={ awal permainan. + jika pemain i bergerak naik pa& Definisi 2 Posisi awal p pada pemain adalah p2, p3) dengan P adalah permumi

(1)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Rendezvous search adalah suatu kwrdinasi tanpa komunikasi dau mernpakan proses paralef. Masalah rendezvous search (Alpern, 1995) menjelaskan bagaimana para pemain yang ditempatkan secara acak dalam suatn daerah pencarian diketahui dapat bergerak dengan kecepatan maksimal 1 untuk saling bertemu dalam waktn harapan terkecil. Pada awal peuempatan dalam permainan, tiap pemain tahu posisinya masing-masing tapi tidak tahu posisi pemain lainnya.

Masalah rendezvous search pertama kali secara formal didefinisikan oleh Alpern (1995). Untuk menyederhanakan masalah, apilih kasus pada garis lurns sebagai daerah pencarian.

Cerita yang melatarbelakangi pennasalahan ini adalah sebagai berikut: Misalkan ada dua orang penejnn ingin. bertemu yang ditejunkan pada snatu lapangan luas dan terdapat lintasan kereta api yang melintasi daerah tersebut. Mereka telah menyepakati sebelumnya unhk bertemu, tetapi

belum tahu di mana letak yang sebenarnya pada lintasau kereta api tersebut. Masalahnya adalah bagaimana mereka hams bertindak agar memperoleh waktu harapan ya* minimum Cerita di atas tersebut kemudian dikembangkan untnk pemaiu yang terdiri atas tiga orang.

Nilai randew dapat diperoleh dalam dua bentuk, yaitn benhlk simetrik dan b e n a asimetrik. Bentuk simetrik membatasi pemain untuk mengguuakan strategi pencarian yang Sam% sedangkan bentuk asimetrik memungkinkan pemain untuk memilih strategi yang berbeda. Pada tnlisan ini yang akan dipelajari adalah rendezvous search tiga pemain dengan bentuk asimetrik. 1.2 Tujnan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. mempelajari jaminan pertemuan antara tiga

orang pemain,

2. mempelajari koudisi yang dibutuhkan untnk strategi optimal, dan

3. menentukan nilai randew asimetrik untuk tiga orang pemain.

II. MODEL

FORMAL

2.1 Notasi dan Asnmsi

Permainan dimulai dengan menempatkan tiga orang pemain secara acak pada suatu daerah. Untnk menyederhanakan masalah, dipilih garis lurns sebagai daerah pencarian, setiap pemain tidak mengetahui posisi dari pemain lainnya, tetapi jarak di antara 2 pemain terdekat diketahui, yaitn 1 satnan jarak. Mereka bergerak dengan kecepatan paling besar 1 satuan jaraklsatnan waktu untuk saling bertemu. Pertemuan yang tejadi lebih dahulu antara dua orang pemain akan mengakhiri permainan.

Diasumsikan bahwa permainan ini asimetrik, artinya masing-masing pemain mengetahui sebelumnya strategi yang akan digunakan oleh pemain laiunya.

Rangkaian permainan digambarkan dalam bidang Cartesius, dengan sumbn horizontal menyatakan waktn dan sumbu vertikal menyatakan posisi pemain pada garis lurns.

Definisi 1

Orientasi awal w pada pemain adalah rangkap-3

(01, 02.03) dengan

+

jika pemain i bergerak naik pa&

={

awal permainan

-

jika pemain i bergerak t n m pada awal permainan

Definisi 2

Posisi awal p pada pemain adalah rangkap3

@ I , p2, p3) dengan P adalah permumi

himpunan {0, 1,2) danpl menyatakan posisi awal pemain i, i=l, 2,3.

Definisi 3

Suatu permainan dengan tiga pemain dikatakan berakhir jika:

a) pemain yang ditempatkan pada 0 bertemu dengan pemain yang ditempatkan pada 1, atau

b) pemain yang ditempatkan pada 2 bertemu dengan pemain yang ditempatkan pada 1, atau

c) ketiga pemain bertemu pada waMu yang Sam%

(2)

sedangkan pemain yang ditempatkan pada 0 bertemu dengan pemain yang ditempatkan pada 2 tidak dibahas karena sebelum kedua pemain tersebut bertemu, maka terlebih dahnlu saiah satu di antara mereka akan beitemu dengan pemain yang ditempatkan pada 1 sehingga menjadi bentuk a) atau b) pada pemyataan di atas.

Misalkan himpunan C mempakan kumpulan semua anggota c = @, w ) yang menyatakan posisi dan arah saat permainan dimnlai. Perhatilotnbahwa suatu permainan yang dimnlai dengan @,,pz,p3, - , o z , w ~ ) "berakl~ir sama" dengan permainan yang dimulai dengan ( 2 - p ~ , 2-pz, 2-p3,

+,

-w2,-w3 ). Untuk menjelaskan hal ini, misalkan diambil contoh pl=O, ~ = l , p3=2, dengan arahpemain

II

danpemain

111 keduanya +.

Contoh ini menghasilkan :

( P I . PZ, ~ 3 . - . ma, a s ) = (0,1,2,-,+,+). Ddam

bidang Cartesius dapat dilihat pada Gambar 1 . ( Z-PI, 2-pz, 2-p3,

+

,*z, -m3 )= (2,1,0,+,-,-I.

Dalam bidang Cartesius dapat dilihat pada Gambar 2.

Gatnbar 1. Posisi dan arah pemain untuk (0,1,2,-,+,+).

,l

0

III

Gambar 2. Posisi dan arah pemain untuk (2,1,0,+,-,-).

(3)

Tanpa memperlliitikan a r d ~ masing-masing pemain itu naik atau turun, dari kedua gambar tersebut terlihat bahwa pemain I1 dan pemain I11 sama-sama bergerak menjauhi pemain I, sehingga dapat dikatakan bahwa kedua permainan berakhir sama. Hal yang sama juga berlaku jika masing- masing nilai p l ,

n,

p3, atau 02 dan 03 diubah. Ini

berarti bal~wa w, selalu dapat dibuat +. Jadi nntuk kasus ini diasumsikan bahwa wl =

+

sehingga himpunan C hanya mempunyai 24 anggota (=3!x2'). Semua anggota himpnnan C disebut kasus clan diperlihatkan pada Tabel 1.

Misalkan (a,, a*) menyatakan pasangan tak teNNt dari pemain-pemain yang ditempatkan setelah pemain lain ditempatkan pada a m 1 permaiuan. Misalkan b, =-(al, a2, dl, d2), dengan di menyatakan arah relatif pemain a, terhadap pemain a,. (i#j), yaitu,

to jika pemain a, bergerak kearah pem$n a, pada awal permainan

mu jika @main a, bergerak menjauhi pemain a) pada awal permainan dengan i, j = 1, 2 dan i # j. Misalkan B={b,l i=1, ..., 12). Semua anggota B disebut tipe clan B mempunyai 12 anggota yang diperlihatkan pada Tabel 2.

2.2 Hubungau Antara Kasus dan Tipe

Sebelumnya telah diuraikan bahwa permainan berakhir jika dua pemain yang letaknya berdekatan pada awal permainan sudah bertemu. Misalkan suatu permainan dimulai dengan kasus cl

.

( pernain 11 terletak antara pemain I dan

pemain III), maka permainan akan berakhir jika pemain I dan I1 bertemu, atau jika pemain I1 dan 111 bertemu. Misalkan posisi awal pemain diberikan sebagai c, yang diperlihatkan pada bidang Cartesius dalam Gambar 3.

Gambar 3. Permainan yang dimulai dengan kasus c,.

Dalam Gamba~ 3 terlihat b a h m pemain I bergerak menuju pemain I1 sedangkan pemain II bergerak menjauhi pemain I dan pemain 11 bergerak menuju

pemain 111 sedangkan pemain 111 bergerak menjauhi pemain 11, sehingga kasus cl &pat dihubungkan menjadi dua tipe, yaitu

b2 = (I, II, to, mu) dan blo = (II, III, to, mu). Suatu pertemuan antara dua pemain Cyang terjadi lebih dahulu) akan mengakhiri permainan.

Misalkan pemetaan

4

menya- hubungan antara kasus dan tipe, yaitu:

4

: C-tBxB, Kc) = (b,, bJ), V c e C , i < j ,

maka himpnnan image dari

4

&pat dilihat dalam Tabel 3.

2 3 Ruang Strategi

Dalam pembahasan permainan ini, strategi adalah fungsi yang menyatakan arah dan jar& pergerakan pemain. Strategi yang digunakan hanya

yang terdapat pada mang strategi yang didefinisikan sebagai berikut :

P = ~ : w + ~ ~ , P f o ~ = o . ~ P f t l ) - P f ~ 2 ) ( ' ~ I -'21)

(4)

Tabel 3. Himpunan image

4

kontinn b a d clan P adalah iumpunan kompak. (Alpern, 1995), maka nilai pa& ( 2 ) selalu dijamin ada (Goldberg, 1976).

Misalkan p(fg,h) menyatakan waktu saat pemain dalam tipe b saling bertemu (6 E B). Untuk

semua c E C, didefinisikan: T a g & = min plb~t;g,h)

bsrplc) (3)

Diberikan tiga strategi Cfg,h) sembarang, dengan delapan garis lintasan berikut ini:

Garis-garis di atas menyatakan lintasan masing-masing pemain. Lintasan Ll,,(f) menyatakan garis untuk pemain dengan strategif; lintasan &(t) menyatakan garis untuk pemain dengan strategi g, sedangkan lintasan LO,&) dan L3,,(f) menyatakan garis untuk pemain dengan strategi h. Untuk semua b E B,

p(L

g, h) &pat ditentukan dengan menggunakan garis Lk, dan

Definisi 4 L*+,,p dalam (4), sehingga

Misalkan pemain I memilih strategi

f;

pemain

I1 memilih srategi g dan pemain

EI

memilih _{p ~ ; g , h )}₌_min_{{ t}_:_{L k d t )}₌_L&l,p(f)} _{( 5 )} strategi h, denganf; g, h E P. Misalkan

TXf;

g, h)

menyatakan peamuan ~ a n g betpadanan _dengan

_P

₌_{+ I ,}_k=0,1,2_dan_{k menyatakan letak} dengan kasus c, dengan c E C. Maka waktu _{pemain. Garis-garis untuk menentukan}

PV;

_g,_h)

pertemuan harapan ? a h ) dinyatakan sebagai : dengan b E B diberikan dalam Tabel 4.

dengan R:, adalah nilai randevu, yaihl waMu harapan pertemuan asimetrik dengan tiga pemain di mana dua pemain yang bertemu lebih dahulu akan mengakhiri permainan. Karena

T"

semi

(5)

Tabel 4. Garis-garis untuk menentnkan pemain I turun atau

p

=-I. Akhirnya diperoleh m k h ) (k, a)= (0+1) dan (lctl,n = ( 1 ~ 1 ) . Demikianpula dalam menentnkan garis-garis untuk bs, b? dan b, dilakukan dengan cara seperti untnk b5.

3) Untuk tipe bs, bla, b11 dan bl;

Untuk tipe bg, ~ I O , b11 dan b12

,

garis yang

diambil pemain 111 adalah L3,,karena garis tersebut letaknya lebih dekat terhadap garis strategi pemain 11 (L2,0) dibandingkan dengan Lo,,.

Ilustrasi

Diberikan contoh kasus berikut ini. Misalkan:

Penjelasan Tabel 4

1) Untnk tipe bl, b2, b3 dan b4

Contoh: Untuk tipe bl (I, 11, to, to), pemain I dan pemain I1 saling mendekat. Garis yang diambil adalah garis yang memuat strategi pemain I (f) dan pemain 11 (g), yaitn LI,, dan L%,.(jadi k 1 ) Letak pemain I berada di bawah pemain I1 (pemain I di 1 dan pemain I1 di 2), sehingga agar keduanya saling mendekat, maka pemain I naik atau a =+l dan pemain II tnrun atau

p

-1. Akhirnya diperoleh (k, a)=(l+l) dan (lctl, p) = (2;l). Demikian pula dalam menentukan garis-garis untuk b2, b3 dan b4 dilakukan dengan cara seperti untuk bl.

2) Untuk tipe b,, bs, b, dan b8

Contoh: Untuk tipe b5 (I, 111, to, to), pemain I clan pemain 111 saling mendekat, garis yang diambil adalah garis yang memuat strategi pemain I (f) dan pemain 111 (h). Garis yang memuat strategi pemain 111 ada dua yaitn Loao dan L,,,. Tetapi garis yang terdekat dengan garis untuk stmtegi pemain I (LIJ adalah Lo,, sehingga pada tipe b, ini, garis yang diambil pemain III adalah Lq, Dengan demikian

,

pemain 111 terletak di bawah pemain I (pemain 111 pada 0 sedaugkan pemain I pada 1) sehingga agar saling mendekat, pemain III naik atau a =+1 dan

dengan

f,g,

h

berturut-turut merupakan strategi pemain I, pemain 11, dan pemain 111.

B e r k k a n Tabel 4, untuk bl diambil garis L1.1 dan

LZ-,

Apabila strategi-strategi pemain I dan pemain U disubstitusikan ke (4) diperoleh :

L1,1= f(t) +1 (ti-1, t€[O,l]

(6)

Jika digambarkan pa& bidang Cartesius dapat dilihat pada Gambar 4, yaitu:

Gambar 4. Garis

4-1

dan LZ.-, untuk bl

Dari Gambar 4 diperoleh bahwa titik potong kedua garis peitama kali tejadi pada t-112 sehingga diperoleh Tbl @,g,h)=112. Untuk bZ,b3,b4,.

. .

,b12 bidang Cartesiusnya diperlihatkan pada Lampiran 1. ~ilai-nilaiTb

@,

g.

F)

untuk semua b e B dituliskan dalam Tabel 5.

Tabel 5. Nilai-nilai T

*

@,

c,

h)

untuk b € B.

Dengan menggunakan persamaan (3), Tabel 3, dan Tabel 5, maka &pat diperoleh nilai T, 6 ,

g,

h)

untuk semua c E C, yang dituliskan dalam Tabel 6.

Tabel 6. Nilai-nilai T, @,g,h) untuk ceC

21

47

Dengan demikian diperoleh _{T ,}

_{@,g, h)=}

_-

f=1 2

Lema 1

47

Nilai randevu R12 memenuhi R12 5

-

(7)

Bukti _Karena

_f,g,l;~P,

_{maka R:,}

_sT(f,g,h).

Karena R& = min

T"(

f , g , h ) (dari persamaan

f

.g.heP _{Terbukti bahwa R,4,}5

-

47

.

2), makaR& 2 T"(f ,g.h), V f ,g , h E P. 48

III. KELAS STRATEGI YANG BEREWGGA

Misalkan pemain I memilih strategg pemain I1

memilih strategig, dan pemain I n memilih strategi

4 ,

t E [ ~ , ; l h, dengan I;

g,

E

>.

Dengan menggunakan

persamaan (4), maka misalkan Ll,,(,, dinamakan lintasan agen-agen pemain I; L2,,0, dinamakan lintasan agen-agen pemain 11; Lo,,fl dan L3,,(,,

dinamakan lintasan agen-agen pemain In; dengan a = + l .

Lema 2

Misalkan x g , h ) adalah strategi-strategi pemain. Misalkanti < t 2 <

...

< t k ( k 5 8 ) a d a l a h waktu pertemuan pemain i dengan beberapa agen pemain terdekat untuk pertama kalinya. Maka strategi pemain i &pat d i m m i sehingga untuk setiap j, agen pemain i dapat bergerak dengan kecepatan 1 menuju agen pemain terdekat (dengan waktu pertemuan t = $+I ) dalam selang

waktu ( 9 . $1) dengan menggrinakan strategi baru tersebut untuk semua j E {O, 1,

...,

k-1) (to = O),

dan waktu pertemuan harapan paling besar adalah T"(f ,g, h).

Bukti

(Lihat Lampiran 4) llustrasi Lema 2

Misalkan strategi pemain I dengan kecepatan kurang dari 1 akan bertemu dengan pemain terdekatnya pada waktu (misalkan) t4

.

Maka strategi pemain I ini dapat d i m m i dengan kecepatan 1 sehingga waktu pertemuan dengan pemain terdekatnya bisa kurang dari t4. Sebagai contoh misalkan g g , h ) adalah strategi-strategi pemain dengan f adalah strategi pemain I.

Misalkan diambil cl, yaitu (0,1,2,+,+,+) dengan a=1, jika digambarkan pada bidang Cartesius untuk L1,, clan L2,1 &pat dilihat pada Gambar 5 berikut ini:

Gambar 5. Garis dan LZ,I untuk c, dengan

a=I.

Strategi a w l : _Dad_Garnbar₅_terlihat_{bahm ti*} _{p p t o n g a n}

2512 sehinga waktu pertemnannya >512. Jika saategi

pemain I, yaitu I; diubah &ngan keceptm 1, sehinga diperoleh strategi baru , yaitu :