SOAL DAN PEMBAHASAN STATISTIKA INFERENSI

(1)

TUGAS

STATISTIKA INFERENSIAL

Dosen Pengampu:

Dr. Wardono, M.Si.

Disusun oleh:

Dian Insani Abdullah (4101411086)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

(2)

1. Berikut ini adalah hasil pengamatan penulis tentang uji hipotesis rata-rata:

Sebuah sampel terdiri atas 10 nilai mata kuliah Pengantar Analisis Real dari mahasiswa rombel 2 Pendidikan Matematika angkatan 2011. Datanya adalah sebagai berikut.

No. Nilai

1 87

2 87

3 87

4 83

5 88

6 87

7 71

8 85

9 80

10 75

Jika digunakan taraf nyata 5%, dapatkah kita meyakini bahwa rata-rata nilai mata kuliah Pengantar Analisis Real dari mahasiswa rombel 2 Pendidikan Matematika angkatan 2011 lebih dari 75? Data diasumsikan berdistribusi normal.

Penyelesaian:

Diketahui: n = 10

´

x=

∑

xi n =

83 0 10 =83

s=

√

∑

(

xi−´x

)

n−1 =5,869 Jawab:

(1) H₀ : Rata-rata nilai Pengantar Analisis Real dari mahasiswa rombel 2 Pendidikan Matematika angkatan 2011 sama dengan 76.

H₁ : Rata-rata nilai Pengantar Analisis Real dari mahasiswa rombel 2

Pendidikan Matematika angkatan 2011 lebih dari 76. H₀:μ=76

H₀:μ>76

(2) Statistika yang digunakan

t=x´−μ0

(3)

(3) Penentuan nilai α α=5=0,05

(4) Penentuan kriteria pengujian

Kriteria: Terima H₀ jika t<t₍_n₋₁₎₍₁₋_α₎ _{dan tolak} H₀ dalam hal lainnya. t_tabel=t(n−1)(1−α)

⇔t_tabel=t₍₁₀₋₁₎₍₁₋_0,05₎

⇔ttabel=t(9)(0,95)

⇔t_tabel=1,83 .

(5) Membandingkan statistika hitung dengan kriteria pengujian

t_hitung=´x−μ0

s

√

n

⇔thitung=8 3 −76 5,869

√

10

⇔t_hitung= 7

5,869 3,162

⇔t_hitung= 7

1,856

⇔t_hitung=3,772 .

(6) Simpulan

Karena 3,772 > 1,83 maka H₀ ditolak.

(4)

2. Diambil sampel acak sebanyak 20 siswa SD di kota Demak. Dari 20 siswa tersebut diperoleh skor keterampilan (Xi) dan skor hasil belajar (Yi) sebagai berikut:

No .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xi 42 43 31 39 28 45 45 33 41 30

Yi 48 46 37 42 37 48 48 38 43 36

No .

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Xi 29 36 31 38 29 38 42 39 39 36

Yi 34 45 39 44 36 42 46 43 42 43

a) Taksirlah persamaan regresi Yi atas Xi

b) Ujilah keberartian koefisien regresi secara manual c) Ujilah kelinearan model regresi dengan SPSS

d) Berapakah skor hasil belajar siswa jika siswa tersebut mempunyai skor keterampilan sebesar 40?

Penyelesaian:

Tabel bantuan:

No Xi Yi Xi2 Yi2 XiYi

1 42 48 1764 2304 2011

2 43 46 1849 2116 1978

3 31 37 961 1369 1147

4 39 42 1521 1764 1638

5 28 37 784 1369 1036

6 45 48 2025 2304 2160

7 45 48 2025 2304 2160

8 33 38 1089 1444 1254

9 41 43 1681 1849 1763

10 30 36 900 1296 1080

11 29 34 841 1156 986

12 36 45 1296 2025 1620

13 31 39 961 1521 1209

14 38 44 1444 1936 1672

15 29 36 841 1296 1044

16 28 42 784 1764 1176

(5)

20 36 43 1296 1849 1548 Jumlah 724 837 26868 35395 30734

a. Menaksir persamaan regresi Y_i terhadap X_i .

Jelas a=

(

∑

Yi

)

(

∑

Xi 2

)

−

(

∑

Xi

)(

∑

XiYi

)

n

∑

X_i2−

(

∑

X_i

)

2

⇔a=(837) (26868)−(724) (30734)

20(26868)−(724)2

⇔a=22488516−22251416

537360−524176

⇔a=237100

13184

⇔a=1 7,98 .

Jelas b=n

∑

XiYi−

(

∑

Xi

)(

∑

Yi

)

n

∑

X_i2

−

(

∑

X_i

)

2

⇔b=20(30734)−(724) (837)

20(26868)−(724)2

⇔b=614680−605988

537360−524176

⇔b= 8692

13184

⇔b=0,66 .

Jadi diperoleh persamaan regresi _Y^₌_17,89₊_0,66_X _.

b. Uji hipotesis keberartian koefisien regresi Diketahui:

 n=20

 JKtotal=

∑

Yi2=35395

 _JK₍_a₎₌

(

∑

Yi

)

2

n =

700569

(6)

 _JK₍_b_|_a₎₌_b

{

∑

_Xi_Y_i₋

(

∑

Xi

)(

∑

Yi

)

n

}

⇔JK(b|a)=0,66

{

30734−(274) (837)

20

}

⇔JK(b|a)=0,66

(

30734−605988

20

)

⇔JK(b|a)=0,66(30734−30299,4)

⇔JK(b|a)=0,66(434,6)

⇔JK(b|a)=286,836 .

 JK_sisa=JK_total−JK(a)−JK(b|a)

⇔JK_sisa=35395−35028,45−286,836=79,714 . Jawab:

(1) H₀ : Koefisien regresi tak berarti H_a : Koefisien regresi berarti

H₀ : β=0

H_a : β ≠0

(2) Statistik yang dipakai

F=

JK(b|a)

1 JK_sisa

n−2 .

(3) Menentukan nilai α α=5=0,05 .

(4) Menentukan kriteria pengujian

Kriteria: Terima H_a jika Fh itung>Fα ;(1,n−2) , dan tolak H0 dalam hal

lain.

F_tabel=F_{α ;}(1,n−2)

⇔F_tabel=F_0,05_;(1,20−2)

⇔F_tabel=F_0,05_;(1,18)

⇔F_tabel=4,41 .

(7)

F=

JK(b|a)

1 JK_sisa

n−2

⇔F=

JK(b|a)

1 JK_sisa

n−2

⇔F=286,836

79,714 20−2

⇔F=286,836

4,43

⇔F=64,75 .

(6) Simpulan

Jelas 64,75>4,41 . Jadi H₀ ditolak dan H_a diterima. Jadi dengan α=5 , koefisien regresi berarti.

c. Uji hipotesis kelinearan model regresi dengan SPSS

Dari hasil di atas diperoleh nilai sig adalah 0,000 .

Jelas bahwa 0,000<0,05 , sehingga H₀ diterima. Jadi model regresi adalah regresi linear.

(8)

⇔_Y^₌_17,89₊_0,66₍₄₀₎

⇔_Y^₌_{4 4}_,_{29 .}

Jadi skor hasil belajar siswa jika siswa tersebut mempunyai skor motivasi sebesar 40 adalah 44,29.

3. Berikut adalah data tentang hasil uji kecakapan (X) dan kuantitas barang yang terjual (Y) dari 10 pegawai:

Hitunglah koefisien korelasi antara X dengan Y dengan metode Person product moment!

Penyelesaian:

No. X Y X2 _Y2 _XY

1 30 380 900 144400 11400

2 40 490 1600 240100 19600

3 36 430 1296 184900 15480

4 45 580 2025 336400 26100

5 50 590 2500 348100 29500

6 60 620 3600 384400 37200

7 70 670 4900 448900 46900

8 62 630 3844 396900 39060

9 39 460 1521 211600 17940

10 63 650 3969 422500 40950

Jumlah 495 5500 26155 3118200 284130

Dari data di atas diperoleh:

( Xi

∑

¿2¿ = 245025 dan

Y_i

∑

¿2

¿

= 30250000

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 30 40 36 45 50 60 70 62 39 63

Y 380 490 430 580 590 620 670 630 460 65

(9)

X_i Y_i

∑

¿

¿ ¿ ¿ X_i

∑

¿

¿ ¿2

¿ Y_i

∑

¿

¿ ¿2 Y_i2

−¿ n

∑

Xi2−¿

∑

¿ ¿ n

∑

X_iY_i−¿

r_xy=¿

⇔rxy=

10. 284130−(495)(55 00)

√

10.26155−245 025.

√10

.3118200−3 025 0000

⇔r_xy= 2841300−2722 500

√

261550−245 025.

√3 1182000

−3 025 0000

⇔r_xy= 118800

√

16525.

√932000

⇔r_xy= 118800

128,55.965,4

⇔r_xy= 118800

124102,17

⇔r_xy=0,96 .

Diperoleh r_xy=¿ 0,96 sehingga hubungan korelasinya tinggi.

4. Produksi kedelai di suatu daerah selama 7 tahun adalah sebagai berikut:

Tahun 200

0

200 1

200 2

200 3

200 4

200 5

200 6 Produksi (Ribuan Ton) 10 9 12 10 15 20 16

Dengan trend parabola kuadratik, berapa besarnya ramalan produksi kedelai pada tahun 2007?

Penyelesaian:

(10)

2000 -3 10 9 -27 81 -30 90

2001 -2 9 4 -8 16 -18 36

2002 -1 12 1 -1 1 -12 12

2003 0 10 0 0 0 0 0

2004 1 15 1 1 1 15 15

2005 2 20 4 8 16 40 80

2006 3 16 9 27 81 48 144

Jumla

h 0 92 28 0 196 43 377

Persamaan normal:

(1)

∑

Yi=na+b

∑

Xi+c

∑

Xi2

⇔92=7a+28c .

(2)

∑

XiYi=a

∑

Xi+b

∑

Xi

2

+c

∑

Xi

3

⇔43=28b

⇔b=1,54 .

(3)

∑

Xi

2

Yi=a

∑

Xi

2

+b

∑

Xi

3

+c

∑

Xi

4

⇔377=28a+196c .

Kemudian mengalikan persamaan (1) dengan 4 dan mengalikan persamaan (3) dengan 1 diperoleh:

28a+112c=368 28a+196c=377 −

−84c=−9 c=0,11 .

Dengan mensubstitusikan niai c pada persamaan (1), diperoleh: 7a+28c=92

⇔7a+28(0,11)=92

⇔7a+3,08=92

⇔7a=88,92

(11)

Jadi persamaan trend parabola adalah _Y^₌_12,7₊_1,54_X₊_0,11_X2 _{. Untuk tahun}

2007, yaitu X=4 , ramalan produksi kedelai adalah:

^

Y=12,7+1,54(4)+0,11(4)2

⇔Y^=12,7+6,16+1,76

⇔_Y^₌_{20,62 .}

(12)

5. Sebuah produsen roti melakukan eksperimen membuat roti dengan 3 rasa yang berbeda (Coklat, Strawberry, Durian) dan digunakan untuk menguji apakah jumlah roti yang terjual diantara roti dengan 3 rasa tersebut berbeda atau tidak. Selama 5 hari penjualan roti, jumlah roti yang terjual adalah sebagai berikut:

Hari-ke

I II III IV V

R

as

a

Coklat 60 51 67 55 70

Strawberr y

40 34 53 23 44

Durian 30 27 35 21 40

Dengan α =5%, ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan dari rata-rata hasil penjualan roti dengan 3 rasa tersebut.

Penyelesaian:

Rasa Cokla

t

Strawberr y

Duria n

H

ar

i k

e _III 60₅₁ 40₃₄ 30₂₇

III 67 53 35

IV 55 23 21

V 70 44 40

Rata-rata 60,6 38,8 30,6

Diketahui:

k=3 X´2 =38,8

n=5 X´3 =30,6

´

X1 =60,6 X´ =43,3

Jawab:

1) H₀:μ₁=μ₂=μ₃ H_a:μ₁≠ μ₂=μ₃

H₀: tidak ada perbedaan yang signifikan dari rata-rata hasil penjualan roti

dengan 3 rasa tersebut.

H_a: ada perbedaan yang signifikan dari rata-rata hasil penjualan roti dengan

(13)

14,88 3,8

8

Daerah penolakan H0

Daerah penerimaan H0

F_hit=

n.

∑

j=1

k

(

_X´

j− ´X

)

2

k−1

∑

i=1

n

∑

j=1

k

(

X_ij− ´X_j

)

2 k(n−1)

3) α=5=0,05 4) Kriteria pengujian

H0 diterima bila Fhitung≤ Fα ;(k−1,k(n−1)) , dan H0 ditolak dalam hal lain.

F_α;₍_k₋_1,_k₍_n₋₁₎₎=F_0,05_;₍_2,12₎

⇔F_{α ;}₍_k₋_1,_k₍_n₋₁₎₎=3,88 _.

5) Membandingkan statistik hitung degan kriteria pengujian

Fhit= n.

∑

j=1

k

(

_X´

j− ´X

)

2

k−1

∑

i=1

n

∑

j=1

k

(

X_ij− ´X_j

)

2 k(n−1)

⇔Fhit=

5.

[

(60,6−43,3)2+(38,8−43,3)2+(30,6−43,3)2

]

3−1

[

(60−60,6)2+(51−60,6)2+(67−60,6)2+(55−60,6)2+(70−60,6)2+¿(40−38,8)2+(34−38,8)2+(53−38,8)2+(23−38,8)2+(44−38,8)2+¿(30−30,6)2+(27−30,6)2+(35−30,6)2+(21−30,6)2+(40−30,6)2

]

3(5−1)

⇔F_hit=

5(480,83)

2 969,2

12

⇔Fhit=1202,075_80,77

(14)

6) Simpulan

Jelas bahwa 14,88>3,88.

Karena Fhit>Fα ;(k−1,k(n−1)) , maka H0 ditolak. Jadi minimum ada satu pasang

mean yang berbeda secara signifikan dari rata-rata hasil penjualan roti dengan 3 rasa tersebut.

7) Post Hoc dengan Uji LSD

LSD₁

2α =t₁

2α ;k(n−1)

√

VDK ni

+VDK

nj

⇔LSD0,025=t0,025;12

√

80,77

5 +

80,77 5

⇔LSD0,025=2,18

√

80,77

5 + 80,77

5

⇔LSD0,025=2,18

√

16,154+16,154

⇔LSD0,025=2,18

√

32,308

⇔LSD0,025=2,18.5,684

⇔LSD_0,025=12,391 .

Kriteria: X´i berbeda signifikan dengan X´ j bila dij=

|

´

Xi− ´Xj

|

>LSD1 2α .  d_III₋_I=

|

30,6−60,6

|

=30>12,391 . Artinya _X´

III dan X´ I berbeda secara signifikan.

 d_III₋_II=|30,6−38,8|=8,2<12,391 . Artinya _X´

III dan X´II tidak berbeda secara signifikan.

 d_II₋_I=

|

38,8−60,6

|

=21,8>12,391 . Artinya _X´ _II _dan _X´ _I _berbeda

(15)

6. Suatu sekolah ingin melakukan pengujian terhadap hasil belajar siswa yang dipengaruhi oleh media yang digunakan dalam pembelajaran dan guru yang mengajar. Dalam pengujian ini sekolah menggunakan 3 media pembelajaran (M1,

M2, M3) dan diajarkan oleh 4 guru yang berbeda (G1, G2, G3, G4). Jumlah responden

untuk masing-masing kelompok adalah 3 orang dan tingkat kesalahan yang dipilih adalah 5%. Setelah dilakukan ulangan harian kepada seluruh responden, diperoleh data hasil ulangan sebagai berikut:

Guru

G1 G2 G3 G4

M

et

od

e

P

em

be

la

ja

ra

n M1 80,00 75,00 90,00 77,50

92,50 82,5 87,50 90,00

88,00 80,00 92,5 87,50

M2 75,00 90,00 100,00 75,00

70,00 77,50 92,50 87,50

82,50 85,00 95,00 70,00

M3 97,50 77,50 92,50 65,50

85,00 87,50 87,50 70,00

75,00 80,00 80,00 72,50

Ujilah H0 berikut ini:

a. Tidak ada perbedaan rata-rata hasil belajar antara siswa yang belajar dengan metode pembelajaran M1, M2, dan M3.

b. Tidak ada perbedaan rata-rata hasil belajar antara siswa yang diajar oleh G1, G2,

G3, dan G4.

c. Tidak ada efek interaksi antara metode pembelajaran dengan guru yang mengajar.

Penyelesaian:

Guru Jumlah

G1 G2 G3 G4

M1 80,00 75,00 90,00 77,50 T1.=1020

(16)

M et od e P em be la ja ra

n _85,00 _80,00 _92,5 _87,50

M2 75,00 90,00 100,00 75,00 T2.=1000

70,00 77,50 92,50 87,50 82,50 85,00 95,00 70,00

M3 97,50 77,50 92,50 65,00 T3.=970

85,00 87,50 87,50 70,00 75,00 80,00 80,00 72,50

Jumlah T.1=742,5 T.2=735 T.3=817,5 T.4=695 2990

n = 3 , M = 3 , G = 4 , N=36

T2 N =

29902 36 =

8940100

36 =248336,1 .

∑

b=1

B

∑

k=1

K

(

∑

i=1

n X_ibk

)

2

n =

(80+92,5+85)2+(75+82,5+80)2+(90+87,5+92,5)2+(77,5+90+87,5)2+¿(75+70+82,5)2+(90+77,5+85)2+(100+92,5+95)2+(75+87,5+70)2+¿(97,5+85+75)2+(77,5+87,5+80)2+(92,5+87,5+80)2+(65+70+72,5)2

3

¿719850

3 =239950 .

∑

i=1

n

∑

b=1

B

∑

k=1

K

X_ibk2 =802+92,52+852+752+82,52+802+902+87,52+92,52+77,52+902+87,52+752+702+82,52+902+77,52+852+1002+92,52+952+752+87,52+702+97,52+852+752+77,52+87,52+802+92,52+87,52+802+652+702+72,52

¿250925 .

JKT =

∑

i=1

n

∑

b=1

B

∑

k=1

K X_ibk2

−T 2

N=250925−248336,1=2588,9 .

JKB =

∑

b=1

B Tb2 nK− T2 N = 10202 12 + 10002 12 + 9702

12 −248336,1=248441,7−248336,1=105,6

.

JKK =

∑

k=1

K Tk2 nB− T2 N = 742,52 9 + 7352 9 + 817,52 9 + 6952

9 −248336,1=249206,9−248336,1=870,8

JKI =

T2

N −

∑

b=1

B Tb2

nK−

∑

k=1

K Tk2

nB+

∑

b=1

B

∑

k=1

K

(

∑

i=1

n Xibk

)

2

(17)

JKE =

∑

i=1

n

∑

b=1

B

∑

k=1

K X_ibk2

−

∑

b=1

B

∑

k=1

K

(

∑

i=1

n X_ibk

)

2

n =250925−239950=10975 .

1. H0 :

1) α₁=α₂=α₃ 2) β1=β2=β3=β4

3) (αβ)₁₁=(αβ)₁₂=…=(αβ)₃₄=0 H1 :

1) α₁≠ α₂=α₃ 2) β₁≠ β₂=β₃=β₄

3) (αβ)₁₁≠(αβ)₁₂=…=(αβ)₃₄

2. Uji statistik yang digunakan adalah uji F (Fisher). 3. Menentukan taraf signifikan

α = 0,05

4. Penentuan kriteria pengujian

a. Terima H0 jika F ≤ Fα(B-1, BK(n-1))

Fα(B-1, BK(n-1))= F0,05(2,24)=3,40

b. Terima H0 jika F ≤ Fα(K-1, BK(n-1))

Fα(K-1, BK(n-1))= F0,05(3,24)=3,01

c. Terima H0 jika F ≤ Fα((B-1)(K-1), BK(n-1))

Fα((B-1)(K-1), BK(n-1))= F0,05(6,24)=2,51

5. Membandingkan statistik hitung dengan kriteria pengujian Perhitungan nilai Fhitung

Sumber variasi

JK Db JKR Fhitung

Baris B 105,6 B-1=2 52,8

F1hit= _457,2952,8 =0,1

15 Kolom K 870,8 K-1=3 290,267

F2hit= 290,267

457,29 =0, 635

Interaksi I −9362,5 (B-1)(K-1) =6

-1560,42

F3hit=

−1560,42 457,29 = -3,41

Error E 10975 BK(n-1) = 24

457,29

(18)

a. Karena 0,115 ≤ 3,40 maka H0 diterima. Jadi tidak ada perbedaan rata-rata

hasil belajar siswa yang belajar dengan metode pembelajaran M1, M2, dan

M3.

b. Karena 0,635 ≤ 3,01 maka H0 diterima. Jadi tidak ada perbedaan rata-rata

hasil belajar antara siswa yang diajar oleh G1, G2, G3, dan G4.

c. Karena -3,41 ≤ 2,51 maka H0 diterima. Jadi Tidak ada efek interaksi antara