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(1)

Conjuntos m

X

-Cerrados Generalizados

m

X

-Generalized Closed Sets

Margot Salas Brown ([email protected])

Carlos Carpintero ([email protected])

Ennis Rosas ([email protected])

Departamento de Matem´atica, Universidad de Oriente, N´ucleo de Sucre,

Venezuela.

Resumen

Dado (X, mX) unm-espacio, se introduce el concepto de conjunto

mX-g-cerrado como una generalización de las definiciones de varias cla-ses de conjuntos cerrados generalizados. Se obtiene un nuevo axioma de separación, denominadomX−T1_/2 y se caracterizan éstos. También se

estudian las relaciones entre losm-espaciomX−T1/2 y losm-espacio

mX−T0 ymX₋T1.

Palabras Claves: mX-estructura, conjunto cerrado generalizado,m -espaciomX−T1

2.

Abstract

Given (X, mX) anm-space, we introduce the concept ofmX-g-closed set as a generalization of the definitions of several classes of generalized closed sets. Also we obtain and characterize a new separaton axiom calledmX−T1/2. Also we study the relations between the m-space

mX−T1_/2and them-spacesmX₋T0 andmX₋T1.

Key words and phrases: mX-structure, generalized closed set, m -spacemX−T1

2.

1 Introducci´

on

Los conjuntos cerrados, semi-cerrados,α-semi-cerrados y (α, β)-semi-cerrados han sido utilizados por varios autores para definir diferentes clases de conjun-tos cerrados generalizados y con esconjun-tos introducir nuevos axiomas de separa-ci´on.

(2)

En 1963, Levine [5] introduce el concepto de conjuntos g-cerrados y en 1991 Ogata [7] define los espaciosT1_/2, tambi´en introduce las nociones de conjuntos

s-g-cerrados y espacios semi-T1/2. En el 2000 Rosas, Carpintero, Vielma y

Salas [12] estudian el concepto de conjuntos α-sg-cerrado y caracterizan los espaciosα-semi-T1/2. En el 2005 Rosas, Carpintero y Sanabria [11] definen los

conjuntos (α, β)-sg-cerrados y estudian los espacios (α, β)-semi-T1/2.

En este art´ıculo utilizamos la noción de estructura minimal mX sobre un conjunto no vac´ıoX dada porM aki [6] y definimos los conjuntos mX -g-cerrados como una generalización de los conjuntos g--g-cerrados, sg-cerrado,α -g-cerrado,α-sg-cerrado y (α, β)-sg-cerrado. También se definen y se caracterizan losmX−T1/2 que genera

lizan, de forma natural, a los espaciosT1/2,α−T1/2, semi-T1/2,α-semi-T1/2

y (α, β)-semi-T1/2.

2 Preliminares

Sea X un conjunto no vac´ıo, se dice queα :P(X) → P(X) es unoperador expansivo sobre una familia Γ de subconjuntos deX siU ⊂α(U) para todo

U ∈Γ. Si (X, τ) es un espacio topol´ogico yαes un operador expansivo sobre la topolog´ıaτ, entonces diremos queαes unoperador asociadoa la topolog´ıa

τ [3]. Adem´as, siα(A)⊂α(B) siempre que A⊂B, entonces decimos que el operadorαes mon´otono.

Si (X, τ) es un espacio topol´ogico,αun operador expansivo sobre la topo-log´ıaτ yAes un subconjunto deX, entonces ese dice queAesα-abierto [1] si para cadax∈Aexiste un abiertoU dextal queα(U)⊂A. El complemento de un conjunto α-abierto se denomina α-cerrado, se define laα-clausura de un subconjunto A de X, abreviada por α−cl(A), como la intersecci´on de todos conjuntosα-cerrados que contienen aA. Se prueba que laα−cl(A) es un conjunto α-cerrado. Un conjunto A esα-cerrado generalizado, abreviado porα-g-cerrado, siα−cl(A)⊂U siempre queA⊂U yU esα-abierto. Todo conjuntoα-cerrado esα-g-cerrado. Se definen los espaciosα−T1

2 como aque-llos espacios en los cuales los conjuntos α-g-cerrado y α-cerrado coinciden, de modo que X esα−T1

2 s´ı y solo si para todo x∈X se tiene que {x} es

α-cerrado oα-abierto. La colecci´on de todos los subconjuntosα-abierto deX

se denota porτα

Un subconjuntoAdeXesα-semi-abierto [12] si existe un conjunto abierto

(3)

se denomina α-semi-cerrado. Se define la α-semi-clausura de A, abreviado por α−scl(A), como la intersecci´on de todos los conjuntos α-semi-cerrados que contienen a A; si α es un operador mon´otono entonces α−scl(A) es un conjunto α-semi cerrado. Se dice que A es un conjunto α-semi-cerrado generalizado, abreviado por α-sg-cerrado, si α−scl(A) ⊂ U siempre que

A⊂U yU es un conjuntoα-semi-abierto. Siαes mon´otono, todo conjunto

α-semi-cerrado es un conjunto α-sg-cerrado. Se dice que X es un espacio

α−semiT1

2 si todo conjuntoα-sg-cerrado esα-semi-cerrado, de modo queX esα−semiT1

2 s´ı y solo si para todox∈X se tiene que{x}esα-semi-cerrado oα-semi-abierto. La colecci´on de todos los subconjuntosα-semi-abierto deX

se denota por α−SO(X). Si β es otro operador asociado aτ, entonces un subconjunto A deX es (α, β)-semi-abierto [11] si para cadax∈A existe un conjunto β-semi-abierto V tal que x∈ V y α(V) ⊂ A. El complemento de un conjunto (α, β)-semi-abierto se denomina (α, β)-semi-cerrado. Se define la (α, β)-semi-clausura deA, abreviada por (α, β)−scl(A), como la intersecci´on de todos los conjuntos (α, β)-semi-cerrados que contienen aA; se prueba que (α, β)−scl(A) es un conjunto (α, β)-semi-cerrado. Un subconjuntoA de X

es un conjunto (α, β)-semi-cerrado generalizado, abreviado (α, β)-sg-cerrado, si (α, β)−scl(A) ⊂U siempre queA ⊂ U y U es un conjunto (α, β )-semi-abierto. Todo conjunto (α, β)-semi-cerrado es un conjunto (α, β)-sg-cerrado. Se dice queXes un espacio (α, β)−semiT1

2 si todo conjunto (α, β)-sg-cerrado es (α, β)-semi-cerrado, de modo que X es (α, β)−semiT1

2 s´ı y solo si para todo x∈X se tiene que{x} es (α, β)-semi-cerrado o (α, β)-semi-abierto. La colecci´on de todos los subconjuntos (α, β)-semi-abierto de X se denota por (α, β)−SO(X)

3 Estructuras Minimales

En esta sección se plantea el concepto de estructura minimal [6] y algunas de sus propiedades. También se define la noción de m-espaciosmX−T1 y se

caracterizan en funci’on de sus conjuntos unitarios.

Definici´on 3.1. [6] Una estructura minimal o una mX-estructura sobre un conjunto no vac´ıoX, es una familiamXde subconjuntos deXtal que∅ ∈mX yX ∈mX.

(4)

conjunto mX-cerrado. Si (X, τ) es un espacio topol´ogico, α y β son opera-dores asociados a la topolog´ıa entonces las colecciones τ, τα, α−SO(X) y (α, β)−SO(X) sonmX-estructuras.

Definici´on 3.2([6]). Sean (X, mX) unm-espacio yAun subconjunto deX, se define la mX clausura de A, abreviadamX−cl(A), como la intersecci´on de todos los conjuntos mX-cerrados que contienen aA, es decir

mX−cl(A) = \

{F :F ⊇A, X\F∈mX}

Observe que si X \A ∈ mX, entonces mX −cl(A) = A, es decir, si A es mX-cerrado, entonces mX−cl(A) = A; adem´as A ⊂mX−cl(A). Otras propiedades de mX−cl(A), se enuncian en el siguiente teorema.

Teorema 3.1 ([6]). Sea (X, mX) un m-espacio,A y B subconjuntos deX. Las siguientes se satisfacen.

1. mX−cl(∅) =∅.

2. mX−cl(X) =X.

3. SiA⊂B, entonces mX−cl(A)⊂mX−cl(B).

4. mX−cl(A∪B)⊇mX−cl(A)∪mX−cl(B).

5. mX−cl(mX−cl(A)) =mX−cl(A).

Teorema 3.2 ([8]). Sea (X, mX) un m-espacio, A un subconjunto de X y

x∈X, entoncesx∈mX−cl(A)si y s´olo siU∩A6=∅ para todoU ∈mX tal que x∈U.

Definición 3.3 ([6]). Si mX es una estructura minimal sobre X tal que la unión de elementos demX es un elemento demX, entonces diremos quemX satisface la condición (B) de Maki.

Observe que simX satisface la condici´on (B) de Maki, entonces la inter-secci´on de conjuntosmX-cerrados es un conjuntomX-cerrado y por tanto, si

A⊂X, entonces mX−cl(A) es un conjuntomX-cerrado.

Teorema 3.3. [6] Sea (X, mX) un m-espacio y A un subconjunto de X. Si

(5)

En el teorema anterior, si la condici´on (B) de Maki es removida, es posible tener un m-espacio (X, mX) y un subconjunto A de X para el cual mX −

cl(A) =AyAno sea un conjuntomX-cerrado, como se observa en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1. ConsidereX={a, b, c, d} con la siguientemX estructura,

mX={∅, X,{a},{b},{c}}.

Sea A = {c, d}. Observe quemX −cl(A) = A y A no es un conjunto mX -cerrado.

Definici´on 3.4([10]). Sea (X, mX) unm-espacio, se dice queX esmX−T0

si para cada par de puntos distintos x, y∈X, existeU ∈mX tal quex∈U yy /∈U o x /∈U yy∈U.

Definici´on 3.5 ([9]). Se (X, mX) unm-espacio, se dice que X esmX−T2

si para cada par de puntos distintos x, y ∈ X, existen conjuntos disjuntos

U, V ∈mX que contienen axey respectivamente.

Definici´on 3.6. Sea (X, mX) un m-espacio, se dice que X es mX −T1 si

para cada par de puntos distintosx, y∈X existen conjuntosU, V ∈mX que contienen a xey respectivamente y satisfacen quey /∈U yx /∈V.

Observe que

mX−T2⇒mX−T1⇒mX−T0.

Los siguientes ejemplos muestran que existenm-espacios que sonmX−T0

pero no mX−T1, ymX−T1que no sonmX−T2

Ejemplo 2. Considere el conjunto de los n´umeros realesRcon la estructura minimal

m_R={∅,R} ∪ {R\ {x}:x∈R}.

ResmR−T1, pues dado x, y∈Rcon x6=y, podemos encontrarm_R-abiertos

U =R\ {y} yV =R\ {x} que contienen axey respectivamente yx /∈V,

y /∈U.

Supongamos queResmR−T2, es decir, parax, y∈Rcon x6=y existen

conjuntosU, V ∈mRdisjuntos tales quex∈U ey∈V. EntoncesU =R\{a1}

yV =R\{a2}cona16=xya26=y. Esto significa queU∩V =R\{a1, a2} 6=∅

(6)

Ejemplo 3. ConsideremosRcon la siguientemR estructura

mR={∅,R} ∪ {[x,∞) :x∈R}.

ResmR−T0pues parax, y∈Rconx < y,U = [y,∞) esm_R-abierto yx /∈U

ey∈U.

Rno esmR−T1 pues cualquierm_R-abiertoU que contenga axes de la

formaU = [a,∞) cona≤xy por tantoy ∈U.

Los teoremas que se enuncian a continuaci´on caracterizan las nociones de

mX−T0 ymX−T1.

Teorema 3.4. Sea(X, mX)unm-espacio,X esmX−T0si y s´olo si para todo

par de puntos distintosx, y∈X se cumple quemX−cl({x})6=mX−cl({y}). Demostraci´on. Supongamos que X es mX−T0 y sean x, y ∈ X tales que

x6=y, entonces existeU ∈mX tal quex∈U yy /∈U o y∈U yx /∈U. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que existeU ∈mXtal quex∈U y

y /∈U. Entonces simX−cl({x}) =mX−cl({y}), se tienex∈mX−cl({y}) y por tanto, U ∩ {y} 6= ∅, en contradicci´on que y /∈ U. As´ı se debe tener

mX−cl({x})=6 mX−cl({y}).

Rec´ıprocamente, seanx, y∈X tales quex6=y y supongamos quemX−

cl({x})6=mX−cl({y}), entonces existez∈X tal quez ∈mX−cl({x}) y

z /∈mX−cl({y}) o viceversa.

Sin perdida de generalidad, podemos suponer que z ∈ mX−cl({x}) y

z /∈mX−cl({y}), entonces existe V ∈mX tal que z ∈V yV ∩ {y} =∅ y

V ∩ {x} 6=∅, es deciry /∈V yx∈V, es decir,X esmX−T0.

Teorema 3.5. Sea (X, mX)un m-espacio. Si para cada x∈X se tiene que {x} es mX-cerrado, entonces X es mX −T1. El rec´ıproco es cierto si mX satisface la condici´on(B)de Maki.

Demostraci´on. Sean x, y∈ X tales quex6=y, entonces {x} y {y} son con-juntos mX-cerrados y por lo tanto X \ {y} y X \ {x} son conjuntos mX -abiertos que contienen axey respectivamente y se cumple que y /∈X\ {y}

yx /∈X\ {x}, de donde se concluye queX esmX−T1.

Rec´ıprocamente, supongamos que X esmX−T1 y que mX satisface la condici´on (B) de Maki. Sea x ∈ X, entonces para cada y ∈ X con x 6=

y existen conjuntos U, V ∈ mX que contienen a x e y respectivamente y satisfacen que x /∈V y y /∈U, es decir,{x} ∩V =∅. Por lo quey /∈ mX−

(7)

Observe que la condici´on (B) de Maki es suficiente para caracterizar los

m-espacios que sonmX−T1. El siguiente ejemplo nos muestra que el rec´ıproco

del teorema anterior, en general no es cierto si no se le exige la condici´on (B) de Maki a la mX estructura.

mR={∅,R} ∪ {{x}:x∈R}.

Resm_R−T1pues para x6=y,{x}, {y}sonm_R-abiertos que no contienen a

y yxrespectivamente. Sin embargo{x}no esm_R-cerrado para ning´unx∈R

.

4 Conjuntos

m

_X

_{-g-Cerrados y}

m

_X

₋

T

1

2

En esta secci´on, utilizando la noci´on de mX estructura, se generalizan los conceptos de conjunto g-cerrado [5],α-g-cerrado [12],α-sg-cerrado [12], (α, β )-sg-cerrado [11] y de espacios T1

2 [5], α−T 1

2 [12], α−semi−T 1

2 [12], y

(α, β)−semi−T1 2 [11].

Definici´on 4.1. Sea (X, mX) unm-espacio,Aun subconjunto deX, se dice que A es un conjunto mX-cerrado generalizado, abreviadomX-g-cerrado, si

mX−cl(A)⊂U siempre queA⊂U yU ∈mX.

Si (X, τ) es un espacio topológico y αy β son operadores asociados a la topolog´ıa, entonces esta definición coincide con los conceptos de conjuntos g-cerrados [5], α-g-cerrado[12], (α, β)-sg-cerrado[11], cuando la mX estructura es la colecciónτ,τα, (α, β)−SO(X) respectivamente. Además simX satisface la condición (B) de Maki, entonces este concepto coincide con la noción de conjuntoα-sg-cerrado [12], cuando lamXestructura es la colecciónα−SO(X).

Teorema 4.1. Sea(X, mX)unm-espacio, todo conjuntomX-cerrado esm X-g-cerrado.

Los siguientes ejemplos nos muestran la existencia de conjuntos en un

m-espacios que sonmX-g-cerrado que no sonmX-cerrado.

m_R={∅,R} ∪ {{x}:x∈R}.

El conjunto Q de los n´umeros racionales es mR-g-cerrado pues el ´unicomR

(8)

mR={∅,R} ∪ {[x,∞) :x∈R}.

el conjunto Qde los n´umeros racionales es un conjuntomR-g-cerrado pues el

´

unicom_R-abierto que lo contiene esR; pero no esm_R-cerrado.

Definici´on 4.2. Sea (X, mX) un m-espacio, se dice queX es mX−T

1 2, si

todo conjuntomX-g-cerrado esmX-cerrado.

Es de observar que la condici´on (B) de Maki no necesariamente la satisfa-cen losm-espacios que sonmX−T0omX−T1omX−T2, sin embargo existe

una estrecha relaci´on entre losm-espacios que sonmX−T12 y losm-espacios

que satisfacen la condici´on (B) de Maki, como se observa en el siguiente teo-rema.

Teorema 4.2. Sea (X, mX) un m-espacio, si X esmX−T

1

2 entonces mX

satisface la condici´on(B)de Maki.

Demostración. Supongamos que mX no satisface la condición (B) de Ma-ki, entonces existe una colección {Uα}α∈J de conjuntosmX abiertos tal que ∪α∈JUα∈/ mX, luegoF=X\∪α∈JUαno es un conjuntomXcerrado. Veamos queF es un conjuntomX-g-cerrado.

En efecto, seaV ∈mX tal queF ⊂V, entonces

mX−cl(F) = mX−cl(X\ ∪α∈JUα) = mX−cl(∩α∈J(X\Uα)) ⊆ ∩α∈JmX−cl(X\Uα) = ∩α∈J(X\Uα)

= X\ ∪α∈JUα=F ⊂V

De modo queF es un conjuntomX-g-cerrado que no esmX-cerrado y por tanto X no es mX−T12.

Teorema 4.3. Sea(X, mX)unmespacio yAun subconjunto deX. SiA es

mX-g-cerrado entoncesmX−cl(A)\Ano contiene subconjuntosmX-cerrados no vac´ıos. El rec´ıproco es cierto si mX satisface la condici´on (B)de Maki. Demostraci´on. Supongamos queAes un conjuntomX-g-cerrado y seaK un subconjunto mX-cerrado de mX−cl(A)\A, entoncesX\K es un conjunto

mX-abierto que contiene aAy por tantomX−cl(A)⊂X\K, de modo que

(9)

Rec´ıprocamente, supongamos quemX−cl(A)\Ano contiene subconjuntos

mX-cerrados no vac´ıos y que mX satisface la condici´on (B) de Maki. Sea

U ∈ mX tal que A ⊂ U, entonces mX−cl(A)∩(X \U) es un conjunto

mX-cerrado y

mX−cl(A)∩(X\U)⊂mX−cl(A)∩(X\A) =mX−cl(A)\A

por tanto mX−cl(A)∩(X\U) =∅, es decir mX−cl(A)⊂U de donde se concluye que AesmX-g-cerrado.

El siguiente teorema caracteriza losm-espaciosmX−T12.

Teorema 4.4. Sea (X, mX) un m-espacio, X es mX −T

1

2 s´ı y s´olo si las

siguientes se satisfacen:

1. Para todo x∈X se tiene que {x} esmX-abierto o mX-cerrado.

2. LamX estructura satisface la condici´on (B)de Maki.

Demostraci´on. Seax∈X y supongamos que{x}no esmX-cerrado, entonces

X \ {x}no esmX-abierto, de modo que el ´unicomX-abierto que contiene a

X\ {x}esX, por lo queX\ {x}es trivialmentemX−g-cerrado, por hip´otesis

X es mX−T1/2, entonces X\ {x} es mX-cerrado y por tanto {x} esmX -abierto. Por Teorema 4.2 se concluye que mX satisface la condici´on (B) de Maki.

Rec´ıprocamente, sea A un conjunto mX-g-cerrado y x ∈ mX −cl(A), entonces por hip´otesis puede ocurrir

1. {x}sea mX-abierto, entonces {x} ∩A6=∅y por tantox∈A; es decir,

mX−cl(A)⊂A.

2. {x}semX-cerrado, comoAesmX-g-cerrado, entoncesmX−cl(A)\A no contiene conjuntosmX-cerrados no vac´ıos, entoncesx∈A; es decir,

mX−cl(A)⊂A.

En cualquier caso mX−cl(A) =A; comomX satisface la condici´on (B) de Maki, entoncesAesmX-cerrado.

Existenm-espacios en los cuales los conjuntos unitarios sonmX-abiertos o mX-cerrados y sin embargo elm-espaciosX no esmX−T

1

2, tal y como se

(10)

Ejemplo 7. ConsidereX={a, b, c, d} con la siguientemX estructura,

mX ={∅, X,{a},{b},{a, b, d},{a, b, c}}

Observe que los conjuntos unitarios son mX-abiertos o mX cerrados y sin embargo X no es mX−T21. En efecto, {c, d} es un conjunto mX-g-cerrado

pues el ´unico mX-abierto que lo contiene es X, y {c, d} no es un conjunto

mX-cerrado.

Los siguientes teoremas muestran la relaci´on existente entre losm-espacios

mX−T0,mX−T1 ymX−T

1 2.

Teorema 4.5. Sea (X, mX) un m-espacio, si X es mX−T1/2 entonces X

es mX−T0.

Demostraci´on. Seanx, y∈X con x6=y, entonces{x}esmX-abierto omX -cerrado.

Si{x} esmX-abierto entonces paraV ={x}se tiene quex∈V yy /∈V. Si {x} esmX-cerrado, entonces V =X \ {x} esmX-abierto yx /∈ V y

y∈V. Por tantoX esmX−T0.

A continuaci´on se exhibe un m-espacio que es mX−T0 pero que no es

mX−T12.

mR={∅,R} ∪ {[x,∞) :x∈R}.

Resm_R−T0; sin embargo no esm_R−T1/2.

Teorema 4.6. Sea(X, mX)un m-espacio, simX satisface la condici´on(B) de Maki y X esmX−T1, entonces X esm_X−T1/2.

Demostraci´on. SiX esmX−T1y satisface la condici´on (B) de Maki, entonces

para todo x∈X se tiene que{x} sonmX-cerrados y por tantoX esmX−

T1_/2.

El siguiente ejemplo nos muestra unm-espacio que esmX−T1/2pero que

no es mX−T1.

m_R={∅,R,{a}} ∪ {R\ {x}:x6=a},

donde aes un n´umero real fijo.mRsatisface la condici´on (B) de Maki y los

unitarios son conjuntosmR-abiertos omR-cerrado. Por tantoResmR−T1/2;

(11)

Es de observar que existen m-espacios que son m−T1 pero que no son

m−T1_/2. Para ello es suficiente encontrar unm-espacio que seam−T1 pero

que no satisfaga la condici´on (B) de Maki

Ejemplo 10. ConsideremosRcon la siguientem_Restructura

mR={∅,R} ∪ {{x}:x∈R}.

R es mR−T1; pero no es m_R−T1/2. En efecto, Qes m_R-g-cerrado pues el

´

unicom_R-abierto que lo contiene esR; pero no esm_R-cerrado.

Referencias

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[2] Carpintero, C. Rosas, E. y Vielma, J. (2003)Espaciosα-sg-Ti para i:1,2,3. Divulgaciones Matem´aticas,11, N 2.

[3] Kasahara, S. (1979)Operator-Compact spaces. Mathematic Japonica.2, 97- 105.

[4] Levine, N. (1970)Generalized closed sets in topology. Rend. Circ. Mat. Palermo(2),19, 89- 96.

[5] Levine, N. (1963) Semi open sets and continuily in topological spaces. Amer. Math. Monthly.70, 36-41

[6] Maki, H. (1996)On generalizing semi-open and preopen sets. in:Report for Meeting on Toological Spaces and its Applications. Yatsushiro College of Technoloy. pp. 13-18.

[7] Ogata, H. (1991)Operation on topological spaces and associated topo-logy.Mah. Japonica.36, N-1, 175-184.

[8] Popa, V. and Noiri, T. (2001)On the definitions of some generalized forms of continuity under minimal conditions. Mem. Fac. Sci. Kochi Univ. Ser Math. 22, 9-18.

(12)

[10] Popa, V. and Noiri, T. (2005), A unified theory for strong θ-continuity for functions. Acta Math. Hungar. 40. 167-186.

[11] Rosas, E. Carpintero, C. y Sanabria, J. (2005). (α, β)-semi open sets and some new generalizad separation axioms. Scientiae Mathematicae Japonicae.62, N 2.

[12] Rosas, E. Vielma, J. Carpintero, C. y Salas, M. (2000)Espaciosα-semi-Ti para i= 0,1/2, 1, 2. Pro-Mathematica. N 27, 37- 48.