2 3 4 5 6 6 3, 5

  ^{    } 

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

0.165 0.17

P(X=x)

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3 4 5 6 2

6 3.5

15 17 12 25 2 92

  ^{    } 

  

0.16

1 2 3 4 5 6

x

15.17 12.25 2.92

 

Percobaan Bernoulli

⁵

• Percobaan terdiri dari 1 usahaPercobaan terdiri dari 1 usaha Usaha

G l Sukses

• Peluang sukses  p Peluang gagal  1 p

Gagal

Peluang gagal  1-p

• Misalkan

1, jika terjadi sukses

0, jika terjadi tidak sukses (gagal) X 

 

Distribusi Bernoulli

⁶

X b di t ib i B lli

•

X berdistribusi Bernoulli,

 (1 )1¹ , 0,1

( ) ( ; )

0 ,

x x

p p x

P X x ber x p

x lainnya

   

   



•

Rataan : E[X] = µ

_x

= p Variansi : Var(X) 

²

p(1 p)

•

Variansi : Var(X)= 

_x²

= p(1-p)

7

Percobaan Binomial

• n usaha yang berulang.

• Tiap usaha memberi hasil yang dapat

dikelompokkan menjadi sukses atau gagal.

P l g k tid k b b h d i h g

• Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya.

• Tiap usaha saling bebas

• Tiap usaha saling bebas.

Di ib i Bi i l

8

Distribusi Binomial

 Distribusi binomial parameter n dan pDistribusi binomial, parameter n dan p

 Notasi X ~ B(n,p)

 F.m.p:

( ) ( ; , ) n ^x(1 )^{n x}

P X x b x n p p p

x

  

     

 

 n n!

 Koefisien binomial : n! = n.(n-1).(n-2) … 1

 x

o Rataan : E[X] = µ_x = np

!

!( )!

  

  

 

n n

x x n x untuk x = 0,1, … , n

o Variansi : var(X)= _X² = np(1-p)

9

Contoh 2

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati

apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang

peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?

edited 2011 by UM

10

Jawab

Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknyap y y y

penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit

sesungguhn a’

sesungguhnya . Maka X~B(5, 0.7)

Y i i di i d l h P(X  3) Yang ingin dicari adalah P(X  3).

P(X  3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

3 2 4 1 5 0

5 5 5

 ⁵    ^{0.7 3 0.3 2}  ⁵    ^{0.7 4 0.3 1}  ⁵    ^{0.7 5 0.3 0}

3 4 5

5! 5! 5!

(0 343)(0 09) (0 240)(0 30) (0 168)(1)

     

        

     

 

(0, 343)(0, 09) (0, 240)(0, 30) (0,168)(1)

2!3! 1!4! 0!5!

0, 309 0, 360 0,168 0, 837

  

   

P b P i

11

Percobaan Poisson

• Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.

• Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial)

▫ Panjang selang waktu

▫ Luas daerah/area C t h

Contoh :

- Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US

tahun di US

- Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter panjang sungai “A”

12

Proses Poisson

 Selang waktu atau daerahnya saling bebas.

 Peluang pada Proses Poisson tergantung pada g p g g p selang waktu dan besarnya daerah.

 Peluang untuk selang yang pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan.

13

Distribusi Poisson

 Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(t)

( )   , 0,1, 2,...

!

t x

e t

P X x x



  





( )

 F.m.p :

! x

e = tetapan Euler (2.71828…)

o Rataan : E[X] = _X = t

o Variansi : var(X)= _X² = t o Variansi : var(X) _X t

14

Contoh 3

Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam b l ( i ) di d h d l h 7

satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7.

a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan

beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu.

b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 p p bulan.

Alur Analisis Kasus

15

Jawab

¹⁶

Jenis kasus

• Kasus Diskrit

• Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah

• Distribusi Poisson

Satuan

• Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya

• Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1

• Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4p g gg

Paramet distribuser

• Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4

• Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata  = t = 7

• Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7) , dengan rata-rata  = t = (7/4)(4) = 7 distribus

i

Jika t 4 (dalam minggu) maka X P (7) , dengan rata rata  t (7/4)(4) 7

Pertanya an

• t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

• t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

an a.

Pertanya an

• t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka  = ....

• t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka  = ....

b.

...

( )   , 0,1, 2,...

!

 



  

t x

e t

P X x x

Ingat definisi: x

sehingga

 

(  2)  1  2

P X P X

a.

     

 

⁰

 

¹

 

²

3,5 3,5 3,5

0,5

1 0 1 2

3, 5 3, 5 3, 5

1

  



      

t

P X P X P X

e

 

e

 

e

 

1 0! 1! 2!

1 0.030 0,106 0, 370 0, 494

   

    

b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan

beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata- rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14

17 rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.

Hubungan distribusi

Bernoulli Binomial Poisson dan Normal

18

Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal

Di t ib i B lli

Misalkan p.a X

Distribusi Bernoulli X ~ Ber (1, p)

>1 Distribusi Binomial

n >1 Distribusi Normal

X ~ N(μ, σ²)

n >>>

X ~ Bin (n, p)

n >>>, p <<<

X N(μ, σ )

μ = np, σ² = np(1- p) μ =  , σ² = 

Distribusi Poisson X ~ POI (t) n >>>

DLP X POI (t)

 = np = np(1- p)

19

Beberapa distribusi diskrit lainnya p y

• Distribusi Multinomial

Di t ib i Hi t ik

• Distribusi Hipergeometrik

• Distribusi Binomial Negatif Distribusi Geometri

• Distribusi Geometri

Di t ib i M lti i l

20

Distribusi Multinomial

• Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E₁, E₂, …, E_k dengan peluang p₁, p₂, …, p_k, maka distribusi peluang peubah acak X₁, X₂, …, X_k yang menyatakan banyak terjadinya E₁, E₂, …, E_k dalam n usaha bebas ialah,

1 2

1 1 2 2 1 2

1 2

( , ,..., ) p p p

, ,...,

xk

x x

k k k

k

P X x X x X x n

x x x

 

     

  

dengan, Percobaan Binomial menjadi

Multinomial jika setiap

1 1

dan 1

k k

i i

i i

x n p

 

 

 

j p

percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

C h 4

21

Contoh 4

• Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta

berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan

pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta.

• Jawab:

Misalkan X_i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili

pesawat bus mobil pribadi dan kereta pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.

       ^{3 3 1 2}

1 2 3 4

( 3, 3, 1, 2) 9 0.4 0.2 0.3 0.1

3, 3,1, 2 P X  X  X  X    

 

     ⁵

9! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0, 038702 3!3!1!2!

     

Di ib i Hi ik

22

Distribusi Hipergeometrik

• X ~ h(N, n, k) ( , , )

• X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k

bernama sukses dan N-k bernama gagal.

bernama sukses dan N k bernama gagal.

k N k

x n x

   

   

  

( ) ( ; , , ) x n x , 0,1, 2,...,

P X x h x N n k x n

N n

  

   

  

 

 Rataan : nk

 Variansi :

2 N n k 1 k 

 

  N ² 1

1 n

N N N

     

Contoh 5

23

Contoh 5

• Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih

secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!

dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!

• Jawab :

Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode l

pelanggaran.

X ~ h(50, 10, 12)

12 38

  

  3 7 220 12620256 

( 3) (3;50,10,12) 0.2703

50 10272278170 10

P X h

  

  

    

  

 10

 

Kaitannya dengan distribusi Binomial

24

Kaitannya dengan distribusi Binomial

• Percobaan binomial maupun hipergeometrik

sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

• Perbedaan mendasar adalah pada binomial

• Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.

• Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N maka distribusi semakin kecil terhadap N, maka distribusi

hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

Di ib i G ik

25

Distribusi Geometrik

• X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)

• X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang

dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

 Rataan : ^ Variansi :

( ) ( ; ) (1 )^x 1, 1, 2,...

P X  x  g x p  p  p ^ x 

 Rataan :

  1

 Variansi :

2

2

1 p

  ^

p p²

Contoh 6

26

Contoh 6

• Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses

pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis

pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada

logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada

pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan

patahan pertama pada hasil pengelasan Hitung peluang patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!

• Jawab :

X ~ Geom(0.2)

( 3) (3; 0 2) 0 2(0 8)2 0 128 P X(  3)  g(3; 0.2)  0.2(0.8)  0.128

P X g

Distribusi Binomial Negatif

27

Distribusi Binomial Negatif

 X ~ b*(k, p)

b k h b kh d k k k d

 X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari

usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

( ) * ( ; , ) 1 (1 ) , , 1, 2...

1

k x k

P X x b x k p x p p x k k k

k

 

 

         

• Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak Geometrik.

X = Y + Y + + Y_k X = Y₁ + Y₂ + ... + Y_k

dimana Y₁, Y₂, ..., Y_k adalah peubah acak saling bebas, masing- masing berdistribusi Geom(p).

k

  p ² k(1 ₂ p)

  p^

 Rataan : ^ Variansi :

C t h 7

28

Contoh 7

• Perhatikan Contoh 6.

• Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga

ditemukan 3 patahan pertama!

J b

• Jawab :

3 5

( 8) * (8;3 0 2) 7 (0 2) (0 8) 0 05505

P X b  

     

( 8) (8;3, 0.2) (0.2) (0.8) 0.05505

P X   b   2 

 

29

Referensi

 Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists 2nd Ed New York: McGraw Hill

Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.

 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond

H Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

 Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey:

Prentice Hall.

 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.