Pemodelan Pertumbuhan Batang Tanaman Menggunakan Deterministic L-Systems

(1)

Pemodelan Pertumbuhan Batang Tanaman

Menggunakan Deterministic L-Systems

Juhari1 1

Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang Email: [email protected]

Abstrak. L-Systems memiliki fleksibilitas dalam mensimulasikan struktur dan proses pengembangan pertumbuhan tanaman secara visual dan realistik. Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan pertumbuhan batang tanaman menggunakan

Deterministic L-Systems dan memvisualisasikan model pertumbuhan batang tanaman.

Bentuk pertumbuhannya hanya menggunakan segmen garis. Penelitian pertumbuhan batang tanaman menggunakan Deterministic L-systems dilakukan dalam tiga tahap yang diawali dari membangun penafsiran grafis secara manual melalui garis sesuai aturan produksinya. Tahap kedua, membuat secara analogi penafsiran grafis melalui titik-titiknya. Tahap ketiga, membuat model dari titik-titik tersebut. Hasilnya didapat model Deterministic L-systems dari beberapa pertumbuhan batang tanaman. Masing-masing model mempresentasikan satu macam pertumbuhan batang tanaman.

Kata kunci: Deterministic L-Systems, Pemodelan, Batang tanaman

1. Pendahuluan

Studi karateristik tanaman bersifat sangat komplek, akan sangat sukar didekati menggunakan pendekatan persamaan matematika biasa. Proses biologis pada unsur pertumbuhan tanaman yang dikembangkan secara aturan grammar merupakan dasar dikembangkannya metoda Lindenmayer System (L-System) (Chuai-Aree, S,2000). Pemodelan komputer dan teknik visualisasi mampu memodelkan proses secara realistik pertumbuhan tanaman.

Penelitan yang akan dikembangkan adalah memodelkan pertumbuhan batang tanaman menggunakan Deterministic L-Systems pada beberapa tanaman yang ada di lingkungan Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Penelitian pertumbuhan batang tanaman menggunakan Deterministic L-systems dilakukan dalam tiga tahap yang diawali dari membangun penafsiran grafis secara manual melalui garis sesuai aturan produksinya. Tahap kedua, membuat secara analogi penafsiran grafis melalui titik-titiknya. Tahap ketiga, membuat model dari titik-titik tersebut. Penelitian bertujuan untuk menyusun model dan memvisualisasi pertumbuhan batang tanaman menggunakan Deterministic L-Systems.

2. Tinjauan Pustaka

Lindenmayer systems (L-systems)

Metoda L-System sebagai kepanjangan dari Lindenmayer System dikembangkan pertama kali oleh Ilmuwan biologis Aristid Lindenmayer. L-System merupakan aturan formal yang disusun sebagai grammar yang dikarateristikkan dalam bentuk axioma, dan simbol-simbol alphabet yang digunakan sebagai representasi pertumbuhan bagian tanaman yang secara parallel terjadi pergantian pada masing-masing tahap. (Prusinkiewicz P and A. Lindenmayer, 1990). Ekstensi dari L-system dinyatakan dalam Parametrik L-System (Chuai-Aree, S., Siripant, S. and Lursinsap, C., 2000). Framework dari L-System terdiri dari initial structure dan rewriting rules. Inti pengembangannya adalah penggantian secara paralel menggunakan rewriting rules yang ada. Dimulai dari initial structure, L-System menggantikan setiap bagian dari struktur yang ada dengan

(2)

menerapkan

tertentu akan dapat menghasilkan pertumbuhan tanaman yang menyerupai tanaman sebenarnya di alam nyata.

Beberapa istilah yang menjadi komponen utama pada a.

b.

c.

Penafsiran Pada

suatu satuan panjang

L-systems

- |

generasi yang dihasilkan dari aksioma dan aturan produksi yang diberikan. Contohnya, jika diberikan aksioma dan aturan produksi dengan

pertama

Jika diasumsikan bahwa satu satuan sudut

generasi pertama dapat dilihat pada gambar berikut ini:

Penafsiran garfis ini mula satuan sepanjang F G

+

F p : menerapkan rule

tertentu akan dapat menghasilkan pertumbuhan tanaman yang menyerupai tanaman sebenarnya di alam nyata.

Beberapa istilah yang menjadi komponen utama pada Huruf

Huruf adalah himpunan hingga

dan seterusnya, atau mungkin beberapa huruf lainnya. Aksioma

Aksioma (inisiator dari dinotasikan dibentuk yaitu:

adalah jumlah simbol dalam Produksi

Produksi (aturan penulisan kembali) adalah suatu pemetaan simbol Ini diberi label dan ditulis dengan notasi:

Jika suatu simbol

simbol tersebut dipetakan pada dirinya sendiri sehingga (Mishra dan Mishra, 2007)

Penafsiran grafis

Pada L-systems terdapat simbol suatu satuan panjang

systems adalah sebagai berikut:

: menggambar ke depan satu satuan sepanjang : bergerak ke depan satu satuan sepanjang

: berputar berlawanan arah jarum jam dengan sudut : berputar searah jarum jam dengan sudut

: berputar 180 Penafsirkan

pertama dengan

Penafsiran garfis ini mula satuan sepanjang V F F F→ + −− 1 g

rule secara sekuensial. Jadi, dengan

tertentu akan dapat menghasilkan pertumbuhan tanaman yang menyerupai tanaman sebenarnya di

Beberapa istilah yang menjadi komponen utama pada Huruf adalah himpunan hingga

dan seterusnya, atau mungkin beberapa huruf lainnya.

inisiator) adalah suatu

dinotasikan . Jika diberikan dibentuk yaitu:

adalah jumlah simbol dalam

Jika suatu simbol tidak memiliki aturan produksi, maka dapat diasumsikan bahwa simbol tersebut dipetakan pada dirinya sendiri sehingga

(Mishra dan Mishra, 2007) grafis pada L-systems

terdapat simbol

suatu satuan panjang dan perputaran sudut adalah sebagai berikut:

: berputar 180o atau berbalik arah Penafsirkan L-systems

, maka dimulai dengan aksioma dengan string:

Gambar 1

Penafsiran garfis ini mula-mula mengerjakan perintah satuan sepanjang . Perintah simbol

* V , , ,b cbaabca a V a∈

h

F F+ −

h

secara sekuensial. Jadi, dengan

Beberapa istilah yang menjadi komponen utama pada Huruf adalah himpunan hingga dan simbol dan seterusnya, atau mungkin beberapa huruf lainnya.

) adalah suatu string . Jika diberikan

adalah jumlah simbol dalam string.

tidak memiliki aturan produksi, maka dapat diasumsikan bahwa simbol tersebut dipetakan pada dirinya sendiri sehingga

systems

terdapat simbol-simbol yang dapa dan perputaran sudut adalah sebagai berikut:

atau berbalik arah

systems secara grafis dapat diar

, maka dimulai dengan aksioma

Gambar 1. Penafsiran grafis dari mula mengerjakan perintah

. Perintah simbol untuk memutar arahnya berlawanan arah jarum jam V V = , ,caab bbc aabca p : F F+

δ

+

secara sekuensial. Jadi, dengan grammar

Beberapa istilah yang menjadi komponen utama pada L-systems

dan simbol-simbol formal, misalnya dalam ben dan seterusnya, atau mungkin beberapa huruf lainnya.

dari simbol

, maka beberapa contoh dan seterusnya. Panjang

Produksi (aturan penulisan kembali) adalah suatu pemetaan simbol .

tidak memiliki aturan produksi, maka dapat diasumsikan bahwa simbol tersebut dipetakan pada dirinya sendiri sehingga

simbol yang dapat ditafsirkan secara grafis. Jika diasumsikan dan perputaran sudut , maka perintah

: menggambar ke depan satu satuan sepanjang ;

: bergerak ke depan satu satuan sepanjang tanpa harus menggambar; : berputar berlawanan arah jarum jam dengan sudut

: berputar searah jarum jam dengan sudut ; dan

secara grafis dapat diartikan menggambar secara grafis barisan generasi yang dihasilkan dari aksioma dan aturan produksi yang diberikan. Contohnya, jika diberikan aksioma dan aturan produksi dengan

, maka dimulai dengan aksioma

adalah generasi pertama dapat dilihat pada gambar berikut ini:

Penafsiran grafis dari

mula mengerjakan perintah yaitu menggambar garis ke depan satu untuk memutar arahnya berlawanan arah jarum jam

w

} , , {a b c = , bbc w a→ :

δ

h

δ

F F F−− +

δ

π/3

F

grammar yang spesifik untuk suatu tanam

systems adalah:

simbol formal, misalnya dalam ben

dari simbol-simbol pada , maka beberapa contoh dan seterusnya. Panjang

Produksi (aturan penulisan kembali) adalah suatu pemetaan simbol

tidak memiliki aturan produksi, maka dapat diasumsikan bahwa simbol tersebut dipetakan pada dirinya sendiri sehingga menjadi konstanta

t ditafsirkan secara grafis. Jika diasumsikan , maka perintah-perintah dari simbol

tanpa harus menggambar; ;

tikan menggambar secara grafis barisan generasi yang dihasilkan dari aksioma dan aturan produksi yang diberikan. Contohnya, jika diberikan aksioma dan aturan produksi dengan

akan diperoleh produksi generasi

radian, maka penafsiran grafis dari

Penafsiran grafis dari L-systems

yaitu menggambar garis ke depan satu untuk memutar arahnya berlawanan arah jarum jam

a

, { = F V F 3

yang spesifik untuk suatu tanam tertentu akan dapat menghasilkan pertumbuhan tanaman yang menyerupai tanaman sebenarnya di

simbol formal, misalnya dalam bentuk

simbol pada . Himpunan , maka beberapa contoh string yang dapat

dari suatu string

ke string

tidak memiliki aturan produksi, maka dapat diasumsikan bahwa menjadi konstanta L

t ditafsirkan secara grafis. Jika diasumsikan perintah dari simbol-simbol pada

tanpa harus menggambar;

tikan menggambar secara grafis barisan generasi yang dihasilkan dari aksioma dan aturan produksi yang diberikan. Contohnya, jika

,

akan diperoleh produksi generasi

yaitu menggambar garis ke depan satu untuk memutar arahnya berlawanan arah jarum jam

V

w V a∈ } , ,+− w=F

yang spesifik untuk suatu tanaman tertentu akan dapat menghasilkan pertumbuhan tanaman yang menyerupai tanaman sebenarnya di

tuk

. Himpunan string yang dapat

string

string .

tidak memiliki aturan produksi, maka dapat diasumsikan bahwa

L-systems.

t ditafsirkan secara grafis. Jika diasumsikan simbol pada

tikan menggambar secara grafis barisan generasi yang dihasilkan dari aksioma dan aturan produksi yang diberikan. Contohnya, jika dan akan diperoleh produksi generasi

yaitu menggambar garis ke depan satu untuk memutar arahnya berlawanan arah jarum jam , , ,bc a

w

* V w∈ F

(3)

sebesar . Perintah berikutnya menggambar kembali sesuai arah yang telah ditentukan sebelumnya. Pada perintah simbol –– untuk memutar kembali arahnya searah jarum jam sebanyak dua kali besarnya . Kemudian menggambar kembali sesuai dengan arah yang baru. Perintah simbol untuk memutar kembali arahnya berlawanan arah jarum jam sebesar . Perintah terakhir menggambar kembali sesuai dengan arah yang baru. Hal yang sama dapat dilakukan untuk menafsirkan grafis dari generasi selanjutnya.

Algoritma penafsiran grafis pada L-systems

Algoritma adalah urutan langkah instruksi logis yang disusun secara sistematis untuk menyelesaikan suatu masalah (Munir, 1999). Berikut merupakan algoritma dari penafsiran grafis pada L-systems:

1. Masukkan nilai generasi (k ), sudut kemiringan cabang (δ ) dan panjang segmen garis (h )

yang diinginkan;

2. Tentukan sudut awal (a ) dan masukkan nilai 0 a untuk mendapatkan titik awal (0 F ), 0 kemudian masukkan F pada aturan produksi (0 P), dan hasilnya disebutP ; 0

3. Iterasikan i untuk i=1,2,3,...,k; sehingga mendapatkan nilai sudut selanjutnya (a ) dan i diteruskan untuk mendapatkan nilai titik selanjutnya (F ); Kemudian masukkan _i F pada _i

aturan produksi Pi−1 untuk mendapatkan P ; dan i 4. Plot

3. Metode

Sehubungan dengan persoalan yang dimaksud dan untuk keperluan mencari solusi permasalahan model batang tanaman menggunakan Deterministic L-Systems, pada bagian ini akan dijelaskan secara sistematis mengenai metode yang dilakukan dalam memodelkan pertumbuhan batang tanaman antara lain: (1) menentukan komponen utama dari L-systems dan mengasumsikan besar sudut δ . (2) membangun hasil penafsiran grafis beberapa generasi secara manual. (3) memberi nama titik-titik pada garis yang membangun penafsiran grafis secara manual tersebut. (4) membuat model dari titik-titik tersebut secara matematis dan membuat program dari model tersebut.

4. Hasil dan Pembahasan Penafsiran grafis secara manual

Untuk membangun penafsiran grafis secara manual dimisalkan suatu L-systems dengan komponen-komponennya adalah

V

=

{

F

,

−

,

+

,

[,

]}

,

w

=

F

dan

p

:

F

→

F

[[

−

F

][

+

F

]]

. Beberapa generasi dari sistem ini dapat dilihat pada tabel berikut ini:

δ

F

δ

F

+

δ

(4)

Tabel 1. Beberapa Generasi L-systems 0 g F 1 g F[[−F][+F]] 2 g F[[−F][+F]][[−F[[−F][+F]]][+F[[−F][+F]]]] 3 g − + − − + − + + − − + − ][ ]][[ [[ ][ ]]][ [[ ][ ]]]][[ [[ ][ ]][[ [[ F F F F F F F F F F F F ]]] ][ [[ ]][[ ][ [[ ]]]]][ ][ [[ ]]][ ][ [[ F F F F F F F F F F F F − + + − + + − + − − + ]]]]]] ][ [[ [+F −F +F

Penafsiran grafis secara matematis 1) Penamaan titik

Pada Gambar 2(a) terdapat empat titik yang membangun garis-garisnya dengan masing-masing titik diberi nama F₀_,₀, F₀_,₁, F₁_,₁ dan F₁_,₂ seperti terlihat pada Gambar 2(a). Pada Gambar 2(b) terdapat empat garis tambahan dari Gambar 2(a) sehingga ada empat titik baru yaitu F2,1, F2,2,

3 , 2

F dan F₂_,₄ seperti terlihat pada Gambar 2(b). Pada gambar 2(c) juga terdapat tambahan garis dari Gambar 2(b) sehingga ada delapan titik baru yaitu F₃_,₁, F₃_,₂, ... , dan F₃_,₈ seperti terlihat pada Gambar 2(c). Maka dapat disimpulkan untuk generasi n (g ) terdapat tambahan titik _n

sebanyak 2n dari generasi n−1 (gn−1).

Gambar 2. Penamaan Titik Penafsiran Grafis 2) Perumusan titik

Gambar 2(a) yang dibangun secara manual melalui penafsiran grafis dari g dapat dianalogkan ₁

untuk membangun Gambar 2(a) yang dibangun melalui titik-titiknya. Dengan mengasumsikan P 1 sebagai barisan titik-titik yang membangun Gambar 2(a), maka dapat ditulis:

) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( 0,0 0,1 1,1 0,1 1,2 0,1 1 F F F F F F P = (1)

Hal yang sama dapat dilakukan dalam membangun Gambar 2(b) dan Gambar 2(c) yang dibangun melalui titik-titiknya. Dengan mengasumsikan P dan 2 P masing-masing sebagai barisan titik-3 titik yang membangun Gambar 2(b) dan Gambar 2(c), maka dapat diperoleh barisan titik-titik yang membangun penafsiran grafis secara umum, P_n₊₁, dengan mendefinisikan (F_n,_i) dari P , n n=k dan i=2n, sebagai berikut:

) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) (F_n_,_i = K_n_,_i F_n₊₁_,₂_i₋₁ K_n_,_i F_n₊₁_,₂_i K_n_,_i (2) ) (a 1 , 0 F 0 , 0 F 1 , 1 F 2 , 1 F ) (b 1 , 0 F 0 , 0 F 1 , 1 F 1 , 2 F 2 , 2 F 4 , 2 F F2,3 2 , 1 F ) (c 6 , 3 F 7 , 3 F 5 , 3 F 8 , 3 F 4 , 3 F 3 , 3 F 1 , 0 F 2 , 3 F 0 , 0 F 1 , 1 F 2,1 F 2 , 2 F 4 , 2 F 3 , 2 F 2 , 1 F 1 , 3 F

(5)

3) Perumusan sudut

Misal titik A dan B masing-masing mempunyai koordinat (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), garis OA

membentuk sudut θ dengan sumbu x positif dan garis AB dibentuk dari perpanjangan garis OA yang diputar searah jarum jam membentuk sudut φ (Gambar 2). Jika diasumsikan

r B A d A O

d( , )= ( , )= , maka hubungan koordinat titik-titik ini adalah sebagai berikut: − + = − + = ) cos( ) cos( ) cos( 1 2 φ θ θ φ θ r r r x x (3) − + = − + = ) sin( ) sin( ) sin( 1 2 φ θ θ φ θ r r r y y (4)

Gambar 3. Hubungan Koordinat Titik-titik

Gambar 2 dibuat dengan asumsi (K0,0)=(0,0), A0,1=π/2, X0,1=hcos(A0,1), Y0,1=hsin(A0,1) dan (F₀_,₁)=(X₀_,₁,Y₀_,₁). Jika diberikan X_n_,_i=hcos(A_n_,_i), Y_n_,_i =hsin(A_n_,_i) dan

) , ( )

(F_n_,_i = X_n_,_i Y_n_,_i untuk n=1,2,3,...,k dan i=1,2,3,...,2n, maka nilai-nilai dari A_n_,_i, X_n_,_i, dan Yn,i untuk k=3 dapat ditulis secara umum:

+ = + = + = + = − + = − + = − − − − − − − − − − − − ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) 1 ( ) 1 ( 2 , , 1 2 , 1 2 , , 1 1 2 , 2 , , 1 2 , 1 2 , , 1 1 2 , 2 , 1 2 , 1 2 , 1 1 2 , i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i i n i n i i n i n A h Y Y A h Y Y A h X X A h X X A A A A δ δ (5) untuk n=1,2,3,...,k dan i=1,2,3,...,2n−1. Pembuatan Program

Pembuatan program pemodelan pertumbuhan batang tanaman menggunakan L-systems dilakukan secara terkomputerisasi. Sedangkan bahasa program yang digunakan adalah Maple 8. Berikut ini adalah langkah-langkah penulisan program dari penafsiran grafis pada Gambar 2:

a. Masukkan nilai generasi ( k ), sudut kemiringan cabang (δ ) dan panjang segmen garis ( h ); b. Tetapkan nilai-nilai dari A0,1=π/2, X0,1=hcos(A0,1), Y0,1=hsin(A0,1),

) , ( ) (K0,1 = X0,1 Y0,1 dan P0=(K0,0),(K0,1),(F1,1),(K0,1),(F1,2),(K0,1); r r θ φ y A O 1 y 2 y 1 x x2 x B

(6)

c. Iterasi n dari 1 sampai k dan lakukan

1. Iterasi

i

dari 1 sampai 2n−1 lakukan persamaan (5); 2. Iterasi

i

dari 1 sampai 2n lakukan (Kn,i)=(Xn,i,Yn,i); dan 3. Iterasi

i

dari 1 sampai 2n lakukan persamaan (2);

kerjakan P_n =P_n₋₁;

d. Iterasi n dari k sampai k lakukan

iterasi

i

dari 1 sampai 2k lakukan (Fn,i)=(Kn,i) kerjakan Pn =Pn−1; dan

e. Plot P . k

Pembuatan program dengan komponen L-systems yang lain dapat dilakukan dengan cara sama, yaitu hanya dengan mengganti Langkah b pada penulisan A0,1 dan P ; Langkah c.1 pada 0 penulisan persamaan (5); Langkah c.3 pada penulisan persamaan (2); dan i=1,2,3,...,2n dengan

n

m

i=1,2,3,..., , dimana m adalah jumlah titik F yang akan diproduksi. Hal penting lainnya yang dapat dimodifikasi dari pemodelan ini adalah penentuan nilai sudut δ dan panjang segmen garis h . Penentuan nilai sudut δ dapat disesuaikan dengan keadaan percabangan batang pada tanaman yang akan dimodelkan. Modifikasi panjang segmen garis h dapat dilakukan dengan mendefinisikan h_n=h/n untuk n=1,2,3,...,k.

Hasil pemodelan

Dalam memodelkan pertumbuhan batang tanaman di alam, pertama-tama yang harus dilakukan adalah identifikasi komponen L-systems yang membangunnya dan mengukur besar sudut dari masing-masing cabang pada aturan produksinya. Kemudian memodelkan penafsiran grafis secara matematis melalui titik-titiknya, yaitu dengan mengganti persamaan (2) dan persamaan (5) sesuai dengan aturan produksinya. Selanjutnya memasukkan model tersebut ke dalam program.

Pengukuran besar sudut dari masing-masing cabang pada aturan produksinya dapat dilakukan dengan dua cara. Pertama, nilai sudut diambil dari rata-rata besar sudut pada masing-masing cabang. Hal ini dikarenakan gambar tanaman yang diambil di alam adalah bentuk dimensi tiga sedangkan gambar yang akan dimodelkan dalam bentuk dimensi dua. Kedua, nilai sudut diambil dari masing-masing cabang sesuai dengan besarnya. Hal ini disesuaikan dengan bentuk percabangan dari tanaman yang bersangkutan, karena besar masing-masing cabang tidak dipengaruhi dimensinya.

Misal ingin memodelkan pohon bunga kupu-kupu (Gambar 5a). Pertama, identifikasi komponen

L-systems yang membangun, yaitu V={F,+,−,[,]}, w=F dan p:F→F[[−F]F[−F][+F]]. Kedua, tentukan sudut cabang dari masing-masing cabang pada aturan produksinya (Gambar 4b), yaitu δ1=350,

0 2=34

δ , dan δ3=380 dengan nilai sudut rata-rata

0 36 =

(7)

Gambar 4. Pohon Bunga Kupu-Kupu Dan Pembesarannya

Ketiga, memodelkan penafsiran grafis secara matematis dengan asumsi δ =π/5 sehingga persamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut:

) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ( , 2 4 , 1 4 , 1 2 4 , 1 1 4 , 1 2 4 , 1 , 3 4 , 1 , , i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n K K F K F F K F K F − + + − + − + − + − + = (6) untuk n=k dan i=4n. Persamaan (5) dapat ditulis:

) cos( ) cos( ) cos( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 4 , 2 4 , 1 4 , 2 4 , , 1 2 4 , 3 4 , , 1 3 4 , 2 2 4 , 4 , 1 2 2 4 , 1 4 , , 1 2 4 , 1 2 , 1 3 4 , − − − − − − − − − − − − − − − − − − + = + = + = − + = − + = = − + = i n i n i n i n i n i n i n i n i n i i n i n i i n i n i n i n i i n i n A n h X X A n h X X A n h X X A A A A A A A A δ δ δ

) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( 4 , 2 4 , 4 , 1 4 , 2 4 , 1 4 , 2 4 , , 1 2 4 , 3 4 , , 1 3 4 , 4 , 2 4 , 4 , i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i n A n h Y Y A n h Y Y A n h Y Y A n h Y Y A n h X X + = + = + = + = + = − − − − − − − − − − −

(7)

untuk n=1,2,3,...,k dan i=1,2,3,...,4n−1.

Keempat, pembuatan program dengan menulis A0,1=π/1.8,

) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( 0,0 0,1 1,1 0,1 1,2 1,3 1,2 1,4 1,2 0,1 0 K K F K F F K F K K P = , mengganti persamaan

(5) dengan persamaan (7), persamaan (2) dengan persamaan (6), dan i=1,2,3,...,2n dengan n i=1,2,3,...,4 . (a) (b) 3 δ 2 δ 1 δ 1 , 0

A

(8)

) 5 / ( ]] ][ [ ] [[ :F→F −F F−F +F δ=π p

Gambar 6. Pohon Bunga Kupu-Kupu Dan Model Pohon Bunga Kupu-Kupu

Gambar 7. Pohon Cemara Kipas Dan Model Pohon Cemara Kipas

p:F→F[[−F]F[−F][+F]] (δ =π/9) Gambar 8. Pohon Lamtoro Dan Model Pohon Lamtoro

(9)

) 18 / , 9 / ( ]] ][ [[ :F→F −F +F δ1=π δ2=π p

Gambar 9. Pohon Kecrutan Dan Model Pohon Kecrutan

) 9 / ( ] ] [ ] [[ :F→F +F F−F F δ=π p

Gambar 10. Pohon Trembesi Dan Model Pohon Trembesi

Pemodelan pertumbuhan batang tanaman menggunakan Deterministic L-systems dapat dilakukan mula-mula dengan membangun penafsiran grafis secara manual melalui garis sesuai aturan produksinya. Kemudian membuat secara analogi penafsiran grafis melalui titik-titiknya. Selanjutnya membuat model dari titik-titik tersebut dan membuat program sesuai dengan model. Model dari bermacam-macam aturan produksi dapat dilakukan dengan cara yang sama sehingga pembuatan model dari suatu aturan produksi tertentu dapat dilakukan hanya dengan mengubah rumusan dari P , persamaan (2) dan persamaan (5) sesuai dengan aturan produksi yang 0 diinginkan. Pemodelan semacam ini juga harus memenuhi suatu kondisi, yakni aturan produksinya harus berbentuk p:F→F[q], dengan q sembarang aturan produksi.

Hasil pemodelan dari beberapa tanaman di alam ini mungkin kurang mendekati kesamaan dari bentuk aslinya di alam, karena pemodelan di sini dalam bentuk gambar dimensi dua sedangkan bentuk aslinya di alam adalah dimensi tiga. Jadi pemodelan pada penelitian ini hanya merupakan aproksimasi dari tanaman aslinya di alam.

(10)

5. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan diperoleh kesimpulkan bahwa Deterministic

L-systems dapat digunakan untuk memodelkan pertumbuhan batang tanaman. Masing-masing model

mempresentasikan satu macam pertumbuhan batang tanaman. Dalam memodelkan pertumbuhan batang tanaman menggunakan Deterministic L-systems, dua tanaman yang berbeda bisa dimodelkan dengan aturan produksi yang sama. Hal ini bisa terjadi hanya dengan menentukan besar sudut pada masing-masing percabangan, ada tidaknya garis sebelum percabangan yang pertama dan pendefinisian panjang garis yang berbeda-beda.

Daftar Pustaka

Affan. 2004. Simulasi Pertumbuhan Batang Tanaman Cemara Norfolk Menggunakan L-sistem

dengan Delphi. Malang: Jurusan Teknik Informatika

Chuai-Aree, S., Siripant, S., and Lursinsap, C. 2000. Animating Plant Growth in L-System By

Parametric Functional Symbols. Thailand: Department of Mathematics.

Kristio. 2008. Artificial Life Model Proses Fotosintesis dalam Pertumbuhan Batang Menggunakan

Metode Neural Network. Surabaya: Universitas Airlangga

Mishra, J., dan Mishra, S. 2007. L-System Fractal. Netherland: Elsevier

Munir, R. 1999. Algoritma dan Pemrograman Bahasa Pascal dan C. Bandung: CV. Informatika. Prusinkiewicz, P. and Lindenmayer, A. 1990. The Algorithmic Beauty Of Plants. New York: