LAPORAN KEGIATAN PROYEK darat proda

LAPORAN KEGIATAN PROYEK Mata Pelajaran : Matematika

Materi : Vektor

Tugas : Cari satu problem dan penyelesaian terkait penerapan vektor

dalam kehidupan sehari-hari.

Nama Kelompok :

1. Ara Bylla Wahyu Dini (04)

2. Hasbiya Maghfury (12)

3. Nadia May Puspita (20)

4. Rosi Amanda Heryanti (24)

Kelas : X MIPA 3

Tanggal Tugas Laporan Keterangan

05 – 04 - 2017 Menyiapkan _{kegiatan proyek.}

Dalam menyiapkan kegiatan proyek, kami membagi tugas dan saling bekerja sama sesama anggota kelompok, kami juga saling

memberi ide dan masukan serta saran agar laporan ini dapat tersusun dengan baik.

1. Ara : Sebuah pesawat mainan bergerak selama 1 jam ke timur dengan kecepatan 30 km/jam. Arah kecepatan pesawat mainan itu berubah akibat tertiup angin yang bergerak ke utara dengan kecepatan 16 km/jam. Tentukan kecepatan pesawat mainan pada saat tertiup angin!

2. Hasbiya : sungai selebar 500 meter berarus dengan kecepatan 80 m/menit. Sebuah perahu bergerak menyebrangi sungai itu dengan kecepatan 80 m/menit dengan arah gerak tegak lurus tepi sungai. Waktu yang

dibutuhkan oleh perahu tersebut sehingga sampai di seberang sungai adalah....

seberang sungai adalah.... 4. Rosi : Sebuah pesawat terbang

tinggal landas dari bandara Adi Sumarmo menuju bandra juanda. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut apabila pesawat tersebut bergerak dari titik (128,88,24) km, menuju kota Surabaya sebelum mendarat yang berposisi di titik

(353,198,108) km?

Dari ke-empat fenomena yang diusulkan oleh anggota kelompok, kami sepakat untuk memilih fenomena sehari-hari yang berkaiatan dengan vektor milik Hasbiya Maghfury.

1. Hasbiya : menghitung waktu tempuh.

2. Ara : ilustrasi.

3. Nadia dan Rosi : editor. 19 – 04 - 2017 Membuat laporan.

1. Ara : Sampul dan sejarah lahirnya vektor.

2. Nadia : Sejarah lahirnya vektor. 3. Rosi : Manfaat dan Kesimpulan.

Laporan dikumpulkan,...

Anggota 1 Anggota 2 Anggota 3 Ketua

Hasbiya Maghfury Nadia May P. Rosi Amanda H. Ara Bylla W.D

NIS. 14239 NIS. 14308 NIS. 14362 NIS. 14145

Pembimbing

Disusun Oleh :

1. Ara Bylla Wahyu Dini (04) 2. Hasbiya Maghfury (12) 3. Nadia May Puspita (20) 4. Rosi Amanda Heryanti (24)

Kelas : X MIPA-3 KELOMPOK : 8

SMA NEGERI 2 NGANJUK

Jalan Anjuk Ladang No. 09 Telp-Fax (0358) 322585 Nganjuk,

Website : www.sman2nganjuk.sch.id , e-mail : smanduanganjuk@yahoo.com

BAB I

PENDAHULUAN

SEJARAH LAHIRNYA VEKTOR

A. Latar Belakang

Dalam mempelajari sebuah disiplin ilmu sering kali kita melupakan siapa sebenarnya yang mencetuskan ilmu tersebut, bahkan kita sering mempertanyakan sebenarnya apa

kegunaan dari ilmu tersebut bagi kehidupan kita. Begitu juga halnya dengan vektor kita sudah selayaknya mengetahui sosok sebenarnya pencetus agar kita memahami serta mengetahui kegunaan bagi kehidupan dari ilmu ini. Banyak permasalahan sehari-hari yang menggunakan ilmu vektor. Kita sangat berhutang kepada pengembang metoda ini, seseorang yang jarang kita dengar, walaupun Albert Einstein sendiri mengakuinya sebagai salah satu pemikir terhebat. Nama ilmuwan ini adalah Josiah Willard Gibbs (kita kenal melalui fenomena Gibbs, osilasi overshoot dalam Fourier series, yang kita sebut ringing artifact dalam sinyal digital).

B.

Biografi Penemu Vektor

Disamping kita memahami vektor itu sendiri tidak ada salahnya kita mengetahui siapa sebenarnya yang pertama kali memberikan gagasan mengenai vektor. Ilmuwan itu bernama Josiah Willard Gibbs. Pada abad 18 Josiah Willard Gibbs dilahirkan di New Haven,

Connecticut, USA pada 11 Februari 1839 hingga akhirnya meninggal pada 28 April 1903

dikota yang sama. New Haven adalah kota ketiga terbesar di Connecticut, setelah Bridgeport dan Hartford. Gibbs merupakan anak keempat dari lima bersaudara dan satu-satunya anak laki-laki dari pasangan Josiah Willard Gibbs dan Mary Anna. Dari sisi ayahnya, ia adalah keturunan dari Samuel Willard, yang dulu pernah menjabat sebagai Presiden College of Harvard pada 1701-1707. Sedangkan dari sisi ibunya, diketahui bahwa salah satu dari nenek moyangnya adalah Rev Jonathan Dickinson, presiden pertama dari College of New Jersey (sekarang Princeton University).

School dari 1824 sampai akhir hidupnya, dia meninggal pada tahun 1861. Ayah dari Gibs ini yang juga bernama Josiah Willard Gibbs begitu dikenang sampai saat ini. Ia merupakan aktivis abolisionisme yang menemukan seorang juru bahasa untuk penumpang Afrika kapal Amistad, yang memungkinkan mereka untuk bersaksi dalam persidangan sebagai wujud pemberontakan terhadap perbudakan pada masa itu. Abolisionisme sendiri merupakan sebuah gerakan yang ingin menyingkirkan perbudakan di Eropa dan di Amerika. Gerakan ini aktif selama abad ke-18.

Josiah Willard Gibbs bersekolah di Hopkins School hingga sebuah pencapaian yang luar biasa terjadi. Pada tahun 1854 dimana ia baru menginjak usia 15 tahun telah berhasil masuk ke University Of Yale. Prestasi mengagumkan kembali terulang, ia lulus lebih cepat dari kakak kelasnya pada tahun 1858 dan ia dianugerahi penghargaan untuk keunggulannya dalam Matematika dan bahasa Latin. Pada usia 19 tahun ia tetap tinggal di Yale sebagai mahasiswa pascasarjana di Sheffield Scientific School. Bersamaan dengan hal itu juga ia dilantik menjadi salah satu tenaga ahli dari Connecticut Academy of Arts and Sciences, sebuah lembaga ilmiah ternama yang didirikan oleh kampusnya terdahulu yakni University Of Yale.

Pada tahun 1863, Gibbs menyandang gelar Ph.D dimana gelar ini untuk pertama kalinya di bidang teknik yang diberikan di Amerika Serikat, untuk tesis berjudul “On The Form Of The Teeth Of Wheels In Spur Gearing”, di mana ia menggunakan teknik geometris untuk menyelidiki desain optimum untuk gigi. Dimana gelar ini hanya lima orang saja yang apapun lalu ia ditugaskan untuk mengajar mahasiswa pascasarjana eksklusif dan dipekerjakan tanpa gaji. Dimana sistem pengajaran ilmiah pascasarjana di Yale yang kemudian ia

terapkan. Gibbs lebih banyak bekerja sendirian mengutak atik dasar teoritis sambil mengajar, dan baru serius mempublikasikan karyanya pada umur 34 tahun. Kemudian perhatian Gibbs mulai fokus di bidang termodinamika dan apa yang dia sebut statistical mechanics. Dari

pekerjaannya inilah dia mempublikasikan apa yang sekarang kita pelajari sebagai kalkulus vektor modern. Selain itu Gibbs adalah fisikawan dan matematikawan yang banyak

C. PERKEMBANGAN VEKTOR

Sebenarnya Gibbs bukanlah satu-satunya ilmuwan yang berjasa dalam

pengembangan ilmu ini. Vektor sendiri mengalami perjalanan panjang sebelumnya akhirnya kita mengenal konsep keilmuan ini. Konsep mengenai vektor sendiri begitu sangat tertutup bahkan asal-usulnya pun tidak banyak diketahui. Ini sama halnya dengan salah satu karya dari Aristoteles yang sekarang hilang, yakni mengenai Mekanika Heron pada abad pertama Masehi. Hal ini menjadi penyebab utama Isaac Newton menciptakan sebuah karya yang berjudul “Principia Mathematica”. Dalam Principia, Newton mengemukakan vektor secara luas dengan apa yang sekarang dianggap benar adanya (misalnya, kecepatan, kekuatan), tetapi hal ini bukanlah konsep dari sebuah vektor.

Vektor lahir dalam dua dasawarsa pada abad ke-19 dengan gambaran geometris dari bilangan kompleks. Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dan setidaknya satu atau dua orang lainnya menyatakan bahwa bilangan kompleks berfungsi sebagai titik dalam bidang dua dimensi yaitu sebagai vektor dua dimensi. Matematikawan dan ilmuwan bekerja sama lalu menerapkan bilangan-bilangan baru dalam berbagai cara. Misalnya, pada 1799 Carl Friedrich Gauss mengungkapkan pentingnya dari bilangan kompleks untuk membuktikan teorema dasar aljabar. Pada 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) menunjukkan bahwa bilangan kompleks dapat dianggap abstrak sebagai pasangan terurut ( a, b) bilangan real. Ide ini merupakan bagian dari langkah matematikawan, termasuk Hamilton sendiri. Mereka mencari cara untuk memperluas

"bilangan" dua dimensi atau tiga dimensi, tetapi dengan tetap mempertahankan sifat-sifat aljabar dasar dan bilangan kompleks pada kenyataanya tidak ada yang mampu mencapai hal ini.

Pada 1827, August Ferdinand Möbius menerbitkan sebuah buku pendek dengan judul “The Barycentric Calculus”, dimana ia memperkenalkan segmen garis yang diarahkan dan dilambangkan dengan huruf abjad. Dalam studinya mengenai pusat gravitasi dan geometri proyektif, Möbius mengembangkan aritmatika segmen garis ini dengan mengarahkan,

menambahkan dan menunjukkan bagaimana untuk melipatgandakan segmen garis aritmatika dengan bilangan real. Karena pada kenyataannya tidak ada orang lain yang peduli untuk

memperhatikan betapa pentingnya perhitungan ini.

Dalam quaternions Hamilton menulis, dimana adalah bilangan real. Hamilton menyadari bahwa quaternions miliknya terdiri dari dua bagian yang berbeda. Istilah pertama, ia disebut skalar dan x, y, z untuk tiga komponen persegi panjang, ia merasa dirinya telah terdorong untuk menyatakan lambang trinomial serta baris yang mewakili sebuah vektor. Untuk mengembangkan quaternions miliknya Hamilton menggunakan rumus dasarnya diman

ia pun mengetahui bahwa produk miliknya, tidak komutatif.

Quaternions (1866), secara terperinci bukan hanya aljabar quaternions tetapi juga bagaimana formula ini dapat digunakan dalam geometri. Pada suatu kesempatan, Hamilton menulis, “Saya harus menegaskan bahwa penemuan ini tampaknya menjadi sama pentingnya pada pertengahan abad kesembilan belas serta sebagai penutupan pada abad ketujuh belas ini juga merupakan penemuan yang akan mengalami perubahan secara terus menerus”.Dia juga memiliki seorang murid yang bernama Peter Guthrie Tait (1831-1901) yang pada tahun 1850-an mulai menerapk1850-an quaternions untuk masalah listrik d1850-an magnet d1850-an masalah lain dalam fisika. Sampai akhirnya pada pertengahan abad ke-19, quaternions mendapatkan reaksi keras baik positif maupun negatif dari komunitas ilmiah lain.

Pada waktu yang bersamaan saat dimana Hamilton menemukan Quaternions, Hermann Grassmann (1809-1877) juga telah menyusun The Calculus of Extension (1844) yang sekarang dikenal dengan judul Jermannya yakni Ausdehnungslehre. Pada 1832, Grassmann mulai mengembangkan “Kalkulus Geometris Baru" sebagai bagian dari studi tentang teori pasang surut, dan ia kemudian menggunakan alat ini untuk menyederhanakan bagian dari dua karya klasik yakni Mekanika Analitik dari Joseph Louis Lagrange (1736-1813) dan Mekanika Celestial dari Pierre Simon Laplace (1749-1827). Dalam Ausdehnungslehre, pertama,

Grassmann memperluas dari konsep vektor yang telah dikenal yaitu dua atau tiga dimensi, n, dimensi, ini sangat memperluas ruang daya pikir. Kedua bahkan lebih umum, Grassmann mengembangkan banyak matriks modern, linear aljabar, vektor dan analisis tensor.

Sayangnya, Ausdehnungslehre memiliki dua kelemahan akan hal itu. Pertama, teorinya sangat abstrak, kurang jelas dalam contoh dan ditulis dalam gaya notasi yang terlalu rumit. Bahkan setelah ia memberikan studi yang serius, Möbius tidak dapat memahami sepenuhnya. Kedua, Grassmann adalah seorang guru sekolah menengah tanpa reputasi ilmiah besar (dibandingkan dengan Hamilton). Meskipun karyanya diabaikan, Grassmann

mengalami nasib yang serupa seperti edisi pertama. Dalam tahun-tahun terakhir hidupnya, Grassmann berpaling dari matematika dan meluncurkan karier penelitian kedua hingga meraih sukses dalam ilmu fonetik dan linguistik komparatif. Akhirnya, pada akhir 1860-an dan 1870-an, Ausdehnungslehre perlahan mulai dipahami dan dihargai, sehingga Grassmann mulai menerima beberapa pengakuan yang menguntungkan untuk matematika visioner. Edisi ketiga dari Ausdehnungslehre diterbitkan pada tahun 1878, setahun setelah itu Grassmann pun meninggal dunia.

Selama pertengahan abad kesembilan belas, Benjamin Peirce (1809-1880), seorang matematikawan yang paling menonjol di Amerika Serikat, bahkan ia disebut sebagai titisan Hamilton. Peirce adalah seorang guru besar matematika dan astronomi di Harvard pada 1833-1880, dan ia menulis sebuah sistem besar Mekanika Analitik pada 1855 hingga edisi kedua ditulis pada 1872, secara mengejutkan temuannya ini tidak termasuk dalam quaternions. Sebaliknya, Peirce memperluas pada apa yang ia sebut "keindahan ruang aljabar" dalam menyusun Linear Associative Algebra (1870), karya aljabarnya benar-benar abstrak. Padahal kabarnya, quaternions telah menjadi subjek favorit Peirce dan ia memiliki beberapa siswa yang kemudian menjadi ahli matematika dan yang menulis baik pada sejumlah buku maupun catatan subjek lainnya.

James Clerk Maxwell (1831-1879) adalah pendukung cerdas dan kritis pada quaternions. Maxwell dan Peter Guthri Tait’s adalah warga Negara Skotlandia dan pernah belajar bersama di Edinburgh dan di Cambridge University, mereka berbagi pengetahuan dalam fisika matematika. Dalam apa yang disebut "klasifikasi matematika dari kuantitas fisik", Maxwell membagi variabel fisika ke dalam dua kategori, skalar dan vektor. Kemudian, dalam hal stratifikasi ini, ia menunjukkan bahwa menggunakan quaternions dibuat

transparan analogi matematika dalam fisika yang telah ditemukan oleh Lord Kelvin (William Thomson Sir, 1824-1907) antara aliran panas dan distribusi gaya elektrostatik. Namun dalam catatan-catatannya dan terutama dalam Treatise on Electricity and Magnetism (1873)

Maxwell menekankan pentingnya apa yang ia sebut sebagai "ide quaternions atau doktrin vektor" sebagai metode matematika sebuah metode berpikir. Pada saat yang sama, dia menunjukkan sifat homogen dari produk quaternions, dan ia mengingatkan para ilmuwan dari menggunakan "metode quaternions" dengan rincian yang melibatkan tiga komponen vektor. Pada dasarnya, Maxwell menunjukkan analisis murni vektor.

William Kingdon Clifford (1845-1879) menyatakan kekaguman yang mendalam pada Ausdehnungslehre milik Grassmann yang ia sebut sebgai langkah lebih dari quaternions. Dalam Elements of Dinamis (1878), Clifford membagi produk dari dua quaternions menjadi dua produk vektor yang sangat berbeda, yang disebut produk skalar (sekarang dikenal sebagai dot product) dan produk vektor (hari ini kita menyebutnya cross product ). Untuk analisis vektor, ia

catatan-catatannya, Clifford tidak pernah memiliki kesempatan untuk mengejar ide-ide ini karena ia meninggal pada usia muda.

Perkembangan aljabar vektor dan analisis vektor seperti yang kita kenal sekarang ini pertama kali terungkap pada sebuah catatan luar biasa yang ditulis oleh J. Willard Gibbs. Gibbs mendapatkan prestasi ilmiah utamanya berada dalam fisika, yaitu termodinamika. Maxwell sangat mendukung pekerjaan Gibbs dalam termodinamika, terutama presentasi geometris hasil Gibbs itu. Gibbs diperkenalkan ke quaternions ketika ia membaca risalah Maxwell tentang Listrik dan Magnet, dan Gibbs juga belajar Grassmann Ausdehnungslehre. Dia menyimpulkan bahwa vektor akan memberikan alat yang lebih efisien untuk karyanya dalam fisika. Jadi, mulai tahun 1881, Gibbs mencetak catatan pribadinya mengenai analisis vektor untuk murid-muridnya, yang didistribusikan secara luas bagi para sarjana di Amerika Serikat, Inggris, dan Eropa. Buku pertama pada analisis vektor modern di Inggris adalah Analisis Vektor (1901), catatan Gibbs disusun kembali oleh salah satu mahasiswa pascasarjana terakhirnya, Edwin B. Wilson (1879-1964). Ironisnya, Wilson menerima

pendidikan sarjananya di Harvard tempat ia belajar tentang quaternions dari dosennya, James Mills Peirce (1834-1906), salah satu putra dari Benjamin Peirce.

Buku Gibbs dan Wilson ini dicetak ulang dalam edisi singkat pada tahun 1960.

Kontribusi lain dengan pemahaman modern dan penggunaan vektor dibuat oleh Jean Frenet (1816-1990). Frenet memasuki École Normale Superieure pada tahun 1840, kemudian belajar di Toulouse dimana ia menulis tesis doktornya pada tahun 1847. Tesis Frenet

mengandung teori kurva ruang dan berisi rumus yang dikenal sebagai formula Frenet-Serret. Frenet hanya memberikan enam formula sementara Serret memberikan sembilan. Frenet menerbitkan informasi ini dalam “Journal De Mathématique Pures Et Appliques” pada tahun 1852. Pada 1890-an dan dekade pertama abad kedua puluh, Tait dan beberapa orang lainnya

mencemooh vektor dan membela quaternions sementara banyak ilmuwan lain dan

matematikawan merancang metode vektor mereka sendiri. Oliver Heaviside (1850-1925), seorang ahli fisika otodidak yang sangat dipengaruhi oleh Maxwell.

Dalam makalah dan teori elektromagnetik (tiga jilid, 1893, 1899, 1912) ia menyerang quaternions dan mengembangkan analisis vektor sendiri. Heaviside telah menerima salinan catatan Gibbs dan ia berbicara sangat berlebihan dalam memperkenalkan teori Maxwell tentang listrik dan magnet ke Jerman (1894), metode vektor dan beberapa buku tentang analisis vektor dalam bahasa Jerman yang menganjurkan untuk diikuti. Hingga pada akhirnya metode vektor ini mulai disebarluaskan pada beberapa negara misalnya diperkenalkan ke Italia pada 1887, 1888, 1897, Rusia pada 1907, dan Belanda (1903).

Berdasarkan latar belakang di atas kami mengangkat permasalahan sehari-hari mengenai vektor dalam bidang perkapalan, kami sepakat untuk mengangkat bidang perkapalan karena mengingat Indonesia adalah negara kepulauan yang memiliki daerah perairan yang cukup luas. Selain itu, nenek moyang Indonesia adalah seorang pelaut. Dalam perkembangannnya vektor telah banyak membantu para nenek

moyang kita serta nahkoda kapal saat ini untuk menentukan jarak maupun waktu tempuh sebuah kapal. Berikut contoh kontektualnya :

Selat Bali diketahui lebarnya 500 meter yang diukur dari tepi pulau menggunakan radar sebuah kapal. Sebuah kapal lengkap dengan ahkodanya ingin menyebrangkan beberapa penumpang menuju pulau di tepi Selat Bali. Nahkoda kapal tersebut mengukur deras arus air menggunakan current meter, ternyata kecepatan arus air berkisar 80 meter/menit. Nahkoda kapal menjalankan kapalnya dengan kecepatan 80 meter/menit yang diukur menggunakan speedometer kapal. Karena arah dan kecepatan angin yang diukur menggunakan Hand Anemometer membuat kapal yang dikemudikan oleh nahkoda tersebut bergerak ke timur laut. Berapakah waktu yang dibutuhkan oleh perahu tersebut sehingga sampai di seberang sungai ?

Curren t Meter

BAB II

PEMBAHASAN

Kecepatan perahu setelah terkena arus adalah

AE =

√

AB2 +BE2

=

√

802

+802

= 80

√

2

Panjang lintasan perahu yang dilewati :

AE

AD

=

BE CD

AD =

AE .CD_BE

=

80

√

₈₀2 .500

=500

√

2

Waktu perahu untuk sampai ke tepi : Waktu

=

_kecepatanjarak

=

500₈₀

_√

√

₂2

=

62,5

=

6

menit 15 detik

B A

C D

F _E

500 m

80 m/menit

BAB III

PENUTUP

A. MANFAAT PENULISAN

 Keterampilan

Dapat mengaplikasikan vektor ke dalam design grafis.  Spiritual

Memahami betapa pentingnya ikhtiar,doa, dan tawakal dalam mengerjakan tugas.

 Pengetahuan

Dapat membuat dan menyelesaikan permasalahan mengenai vektor.  Sikap

Dapat menghargai anggota kelompok dan menghargai waktu.

B.

SIMPULAN

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Vektor sendiri

diketemukan oleh ilmuwan bernama Josiah Willard Gibbs. Gibbs telah menorehkan banyak sekali prestasi-prestasi ketika ia masih duduk di bangku sekolah. Gibbs lebih banyak bekerja sendirian mengutak atik dasar teoritis sambil mengajar, dan baru serius mempublikasikan karyanya pada umur 34 tahun. Kemudian perhatian Gibbs mulai fokus di bidang termodinamika dan apa yang dia sebut statistical mechanics. Dari pekerjaannya inilah dia mempublikasikan apa yang sekarang kita pelajari sebagai kalkulus vektor modern. Perkembangan aljabar vektor dan analisis vektor seperti yang kita kenal sekarang ini pertama kali terungkap pada sebuah catatan luar biasa yang ditulis oleh J. Willard Gibbs dan Edwin B. Wilson.

Salah satu pengaplikasian penggunaan vektor dalam kehidupan sehari-hari adalah ketika perahu menyeberangi sebuah perairan, maka kecepatan gerak perahu yang

DAFTAR PUSTAKA

http://coretanmahasiswa19.blogspot.co.id/2014/04/sejarah-lahirnya-vektor_11.html

https://www.scribd.com/doc/218556212/Sejarah-Lahirnya-Vektor

Muklis, Ngapiningsih, Miyanto. 2016. Matematika Peminatan Matematika dan

Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: Intan Pariwara.

LAMPIRAN

Gambar :

2. Kegiatan : Mencari fenomena kehidupan sehari-hari yang terkait dengan

penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari ( dari buku pegangan, internet,dsb.)

Gambar :

3. Kegiatan : Mencari satu problem tentang penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari.

Gambar :

Gambar :

5. Kegiatan : Membuat laporan.