ROBUST LAGRANGE MULTIPLIER PADA PEMODELAN REGRESI SPASIAL DEPENDENSI (Studi Kasus Penyusunan Model Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Timur)

(1)

ROBUST LAGRANGE MULTIPLIER

PADA PEMODELAN REGRESI SPASIAL DEPENDENSI

(Studi Kasus Penyusunan Model Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Timur)

Oleh:

Eko Suharto [NRP. 1309201708] Pembimbing:

Dr. Sutikno, S.Si, M.Si Dr. Purhadi, M.Sc

(2)

L t B l k

Latar Belakang

Data Spasial ?? Apa yang diukur Informasi Lokasi Informasi Lokasi

Type Data Spasial:

1. Point Patern: Menggunakan longitude dan Latitude

2. Geostatistikal Data (Garis): Spasial Surface, Geologi

3. Lattice Data: Menggunakan Area, Wilayah Administrasi

(3)

L t B l k

Latar Belakang

Model Regresi OLSg Asumsi-Asumsi

Pelanggaran Asumsi

Pengujian Efek Spasial

Regresi Spasial

Spasial Dependensi

Hukum Tobler :Everything is related to everything else, but near thing are more

related than distant things. Segala sesuatu saling berhubungan satu dengan

yang lainnya, tetapi sesuatu yang dekat lebih mempunyai pengaruh daripada

y g y p y g p y p g p

(4)

L t B l k

Latar Belakang

3.

Pengujian efek spasial menjadi penting, karena mengabaikannya menyebabkan estimasi tidak effisien dan kesimpulan menjadi menyebabkan estimasi tidak effisien dan kesimpulan menjadi tidak tepat. Terdapat beberapa uji yang digunakan untuk mendeteksi adanya dependensi spasial dalam model yaitu, uji

Wald, uji Moran’s I, dan uji Lagrange Multiplier (LM).j j g g

4.

Salah satu statistik uji yang digunakan adalah Uji Lagrange Multiplier. Diawali oleh Silvey 1959, kemudian dikembangkan oleh Breusch, T.S. dan A.R. Pagan (1980) Burridge (1980), dan Anselin(1988).

5.

Dengan menggunakan pendekatan yang dilakukan oleh Bera dan Yoon (1993), Anselin (1996) melakukan suatu modifikasi terhadap uji LM pada model dependensi spasial yang disebut uji Robust LM.

(5)

L t B l k

Latar Belakang

6.

Kejadian kematian bayi dalam suatu wilayah mencerminkan bagaimana kondisi kesehatan masyarakat didalamnya. bagaimana kondisi kesehatan masyarakat didalamnya. Peningkatan kesehatan ibu dan bayi di Indonesia adalah salah satu komitmen Departemen Kesehatan melalui penerapan Rencana Pengurangan Angka Kematian dan Kesakitan Ibu dang g g Bayi. Faktor Ekonomi: 1. Penduduk Miskin 2. Pertumbuhan Ekonomi Faktor Pendidikan: 1. Lama Sekolah Faktor Kesehatan: Angka Kematian Bayi 1. Penolong Kelahiran 2. ASI Ekslusif 3. Imunisasi Dasar Faktor Lingkungan: 1. Air Bersih Kerangka hubungan variabel penelitian terhadap Angka Kematian Bayi

(6)

P

M

l h

Perumusan Masalah

1.

Bagaimana menyusun algoritma dan program untuk statistik uji LM dan Robust LM pada model regresi spasial dependensi?

2.

Faktor‐faktor apa saja yang mempengaruhi angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur?

Tujuan Penelitian

1. Menyusun algoritma dan program untuk statistik uji LM dan Robust LM pada model regresi spasial dependensi.

2. Mendapatkan faktor‐ faktor yang mempengaruhi angka kematianp y g p g g bayi di Provinsi Jawa Timur.

(7)

Manfaat Penelitian

1.

Mengembangkan wawasan mengenai statistik uji LM dan Robust

LM d d l i i l d d i

LM pada model regresi spasial dependensi.

2.

Mengetahui faktor‐ faktor apa saja yang mempengaruhi angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur.

Batasan Penelitian

Dalam Penelitian ini masalah dibatasi pada mengkaji pengujian modelp g j p g j regresi spasial dengan keberadaan korelasi error spasial menggunakan statistik uji LM dan Robust LM untuk mengetahui adanya dependensi spatial. Dependensi spasial dalam hal ini meliputi spatial lag model dan spatial error model. Matrik penimbang spasial yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan matrik penimbang spasial yang sama baik untuk spasial lag maupun spasial error.

(8)

M d l R

i OLS

Model Regresi OLS

Model: Model:

,

dan

dimana adalah vektor berukuran

, matriks berukuran

k

b

k

d

k

b

k

,

vektor berukuran

, dan vektor berukuran

.

(9)

Model Umum Regresi Spasial

Model:

1

ρ

λ

+

y =

W y

X β + u

u

W u

₂

ε

2

( 0 ,

)

N

I

λ

σ

=

+

u

W u

ε

ε ∼

y : vektor berukuran p x 1, ρ : koefisien dari variabel dependen spasial lag. u : vektor error, , W: matrik terbobot dengan ukuran nxn. β : vektor kx1 parameter regresi. X : matrik berukuran nxk variabel prediktor λ : koefisien dalam struktur spasial autoregressive

(10)

Regresi Spasial

1.

Model regresi linier OLS, diperoleh apabila nilai dan

dimana model

General spatial model

berubah menjadi:

ρ

=

0 λ

=

0

dimana model

General spatial model

berubah menjadi:

2

Model Dependensi Spasial Lag atau Spasial Autoregresi (

Spatial

y = X β + ε

2.

Model Dependensi Spasial Lag atau Spasial Autoregresi (

Spatial

Autoregressive Model

), diperoleh apabila nilai dan

sehingga modelnya menjadi:

0 λ

=

0 ρ

≠

3.

Model Korelasi Error Spasial atau Spasial Error (

Spatial Error

d l

) d l h b l l

0

d

λ

0

1

ρ

+

y =

W y

X β + u

Model

), diperoleh apabila nilai dan sehingga modelnya menjadi:

0 ρ

=

λ

≠

0 y = X β + u

2

λ

=

+

y

X β

u

W u

ε

(11)

Regresi Spasial

Model Spasial Lag:

1

ρ

+

y =

W y

X β + u

Fungsi likelihood untuk model spasial lag:

(12)

Regresi Spasial

Model Spasial Error:

2

λ

ε

=

+

y = X β + u

u

W u

Fungsi likelihood untuk model spasial error:

2

Ln likelihood untuk model spasial error:

(13)

Matriks Pembobot

Matriks Penimbang pada Spasial Area ( LeSage, 1999),diantaranya:

1. Rook Contiguity

(Persinggungan sisi);

2. Bhisop Contiguity

(Persinggungan sudut);

3 Queen Contiguity

(persinggungan sisi-sudut);

3. Queen Contiguity

(persinggungan sisi sudut);

Wilayah 1

Wilayah 3

Wilayah 2

Wilayah 4

Wilayah 5

Contoh Konfigurasi Persinggungan dalam Penyusunan Matrik Penimbang Spasial Contoh Konfigurasi Persinggungan dalam Penyusunan Matrik Penimbang Spasial

(14)

Lagrange Multiplier

g

p

Misalkan ada suatu fungsi likelihood

dan fungsi ln likelihood

yang

merupakan fungsi dari

parameter vektor . Dari fungsi ln likelihood

akan

diperoleh suatu maximum likelihood estimator untuk , yaitu .

Maka akan ada suatu fungsi lagrangian sebagai berikut:

Turunan pertama dari fungsi lagrangian tersebut terhadap

parameter dan akan menghasilkan:

dimana, merupakan

vektor

, merupakan

matriks

(15)

Lagrange Multiplier

g

p

Breusch dan Pagan pada tahun 1980 mendefinisikan statistik uji LM sebagai berikut:

merupakan elemen dari matriks informasi berukuran k x k yang elemen

didalamnya merupakan turunan kedua terhadap masing masing parameter

didalamnya merupakan turunan kedua terhadap masing‐masing parameter

yang diestimasi:

Jika benar maka statistik uji LM diatas akan mengikuti distribusi

dan akan ditolak jika nilai statistik LM lebih besar dari

(16)

Pengujian Asumsi Regresi

g j

g

Pengujian kehomogenan varians menggunakan uji Glejser yaitu meregresikan antara harga mutlak residual dengan variabel independen, bentuk persamaannya yaitu: (Gujarati,2004). Hipotesis yang digunakan dalam uji Glejser

adalah:

minimal ada

Jika pengujian individu terhadap koefisien parameter nilai maka

Jika pengujian individu terhadap koefisien parameter nilai maka dapat dikatakan residual masih bergantung pada variabel independen sehingga minimal ada nilai (terjadi heteroskedastisitas)

Uji k l d t k t ti tik ji K l S i (KS)

Uji kenormalan data menggunakan statistik uji Kolmogorov Smirnov (KS) dengan hipotesis:

residual berdistribusi normal

residual tidak berdistribusi normal Nilai KS ditentukan oleh:

i = 1,2,…,n

Dimana merupakan fungsi distribusi frekwensi kumulatif relatif dari

di t ib i t iti dib h S d k k di t ib i f k i

distribusi teoritis dibawah . Sedangkan merupakan distribusi frekwensi

(17)

Pengujian Asumsi Regresi

g j

g

Otokorelasi residual dapat terjadi jika ada hubungan antara residual yang tersusun secara runtutan waktu (pada data time series) atau dalam rangkaian ruang (pada data cross section). Hipotesis yang digunakan yaitu:

Tidak terjadi otokorelasi residual Terjadi otokorelasi residual

Terjadi otokorelasi residual

Statistik uji yang digunakan adalah Durbin Watson test yang dinotasikan sebagai:

adalah nilai statistik uji Durbin Watson, adalah error pada pengamatan ke t dan adalah error pada pengamatan ke t-1.

(18)

Kerangka Konseptual

g

p

Hitung OLS Regresi Lakukan Uji Efek Spasial Dengan Statistik Uji LMg j Tidak _Apakah Signifikan? Keduanya tidak Si ifik Ya Signifikan LM‐Lag Signifikan? Ya, Tidak Ya Keduanya Signifikan? Tidak Ya Lakukan Uji Efek Spasial dengan dengan Statistik uji Robust LM SLM Model OLS SEM Robust LM‐ Lag Tidak SEM SLM Lag Signifikan? Ya

(19)

Metode Penelitian

Sumber data : Indikator Makro dan Data Survei Sosial Ekonomi

Nasional (Susenas) Propinsi Jawa Timur Tahun

2008.

Variabel yang digunakan yaitu:

A

k K

ti

B

i

k b

t

di P

i i J

Ti

(Y)

Angka Kematian Bayi per kabupaten di Provinsi Jawa Timur (Y)

Persentase rumah tangga dengan sumber air bersih (X

₁

),

Rata-rata lama sekolah (X

₂

),

Persentase penolong kelahiran dari tenaga medis (X )

Persentase penolong kelahiran dari tenaga medis (X

3

),

Persentase penduduk miskin (X

4

),

Rata-rata lama pemberian ASI eksklusif (X

₅

),

Persentase imunisasi dasar (X

₆

) dan

Persentase imunisasi dasar (X

₆

), dan

Laju pertumbuhan ekonomi (X

₇

)

(20)

Metode Penelitian

Metode analisis yang digunakan dalam mencapai tujuan penelitian ini yaitu :

1. Menyusun algoritma dan matlab code untuk statistik uji LM dan Robust 1. Menyusun algoritma dan matlab code untuk statistik uji LM dan Robust LM serta untuk estimasi parameter model regresi spasial berdasarkan tahapan berikut ini:

(i) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial lag:

a Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood a. Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood b. Mendapatkan invers dari matriks informasi c. Mendapatkan statistik uji LM test untuk model spasial lag yaitu: (ii) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial error: a. Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood b. Mendapatkan invers dari matriks informasi M d tk t ti tik ji LM t t t k d l i l l it c. Mendapatkan statistik uji LM test untuk model spasial lag yaitu:

(21)

Metode Penelitian

Tahapan inferensi dalam menurunkan statistik uji Robust LM:

(i) M k t ti tik ji LM t k d l i l l d d

(i) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial lag dengan adanya spasial error

a. Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial lag

b. Mendapatkan uji Robust LM untuk model spasial lag dengan adanya spasial error

(ii) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial error dengan adanya spasial lag:

a Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial error a. Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial error

b. Mendapatkan uji Robust LM untuk Model spasial error dengan adanya spasial lag

(22)

Metode Penelitian

Tahapan dalam menyusun estimasi parameter model regresi spasial: (i) Model spasial lag (SLM)

a. Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akan a. Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akan diestimasi yaitu: dan menyamakan dengan nol. b. Membentuk suatu fungsi concentrated ln likelihood: c. Mencari nilai yang dapat memaksimumkan fungsi concentrated ln likelihood tersebut. d Mencari nilai estimasi parameter untuk d. Mencari nilai estimasi parameter untuk :

,

(23)

Metode Penelitian

(i) Model spasial error (SEM)

a. Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akan

diestimasi yaitu dan dan menyamakan dengan

diestimasi yaitu: ,dan dan menyamakan dengan

nol b. Membentuk suatu fungsi concentrated ln likelihood: c. Menghitung nilai untuk , dan estimasi likelihood untuk , d. Hitung nilai vektor residual ML: e. Jika < 0.0001 maka kekonvergenan tercapai f Hitung nilai estimasi untuk :

f. Hitung nilai estimasi untuk :

(24)

Metode Penelitian

2. Menentukan faktor‐faktor yang mempengaruhi angka kematian

bayi di Provinsi Jawa Timur :

a. Melakukan pemodelan Angka Kematian Bayi dengan metode

regresi klasik (OLS).

b M l k k

ji

i

d l

i kl ik

i

ji

b. Melakukan pengujian asumsi model regresi klasik, yaitu uji

linieritas, tidak terjadi otokorelasi, uji kesamaan varian, dan

error yang berdistribusi normal.

c Melakukan identifikasi awal model regresi spasial dengan

c. Melakukan identifikasi awal model regresi spasial dengan

Statistik Uji dengan uji LM dan uji Robust LM dalam melihat

efek dependensi spasial.

d Melakukan pemodelan variabel respon dan variabel prediktor

d. Melakukan pemodelan variabel respon dan variabel prediktor

dengan regresi spasial lag atau regresi spasial error.

e. Melakukan interprestasi hasil dari model regresi spasial.

(25)

Hasil dan Pembahasan

Uji LM Lag: Hipotesis yaitu . Statistik uji LM untuk spasial lag adalah:j p g Dimana Uji LM Error Hipotesis yaitu vs . St ti tik ji LM t k i l d l h Statistik uji LM untuk spasial error adalah: Dimana

Dibawah , maka statistik uji dan didistribusikan asimptotis

k d b

(26)

Hasil dan Pembahasan

Uji Robust LM Lag

Bera dan Yoon (1993) menyarankan penggunaan modifikasi pada statistik uji

LM di d t l k k ji t h d d

LM, dimana pada saat melakukan pengujian terhadap dan

demikian pula sebaliknya. Modifikasi terhadap statistik uji LM Lag sebagai berikut:

Apabila matrik penimbang spasial , maka akan menjadi:

ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Lag ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Lag.

(27)

Hasil dan Pembahasan

Uji Robust LM Error

Untuk pengujian hipotesis dimana

dan

maka

difik i

j di

modifikasinya menjadi:

Apabila matrik penimbang spasial

, maka

akan

menjadi:

ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Error

(28)

Hasil dan Pembahasan

Algoritma adalah urutan langkah logis tertentu untuk memecahkan suatu Algoritma adalah urutan langkah logis tertentu untuk memecahkan suatu masalah. Yang ditekankan adalah urutan langkah logis, yang berarti algoritma harus mengikuti suatu urutan tertentu, tidak boleh melompat-lompat.

**Algoritma Statistik Uji LM dan Robust LM** **Algoritma Estimasi Parameter Model Spasial** ** Graphical User Interface Model Regresi Spasial**

(29)

Hasil dan Pembahasan

Estimasi Parameter dengan Menggunakan Model Regresi OLS

Variabel

Estimasi

Parameter ( )

t_hitung

p‐value

Konstan

97,878

,

19,85

,

0,000

,

Lama Sekolah (X

2

)

‐1,6101

‐1,82

0,078

Persalinan Medis (X

3

)

‐0,3681

‐2,92

0,006

Asi Ekslusif (X

5

)

‐3,9240

‐2,50

0,018

Asi Ekslusif (X

5

)

3,9240

2,50

0,018

Imunisasi Dasar (X

6

)

0,1555

‐2,68

0,013

P ji A i R i Pengujian Asumsi Regresi: 1. Uji gletser: Tidak terjadi Heteroskedastisitas pada errornya 2. Uji Normalitas: diperoleh errornya mengikuti distribusi normal 3. Uji Durbin Watson: Terjadi Otokorelasi pada errornya

(30)

Hasil dan Pembahasan

Hasil Diagnosis Efek Spasial Menggunakan Statistik Uji LM

g

p

gg

j

No Jenis Statistik Uji

Nilai

P‐ Value

Kesimpulan

1 Statistik uji LM‐lag

4,2647 0,0389

Tolak H

0

2 Statistik uji LM‐error

11,2549 0,0007

Tolak H

0

Hasil Diagnosis Efek Spasial Menggunakan Statistik Uji Robust LM

g

p

gg

j

No Jenis Statistik Uji

Nilai

P‐ Value

Kesimpulan

1 Statistik uji robus LM‐lag

0,1652

0,6844 Gagal Tolak H

0

(31)

Hasil dan Pembahasan

Estimasi Parameter dengan Menggunakan Model Spasial Error

Variabel Estimasi Parameter ( ) t_hitung p‐value

Konstan 95,6928 17,4157 0,0000 Lama Sekolah (X2 ) ‐1,9961 ‐2,9533 0,0031 P li M di (X ) 0 2912 2 9305 0 0034 Persalinan Medis (X3 ) ‐0,2912 ‐2,9305 0,0034 Asi Ekslusif (X5 ) ‐3,8249 ‐2,9839 0,0028 Imunisasi Dasar (X6 ) ‐0,2074 ‐4,1443 0,0000 Lambda 0 5291 3 7977 0 0001 Lambda 0,5291 3,7977 0,0001

Persamaan regresi yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

(32)

Kesimpulan dan Saran

p

Dari hasil analisis dan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Statistik uji Robust Lagrange Multiplier berguna apabila statistik uji Lagrange

Multiplier mengalami ketidakjelasan dalam menyimpulkan model regresi spasial mana yang akan digunakan apakah spasial lag model (SLM) atau spasial error model (SEM).

2. Dalam pemodelan angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur, model yang 2. Dalam pemodelan angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur, model yang

digunakan yaitu spasial error model (SEM), dengan variabel-variabel yang mempengaruhi adalah rata-rata lama sekolah, persentase penolong kelahiran dari tenaga medis, rata-rata lama pemberian ASI ekslusif dan pemberian

i i i d

imunisasi dasar.

Dari penelitian ini saran yang dapat diberikan adalah dalam penelitian selanjutnya hendaknya lebih dikembangkan untuk small area statistic dalam hal ini pada level yang lebih rendah misalnya kecamatan atau desa denganp y g y g mempertimbangkan ketersediaan data, sehingga akan mampu untuk mempertajam efek spasial dari data itu sendiri. Selain itu perlu dipertimbangkan juga penggunaan regresi spasial data panel sehingga dapat diperoleh informasi spasial baik secara cross section maupun time series

(33)

Daftar Pustaka

Anselin, L. (1988). Spatial Econometrics: Methods and Models, Kluwer.

Academic Publishers Dordrecht Academic Publishers, Dordrecht.

---. & Florak. (1994). Small Sample Properties of Test for Spatial

Dependence in Regression Models: Some Futher Result. Research Paper.

---. , A.K. Bera, R. Florax, dan M.J. Yoon (1996), “Simple diagnostic

f l d d ” l d b

tests for spatial dependence”, Regional Science and Urban Economics 26,

77-104.

Bera, A. and M. Yoon.(1993). Specification testing with locally misspecified

alternatives, Econometric Theory 9, 649-658.

Burridge P. (1980). On the Cliff-Ord Test for Spatial Correlation. Journal of The Royal Statistical Society Vol 42, No. 1 pp 107-108.

Cressie, N.A.C. (1991). Statistics For Spatial Data. John Wiley & Sons, Inc.

United States of America United States of America.

(34)

Draper N, & Smith.(1992). p , ( ) Analisis Regresi Terapang p . Gramedia Pustaka Utama, , Jakarta.

Galton, F.(1886). Reggresion towards Mediocrity in Hereditary Stature.

Didownload dari www.galton.org.

Gujarati D (2004) Basic Econometrics 4th Edition The McGraw-Hill Companies

Gujarati, D. (2004). Basic Econometrics 4th Edition. The McGraw-Hill Companies

Kosfeld, Reinhold.(2006). Spatial Econometric. Didownload dari

http://www.scribd.com

LeSage, JP.(1999). The Theory and Practice of Spatial Econometrics. Dept of

f l d h

Economics University of Toledo. Ohio.

Miller, H. J. (2004). Tobler's First Law and Spatial Analysis. Annals of the

Association of American Geographers, 94: 284–289

Silvey, SD.(1959). The Lagrangian Multiplier Test. The Annals of Mathematical

(35)