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Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

20

_{(2008), 125–130}

On some subgroup chains related to Kneser’s

theorem

par

Yayha Ould HAMIDOUNE, Oriol SERRA

∗

_et

_{Gilles Z ´}

_EMOR

R´esum´e. Un r´esultat r´ecent de Balandraud d´emontre que pour toute partie S _{d’un groupe ab´elien} G_{, il existe un sous-groupe} H _{non-trivial tel que l’in´egalit´e |}T S_{| ≤ |}T_|+|S_{| −2 n’a lieu} que siH _⊂ Stab₍T S_{). On remarque que le th´eor`eme de Kneser} n’implique que l’in´egalit´e{1} 6=Stab₍T S_).

Ce renforcement du th´eor`eme de Kneser se d´eduit des pro-pri´et´es plaisantes d’un certain ensemble partiellement ordonn´e ´etudi´e par Balandraud. Nous consid´erons un ensemble partielle-ment ordonn´e analogue pour les groupes non forc´epartielle-ment ab´eliens et `a l’aide d’outils classiques de th´eorie additive des nombres, g´en´eralisons certains des r´esultats suscit´es. En particulier nous obtenons des d´emonstrations courtes des r´esultats de Balandraud dans le cas ab´elien.

Abstract. A recent result of Balandraud shows that for every subsetS_{of an abelian group}G_{there exists a non trivial subgroup} H _{such that |}T S_{| ≤ |}T_|+|S_{| −2 holds only if} H _⊂ Stab₍T S_). Notice that Kneser’s Theorem only gives{1} 6=Stab₍T S_).

This strong form of Kneser’s theorem follows from some nice properties of a certain poset investigated by Balandraud. We consider an analogous poset for nonabelian groups and, by us-ing classical tools from Additive Number Theory, extend some of the above results. In particular we obtain short proofs of Balan-draud’s results in the abelian case.

Yahya OuldHamidoune

Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris 6 Combinatoire et Optimisation - case 189 4 place Jussieu 75252 Paris Cedex 05, France. E-mail_{:yha@ccr.jussieu.fr}

OriolSerra

Universitat Polit`ecnica de Catalunya Matem`atica Aplicada IV

Campus Nord - Edif. C3

Manuscrit re¸cu le 28 mars 2007.

∗_{Supported by the Spanish research Council under project MTM2005-08990 and the Catalan}

126 Yahya OuldHamidoune, OriolSerra, GillesZ´emor

C. Jordi Girona, 1-3 08034 Barcelona, Spain. E-mail_{:oserra@ma4.upc.edu}

GillesZ´emor

Institut de Math´ematiques de Bordeaux Universit´e de Bordeaux 1

351 cours de la Lib´eration 33405 Talence, France.