Pertemuan 2_Himpunan dan Sistem Bilangan

(1)

Pertemuan 2: Himpunan dan Sistem

Bilangan

Dosen Pengampu MK:

Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

(2)

Konsep Himpunan



Himpunan (

set

) adalah kumpulan objek-objek yang

berbeda

.



Objek di dalam himpunan disebut

elemen

,

unsur

,

atau

anggota

.

(3)

Penyajian Himpunan

Enumerasi

Contoh 1

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

- C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

x  A : x merupakan anggota himpunan A;

(4)

Simbol-simbol Baku

P

= himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N

= himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z

= himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q

= himpunan bilangan rasional

R

= himpunan bilangan riil

C

= himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal:

semesta

, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan

A

adalah himpunan

bagian dari U, dengan

A

= {1, 3, 5}.

(5)

Penyajian Himpunan

Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 2

A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(6)

Diagram Venn Dan Himpunan Semesta

Himpunan semesta: Himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan, disebut juga semesta pembicaraan

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan

hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek.

Contoh 3

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

U

1 ₂

5

3 6

8

4 7

(7)

HIMPUNAN KOSONG

Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan

himpunan kosong ;

Dilambangkan dengan



atau { }

Contoh: A= {}

Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari

setiap

(8)

Hubungan Antar Himpunan

Himpunan Bagian (

Subset

)

Himpunan

A

dikatakan himpunan bagian dari

himpunan

B

jika dan hanya jika setiap elemen

A

merupakan elemen dari

B

.

Dalam hal ini,

B

dikatakan

superset

dari

A

.

Notasi:

A



B

Diagram Venn:

U

(9)

1. Operasi -Union

Definisi : A U B = { x | x



A

atau

x



B }

Contoh-1 A = { 2, 3, 5, 7, 9}

B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } C = { 10, 11, 14, 15} D = { Anto, 14, L} E = {1, 2, 4 }

Maka : A U B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} A U D = {2, 3, 5, 7, 9, Anto, 14, L}

B U C = ? B U D = ? C U D = ?

(10)

2. Operasi - Irisan

Definisi : A



B = { x | x



A

dan

x



B }

Contoh : Maka :

A = { 2, 3, 5, 7, 9} A  B = {2, 5} B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, } E  B = { 1,2 4}

C = { 10, 11, 14, 15} A  C = { } A  E = {2} D = { Anto, 14, L} D  C = {14}

E = {1, 2, 4 } A  D = { }

(11)

3. Operasi Selisih - Minus

Definisi : A – B = { x | x



A dan x



B }

Contoh

A = {2,3,4,6,7,9}

B = {1,2,3,5,6,8,9,10} C = {3,5,9}

Maka : A – B = {4,7}

B – A = {1,5,8,10} A – C = {

B – C = { C – B = {

(12)

4. Operasi Beda Setangkup

Definisi: A  B = { x | (x  A atau x B) dan x (A B) }

A  B = (A U B) – (A  B) A  B = (A - B) U (B - A) Contoh:

A = {1,2,3,5,6,8,9,10} ; B = {2,7,8,11} ; C = {1,3,5,7,9,11} ; D = {1,2,5,6,7,9,12}

Maka : A  B = {1, 2,3,5,6, 7, 8,9,10,11} = {1,3,5,6, 7, 9,10,11}

B  C = {1,2,3,5, 7,8,9, 11} = {1,2,3,5,8,9} A  C = {

A  D = {

(13)

5. Operasi - Komplemen

Definisi :

A

c

= { x | x



A dan x



S }

Contoh :

A = { 2, 3, 5, 6, 8) ; B = {1, 2, 4, 6, 7, 9, 13}

S = { x | x bilangan asli  14} Maka :

Ac = { 1,4,7, 9,10,11,12,13,14}

Bc= {3,5, 8,11,12,14}

A A c  2  6  13  7  5  4  3  9  8  11  10 

14 ₁₂



1

(14)

ATURAN DAN HUKUM OPERASI HIMPUNAN

(GABUNGAN, IRISAN DAN KOMPLEMENTASI)

1. A  B = B  A ; Hukum komutatif bagi gabungan 2. A  B = B  A ; Hukum komutatif bagi irisan

3. A  (B  C) = (A  B)  C ; Hukum asosiatif bagi gabungan 4. A  (B  C) = (A  B)  C ; Hukum asosiatif bagi irisan

5. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; Hukum distribusi bagi

gabungan

6. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; Hukum distribusi bagi irisan 7. Sc = 

8. (Ac) c = A 9. A  Ac = S 10. A  Ac = 

(15)

Hukum Aljabar Himpunan

1. Hukum idempoten

A U A = A A  A = A 2. Hukum Asosiatif

A U (B U C) = (AUB) U C A  (B  C) = (A B)  C 3.Hukum komutatif

A U B = B U A A B = B  A 4. Hukum Distributif

A U (B  C) = (AUB) (A U C) A  (B U C) = (A B) U (A  C) 5. Hukum Identitas

A U  = A A U S = S A  U = A A   =  6. Hukum Involusi (Ac )c = A

7.Hukum Komplpemen

A U Ac = S A  Ac =  Sc =  c = S 8. Hukum De Morgan

(16)

Jumlah Anggota Dalam Himpunan

Berhingga

n(A) = Jumlah anggota himpunan A n(B) = Jumlah anggota himpunan B n(C) = Jumlah anggota himpunan C

(17)

Latihan soal: Operasi Himpunan

1. Jika A = {1,3,4,7,8,9,12} B = {1,2,3,5,7,8}

C = {2,4,6,8,10}

S = {x| x adalah bilangan asli < 14}

a. Gambarkan Diagram Venn dari himpunan-himpunan di atas.

TENTUKANLAH

b. A  (B - C) h. (A –B)  C

c. A  (A U B) i. (A  B) – (C  B)

d. B  (B  C) j. (B  C)c - A

(18)

Bilangan

Nyata

Khayal

Irrasional

Rasional

Bulat

Pecahan

2; -2; 1,1; -1,1 0,14925253993999--- 0,1492525 1; 8 ;4 ½; 2/7 + -Hasil bagi antara 2 bilangan bulat, pecahan desimal terbatas, atau desimal berulang Hasil bagi antara 2 bilangan pecahan desimal tak terbatas dan tak berulang (, e)

Hasil bagi antara 2 bilangan yang hasilnya bulat, termasuk 0 (nol) Hasil bagi antara 2 bilangan yang hasilnya pecahan dg desimal tak terbatas, berulang

PEMBAGIAN JENIS BILANGAN

(19)

Hubungan perbandingan antar bilangan

 Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”  Tanda > melambangkan “lebih besar dari”

 Tanda < melambangkan “lebih kecil dari atau sama dengan”  Tanda > melambangkan “lebih besar dari atau sama dengan”

Tanda Ketidaksamaan

1.

Jika a < b, maka –a > -b

2.

Jika a < b dan x > 0, maka x.a < x.b

3.

Jika a < b dan x < 0, maka x.a > x.b

(20)

Operasi Bilangan

1. Kaidah Komutatif

a + b = b + a

a x b = b x a

2. Kaidah Asosiatif

(a + b) + c = a + (b + c)

(a x b) x c = a x (b x c)

3. Kaidah Pembatalan

a + c = b + c

Maka : a = b

a x c = b x c

(21)

4. Kaidah Distributif

a (b + c) = ab + ac

5. Unsur Penyama

a + 0 = a

a x 1 = 4

a : 1 = 4

6. Kebalikan

a x 0 = a

a x 1/a = 1

(22)

Operasi Tanda



Operasi Penjumlahan

a. (+ a) + (+b) = (+c)

b. (- a) + (- b) = (- c)

(23)

Operasi Tanda



Operasi Pengurangan

a. (+ a) - (+ b) = (+ c) jika |a| > |b|

(+ a) - (+ b) = (- d) jika |a| < |b|

b. (- a) - (- b) = (+ c) jika |a| < |b|

(- a) - (- b) = (- d) jika |a| > |b|

c. (+ a) - (- b) = (+ c)

(24)

Operasi Tanda



Operasi Perkalian

(+ a) x (+ b) = (+ c) (- a) x (- b) = (+ c)

(+ a) x (- b) = (- c) (- a) x (+ b) = (- c)



Operasi Pembagian

(25)

Operasi Bilangan Pecahan



Operasi Pemadanan



Operasi Penjumlahan dan Pengurangan



Operasi Perkalian

(26)

Operasi Pemadanan

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Dua buah pecahan atau lebih, hanya dapat ditambahkan

atau dikurangkan apabila mereka memiliki suku pembagi

yang sama atau sejenis. Jika suku pembaginya belum

sama, maka terlebih dahulu harus disamakan sebelum

pecahan-pecahan tersebut ditambahkan dan dikurangkan.

(27)

(28)

(29)

Latihan

Diketahui

A= {1,3,5,6,7,9,11} B={2,4,6,8,10} C= {1,2,3,5,7,9} D = {3, 5, 7,8, 11}

S={bilangan bulat positif kurang dari 12}

Tugas 1:

 Tentukan

1. (A –D)  C 2. (B  C)c - A 3. B  (B  C)

4. (A  B) – (A  D)

Tugas 2:

 Tentukan

1. (B –C)  D 2. (A  C)c - B 3. D (D  C)

(30)

Petunjuk Tugas



Kelompok Ganjil



kerjakan tugas 2