Persamaan Gelombang Datar

(1)

Budi Syihabuddin

Telkom University Semester Ganjil 2017/2018

August 28, 2017

(2)

Referensi

Magdy Iskander, Electromagnetic Fields and Waves 2nd Edition, 2012.

William H. Hayt, John A. Buck, Engineering Electromagnetics 8th Edition, 2011.

(3)

Luaran Pembelajaran

Mahasiswa mampu menjelaskan tentang persamaan umum gelombang datar untuk medan listrik dan medan magnet mahasiswa mampu menjelaskan tentang perbedaan karakteristik medium propagasi dan propagasi gelombang pada berbagai medium antara lain, pada (1) hampa udara (2) dielektrik tidak merugi (3) dielektrik merugi (4) konduktor sempurna

(4)

Review

Bentuk Integral dari Persamaan Maxwell Bentuk Integral Hukum Faraday H −→

E • d−→

L = −_dt^d R −→ B • d−→

S Hukum Ampere dan

arus pergeseran Maxwell H −→ H • d−→

L =R −→ J • d−→

S +_dt^d R −→ D • d−→

S Hukum Gauss

untuk medan listrik H −→ D • d−→

S =R ρ_vdV = Q Hukum Gauss

untuk medan magnet H −→ B • d−→

S = 0

(5)

Review

Bentuk Diferensial dari Persamaan Maxwell

Bentuk Diferensial Hukum Faraday −→

∇ ×−→ E = −^∂

−

→B

∂t

Hukum Ampere dan

arus pergeseran Maxwell −→

∇ ×−→ H =−→

J + ^∂

−

→D

∂t

Hukum Gauss

untuk medan listrik −→

∇ •−→ D = ρv

Hukum Gauss

untuk medan magnet −→

∇ •−→ B = 0

(6)

Gelombang Datar

Gelombang adalah fenomena alamiah yang terjadi dalam ruang dan waktu

Persamaan Gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell dengan parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan

−

→E (t) = Ex 0e^−αzcos(ωt − βz)−→ax volt/m²

−

→H (t) = ^E_η^{x 0}e^−αzcos(ωt − βz)−→ay ampere/m²

(7)

Medan Listrik

Persamaan Medan Listrik

−

→E (t) = E_{x 0}e^−αzcos(ωt − βz)−→a_x volt/m²

dengan

E_{x 0} adalah amplitudo awal medan listrik α adalah konstanta redaman (neper/meter)

ω adalah kecepatan sudut medan listrik yang sebanding dengan 2πf β adalah konstanta fasa dari medan listrik

z adalah arah propagasi atau arah rambat medan listrik

−

→a_x adalah arah polarisasi atau arah getar medan listrik

(8)

Medan Magnet

Persamaan Medan Magnet

−

dengan

Ex 0 adalah amplitudo awal medan listrik

η adalah impedansi medium rambat atau medium propagasi α adalah konstanta redaman (neper/meter)

ω adalah kecepatan sudut medan magnet yang sebanding dengan 2πf β adalah konstanta fasa dari medan magnet

z adalah arah propagasi atau arah rambat medan magnet

−

→a_y adalah arah polarisasi atau arah getar medan magnet

(9)

Hubungan medan magnet dan medan listrik

−

→H (t) = ^E_η^{x 0}e^−αzcos(ωt − βz)−→

ay ampere/m² Perhatikan!

amplitude medan magnet akan sebanding dengan amplitudo medan listrik dibagi dengan impedansi medium (η), sehingga antara medan listrik dan medan magnet memiliki hubungan amplitudo

arah polarisasi antara medan listrik dan medan magnet saling tegak lurus, karena medan listrik berpolarisasi ke arah sumbu x positif sedangkan medan magnet berpolarisasi ke arah sumbu y positif.

keduanya saling tegak lurus dengan arah rambat (propagasi) medan listrik / medan magnet, sehingga ketiganya memiliki hubungan polarisasi yang dapat dinyatakan dengan −→

E ×−→

H =−−→

Prop memiliki hubungan fasa (akan dibahas kemudian)

(10)

Parameter

−

jika γ adalah konstanta propagasi, yang sebanding dengan γ = α + j β maka, γ akan sebanding dengan

γ =pjωµ(σ + jω) = jω√

µp1 − j_ω^σ

pada γ, bagian real akan menjadi konstanta redaman (α) dan bagian imajiner akan menjadi konstanta fasa (β)

ω sebanding dengan 2πf , dengan f adalah frekuensi kerja dari gelombang yang merambat

η adalah impedansi medium yang sebanding dengan η = |η|∠θη =

qµ

√ 1

1−j_ω^σ , dengan |η| adalah magnitude impedansi dan θη adalah sudut impedansi dalam satuan radian.

(11)

Parameter

−

→E (t) = E_{x 0}e^−αzcos(ωt − βz)−→a_x volt/m²

−

→H (t) = ^E_η^{x 0}e^−αzcos(ωt − βz)−→a_y ampere/m² dengan:

µp1 − j_ω^σ η = |η|∠θη =

qµ

√ 1 1−j_ω^σ

nilai γ dan η tergantung dari medium yang dirambati oleh gelombang nilai yang mempengaruhi adalah karakteristik dari medium yang terdiri dari (1) σ merupakan konduktivitas medium (2) µ adalah permeabilitas medium (3) adalah permitivitas medium serta (4) frekuensi kerja dari gelombang itu sendiri.

(12)

Parameter

−

→H (t) = ^E_η^{x 0}e^−αzcos(ωt − βz)−→ay ampere/m² dengan:

µp1 − j_ω^σ η = |η|∠θη =

qµ

√ 1 1−j_ω^σ

permeabilitas (µ) akan sebanding dengan permeabilitas relatif

medium (µ_r) dan permeabilitas hampa udara (µ₀). sehingga nilai dari µ = µrµ0 dengan nilai µ0 sebanding dengan 4π10⁻⁷H/m

permitivitas () akan sebanding dengan permitivitas relatif medium (r) dan permitivitas hampa udara (0). sehingga nilai dari = r0

dengan nilai ₀ sebanding dengan _36π¹ 10⁻⁹F /m

(13)

Contoh

jika diketahui medan listrik merambat ke arah sumbu z positif dengan arah getar ke sumbu x positif pada medium yang tidak memiliki konduktivitas (γ = 0). medium tersebut memiliki permitivitas relatif (r) 4 dan

permeabilitas relatif (µ_r) 1 dengan frekuensi kerja sebesar 1 KHz dan amplitudo awal sebesar 1 volt. Maka tentukan persamaan medan listrik tersebut!

Jawab

(1) cari nilai konstanta propagasi (γ)

(2) dari nilai γ dalam bentuk polar, maka tentukan konstanta redaman (α) dan konstanta fasa (β)

(3) masukkan ke dalam persamaan medan listrik dengan memperhatikan arah propagasi dan arah polarisasi! jangan lupa berikan satuan.

(14)

Contoh

Dari contoh sebelumnya, maka tentukanlah persamaan medan magnet dari persamaan medan listrik yang telah diketahui sebelumnya!

Jawab

(4) tentukan nilai dari impedansi intrinsik bahan (η)

(5) dari nilai (η) bentuk polar, maka tentukan nilai magnitudo dan sudut dari η (6) masukkan kedalam persamaan medan magnet!

(7) cari korelasi antara polarisasi medan listrik, medan magnet dan propagasi yang sebanding dengan −→

E ×−→

H =−−→

Prop

(15)

Latihan 1

Tentukan persamaan medan listrik dan medan magnet dari kondisi berikut:

Parameter nilai satuan

Frekuensi 100 KHz

Permitivitas Relatif 1 Permeabilitas Relatif 9

Konduktivitas 0 siemens/meter

Arah Getar x (+)

Arah Rambat y (-)

(16)

Latihan 2

Frekuensi 300 KHz

Arah Getar z (+)

Arah Rambat y (+)

(17)

Latihan 3

Frekuensi 10 KHz

Arah Getar y (-)

Arah Rambat z (+)

(18)

Latihan 4

Frekuensi 300 KHz

Konduktivitas 0,0001 siemens/meter

Arah Getar x (+)

Arah Rambat y (+)

(19)

Latihan 5

Frekuensi 1 MHz

Konduktivitas 0,1 siemens/meter

Arah Getar x (-)

Arah Rambat y (+)

(20)

The End