Two-Person Zero-Sum Game Permainan dengan 2 pemain dengan perolehan

(1)

TEORI PERMAINAN

Aplikasi Teori Permainan

Lawan pemain (punya intelegensi yang sama). Setiap pemain mempunyai beberapa

strategi untuk saling mengalahkan.

Two-Person Zero-Sum Game Permainan dengan 2 pemain dengan perolehan

(keuntungan) bagi salah satu pemain merupakan

kehilangan (kerugian) bagi pemain lainnya.

Matriks/tabel payoff (perolehan) tabel yang menunjukkan perolehan bagi pemain

baris

Strategi Murni

Digunakan jika permainan stabil ada titik saddle (saddle point)

Titik sadel minimaks = maksimin

Contoh :

Pemain B Pemain A

Strategi 1 Strategi 2 Strategi 3 Strategi 4 Strategi 5 Strategi 6

Strategi 1 5 10 -20 15 5 7

Strategi 2 15 8 16 -10 13 12

Strategi 3 11 11 12 14 14 12

Tentukan strategi terbaik bagi masing-masing pemain!!

Jawab :

Pemain B Minimum

Pemain A

Strategi 1 Strategi 2 Strategi 3 Strategi 4 Strategi 5 Strategi 6

Strategi 1 5 10 -20 15 5 7 -20

Strategi 2 15 8 16 -10 13 12 -10

Strategi 3 11 11 12 14 14 12

₁₁

(2)

Minimaks = maksimin = 11 permainan seimbang (stabil)

Titik sadel 11 nilai permainan (v)

Strategi Campuran

Strategi campuran digunakan jika permainan tidak seimbang. Pemilihan strategi dilakukan

dengan mengevaluasi kombinasi strategi lawan menggunakan prinsip peluang.

Definisikan : xi adalah peluang pemain baris akan menggunakan strategi ke-i

Yj adalah peluang pemain kolom akan menggunakan strategi ke-j.

y1 y2 ... yn

Strategi 1 Strategi 2 ... Strategi n

x1 Strategi 1 a11 a12 ... a1n

x2 Strategi 2 a21 a22 ... a2n

.

xm Strategi m am1 am2 ... amn

Solusi Grafik

Solusi grafik dapat digunakan jika paling salah satu pemain mempunyai hanya 2 strategi (2

x n atau m x 2).

Perhatikan matriks payoff untuk dua pemain berikut :

B

y1 y2 y3 ... yn

x1 a11 a12 a13 ... a1n

A

x2 = 1-x1 a21 a22 a23 ... a2n

Menghitung x1 dan x2 dengan menganggap pemain B menggunakan strategi

(3)

Strategi murni B Ekspektasi perolehan A

1 a11 x1 + a21x2

2 a12 x1 + a22x2

3

.

n

a13 x1 + a23x2

.

a1n x1 + a2nx2

Ekspektasi digambarkan dengan sumbu horizontal x1 (0 sampai 1) dan vertikal

sebagai ekspektasi perolehan.

Nilai optimum (x1, x2 dan v) akan didapat dari titik perpotongan

Titik perpotongan menunjukkan strategi B yang digunakan, maka y1, y2, ..., yn

selanjutnya dapat ditentukan.

Contoh 1:

Perhatikan matriks payoff permainan di bawah ini:

Pemain B

Strategi 1 Strategi 2 Strategi 3 Strategi 4 Strategi 5

Strategi 1 2 4 5 -2 -1

Pe

ma

in

A Strategi 2 3 -1 -2 6 5

Permainan di atas memiliki nilai minimaks = 3 dan nilai maksimin = -2 permainan

tidak seimbang

Dengan solusi grafik:

Pemain B

y1 y2 y3 y4 y5

Strategi 1 2 4 5 -2 -1

Pe

ma

in

A x1

(4)

Bagi Pemain A :

Strategi murni B Ekspektasi perolehan A

1 2x1 + 3x2 =(2-3)x1+3

2 5x1-1

3

4

5

7x1-2

-8x1+6

-6x1+5

x1

0 1

0.5 3

5

1 2 4

-2

1

2

3 4

5

Ada 6 titik perpotongan yang menjadi kandidat solusi optimal untuk x1 (titik perpotongan

garis (1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,4) dan (3,5)). Karena pemain A adalah pemain baris

dimana dia akan memaksimumkan ekspektasi perolehan minimumnya, maka solusi

optimalnya adalah titik perpotongan ungu (perpotongan garis (2,4)). Dengan demikian x1

(5)

v = 5x1 -1 = 22/13 diperoleh dengan memasukkan nilai x1 pada pers (2) atau (4).

Bagi Pemain B:

Solusi optimal bagi pemain A di atas merupakan perpotongan garis (2) dan (4), Hal ini

menunjukkan bahwa B dapat mengkombinasikan kedua strategi tersebut.

Kombinasi strategi 2 dan 4 menunjukkan bahwa y1 = y3 = y5 = 0.

Pemain B

y2 y4

Strategi 2 Strategi 4

Strategi 1 4 -2

Pe

ma

in

A x1

x2 Strategi 2 -1 6

Strategi murni A Ekspektasi perolehan B

1 4y2 - 2y4 =(4+2)y2-2=6y2-2

2 -7y2+6

6y2-2=-7y2+6, maka y2 = 8/13 dan y4 = 5/13; y1 = y3 = y5 = 0; v = 22/13 (sama dengan nilai

di atas).

Contoh 2:

Perhatikan permainan dengan matriks payoff berikut:

B

1 2

1 2 4

2 2 3

3 3 2 A

4 -2 6

Penyelesaian :

Tidak ada saddle point, dan pemain B memiliki hanya 2 strategi solusi grafik.

(6)

Strategi murni A Ekspektasi payoff B

1

2

3

4

-2y1+4

-y1+3

y1+2

-8y1+6

0 1

0.5 3

5

1 2 4

-2

1 2 3

4

y1

Ada 3 titik maksimum (perpotongan warna ungu, biru dan hijau). Pemain B sebagai

pemain kolom akan meminimumkan ekspektasi perolehan maksimumnya, maka solusi

optimalnya adalah titik hijau y1 = 2/3 dan y2 = 1/3; v = -2*2/3 + 4 =8/3

Pemain A

Titik optimum bagi pemain B merupakan perpotongan strategi 1 dan 3 pemain A.

B

1 2

1 2 4

(7)

Strategi murni B Ekspektasi payoff A

Metode Simpleks

Bentuk umum LP bagi pemain baris :

Min z=X₁+X₂+...+X_m

Bentuk umum LP bagi pemain kolom (Dual pemain baris)

Maks. w=Y₁+Y₂ +...+Y_n

(8)

Pemain B

Strategi 1 2 4 5 -2 -1

Pe

ma

in

A Strategi 2 3 -1 -2 6 5

Maka bentuk umum LP untuk pemain baris (pemain A) adalah :

Min. z = X₁ + X₂

Maka bentuk umum LP untuk pemain kolom (pemain B) adalah :

Maks. w =Y₁ +Y₂ +Y₃ +Y₄ +Y₅

Tabel simpleks awal (iterasi-0):

VB Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 s1 s2 NK

w -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0

s1 2 4 5 -2 -1 - 0 1

s2 3 -1 -2 6 5 0 1 1

(9)

w -3/5 -1/5 0 -7/5 -6/5 1 0 1/5

Y3 2/5 4/5 1 -2/5 -1/5 1 0 1/5

s2 19/5 3/5 0 26/5 23/5 2 1 7/5

Iterasi-2 :

w 11/26 -1/26 0 0 1/26 6/13 7/26 15/26

Y3 9/13 11/13 1 0 5/26 15/13 1/13 4/13

Y4 19/26 3/26 0 1 23/26 5/13 5/26 7/26

Iterasi-3: optimal

w 5/11 0 1/22 0 0.0472 7/22 3/11 13/22

Y2 9/11 1 13/11 0 5/22 15/11 1/11 4/11

Y4 7/11 0 -3/22 1 0.85839 5/22 2/11 5/22

Y1 = Y3 = Y5 = 0 y1 = y3 = y5 = 0; w = 13/22 v=1/w= 22₁₃

22 13

1 ₌

Y2 = 4/11 y2 = 8₁₃

22 13

11 4 2 ₌ ₌ w

Y

; Y4 = 5/22 y4 = 5₁₃

22 13

22 5 4 ₌ ₌ w

Y

z = w = 13/22; X1 = s1 = 7/22 x1 = 7₁₃

22 13

22 7

1 ₌ ₌

z X

X2 = s2 = 3/11 x2 = 6₁₃

22 13

11 3

2 ₌ ₌